南京航空航天大学工程力学课件7

1、8 81 1 薄壁圆筒扭转时的应力和变形薄壁圆筒扭转时的应力和变形8 82 2 圆杆扭转时的应力和变形圆杆扭转时的应力和变形8 83 3 强度条件及刚度条件强度条件及刚度条件8 84 4 等直圆杆扭转时的应变能等直圆杆扭转时的应变能8 85 5 矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转第八章第八章 扭扭 转转复习：复习： 圆杆扭转时的应力和变形圆杆扭转时的应力和变形一、横截面上的应力一、横截面上的应力TTxpTIM等直圆杆受扭时等直圆杆受扭时 剪应力的计算公式剪应力的计算公式 当当 时，有时，有rpTrIrMmax 令令TpWrI 则则TTWMmax 称为称为抗扭截面抗扭截面模量模量，常用单位为，常用

2、单位为 或或 。 3m3mmTW适用范围：适用范围： （1 1）实心或空心圆截面等直杆；）实心或空心圆截面等直杆； （2 2）杆件在线性弹性范围内受扭。）杆件在线性弹性范围内受扭。三、变形三、变形 扭转角沿杆长的变化率为扭转角沿杆长的变化率为pTGIMdxdTT 则相距为则相距为L L的两横截面间的相对扭转角为的两横截面间的相对扭转角为dxGIMdLpTL0 若在长度若在长度L L范围内扭矩为常量，且等直圆杆，则上式范围内扭矩为常量，且等直圆杆，则上式可化为可化为pTGILM 抗扭刚度抗扭刚度pGI单位：弧度（单位：弧度（radrad) )8-3 8-3 强度条件及刚度条件强度条件及刚度条件一

3、、强度条件一、强度条件 受扭圆杆中最大的工作剪应力受扭圆杆中最大的工作剪应力 不超过材料的容不超过材料的容许剪应力许剪应力 ，即，即max max TTWMmax 对于对于等截面等截面杆，最大剪应力点（危险点）必在最大扭杆，最大剪应力点（危险点）必在最大扭矩矩 所在横截面的边缘处，故强度条件可写为所在横截面的边缘处，故强度条件可写为maxTM式中的式中的 可由圆杆扭转试验测得，而且在静荷载作用下，可由圆杆扭转试验测得，而且在静荷载作用下，同一种材料容许剪应力的值与容许拉应力的值之间存在一同一种材料容许剪应力的值与容许拉应力的值之间存在一定的关系。例如对于塑性材料，定的关系。例如对于塑性材料，

4、。 )6.05.0( 应用强度条件就可对受扭圆杆进行应用强度条件就可对受扭圆杆进行校核强度、选择截校核强度、选择截面尺寸面尺寸及及确定容许荷载确定容许荷载的强度计算。的强度计算。解：解： （1 1）计算抗扭截面模量）计算抗扭截面模量944.09085Dd)1(1643DWT)(10947. 235m)944.01(161090493例例1 1：图示为一由无缝钢管制成的汽车传动轴：图示为一由无缝钢管制成的汽车传动轴ABAB，外直径，外直径D=90mmD=90mm，内直径，内直径d=85mmd=85mm，材料为，材料为4545钢，使用时的最大扭矩钢，使用时的最大扭矩为为 。如材料的容许剪应力。如材

5、料的容许剪应力 ，试校核试校核ABAB轴的强度。轴的强度。mkNMT 5 . 1max MPa60 （2 2）计算轴的最大剪应力）计算轴的最大剪应力TTWMmaxmax5310947. 2105 . 1Pa61051MPa51 可见，可见，ABAB轴满足强度条件。轴满足强度条件。例例2 2：如将例：如将例1 1中的传动轴改为实心轴，要求它与原来的空中的传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同。试确定轴的直径，并比较实心轴和空心轴心轴强度相同。试确定轴的直径，并比较实心轴和空心轴的重量。的重量。解：解： （1 1）确定实心轴直径）确定实心轴直径1DTTWMmaxmaxMPaD5116105

