振动理论及应用报告

1、23 调质阻尼器对桥梁竖向共振的抑制作用调质阻尼器对桥梁竖向共振的抑制作用 调质阻尼器（调质阻尼器（Tuned Mass Damper,简称简称TMD）属于被动控制的一种，几）属于被动控制的一种，几十年来在土木、机械、航空等很多工程领域得到了广泛应用十年来在土木、机械、航空等很多工程领域得到了广泛应用19 93 。 最早采用调质阻尼器（最早采用调质阻尼器（TMD）对桥梁进行振动控制是）对桥梁进行振动控制是19731973年年ChasteauChasteau提提到的一座步行桥，后来美国阿拉斯加的到的一座步行桥，后来美国阿拉斯加的Sitka HarberSitka Harber桥、泰国的桥、泰国的

2、Dao KhanongDao Khanong斜拉桥主梁及苏格兰斜拉桥主梁及苏格兰KessockKessock斜拉桥主梁都应用了斜拉桥主梁都应用了TMD。日本首次在桥梁结构。日本首次在桥梁结构中采用中采用TMD是在是在19851985年竣工的名港西斜拉桥索塔的施工过程中用来控制涡激年竣工的名港西斜拉桥索塔的施工过程中用来控制涡激振动，后来在关西机场斜拉桥的主梁、东京港的悬索桥索塔和横滨海湾桥的索振动，后来在关西机场斜拉桥的主梁、东京港的悬索桥索塔和横滨海湾桥的索塔上也应用了塔上也应用了TMD进行控制。进行控制。 近年来，我国学者在近年来，我国学者在TMD的应用中进行了很多深入的研究，并取得了很的

3、应用中进行了很多深入的研究，并取得了很好的结论。上海的南浦大桥、杨浦大桥先后进行了好的结论。上海的南浦大桥、杨浦大桥先后进行了TMDTMD控制方案的研究。控制方案的研究。 我国九江长江大桥上用我国九江长江大桥上用TMD来抑制吊杆的涡激振动，汕头海湾斜拉桥、来抑制吊杆的涡激振动，汕头海湾斜拉桥、珠海滨澳斜拉桥则研究利用珠海滨澳斜拉桥则研究利用TMD来控制风振。来控制风振。 强士中等编译了强士中等编译了TMD在连续梁控制中的作用，结果表明竖向位移可降在连续梁控制中的作用，结果表明竖向位移可降低低2121，且自由振动很快消失。，且自由振动很快消失。 杨宜谦、张煅等对调频质量阻尼器杨宜谦、张煅等对调频

4、质量阻尼器( (TMD) )车桥系统进行了分析，探车桥系统进行了分析，探讨了桥梁共振机理，研究了用讨了桥梁共振机理，研究了用TMD抑制铁路桥梁的竖向共振，结果表明是抑制铁路桥梁的竖向共振，结果表明是很有效的。很有效的。 黄维平、强士中提出了一种具有黄维平、强士中提出了一种具有2 2个自由度的调质阻尼器模型，用有个自由度的调质阻尼器模型，用有限元方法对悬索桥及限元方法对悬索桥及TMD进行了空间的时域分析，在物理坐标下分析了悬进行了空间的时域分析，在物理坐标下分析了悬索桥及索桥及TMD的动态特性，效果十分明显。的动态特性，效果十分明显。 为了提高铁路的运输效率，近年来，我国的列车一次又一次进行提速

5、。为了提高铁路的运输效率，近年来，我国的列车一次又一次进行提速。但在既有线路上开行准高速和高速列车，当列车经过中小跨度桥梁时，在但在既有线路上开行准高速和高速列车，当列车经过中小跨度桥梁时，在较高速度范围内桥梁可能发生共振，且其挠度可能会达到较高速度范围内桥梁可能发生共振，且其挠度可能会达到铁路桥梁检定铁路桥梁检定规范规范的限值，即会危及行车安全及影响旅客的乘坐舒适性。因此，有必的限值，即会危及行车安全及影响旅客的乘坐舒适性。因此，有必要对桥梁振动控制技术进行深入研究。要对桥梁振动控制技术进行深入研究。 文献文献93、96、110等对等对TMD控制结构的振动进行了一些研究，但控制结构的振动进行

