电路课件：第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析

1、第七章第七章 一阶电路和二阶一阶电路和二阶 电路的时域分析电路的时域分析l 重点重点2. 2. 一阶电路的零输入响应、零状态响应和一阶电路的零输入响应、零状态响应和 全响应求解；全响应求解；4. 4. 一阶电路的阶跃响应。一阶电路的阶跃响应。3. 3. 稳态分量、暂态分量求解；稳态分量、暂态分量求解；1. 1. 动态电路方程的建立及初始条件的确定；动态电路方程的建立及初始条件的确定；5. 5. 二阶电路的零输入响应。二阶电路的零输入响应。6. 6. 状态方程状态方程 第一章第一章第四章，讨论了线性电阻电路的分析方法，第四章，讨论了线性电阻电路的分析方法，由于描述这类电路的电压和电流是一组线性代

2、数方程，由于描述这类电路的电压和电流是一组线性代数方程，因此在求解过程中只需要进行代数运算。因此在求解过程中只需要进行代数运算。 自第八章以后，讨论了即具有电阻元件又具有储自第八章以后，讨论了即具有电阻元件又具有储能元件的正弦交流稳态电路的分析方法，由于我们借能元件的正弦交流稳态电路的分析方法，由于我们借助的工具是相量法，因此在计算求解过程中也只需要助的工具是相量法，因此在计算求解过程中也只需要进行代数运算。进行代数运算。 本章，我们要讨论是本章，我们要讨论是动态电路动态电路，描述这类电路，描述这类电路的电压、电流方程，将是的电压、电流方程，将是一组线性、常微分方程一组线性、常微分方程。 电容

3、和电感又称为动态元件。电容和电感又称为动态元件。0)(01222 ttexadtdxadtxda二阶电路二阶电路用二阶微分方程描述的动态电用二阶微分方程描述的动态电路路（一般情况下，电路中含有（一般情况下，电路中含有两个不同的动态元件两个不同的动态元件L和和 C）。）。一阶电路一阶电路凡是含有一个动态元件凡是含有一个动态元件（或（或经经等效简化后含有一个动态等效简化后含有一个动态元件）元件）的线性电路。的线性电路。0)(01 ttexadtdxa 注注 ：因本章所讨论的仍是线性电路，因此，：因本章所讨论的仍是线性电路，因此，线性电路中所阐述的几种分析方法和定理线性电路中所阐述的几种分析方法和定

4、理（除替代（除替代定理、互易定理外）定理、互易定理外）仍然适用仍然适用。 动态电路的分析方法动态电路的分析方法（1）根据根据KVL、KCL和和VCR建立建立微分方程微分方程 （2 2）求解微分方程求解微分方程 7-1 7-1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件动态电路的一个重要特征：动态电路的一个重要特征： 当电路的结构发生改变时，当电路的结构发生改变时，（例如：电路中电源（例如：电路中电源或无源元件的断开或接入，信号的突然注入等等）或无源元件的断开或接入，信号的突然注入等等）由由于电容的电场能量和电感的磁场能量在一般情况下于电容的电场能量和电感的磁场能量在一般情况下（激励为

5、有限量）（激励为有限量）不能发生突变，因此，电路从一个不能发生突变，因此，电路从一个稳定状态转变到另一个稳定状态，需要经历一个过程，稳定状态转变到另一个稳定状态，需要经历一个过程，这个过程在工程上被称之为过渡过程（暂态）。这个过程在工程上被称之为过渡过程（暂态）。 今后，把上述电路结构或参数的改变所引起的电今后，把上述电路结构或参数的改变所引起的电路变化，统称为路变化，统称为换路换路。 并认为换路是在并认为换路是在t=0时刻进行的时刻进行的（当然也可以设为（当然也可以设为t=t0时刻进行）。时刻进行）。为了叙述方便，把换路前趋近于换为了叙述方便，把换路前趋近于换路时的瞬间记为路时的瞬间记为t