6、.1313为什么要使用空心轴呢？为什么要使用空心轴呢？)(0531.0105116105.13631mD （2 2）比较两轴重量）比较两轴重量 在长度相等、材料相同的情况下，两轴重量之比即等在长度相等、材料相同的情况下，两轴重量之比即等于横截面面积之比。于横截面面积之比。2122212214)(4DdDDdDAA26220531. 010)8590(31. 0由此可见，在强度相同的条件下，空心轴的重量只为实心由此可见，在强度相同的条件下，空心轴的重量只为实心轴的轴的31%31%，大大地减轻了轴的重量，并节约了材料。，大大地减轻了轴的重量，并节约了材料。 这是因为横截面上的剪应力沿半径线性分布，

7、圆心附这是因为横截面上的剪应力沿半径线性分布，圆心附近的剪应力很小，材料没有充分发挥作用。若把轴心附近近的剪应力很小，材料没有充分发挥作用。若把轴心附近的材料向边缘移置，使其成为空心轴，的材料向边缘移置，使其成为空心轴， 就会增大就会增大 和和 ，从而提高轴的强度。，从而提高轴的强度。pITW为何够？为何够？例例3 3：图示为一阶梯形圆轴，轴上装有三个皮带轮。已知：图示为一阶梯形圆轴，轴上装有三个皮带轮。已知轴直径分别为轴直径分别为 ，轮，轮3 3 输入的功率输入的功率为为 ，轮，轮1 1和轮和轮2 2输出的功率分别为输出的功率分别为 。轴作匀速转动，转速为。轴作匀速转动，转速为 。材料。材料

8、的容许剪应力的容许剪应力 。试校核轴的强度。试校核轴的强度。mmdmmd70,4021kWNK303,131kWNKkWNK172min200rn MPa60解：解： （1 1）计算外力偶矩）计算外力偶矩1T2T3TnNTK 1155.92001355.9)(621.0mkN nNTK 2255.92001755.9)(812.0mkN nNTK 3355.92003055.9)(433.1mkN （2 2）由截面法计算各段轴的扭矩）由截面法计算各段轴的扭矩1T2T3T1TMMCDACmkN 621.0321)(TTTMDBmkN 433.1 （3 3）计算抗扭截面模量）计算抗扭截面模量 因因

9、CDCD段的抗扭截面模量大于段的抗扭截面模量大于ACAC段的，故段的，故CDCD段内横截面段内横截面上的剪应力比上的剪应力比ACAC段的小。因此，只需计算段的小。因此，只需计算ACAC和和DBDB两段内横两段内横截面上的剪应力截面上的剪应力, ,并进行比较即得到最大剪应力。并进行比较即得到最大剪应力。 （4 4）计算最大工作剪应力）计算最大工作剪应力1610401693311dWT1610701693322dWT3510257.1m3510735.6m1TACACWMMPa4 .4910257. 110621. 0532TDBDBWMMPa3 .2110735. 610433. 153ACma

10、xMPa4 .49 因此轴满足强度条件。因此轴满足强度条件。 对于变截面杆（如阶梯轴等），因抗扭截面模量对于变截面杆（如阶梯轴等），因抗扭截面模量 不是常量，最大剪应力并不一定发生在最大扭矩不是常量，最大剪应力并不一定发生在最大扭矩 所在的横截面上，所以需要综合考虑扭矩所在的横截面上，所以需要综合考虑扭矩 和抗扭截面和抗扭截面模量模量 ， 才能寻求最大剪应力。才能寻求最大剪应力。TWmaxTMTMTW二、刚度条件二、刚度条件 max 180maxpTGIM 受扭圆杆中扭转角沿杆长变化率受扭圆杆中扭转角沿杆长变化率 的最大值的最大值 不超过某一规定的容许值不超过某一规定的容许值 ，即，即)(dx

11、dmax 对于对于等截面等截面杆，根据杆，根据 的计算公式和的计算公式和 的常用单的常用单位，刚度条件可写为位，刚度条件可写为 max 对于精密机器的轴，对于精密机器的轴， ，对于一般的传动轴，对于一般的传动轴， 。 m2 m)30.015.0(式中的式中的 为为单位长度杆的容许扭转角单位长度杆的容许扭转角，常用单位为度每，常用单位为度每米米 。 )(m例例4 4：试校核例：试校核例1 1中中ABAB轴的刚度。已知材料的剪切弹性模轴的刚度。已知材料的剪切弹性模量量 ，单位长度杆的容许扭转角，单位长度杆的容许扭转角 。 m2MPaG4108 （1 1）例）例1 1中已求得中已求得抗扭截面模量抗扭