6、了一些研究，但TMD的质量比基本上都为直接选取，没有对其原理进行分析，且计算了的质量比基本上都为直接选取，没有对其原理进行分析，且计算了当列车以某一个速度过桥时的控制效果。当列车以某一个速度过桥时的控制效果。 针对以上问题，本节的主要工作有：针对以上问题，本节的主要工作有： （3）研究了在桥上均匀安装）研究了在桥上均匀安装MTMD后桥梁的挠度响应，并与后桥梁的挠度响应，并与STMD控制效果进行了比较。控制效果进行了比较。 （2）给出了不同质量比下）给出了不同质量比下TMD控制的效果影响曲线，提出了中小控制的效果影响曲线，提出了中小跨度桥梁跨度桥梁TMD的建议最佳质量比，同时也讨论的建议最佳质量

7、比，同时也讨论TMD对车辆运行平稳性的对车辆运行平稳性的控制作用。控制作用。 （1）在模拟轨道不平顺的情况下，建立车桥）在模拟轨道不平顺的情况下，建立车桥TMD动力系统振动力系统振动方程，对桥梁实行动方程，对桥梁实行TMD控制，研究基于控制，研究基于Den Hartog最佳参数调整下的最佳参数调整下的TMD控制，讨论列车过桥时桥梁的最大挠度随列车速度的变化规律。控制，讨论列车过桥时桥梁的最大挠度随列车速度的变化规律。2.3.1 2.3.1 系统建模系统建模 2.3.1.1 2.3.1.1 轨道不平顺的模拟轨道不平顺的模拟图图2 214 14 模拟的轨道不平顺曲线模拟的轨道不平顺曲线 本文根据美

8、国六级线路轨道高低不平顺功率谱进行轨道不平顺的模拟，本文根据美国六级线路轨道高低不平顺功率谱进行轨道不平顺的模拟，其数学表达式为其数学表达式为2.3.1.2 2.3.1.2 模型模型图图215 系统模型图系统模型图 分析第节车厢的运动，其方程有分析第节车厢的运动，其方程有车体沉浮运动车体沉浮运动2 12 1222222()()()() 02222iiiiiiiiic csctisstisctisctiaaaamyk yyc yyk yyc yy车体点头运动车体点头运动2121222222()()()()022222222iiiiiiiic isctisctisctisctiaaaaaaaaJk

9、yycyykyycyy构架沉浮运动2 12 12 12 12 122 122 11122(|)(|)()()022iiiiiiiiittstx vt lstx vt lsctisctiaamykywcywkyycyy 2222222221122(|)(|)()()022iiiiiiiiittstx vt lstx vt lsctisctiaam ykywcywkyycyy对车厢整体分析，可得对车厢整体分析，可得2121()22iicccitttcimmJpmgm yya22()22iicccitttcimmJpmgm yya桥梁的振动方程桥梁的振动方程 由于列车过桥时整个桥梁的最大值总是发生在

10、跨中位置由于列车过桥时整个桥梁的最大值总是发生在跨中位置96，故本节主要，故本节主要考虑在桥梁跨中设置考虑在桥梁跨中设置TMD时的减振效果。时的减振效果。 设设TMD的质量为的质量为Mk，弹簧刚度为，弹簧刚度为Kk，阻尼系数为，阻尼系数为Ck，振动位移为，振动位移为yz。则则TMD的运动方程为的运动方程为 22(|)(|)0LLkzkzkzxxM yKywCyw 对于如图对于如图215所示的简支梁，在不考虑桥梁阻尼时桥梁的振动方程可所示的简支梁，在不考虑桥梁阻尼时桥梁的振动方程可表示为表示为4242( , )wwEIAF x txt( , )( )( )nnnw x tXx T t( )sin

11、nn xXxl( )nT t利用变量分离法设利用变量分离法设，其中为简支梁自由振动时的振型函数，为简支梁自由振动时的振型函数，为所求的形态振幅函数。根据振型为所求的形态振幅函数。根据振型正交性整理有正交性整理有.22()2()( )( )( )sinsin2iikznnnipnvtlM gynT tT ttmllml2.3.2 2.3.2 算例分析算例分析 考虑中小跨度桥梁，以邯长线长沟桥为例。车辆模型参数采用德国考虑中小跨度桥梁，以邯长线长沟桥为例。车辆模型参数采用德国ICEICE高高速动车和拖车的参数速动车和拖车的参数94，列车编组为前后，列车编组为前后2 2节动车和中间节动车和中间4 4