6、= 0- ，把换路后的初始瞬间记为把换路后的初始瞬间记为t = 0+ ，换路所经历的时间为，换路所经历的时间为0- 0+ 。由上所述，换路时有由上所述，换路时有一般情况下不发一般情况下不发生突变，生突变，2LL2cCiL21WuC21W即即Lciu不能突变，也就是说，不能突变，也就是说，电容电压不能突变电容电压不能突变电感电流不能突变电感电流不能突变可表示为：可表示为： uC(0+)、 iL(0+)称为称为独立的独立的初始条件，其余的电初始条件，其余的电压、电流初始值称为压、电流初始值称为非独立非独立的初始条件。的初始条件。电路的初始条件电路的初始条件换路定则换路定则uC (0+) = uC

7、(0)iL(0)= iL(0) 非独立非独立的初始条件，的初始条件，可通过独立初始条件求得可通过独立初始条件求得。例例7-17-1 (P139) (P139)1. 由换路前电路（一般为稳定状态）求由换路前电路（一般为稳定状态）求uC(0)和和iL(0)；2. 由换路定律得由换路定律得 uC(0+) 和和 iL(0+)。3. 3. 画画0 0+ +等效电路。等效电路。 将电容用电压为将电容用电压为uC(0+)的电压源替代；将电感用的电压源替代；将电感用电流为电流为iL(0+)的电流源替代。（方向与原假定的电容电的电流源替代。（方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。压、电感电流方向相同）。4

8、. 4. 由由0 0+ +电路求所需各电路求所需各非独立非独立变量的变量的0 0+ +值。值。具体做法：具体做法：(2) (2) 由换路定律由换路定律 uC (0+) = uC (0)=8V+-10ViiC(0+)+8V-10k0 0+ +等效电路等效电路mA2 . 010810)0( Ci(1) 由由0电路求电路求 uC(0)或或iL(0)+-10V+uC(0-)-10k40kuC(0)=8V(3) 由由0+等效电路求等效电路求 iC(0+)iC(0-) = 0 iC(0+)例例1求求 iC(0+)电电容容开开路路电容用电容用电电压源压源替代替代+-10ViiC+uC-S10k40k(t=0

9、)0)0( 0)0( LLuu iL(0+) = iL(0) =2AVuL842)0( 例例 2t = 0时闭合开关时闭合开关S , 求求 uL(0+)0 0+ +电路电路: :+uL(0+)-10V1 4 2AAiL24110)0( 由换路定律由换路定律: :电感用电感用电流源电流源替代替代先求先求)0( Li电电感感短短路路iL+uL-L10V1 4 S(t=0)解解10V1 4 )0( Li例例3求求S闭合瞬间流过它的电流值及闭合瞬间流过它的电流值及uL(0+) 、iC(0+) 。 iL+200V-L S(t=0)100 +uC100 100 C解解（1）确定）确定0值值AiiLL120

10、0200)0()0( VuuCC100)0()0( （2）给出）给出0等效电路等效电路Aik21100100100200)0( 1A+200V-100 +100V100 100 ki+uLiC100V100)(0i)(0uLLAuiCC1100/ )0()0( 7.2 7.2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应电路换路后无外加激励，由储能电路换路后无外加激励，由储能元件的储能产生的响应。元件的储能产生的响应。 1. RC电路的零输入响应电路的零输入响应0uuCRtuCiCdd uR= Ri零输入响应零输入响应Ci+uR+uCR换路后换路后0udtduRCCC已知已知 uC (0)=U0+

11、Uo-12S(t=0)+uc-RC一阶齐次常微分方程一阶齐次常微分方程代入初始值：代入初始值： uC (0+) = uC(0) = U0A=U00teueUuRCt )c(0RCt 0cRCp1 特征根特征根特征方程：特征方程： RCp+1=0tRC1 Aecu通通解解ptCeuA 令其通解为：令其通解为：0udtduRCCC求待定系数求待定系数A:0teieRuRuiRCt)(0RCt)C(0CRCtRCtRCt)c(0Ceieu)RC1(eCudtduCi)(0)c(0R 或或Ci+uR+uCR0teuuRCt )c(0ctuc(0+)uC0i(0+)ti0令令 =RC , 称称 为一阶电