12、截面模量)1(1643DWT)(10947. 235m例例1 1：图示为一由无缝钢管制成的汽车传动轴：图示为一由无缝钢管制成的汽车传动轴ABAB，外直径，外直径D=90mmD=90mm，内直径，内直径d=85mmd=85mm，材料为，材料为4545钢，使用时的最大扭矩钢，使用时的最大扭矩为为 。如材料的容许剪应力。如材料的容许剪应力 ，试校核试校核ABAB轴的强度。轴的强度。mkNMT 5 . 1max MPa60解：解： （2 2）计算极惯性矩）计算极惯性矩2pTDIW2109010947.2354610326. 1m （3 3）计算）计算max180maxmaxpTGIM18010326.

13、 1108105 . 16103)(81.0m 因此，因此，ABAB轴也满足刚度条件。轴也满足刚度条件。DIYDIY：图示为一传动轴，其转速为每分钟：图示为一传动轴，其转速为每分钟300300转，主动轮转，主动轮A A的的输入功率输入功率 ，三个从动轮，三个从动轮B B、C C和和D D输出的功输出的功率分别为率分别为 。该轴是用。该轴是用4545号钢制成的空心圆截面杆，其内外直径之比为号钢制成的空心圆截面杆，其内外直径之比为 。 已知：已知： 。试按。试按强度条件和刚度条件选择轴的直径。强度条件和刚度条件选择轴的直径。 mMPaGMPa3 . 0,108,404kWNK5001kWNkWNN

14、KKK200,15043221解：解： （1 1）计算外力偶矩）计算外力偶矩nNTK 1155.930050055.9mkN 9 .15nNTTK 23255.930015055.9mkN 78.4nNTK 4455.930020055.9mkN 37.6 （2 2）计算各段轴的扭矩）计算各段轴的扭矩2TMTImkN 78. 4)(32TTMTIImkN 56. 94TMTIIImkN 37. 6mkNMMTIIT56.9max （3 3）计算）计算 和和maxmax)1(3244DIp)21(1 3244D512154D)1(1643DWT)21(1 1643D256153DTTWMmaxm

15、ax33152561056. 9D3410193. 5D180maxmaxpTGIM4510439. 7D42103151081805121056. 9D （4 4）选择轴的直径）选择轴的直径强度条件：强度条件： max 3410193.5D364104010193. 5m109.0mm109刚度条件：刚度条件： max 4510439.7D453 . 010439. 7m126.0mm126 因此，空心轴的外直径取因此，空心轴的外直径取D=126mmD=126mm或略大，内直径取或略大，内直径取d=63mmd=63mm或略小。在此例中，或略小。在此例中，控制横截面尺寸的是刚度条件。控制横截面

16、尺寸的是刚度条件。8-4 8-4 等直圆杆在扭转时的应变能等直圆杆在扭转时的应变能一、应变能的计算公式一、应变能的计算公式 当杆在线弹性范围内工作时，扭转角当杆在线弹性范围内工作时，扭转角 与外力偶矩与外力偶矩 T T成线性关系。外力偶所作的功为成线性关系。外力偶所作的功为TW21由扭转角的计算公式由扭转角的计算公式ppTGITLGILM由能量守恒原理，由能量守恒原理，等直圆杆受等直圆杆受扭时的应变能扭时的应变能为为pGILTU2222LGIUp或或说明：说明：上面公式只适用于扭矩沿杆长为常量，即外力偶仅上面公式只适用于扭矩沿杆长为常量，即外力偶仅作用于杆端时的情况。作用于杆端时的情况。 当外

17、力偶不只作用于杆端，扭矩沿杆长阶梯分布时，当外力偶不只作用于杆端，扭矩沿杆长阶梯分布时，则整个杆内的应变能应为各段杆内的应变能之和，即则整个杆内的应变能应为各段杆内的应变能之和，即piTiGILMU22pppaGIGIGILTU821162)(21pppbGIGIGILTU3026 .01002122ppcGILTGILTTU2)(2)(2211212pppGIGIGI1424 .01626 .036mL6 . 01mL4.02mL6 .01mL4 .022T1TbacUUU？例例5 5：图示为一端固定的圆截面杆，直径为：图示为一端固定的圆截面杆，直径为d d，承受集度为，承受集度为t t的均