12、节拖车。节拖车。 TMD采用采用Den Hartog最佳参数，参数设计定义如下最佳参数，参数设计定义如下95 根据根据Den Hartog最佳参数最佳参数95调整下的调整下的TMD控制，取控制，取TMD与桥梁的质量与桥梁的质量比为比为1和和5来进行讨论。图来进行讨论。图216、图、图217分别是质量比为分别是质量比为1和和5时桥时桥梁跨中挠度的控制效果曲线。梁跨中挠度的控制效果曲线。 zmml1nz2338(1)zccc2czncm 采用无条件稳定的采用无条件稳定的Newmark法，取桥梁的前五阶振型，利用法，取桥梁的前五阶振型，利用Matlab语语言编程计算出列车通过桥梁任意时刻桥梁的动态响

13、应。言编程计算出列车通过桥梁任意时刻桥梁的动态响应。图图216 控制前后桥梁跨中挠度对比控制前后桥梁跨中挠度对比 图图217 TMD控制效果对比控制效果对比 从图从图216、图、图217可以看出，当速度小于可以看出，当速度小于170km/h时，质量比为时，质量比为1的的TMD控制效果比质量比为控制效果比质量比为5的的TMD控制效果并不是小很多，且当速度为控制效果并不是小很多，且当速度为90110km/h时，质量比为时，质量比为1的的TMD控制效果更好。另从计算分析知两种设控制效果更好。另从计算分析知两种设计对车体竖向加速度的影响也不大，乘客舒适度均为良好。计对车体竖向加速度的影响也不大，乘客舒

14、适度均为良好。 考虑质量比为考虑质量比为1的情况，图的情况，图218为为TMD控制前后桥梁跨中挠度的变化控制前后桥梁跨中挠度的变化曲线。曲线。图图218 控制前后桥梁跨中的响应控制前后桥梁跨中的响应 由图由图218可以看出，可以看出，TMD对桥梁的挠度响应控制效果明显，最高可对桥梁的挠度响应控制效果明显，最高可控制控制28。图图219 控制前车体竖向加速度响应控制前车体竖向加速度响应图图220 控制后车体竖向加速度响应的减幅效应控制后车体竖向加速度响应的减幅效应 图图2- -19为为TMD控制前车体竖向加速度随荷载速度变化的响应，图控制前车体竖向加速度随荷载速度变化的响应，图2- -20为控制

15、后车体竖向加速度的减幅效应，由图中可以看出车体竖向最大加速为控制后车体竖向加速度的减幅效应，由图中可以看出车体竖向最大加速度为度为0.022g，即加装，即加装TMD后，仍可起到控制作用，且最大可控制后，仍可起到控制作用，且最大可控制16。根。根据文献据文献19 、98中的舒适性评定标准，本节的结果满足舒适性要求。中的舒适性评定标准，本节的结果满足舒适性要求。图图221 车体加速度时程曲线车体加速度时程曲线 图图2- -21给出了当荷载速度为时车体竖向加速度的时程曲线，根据给出了当荷载速度为时车体竖向加速度的时程曲线，根据Sperling指指标标wz z的经验算式，可计算出荷载速度为的经验算式，

16、可计算出荷载速度为140km/h140km/h时时wz z=1.25=1.25。根据文献。根据文献19中中的机车平稳性评定标准，不管是根据最大振动加速度还是的机车平稳性评定标准，不管是根据最大振动加速度还是Sperling指标指标 wz z，其平稳性等级都为优良。其平稳性等级都为优良。2.3.3.1 MTMD2.3.3.1 MTMD振动控制模型振动控制模型图图222 系统模型图系统模型图2.3.3 MTMD2.3.3 MTMD振动控制研究振动控制研究 考虑图考虑图2-22所示模型，在桥梁上等间距设置所示模型，在桥梁上等间距设置3个相同参数的个相同参数的TMD。车模。车模型的振动方程如式（型的振