12、路的为一阶电路的时间常数时间常数 秒秒伏伏安秒安秒欧欧伏伏库库欧欧法法欧欧 RC （1 1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；从以上各式可以得出：从以上各式可以得出：连续连续函数函数跃变跃变 （2）响应衰减的快慢与）响应衰减的快慢与RC有关；有关；0teuuRCt )c(0c0tRCt)(0eii时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短的大小反映了电路过渡过程时间的长短 = R C 大大 过渡过程时间长过渡过程时间长 小小 过渡过程时间短过渡过程时间短电压初值一定：电压初值一定：R 大（大（ C一定）一定） i=u/R 放电电

13、流小放电电流小放电时间长放电时间长U0tuc0 小小 大大C 大（大（R一定）一定） W=Cu2/2 储能大储能大物理含义物理含义0teuut )c(0c0tt)(0eii工程上认为工程上认为, 经过经过 3 5 , 过渡过程结束。过渡过程结束。 ：电容电压衰减到原来电压电容电压衰减到原来电压36.8%36.8%所需的时间。所需的时间。U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0 t0 2 3 5 t e0UcuU0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5 （3） uc和和 i 的指数曲线的指数曲线 上任意点的次切距的上任意点的次切距的 长

14、度都等于长度都等于. ababtOcui（4 4）能量关系）能量关系电容不断释放能量被电阻吸收电容不断释放能量被电阻吸收, ,直到全部消耗完毕直到全部消耗完毕. .uCR+Ci 原来储存在电容中的电场能量原来储存在电容中的电场能量全部为电阻吸收而转换成热能。全部为电阻吸收而转换成热能。例例 已知图示电路中的电容原本充有已知图示电路中的电容原本充有24V电压，求电压，求S闭合闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。解解 这是一个求一阶这是一个求一阶RC零输入响零输入响应问题，有：应问题，有：i3S3 +uC2 6 5Fi2i1+uC4 5Fi1t

15、0等效电路等效电路0teuut )c(0cs20 45RC V24 u )(0 代入0 2420 tVeutc分流得：分流得：AeuitC20 164 Aeiit20 12432 Aeiit20 13231 2. RL电路的零输入响应电路的零输入响应01)0()0(IRRUiiSLL iLS(t=0)USLRR1t 0+uLiLLR据对偶原理据对偶原理:(t0)RLtLLeRIdtdiLtu/ 0)( 0teiit )(0L0teuut )c(0c = R C=GL=L/R跃变跃变C+uCR-RI0uLttI0iL0从以上式子可以得出：从以上式子可以得出：连续连续函数函数跃变跃变（1 1）电压

16、、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数； 0tei(t)it )(0Lt 0LeRI(t)u综合考虑综合考虑RC、RL的零输入响应：的零输入响应：0teuut )c(0c0teiit )(0Lt)ef(0f(t)iL (0+) = iL(0) = 1 AuV (0+)= 10000V 造成造成V损坏。损坏。例例1t=0时时 , 打开开关打开开关S，求，求uv。0t eiit/ )(0LL电压表量程：电压表量程：50VsVRRL4104100004 0tV10000eiRut2500LVV解解iLS(t=0)+uVL=4HR=10 VRV10k 10

17、V换路后，属换路后，属RL零输入响应零输入响应问题问题 A ei-2500tL预防施措：预防施措：换路时，可将与线圈并联的测量仪表预换路时，可将与线圈并联的测量仪表预 先断开。先断开。换路后：换路后：小结小结1. 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初始值引起一阶电路的零输入响应是由储能元件的初始值引起的响应的响应, 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。 2. 衰减快慢取决于时间常数衰减快慢取决于时间常数 RC电路电路 = RC , RL电路电路 = L/R R相当于从动态元件两端视入一端口电路的等效电阻。相当于从动态元件两端视入一端口电路的等效电阻。3. 同