18、布外力偶作用。试求杆内积蓄的应变能。的均布外力偶作用。试求杆内积蓄的应变能。解：解： （1 1）求横截面扭矩）求横截面扭矩 由截面法可求得离左端为由截面法可求得离左端为x x处横截面上的扭矩处横截面上的扭矩txxMT)(可见，扭矩随截面位置线性变化。可见，扭矩随截面位置线性变化。 （2 2）求微段内的应变能）求微段内的应变能 在微段内，可近似认为扭矩为常量，则在微段内，可近似认为扭矩为常量，则dxGIxMdUpT2)(2dxGIxtp222 （3 3）求整个杆内的应变能）求整个杆内的应变能dxxGItdUULLp2022pGILt632pGILtL2)(312t二、圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变

19、形二、圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形dR R弹簧圈的平均半径弹簧圈的平均半径n n弹簧的有效圈数弹簧的有效圈数d d簧杆的横截面直径簧杆的横截面直径 螺旋角螺旋角当当 时，称为密圈螺旋弹簧。此时可忽略时，称为密圈螺旋弹簧。此时可忽略 的影响，的影响，近似认为簧杆横截面与弹簧轴线近似认为簧杆横截面与弹簧轴线ABAB（也即与轴力（也即与轴力P P）在同）在同一平面内。一平面内。5QTM1 1、簧杆横截面上的应力、簧杆横截面上的应力 截取簧杆的任一横截面，并取上面部分为研究对象。截取簧杆的任一横截面，并取上面部分为研究对象。由平衡条件可知，簧杆横截面上的内力由平衡条件可知，簧杆横截面上的内力有一剪力

20、和一扭矩，且有一剪力和一扭矩，且,PQ PRMT 与剪力对应的剪应力与剪力对应的剪应力 假设剪应力沿横截面均匀分布假设剪应力沿横截面均匀分布，则有，则有2244dPdQC, 与扭矩对应的剪应力与扭矩对应的剪应力 当当 之比很小时，可忽略簧杆曲之比很小时，可忽略簧杆曲率的影响，将簧杆视为直杆受扭，剪应率的影响，将簧杆视为直杆受扭，剪应力沿横截面的半径线性分布。力沿横截面的半径线性分布。RdC, ,max最大剪应力为最大剪应力为33max1616dPRdPRWMTT 簧杆横截面上任一点处总的剪应力，应簧杆横截面上任一点处总的剪应力，应是剪切和扭转两种剪应力的是剪切和扭转两种剪应力的矢量和矢量和。

21、在簧圈在簧圈内侧点内侧点C C处，总的剪应力达处，总的剪应力达到最大值，且有到最大值，且有maxmax 32164dPRdP)14(163RddPR当当 时，可忽略剪切而只考虑扭转的影响，则最大剪时，可忽略剪切而只考虑扭转的影响，则最大剪应力为应力为 Rd 3max16dPR 但是，当但是，当d d与与R R之比并不很小时，则不仅要考虑剪切的之比并不很小时，则不仅要考虑剪切的影响，而且还要考虑簧杆曲率对扭转剪应力的影响。此时，影响，而且还要考虑簧杆曲率对扭转剪应力的影响。此时，最大剪应力的计算公式可表示为最大剪应力的计算公式可表示为 3max16dPRK式中式中K K为修正系数，根据弹性力学，

22、有为修正系数，根据弹性力学，有3424CCKdRC2簧杆的强度条件为簧杆的强度条件为 max2 2、弹簧的变形、弹簧的变形PW21 若只考虑簧杆扭转变形的影响，则应变能为若只考虑簧杆扭转变形的影响，则应变能为 在轴向外力在轴向外力P P作用下，弹簧的变形为作用下，弹簧的变形为 。当弹簧在线。当弹簧在线弹性范围内工作时，轴向外力所作的功为弹性范围内工作时，轴向外力所作的功为pTGILMU223222)(42dGRnPR43232GdnRP由能量守恒原理，可得由能量守恒原理，可得PGdnRPU43642nRGdc3464cP弹簧刚度弹簧刚度4d 从公式可看出，从公式可看出， 与与 成反比，如希望弹