17、动方程如式（2-11）、（）、（2-12）、（）、（2-13）、（）、（2-14）、（）、（2-15）和）和（2-16）。）。 设设TMD的质量为，弹簧刚度为，阻尼系数为，振动位移为。则的质量为，弹簧刚度为，阻尼系数为，振动位移为。则TMD的运的运动方程为动方程为44111(|)(|)0LLkkkkkkxxm ykywcyw22222(|)(|)0LLkkkkkkxxm ykywcyw3344333(|)(|)0LLkkkkkkxxm ykywcyw在不考虑桥梁阻尼时桥梁的振动方程如式（在不考虑桥梁阻尼时桥梁的振动方程如式（2-18）和（）和（2-19）。）。 2.3.3.2 2.3.3.2

18、算例分析算例分析 算例同单个算例同单个TMD一样，采用邯长线长沟桥的尺寸及德国一样，采用邯长线长沟桥的尺寸及德国ICE高速动车和高速动车和拖车的参数。拖车的参数。 通过调整通过调整TMD与桥梁的质量比获取与桥梁的质量比获取TMD的最佳参数设计。图的最佳参数设计。图223给出给出了速度为了速度为97km/h时时TMD质量比的影响曲线。质量比的影响曲线。图图223 TMD质量比影响曲线质量比影响曲线 从图中可以看出，跨中挠度并不是随从图中可以看出，跨中挠度并不是随TMD质量比单调变化的；单个质量比单调变化的；单个TMD、3个个TMD、5个个TMD和和7个个TMD的工况最优质量比分别取为的工况最优质

19、量比分别取为0.3、0.2、0.05和和0.1。从总质量上看是。从总质量上看是5个个TMD的工况最小；从速度为的工况最小；从速度为97km/h时桥梁的挠度上看也是时桥梁的挠度上看也是5个个TMD的工况最小。的工况最小。图图223 TMD质量比影响曲线质量比影响曲线 列车过桥速度一般是在某个速度段内，为了选取更优的方案，计算了列车过桥速度一般是在某个速度段内，为了选取更优的方案，计算了60160km/h速度段内桥梁的响应，图速度段内桥梁的响应，图224给出了各个工况下桥梁挠度随速度给出了各个工况下桥梁挠度随速度的变化曲线。的变化曲线。图图2-24 MTMD控制下桥梁的位移响应控制下桥梁的位移响应

20、 从图从图224中可以看出，在中可以看出，在80105km/h速度段内，速度段内，5个个TMD的工况挠度的工况挠度最小。图最小。图225为为TMD控制效果的对比，从图中可以看出当速度小于控制效果的对比，从图中可以看出当速度小于120km/h时，时，5个个TMD的工况控制效果最好。的工况控制效果最好。图图2-24 MTMD控制下桥梁的位移响应控制下桥梁的位移响应图图2-25 MTMD控制效果对比控制效果对比 图图223、图、图224、图、图225都说明了都说明了MTMD中中5个个TMD的工况总质量的工况总质量最小，且控制效果也最好。最小，且控制效果也最好。 下面将下面将5个个TMD的工况与单个的

21、工况与单个TMD进行对比。进行对比。 首先从首先从TMD的设计参数上看，根据本文的数据，单个的设计参数上看，根据本文的数据，单个TMD的质量为的质量为1036.8kg，弹簧刚度为，弹簧刚度为4.592105N/m，阻尼系数为，阻尼系数为1457.1kg/s，5个个TMD的质的质量为量为172.8kg，弹簧刚度为，弹簧刚度为76916N/m，阻尼系数为，阻尼系数为99.766kg/s，由此可见刚度，由此可见刚度和阻尼更是减小了很多，方便了设置和施工。和阻尼更是减小了很多，方便了设置和施工。 从控制效果上看，图从控制效果上看，图226给出了速度为给出了速度为97km/h时单个时单个TMD与与5个个

22、TMD控控制下桥梁挠度的时程响应曲线，从图中可以看出制下桥梁挠度的时程响应曲线，从图中可以看出5个个TMD的效果比单个的要好，的效果比单个的要好，另外还可以看出除最大峰值减小外，其它较大的峰值也获得了减小，减小幅度另外还可以看出除最大峰值减小外，其它较大的峰值也获得了减小，减小幅度比最大峰值的还大，这说明设置比最大峰值的还大，这说明设置MTMD后结构的振动能量大大减小。在最初后结构的振动能量大大减小。在最初的几秒内，的几秒内，MTMD对时程响应基本上没有改变，这是因为对时程响应基本上没有改变，这是因为MTMD还处于启动还处于启动阶段，还没有充分运动起来的缘故。阶段，还没有充分运动起来的缘故。图