18、一电路中所有响应具有相同的时间常数。同一电路中所有响应具有相同的时间常数。t)ef(0f(t)iL(0+)= iL(0)uC (0+) = uC (0)RC电路电路RL电路电路动态元件初始能量为零，换路后动态元件初始能量为零，换路后仅由外施激励仅由外施激励( (电源电源) )引起的响应。引起的响应。 SCCUutuRC dd换路后，方程：换路后，方程：iS(t=0)US+uRC+uCRuC (0)=07.3 7.3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 非齐次线性常微分方程非齐次线性常微分方程解答形式为：解答形式为：cccuuu 1. RC电路的零状态响应电路的零状态响应零状态响应零状态响

19、应通解通解（齐次（齐次方程的解）方程的解） 特解特解（稳态（稳态解、解、强制分强制分量量） SCUu RCtCAeu 全解全解uC (0+) = 0 = A+US A= US由初始条件由初始条件 uC (0+) = 0 求定积分常数求定积分常数A：的解的解0dd CCutuRCSRCtCCCUAeuu(t)u 通解（自由分量，暂态分量）通解（自由分量，暂态分量）Cu )0( )1( teUeUUuRCtSRCtSSc0)(t )e(1ueuuut )c(RCt )c()c(ct)C(CeRudtduCitiRu)c(0从以上式子可以得出：从以上式子可以得出：连续连续函数函数跃变跃变+ 响应变化

20、的快慢，由时间常数响应变化的快慢，由时间常数 RC决定；决定； 大，大，充放电慢，充放电慢， 小充放电就快。小充放电就快。 0)(t )e(1ueuuut )c(RCt )c()c(c稳态分量稳态分量（强（强制分量）制分量）暂态分量暂态分量（自（自由分量）由分量）tuc0uc()iS(t=0)US+uRC+uCRuC (0)=0（3 3）能量关系）能量关系221SCU电容储能：电容储能：221SCU 电阻消耗电阻消耗tRRUtRiRCSted)(d2002 RC+-US电源提供的能量一半消耗在电阻上，电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。一半转换成电场能量储存在电容中

21、。例例t=0时时 , 开关开关S闭合，已知闭合，已知 uC（0）=0，求，求（1）电）电容电压和电流，（容电压和电流，（2）uC80V时的充电时间时的充电时间t 。解解500 10 F+-100VS+uCi(1) 这是一个这是一个RC电路零状态响应问题，有：电路零状态响应问题，有：0)(t )Ve-100(1 )e(1uu200t-RCt )c(csRC3510510500 A0.2eeRudtduCi200tRCt)c(C（2）设经过）设经过t1秒，秒，uC80V 8.045mst)e-100(1801-200t1 0)(t )e(1uut )c(c2. RL电路的零状态响应电路的零状态响应

22、0)(t)e(1iit)L(LRiudtdiLuLRLLiLS(t=0)US+uRL+uLRtiL)L(i0据对偶原理据对偶原理:(t0):(t0)0)(t )e(1uut )c(cRL 例例1t = 0时时 ,开关开关S打开，求打开，求t0后后iL、uL以及电流以及电流源的端电压源的端电压u 。解解这是一个这是一个RL电路零状电路零状态响应问题。态响应问题。iLS+uL2H10 2A10 5 +ut00)(t)e(1iit)L(LiL+uL2H10 2A10 5 +ut=iL（）10 2A10 5 +u1A)(iLsRLeq1 . 020/2/ AetitL)1()(10 V20edtdiL

23、(t)u10tLLVeuiIutLLS101020105 iL+uL2H10 2A10 5 +ueqL/R 求求Req:10 10 7.4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应 当一个非零初始状态的电路，换路当一个非零初始状态的电路，换路后受到外加激励时，电路的响应。后受到外加激励时，电路的响应。iS(t=0)US+uRC+uCRuC (0)=U0全响应全响应= 零状态响应零状态响应 + 零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应)0( tte)(0cu)te(1)c(uCu0t)eu(uuut)c()c(0)c(C自由分量自由分量( (暂态解暂态解) )强制分量强制分量( (稳