23、簧有较好成反比，如希望弹簧有较好的缓冲和减震作用，即要求它有较大的变形，则应使簧杆的缓冲和减震作用，即要求它有较大的变形，则应使簧杆直径直径d d尽可能小一些。但在此情况下，相应的尽可能小一些。但在此情况下，相应的 也就增也就增大，这就要求弹簧材料具有较高的容许剪应力。此外，加大，这就要求弹簧材料具有较高的容许剪应力。此外，加大簧圈半径大簧圈半径R R和增加圈数和增加圈数n n也可以取得增大变形也可以取得增大变形 的效果。的效果。max例例7 7：圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径：圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径D=300mmD=300mm，簧杆横截，簧杆横截面的直径面的直径d=30mmd=30mm，

24、有效圈数，有效圈数n=10n=10，受拉力，受拉力P=2kNP=2kN的作用。的作用。材料的剪切弹性模量材料的剪切弹性模量 。试求簧杆内的最大剪。试求簧杆内的最大剪应力和弹簧的变形。应力和弹簧的变形。MPaG4108解：解： （1 1）求最大剪应力）求最大剪应力maxdDC 10303003424CCK3742135. 1mmDR15023max16dPRK933310301015010216135. 1MPa2 .64 （2 2）求弹簧的变形）求弹簧的变形4364GdnPR124109331030108101015010264mm67.66小结小结 强度条件及刚度条件强度条件及刚度条件一、强

25、度条件一、强度条件 受扭圆杆中最大的工作剪应力受扭圆杆中最大的工作剪应力 不超过材料的容不超过材料的容许剪应力许剪应力 ，即，即max max TTWMmax 对于对于等截面等截面杆，最大剪应力点（危险点）必在最大扭杆，最大剪应力点（危险点）必在最大扭矩矩 所在横截面的边缘处，故强度条件可写为所在横截面的边缘处，故强度条件可写为maxTM二、刚度条件二、刚度条件 max 180maxpTGIM 受扭圆杆中扭转角沿杆长变化率受扭圆杆中扭转角沿杆长变化率 的最大值的最大值 不超过某一规定的容许值不超过某一规定的容许值 ，即，即)(dxdmax 对于对于等截面等截面杆，根据杆，根据 的计算公式和的计

26、算公式和 的常用单的常用单位，刚度条件可写为位，刚度条件可写为 max 作作 业：业：P144146 88 813 815 817（A） 例例8 8：一个簧圈半径较大的密圈圆柱弹簧，内套一个半径：一个簧圈半径较大的密圈圆柱弹簧，内套一个半径较小的弹簧。外圈弹簧的平均半径较小的弹簧。外圈弹簧的平均半径 ，簧杆横截，簧杆横截面直径面直径 ，有效圈数，有效圈数 ；内圈弹簧，；内圈弹簧， 。两弹簧材料相同，。两弹簧材料相同， 。若。若两个弹簧未受力时高度相等，试求共同承受压力两个弹簧未受力时高度相等，试求共同承受压力P=6kNP=6kN时时每一弹簧所受的力。每一弹簧所受的力。MPaG4108mmR10

27、01mmd30151n,502mmR 10,1522nmmd解：解： （1 1）设两个弹簧所受的压力分别为）设两个弹簧所受的压力分别为 和和 ，由平衡条，由平衡条件可得件可得1P2PPPP21 （3 3）由弹簧变形计算公式建立补充方程）由弹簧变形计算公式建立补充方程 （2 2）变形条件）变形条件故为一次超静定问题。故为一次超静定问题。2141131164GdnRP42232264GdnRP214PP kNPkNP2.18.421 （4 4）解联立方程得）解联立方程得8-5 8-5 矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转一、非圆截面杆和圆截面杆扭转的区别一、非圆截面杆和圆截面杆扭转的区别1 1、区别、区别 圆截面杆：圆截面杆： 横截面仍保持为平面横截面仍保持为平面非圆截面杆：非圆截面杆： 横截面发生翘曲横截面发生翘曲2 2、非圆截面杆的扭转类型、非圆截面杆的扭转类型 约束扭转：约束扭转：横截面翘曲受到牵制的扭转。横截面翘曲受到牵制的扭转。 自由扭转：自由扭转：圆杆扭转时应力和变形的计算公圆杆扭转时应力和变形的计算公式对于非圆截面杆均不适用式对于非圆截面杆均不适用。 横截面上除剪应力外还有正应力。横截面上除剪应力外还有正应力。横截面翘曲不受牵制的扭转。横截面翘曲不受牵制的扭转。 横截面上只有剪应力而无正应力。横截面上只有剪应力