23、图226 桥梁位移时程响应对比桥梁位移时程响应对比2.3.4 2.3.4 结论结论 在模拟轨道不平顺的基础上，通过建立在模拟轨道不平顺的基础上，通过建立TMD车桥耦合振动方程，计算车桥耦合振动方程，计算了在跨中加装了在跨中加装TMD后桥梁的挠度响应和车体竖向加速度响应。分析结果表明后桥梁的挠度响应和车体竖向加速度响应。分析结果表明TMD对控制桥梁挠度效果显著，而且不但不影响乘坐舒适性，还对其起到了对控制桥梁挠度效果显著，而且不但不影响乘坐舒适性，还对其起到了一定的控制作用。而一定的控制作用。而TMD质量比的确定需根据桥梁的实际情况确定，对于本质量比的确定需根据桥梁的实际情况确定，对于本文所述的

24、中小跨桥梁，一般行车速度均为小于文所述的中小跨桥梁，一般行车速度均为小于170km/h，考虑到加装，考虑到加装TMD后后TMD质量对桥梁静挠度和应力的影响，故建议质量对桥梁静挠度和应力的影响，故建议TMD质量比取质量比取1为好。为好。 在此基础上，计算了在桥上均匀安装在此基础上，计算了在桥上均匀安装MTMD后桥梁的挠度响应，得出了后桥梁的挠度响应，得出了MTMD的最佳参数。从总质量和控制效果上看，并不是的最佳参数。从总质量和控制效果上看，并不是TMD个数越多越好，个数越多越好，应对具体的桥梁进行具体的分析。通过应对具体的桥梁进行具体的分析。通过STMD与与MTMD振动控制效果的比较振动控制效果

25、的比较认为认为MTMD的控制效果比的控制效果比STMD的效果要好。且由于质量、刚度和阻尼都比的效果要好。且由于质量、刚度和阻尼都比STMD小很多，故既有利于设置，又有利于安装。小很多，故既有利于设置，又有利于安装。第第3章章 移动荷载作用下连续梁动态响应的研究移动荷载作用下连续梁动态响应的研究 3.1 概概 述述 近年来，结构在移动荷载作用下的振动问题已受到了广泛的关注，但是近年来，结构在移动荷载作用下的振动问题已受到了广泛的关注，但是到目前为止，移动荷载作用下的车桥耦合振动理论问题主要还是集中在简支到目前为止，移动荷载作用下的车桥耦合振动理论问题主要还是集中在简支梁桥的振动响应上梁桥的振动响

26、应上887-90100887-90100，而对连续梁桥一直缺少系统深入的研究。，而对连续梁桥一直缺少系统深入的研究。 相对于简支梁，连续梁在移动荷载作用下车桥耦合振动分析中的主要问相对于简支梁，连续梁在移动荷载作用下车桥耦合振动分析中的主要问题在于桥梁振型函数的确定。多跨连续梁的振型函数还没有统一的解析表达题在于桥梁振型函数的确定。多跨连续梁的振型函数还没有统一的解析表达式，不同的研究从不同的假设出发确定桥梁的振型函数，从而实现问题的求式，不同的研究从不同的假设出发确定桥梁的振型函数，从而实现问题的求解。解。101-106101-106 Lee Lee101101利用哈密顿原理求解了有中间支撑

27、点约束的梁在移动荷载下利用哈密顿原理求解了有中间支撑点约束的梁在移动荷载下的动力响应。他把简支梁的振动模态作为假设模态。由于这些假设模态不的动力响应。他把简支梁的振动模态作为假设模态。由于这些假设模态不能满足中间约束点的零挠度条件，所以将中间点约束看作刚性较大的线性能满足中间约束点的零挠度条件，所以将中间点约束看作刚性较大的线性弹簧约束，这样的模型简化必然会引起误差弹簧约束，这样的模型简化必然会引起误差103103。 ZHENG ZHENG104104和和CHEUNGCHEUNG105105采用了修正的振型函数作为假设模态，能满足采用了修正的振型函数作为假设模态，能满足桥梁两端和中间支撑点的所