24、态解稳态解) )注注，若为，若为RL电路，则同理可得：电路，则同理可得：0t)ei(iiit)L()L(0)L(L0t)eu(uuut)c()c(0)c(C分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题0t)eu(uuut)c()c(0)c(C综合考虑：综合考虑：0t)ei(iiit)L()L(0)L(L三要素公式三要素公式 te)f()f(0)f(f(t)全响应曲线全响应曲线:te)f()f(0)f(f(t)tf0f()()(0ff)()(0ff)(0f)(0f 过渡过程虽其时间很短，比如只有几秒钟，甚过渡过程虽其时间很短，比如只有几秒钟，甚至几微妙

25、或纳秒，但在某些情况下，其影响却是不至几微妙或纳秒，但在某些情况下，其影响却是不可忽视的，而且在近代电工和电子技术中还常常要可忽视的，而且在近代电工和电子技术中还常常要利用过渡过程的特性来解决某些技术问题。例如电利用过渡过程的特性来解决某些技术问题。例如电子式时间继电器的延时就是由电容充放电的快慢程子式时间继电器的延时就是由电容充放电的快慢程度决定的，要计算延时的长短，首先必须掌握充放度决定的，要计算延时的长短，首先必须掌握充放电时电压与电流的变化规律。又如在电子技术中还电时电压与电流的变化规律。又如在电子技术中还常常利用过渡过程来改善或变换信号的波形。常常利用过渡过程来改善或变换信号的波形。

26、例例1解解这是一个这是一个RC电路全响电路全响应问题，有：应问题，有：+10V1A1 +uC1 +u1 稳态分量：稳态分量：VuC11110)( t=0时时 ,开关闭合，求开关闭合，求t0后的后的iC、uC及电流源及电流源两端的电压。两端的电压。)1,1)0(FCVuC 全响应：全响应：sRC21)11( VetutC5 . 01011)( 0t)eu(uuut)c()c(0)c(C+10V1A1 +uC()1 +u1 1 1 A5edtduC(t)i0.5tCCVeuitutCC5 . 0512111)( +10V1A1 +uC1 +u1 ic:0t例例2已知：已知：t=0时开关闭合，求换路

27、后的电流时开关闭合，求换路后的电流i(t) 。+1H0.25F5 2 S10Vi解解+1H5 10ViL2 iC0.25FCLiiiRC零输入响应零输入响应RL零状态响应零状态响应0)0()0( LLii+换路后换路后: :AiL25/10)( 0.2s1/5L/ReqL)Ae2(1)e)(1(i(t)i5ttLL+1H5 10ViLRL零状态响应零状态响应0)0()0( LLii)e)(1(i(t)itLLVuuCC10)0()0( sCReq5 . 025. 021 V10e(t)u2tcAeetutitittCL255)1(22)()()( 2 iC0.25FRC零输入响应零输入响应tc

28、c)e(0u(t)u+-uc求求uc(0-):+5 2 10V+-uc(0-)+1H0.25F5 2 S10Vi例例3t =0时时 ,开关闭合，求开关闭合，求t 0后的后的iL、i1、i2解解全响应全响应AiiLL25/10)0()0( iL+20V0.5H5 5 +10Vi2i1AiL65/205/10)( tLLLLeiiiti )()0()()(三要素公式三要素公式:t 0:iL(0-)+5 10Vt :iL()+20V5 5 +10Vi2i10 46)62(6)(55 teetittLVeedtdiLtuttLL5510)5()4(5 . 0)( AeutitL51225/ )10()

29、( AeutitL52245/ )20()( 0L/R iL+20V0.5H5 5 +10Vi2i11/5s0.5/(5/5)L/R求求R0:5 5 V2)0()0( CCuuV667. 01)1/2()( Cus2332 CReq 0 33. 1667. 0)667. 02(667. 05 . 05 . 0 teeuttC1A2 例例2 21 3F+-uC已知：已知：t=0时合开关，求换路后的时合开关，求换路后的uC(t) 。解解tuc2(V)0.6670 tcccceuuutu)()0()()( 注注 ： 对稍复杂些的一阶电路，特别是含有受控源的对稍复杂些的一阶电路，特别是含有受控源的电路

