机械动力学——单自由度受迫振动

1、单自由度系统受迫振动姓名: 何江波学院: 机械工程学院邮箱：2022-3-17教学内容 简谐力激励的受迫振动 任意周期激励的响应 瞬态振动2简谐力激励的受迫振动 响应分析 稳态响应的特性简谐惯性力激励的受迫振动3响应分析4受迫振动0( )sinF tFt设 ，F0 称为幅值， 称为激励频率0sinmxcx kx Ft振动微分方程：平衡方程：自由振动 mcx kx( )F tkcx0m( )F t mcx kxkcx0m0sinmx cx kx Ft响应分析500200sin2sinmx cx kx FtFxxxtm振动微分方程：(非齐次微分方程)非齐次微分方程通解齐次微分方程通解(齐次解)非齐

2、次微分方程特解0km2ckm固有频率：相对阻尼系数：20020 xxx02002sinFxxxtm响应分析602002sinFxxxtm振动微分方程：01( )sin()tdx teAt考虑欠阻尼情况 ( 1 ), 齐次解:201d阻尼固有频率 ，幅度(A )和相位( )与初始条件相关特解:22( )sin()x tAt式中，A2 和? 是待定常数响应分析7将特解公式带入振动微分方程可以得到: 0222002sin() 2cos()sin1FAtAttm为了便于比较，将上式右端也表示为两个三角函数: 0000sinsincossinsincosFFttmmFFttmm带人方程(1)中，可以得到

3、： 00222002cossin()2sincos() 0FFAtAtmm响应分析8 02220002cos02sin0FAmFAm022222000122022tanFAm 01222,tan1FsAks 222112ss频率比：s=/0零频率挠度：F0/k放大因子：响应分析901222,tan1FsAks 02( )sin()sin()tdx teAtAt受迫振动的通解：结论：（1）受迫振动的响应由衰减响应和稳态响应组成;（2）稳态响应是频率等同于激励频率、而相位滞后激励的简谐振动; （3）稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物理性质（m, k, c）和激励的频率及幅度，而与系统进入运动

4、的方式（即初始条件）无关 .衰减振动稳态振动( )x tA02At222112ss简谐力激励的受迫振动 响应分析 稳态响应的特性 简谐惯性力激励的受迫振动2022年3月17日稳态响应的特性幅频特性11以s为横坐标画出 曲线 )(s2221( )(1)(2)sss幅频特性曲线 简谐激励作用下稳态响应特性： （1）当s1（ ） 00激振频率远大于系统固有频率结论：稳态响应的振幅很小0123012345( ) ss01 . 025. 0375. 05 . 012221( )(1)(2)sss稳态响应的特性幅频特性13结论：共振 振幅无穷大（3）当1s0当0)(s但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在 s

5、=1 附近的区域内，增加阻尼使振幅明显下降 0123012345)(ss01 . 025. 0375. 05 . 012221( )(1)(2)sss1(1)2稳态响应的特性幅频特性14（4）对于有阻尼系统， 并不出现在s=1处，而是稍偏左 max0dds21 2s0123012345)(ss01 . 025. 0375. 05 . 01（5）当1/ 21振幅无极值 2221( )(1)(2)sss22(1) 20s max2121稳态响应的特性幅频特性152221( )(1)(2)sss1122skmcQ品质因数： s2Q2/Q01021在共振峰的两侧取与 对应的两点， / 2Q1221 Q

6、与 有关系 ：0Q带宽：阻尼越弱，Q越大，带宽越窄，共振峰越陡峭 稳态响应的特性相频特性16相频特性曲线 （1）当s1（ ） 0位移与激振力反相 （3）当 （ ） 1s0 共振时的相位差为 ，与阻尼无关 2)(s0123090180s例题 微机械陀螺仪 功能：测量角速度17 原理： 通过静电力驱动x轴的质量块(mx)发生周期振动。 在存在角速度()的情况下，周期振动在检测轴产生科氏力，科氏力正比于角速度。 科氏力使检测轴的质量块(my)发生振动，通过测量检测轴质量块的振动幅度便可以测量得到角速度。例题 科氏力的计算公式为：18 原理： 通过静电力驱动x轴的质量块(mx)发生周期振动。 在存在角

7、速度()的情况下，周期振动在检测轴产生科氏力，科氏力正比于角速度。 科氏力使检测轴的质量块(my)发生振动，通过测量检测轴质量块的振动幅度便可以测量得到角速度。2yFmx 为角速度， 为驱动轴的振动速度x 设驱动轴的驱动力为求：（1）驱动轴的振动微分方程；（2）分析驱动轴的稳态响应，计算科氏力；（3）为了增大科氏力，应该增大增大阻尼还是减小阻尼？是否需要使驱动轴发生共振？0sinFt例题 科氏力的计算公式为：1902os2c()yyxxFkFmtm 驱动轴的振动微分方程：0sinxxxm x c x k x Ft0( )sin()xx tFkt稳态响应：1222212,tan112ssss 0 x