28、有零挠度条件。但是由于获得修正的振型函数桥梁两端和中间支撑点的所有零挠度条件。但是由于获得修正的振型函数还是建立在简支梁的振动模态上，且计算过程比较繁杂，不利于推广应用。还是建立在简支梁的振动模态上，且计算过程比较繁杂，不利于推广应用。 Saadeghvaziri M A Saadeghvaziri M A曾经用有限元软件曾经用有限元软件ADINAADINA对移动荷载作用下的桥梁对移动荷载作用下的桥梁进行响应计算，但是他同时也指出了用有限元软件处理该类问题在网格划分进行响应计算，但是他同时也指出了用有限元软件处理该类问题在网格划分和加载处理的不足。和加载处理的不足。108108 本文提出的插值

29、振型函数法是基于本文提出的插值振型函数法是基于ANSYSANSYS对桥梁系统的模态分析结果，进对桥梁系统的模态分析结果，进行三次样条插值而得，不单满足梁两端的零挠度边界条件，而且满足梁中间行三次样条插值而得，不单满足梁两端的零挠度边界条件，而且满足梁中间支撑点处的零挠度条件，能真实反映连续梁的各阶振型。支撑点处的零挠度条件，能真实反映连续梁的各阶振型。 采用该方法获得多跨连续梁的振型函数后，对移动荷载作用下桥梁的车采用该方法获得多跨连续梁的振型函数后，对移动荷载作用下桥梁的车桥耦合振动动态响应进行了求解，给出了等截面连续梁在不同速度移动荷载桥耦合振动动态响应进行了求解，给出了等截面连续梁在不同

30、速度移动荷载作用下的数值结果。算例分析同时表明，该方法具有很好的收敛性和很高的作用下的数值结果。算例分析同时表明，该方法具有很好的收敛性和很高的精度。精度。 3.2 假设和公式假设和公式 如图如图3-13-1所示，受到所示，受到N N个移动荷载作用的连续线弹性欧拉贝努利梁，中间有个移动荷载作用的连续线弹性欧拉贝努利梁，中间有（Q-1Q-1）个支撑点。荷载）个支撑点。荷载PPs s,s=1,2,s=1,2,N,N作为一个整体，以一个已知的速度沿梁作为一个整体，以一个已知的速度沿梁的轴线方向从左往右运动。荷载的位置用来表示。为桥梁的挠度，为动能，为弯的轴线方向从左往右运动。荷载的位置用来表示。为桥

31、梁的挠度，为动能，为弯曲势能，为外力所作的功。曲势能，为外力所作的功。图图3-1 3-1 多个移动荷载作用下的连续梁多个移动荷载作用下的连续梁 ( )v t Nstxsp, 2 , 1,( , )w x tVUW 如图3-1所示，受到N个移动荷载作用的连续线弹性欧拉贝努利梁，中间有（Q-1）个支撑点。荷载Ps,s=1,2,N作为一个整体，以一个已知的速度沿梁的轴线方向从左往右运动。荷载的位置用来表示。为桥梁的挠度， 为动能， 为弯曲势能，作的功。为外力所201( , )( )2Lw x tVA xdxt22201( , )( )2Lw x tUEI xdxx NissPstututtxwPWs

32、121,( )u t是单位阶跃函数，它的定义为是单位阶跃函数，它的定义为 0, 00, 1tttu通过分离变量，梁的挠度通过分离变量，梁的挠度( , )w x t可以表示成可以表示成1( , )( )( )niiiw x tq t Xx( ),1,2,.,iX x in, 2 , 1),(nitqi式中，是满足边界条件的假设振动模态，是满足边界条件的假设振动模态， 是梁的总体坐标。梁的振动速度和曲率分别为是梁的总体坐标。梁的振动速度和曲率分别为1( , )( )( )niiiw x tq t X xt221( , )( )( )niiiw x tq t Xxx 分别将式（分别将式（3-6）、（