30、，其求解可采用将换路后电路中储能元件以外电路，其求解可采用将换路后电路中储能元件以外的部分，应用戴维宁或诺顿定理进行等效变换，然的部分，应用戴维宁或诺顿定理进行等效变换，然后求得储能元件上的电压和电流的方法。若还需求后求得储能元件上的电压和电流的方法。若还需求其它支路的电压、电流，则可以按照变换前的原电其它支路的电压、电流，则可以按照变换前的原电路进行。路进行。例例7-3 （P146）、）、 例例7-5 （P155）例例4已知：已知：t=0时开关由时开关由12，求换路后的，求换路后的uC(t) 。2A4 1 0.1F+uC+4 i12i18V+12解解三要素为：三要素为： 10/1011iuR

31、iueq12V6i2i4i)(uu111Coc4 +4 i12i1u+VuuCC8)0()0( sCReq11 . 010 tcccceuuutu)()0()()(Veetuttc 201212812)(换路后的换路后的uC( )=uoc求求Req:例例6i10V1Hk1(t=0)k2(t=0.2s)3 2 已知：电感无初始储能已知：电感无初始储能 t = 0 时合时合k1 , t =0.2s时合时合k2求两次换路后的电感电求两次换路后的电感电流流i(t)。0 t 0.2sA25/10)(s2 . 05/1/0)0()0(1 iRLii AiRLAi52/10)(5 . 02/1/26. 1)

32、2 . 0(2 26. 122)2 . 0(2 . 05 eiA74. 35)()2 . 0(2 teti解解tei522 (0 t 0.2s)2 . 0(274. 35 tei( t 0.2s)it(s)0.25(A)1.262 7-5 一阶电路的阶跃响应一阶电路的阶跃响应一单位阶跃函数一单位阶跃函数(Unit step function)（奇异函数）：（奇异函数）： 赫维塞德阶梯函数赫维塞德阶梯函数1. 1. 定义定义: : （它在（它在0- 0+时域内发生了单位阶跃）时域内发生了单位阶跃）若为延迟单位阶跃函数：若为延迟单位阶跃函数： 0tt00tt1)t(t00tt00tt1(t)(t0

33、t1t)(0tt 0t102 2用途：用途：1 1）这个函数可以用来描述下图的开关动作：（所以，）这个函数可以用来描述下图的开关动作：（所以， 又称：开关函数）又称：开关函数）阶跃函数：阶跃函数： A)(tt0S(t =0)RiCu(t)+-1v)(tu(t)+-CiR+)(A t0)0(t)0(tA=2）起始一个函数。）起始一个函数。设设f(t)是对所有是对所有t 都有定义的一个任意函数：都有定义的一个任意函数：为：则)()(ttf若为延迟单位阶跃函数：若为延迟单位阶跃函数： 为：则)t(tf(t)03 3）表示一个脉冲。）表示一个脉冲。 )(tft0)(tft0)tf(t)(t00tt0)

34、t(t(t)f(t)0f(t)t0t0(t)(t)f1(t)ft00t)t(t(t)f0-1(t)ft00t4)(t3)(t1)(t(t)f(t)4)(t3)(t(t)i(t)233单位阶跃响应单位阶跃响应S（t）:实质就是在单位阶跃输入下的零状态响应。实质就是在单位阶跃输入下的零状态响应。 )ttS（零状态响应零状态响应 若电路的恒定激励为若电路的恒定激励为 ，则电路的阶跃响，则电路的阶跃响应为应为 。(t)AS(t)A例例7-11（P169）)(t0t17.5 7.5 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应uC(0+)=U0 i(0+)=00udtduRCdtudLCCCC2已知：已知：

35、1. 1. 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应以电容电压为变量：以电容电压为变量：电路方程：电路方程：0uuRiCLdtdiLu dtduCiLCRLC+- -iuc0udtduRCdtudLCCCC2以电容电压为变量：以电容电压为变量：01RCPLCP2特征方程：特征方程：LC1)2LR(2LR2p特征根：特征根：LC1)2LR(2LR21pLC1)2LR(2LR22p仅与电路仅与电路参数有关参数有关ptCeuA 通解为：通解为：为了兼顾为了兼顾p p1 1p p2 2这两个值这两个值, ,电压电压u uc c可写成可写成: : peApeAu t2t1C21)(t0210CUAAU)

36、(0u0APAP0cidtdu2211)(0)(0C0121201221UPPPAUPPPA求待定系数求待定系数A1、 A2 : :)PePPe(PPPUut1t2120C21RLC+- -iucRLC串联电路零输入响应表达式：串联电路零输入响应表达式：下面讨论当下面讨论当RLC取不同值时，特征根的三种情况：取不同值时，特征根的三种情况：LC1)2LR(2LRp212特征根：特征根： CL2R (1) 非振荡（过阻尼）放电过程非振荡（过阻尼）放电过程p1、p2为两个不相等的负实数。为两个不相等的负实数。)PePPe(PPPUut1t2120C21电容电压：电容电压：电容和电感电流电容和电感电流

37、)pep(e)PL(PUdtduCitt120cC21电感电压电感电压)pePpe(P)P(PUdtdiLut2t1120L21U0uctm2tmuLict0uc(ic)始终始终0,0,说说明明C C一直在放电一直在放电0 t 0 电感吸收能量电感吸收能量t tm i 减小减小, uL 0 电感释放能量电感释放能量U0uctm2tmuLict0t = tm 时，时，i 最大，最大，:0, 0mLtdtdidtdiLu求出求出由由 2112ppppntm CL2R (2) 振荡（欠阻尼）放电过程：振荡（欠阻尼）放电过程：LC1)2LR(2LRp212 jp12(谐振角频率)(谐振角频率) (衰减

38、系数),(衰减系数),令令 LC1 2LR0 ： (固有振荡角频率)(固有振荡角频率) 220uc 的解答形式：的解答形式：)tsin(eUt 00)PePPe(PPPUut1t2120C21)arctan( )tsin(eUu t 00CtsineLUdtduCit 0CC)tsin(eUdtdiLut 00L储能元件周期性地交换储能元件周期性地交换能量，见书能量，见书P161P161表表7-27-2t-2- 20U0uC iCuL特例特例：R=0 时时0 等幅振荡等幅振荡tLC+-0LC1)2LR(2LRp212LC1 02202)arctan(L0t 00Cu)2tsin(U)tsin(

39、eUutsinLUtsineLUi00Ct 2 ) 3( CLRLRPP221相等负实根相等负实根临界非振荡（临界阻尼）放电过程：临界非振荡（临界阻尼）放电过程：LC1)2LR(2LRp212)PePPe(PPPUut1t2120C21 我们仍可利用非振荡放电过程的解：我们仍可利用非振荡放电过程的解：根据罗彼塔法则根据罗彼塔法则, ,令令 取极限而得出取极限而得出: :pp12非振荡放电非振荡放电 ) 1 ( 0teUutC ) 1 ( 0teUtiLutL d dd d 0teLUtuCitCC d dd d非振荡放电非振荡放电 过阻尼，过阻尼， 2 CLR 振荡放电振荡放电 欠阻尼，欠阻尼， 2 CLR 非振荡放电非振荡放电 临界阻尼，临界阻尼， 2 CLR 可推可推广应广应用于用于一般一般二阶二阶电路电路小结)PePPe(PPPUut1t2120C21 )tsin(eUu t 00C ) 1 ( 0teUutC 自学自学P159 例例7-6、P161 例例7-77.6 7.6 状态方程状态方程状态方程状态方程 = = 状态变量方程状态变量方程状态变量：就是网络的一组独立的动态变量，它状态变量：就是网络的一组独立的动态变量，它 们在任何时刻的值，组成了在该时刻们在任何时刻的值，组成了在该时刻 的状态。的状态。（由动态电路的分析可知，（由动态电路的分析可知， uC和