33、）、（3-7）和（）和（3-5）代入式（）代入式（3-1）、（）、（3-2）和（）和（3-3），），有有.0111111( )( )( )( )( )( )( )22nnnnLijijijijijijVA x q t Xx qt Xx dxq t m qt0111111( )( )( )( )( )( )( )22nnnnLiijjiijjijijUEI x q t Xx q t Xx dxq t k q t1211( )( )()()NnsiipssssiWP qt Xxtu tu t 其中其中0( )( )( )LijijmA x Xx Xx dx 0( )( )( )LijijkEI x

34、 Xx Xx dx ()LVU W()UW梁的拉格朗日函数为梁的拉格朗日函数为 ，其中，其中欧拉拉格朗日方程为欧拉拉格朗日方程为为总势能。为总势能。.()()0iidLLdtqq将式（将式（3-8）（）（3-10）代入式（）代入式（3-13），有），有.12111( )( )( )()()nnNijijjsipsssjjjsm qtk q tP Xxtu tu t。1( , )( )( )niiiw x tq t X x( )iXxijmijk( , )w x t桥梁的挠度为桥梁的挠度为。一旦桥梁的振型函数。一旦桥梁的振型函数确定，通过高斯积分法就很容易确定确定，通过高斯积分法就很容易确定和，

35、从而得到桥梁的挠度，从而得到桥梁的挠度。3.3 3.3 振型函数的确定振型函数的确定 利用利用ANSYS的模态分析功能，对连续梁进行模态分析，可获得桥梁系的模态分析功能，对连续梁进行模态分析，可获得桥梁系统的各阶振型。由这种模态分析所得的数据是系统离散后各节点处的，而统的各阶振型。由这种模态分析所得的数据是系统离散后各节点处的，而不是以函数形式来表示的，故还不能直接应用于方程（不是以函数形式来表示的，故还不能直接应用于方程（3-1）。为此需根据）。为此需根据数值计算方法，通过对已有的离散数据的插值，求得相应的插值函数。数值计算方法，通过对已有的离散数据的插值，求得相应的插值函数。 但由式（但由

36、式（3-2）可知，从已有离散数据不单要求出桥梁的振型函数，同）可知，从已有离散数据不单要求出桥梁的振型函数，同时还要求得振型函数的二阶导数。这样对振型函数的光滑性要求就比较高，时还要求得振型函数的二阶导数。这样对振型函数的光滑性要求就比较高，故而需考虑应用三次插值样条方法来确定桥梁的振型函数。故而需考虑应用三次插值样条方法来确定桥梁的振型函数。 综合综合ANSYS模态分析功能和模态分析功能和MATLAB数据处理能力，就可以实现连续数据处理能力，就可以实现连续梁系统振型函数以及其二阶导数函数的确定。至此，就可确定系统的运动方梁系统振型函数以及其二阶导数函数的确定。至此，就可确定系统的运动方程。程

37、。3.4 算例分析算例分析 本章对文献本章对文献104104中的三跨连续梁进行简化，考虑等截面，则桥梁模型中的三跨连续梁进行简化，考虑等截面，则桥梁模型如图如图3-23-2所示。桥梁材料的密度为所示。桥梁材料的密度为, ,杨氏模量为，移动荷载杨氏模量为，移动荷载P以速度以速度v v通过桥通过桥梁。梁。图图3-2 3-2 移动荷载作用下的三跨等截面连续梁（移动荷载作用下的三跨等截面连续梁（18m+24m+18m） 为了使得插值所得的振型函数能满足中间支撑约束点的边界条件，应该在为了使得插值所得的振型函数能满足中间支撑约束点的边界条件，应该在该处布置节点。计算后用该处布置节点。计算后用MATLABMATLAB将结果文件读入，并做三次插值样条函数的求将结果文件读入，并做三次插值样条函数的求解，确定系统的运动方程以及进行求解。解，确定系统的运动方程以及进行求解。 应用插值振型法可求得插值振型函数曲线及其二阶导数曲线，其中桥梁应用插值振型法可求得插值振型函数曲线及其二阶导数曲线，其中桥梁的第一、三阶振型是正对称的，第二阶振型为反对称的，根据振型函数的特的第一、三阶振型是正对称的，第二阶振型为反对称的，根据振型函数的特点知，该数据结果比较理想。如图点知，该数据结果比较理想。如图3-33-3、3-43-4所示。所示。 0102030405060-50 5 100102030405060-10