chapter2 电阻的等效变换

1、 重点重点：2. 2. 电阻的串、并联；电阻的串、并联；4. 4. 电压源和电流源的等效变换；电压源和电流源的等效变换；3. 3. Y Y 变换变换; ;第第2 2章章 电路中等效的概念及其应用电路中等效的概念及其应用1. 1. 电路等效的概念；电路等效的概念；2.1 2.1 引言引言l 电阻电路电阻电路仅由电源和线性电阻构成的电路仅由电源和线性电阻构成的电路l 分析方法分析方法（1 1）欧姆定律和基尔霍夫定律是分）欧姆定律和基尔霍夫定律是分 析电阻电路的依据；析电阻电路的依据；（2 2）等效变换的方法）等效变换的方法, ,也称化简的方法也称化简的方法二端网络定义：二端网络定义：在电路分析中可

2、以把一组元件作为一个整体来看待，当这个在电路分析中可以把一组元件作为一个整体来看待，当这个整体只有两个端钮可与外部电路相连接，且进出这两端钮的整体只有两个端钮可与外部电路相连接，且进出这两端钮的电流是同一个电流时，则这个由元件构成的整体就称为二端电流是同一个电流时，则这个由元件构成的整体就称为二端网络网络( (或一端口网络或一端口网络) )。图图a图图b2.2 2.2 电路的等效变换电路的等效变换3 6 4 +-8Vi1+-12V2i1abiRL+-Nab(a)(b)uiu+-2.2 2.2 电路的等效变换电路的等效变换2.2 2.2 电路的等效变换电路的等效变换图图a图图b若一个二端网络若一

3、个二端网络N1的伏安关系（的伏安关系（VAR）和另一个二端网络）和另一个二端网络N2的伏安关系（的伏安关系（VAR）完全相同，则这两个二端网络）完全相同，则这两个二端网络N1和和N2便便是等效的。是等效的。等效条件下，用一个网络可以替换另一个网络为等效变换。等效等效条件下，用一个网络可以替换另一个网络为等效变换。等效变换只适用于线性网络，非线性网络之间不能进行等效变换变换只适用于线性网络，非线性网络之间不能进行等效变换.何谓等效？何谓等效？所谓等效是指两个电路的对所谓等效是指两个电路的对外伏安关系相同外伏安关系相同 在电路中，电阻的联接形式是多种在电路中，电阻的联接形式是多种多样的，其中最简单

4、和最常用的是串联多样的，其中最简单和最常用的是串联与并联。具有串、并联关系的电阻电路与并联。具有串、并联关系的电阻电路总可以等效变化成一个电阻。总可以等效变化成一个电阻。 简单电阻电路：可以利用电阻串、并联方法简单电阻电路：可以利用电阻串、并联方法进行分析的电路。应用这种方法对电路进行分进行分析的电路。应用这种方法对电路进行分析时，一般先利用电阻串、并联公式求出该电析时，一般先利用电阻串、并联公式求出该电路的总电阻，然后根据欧姆定律求出总电流，路的总电阻，然后根据欧姆定律求出总电流，最后利用分压公式或分流公式计算出各个电阻最后利用分压公式或分流公式计算出各个电阻的电压或电流。的电压或电流。1.

5、 电路特点电路特点:一、一、 电阻串联电阻串联+_R1Rn+_uki+_u1+_unuRk(1) 各电阻顺序连接，流过同一电流各电阻顺序连接，流过同一电流 (KCL)；(2) 总电压等于各串联电阻的电压之和总电压等于各串联电阻的电压之和 (KVL)。nkuuuu 12.3 2.3 电阻的串联、并联和串并联电阻的串联、并联和串并联等效等效2. 电阻串联等效电阻电阻串联等效电阻Req+u_R1Rn+_uki+_u1+_unRku+_Reqi121212.(.)knnnuuuuuiRiRiRi RRRneqRRRR.21令eqiRu Req=( R1+ R2 +Rn) = Rk等效等效结论：结论：

6、串联串联电路的电路的总电阻总电阻等于各等于各分电阻之和。分电阻之和。 2. 等效电阻等效电阻Req+u-R1Rn+_uki+_u1+_unRku+_Reqi3. 串联电阻上电压的分配串联电阻上电压的分配例例：两个电阻分压：两个电阻分压, 如下图如下图R1R2+_u+-u1-+u2i4. 功率关系功率关系p1=R1i2， p2=R2i2， pn=Rni2p1: p2 : : pn= R1 : R2 : :Rn总功率总功率 p=Reqi2 = (R1+ R2+ +Rn ) i2 =R1i2+R2i2+ +Rni2 =p1+ p2+ pn（1） 电阻串联时，各电阻消耗的功率与电阻大小成正比电阻串联时

7、，各电阻消耗的功率与电阻大小成正比（2） 等效电阻消耗的功率等于各串联电阻消耗功率的总和等效电阻消耗的功率等于各串联电阻消耗功率的总和表明表明二、电阻并联二、电阻并联 (Parallel Connection)InR1R2RkRnI+UI1I2Ik_1. 电路特点电路特点:(1) 各电阻两端分别接在一起，两端为同一电压各电阻两端分别接在一起，两端为同一电压 (KVL)；(2) 总电流等于流过各并联电阻的电流之和总电流等于流过各并联电阻的电流之和 (KCL)。I= I1+ I2+ + Ik+ +In等效等效2. 等效电阻等效电阻Req+u_IReq)1.11(.212121nnnkRRRURUR

8、URUIIIII neqRRRR1.11121令InR1R2RkRnI+UI1I2Ik_等效等效1/Req= 1/R1+1/R2+1/Rn用电导表示用电导表示 Geq=G1+G2+Gk+Gn= Gk= 1/Rk2. 等效电阻等效电阻Req3. 并联电阻的电流分配并联电阻的电流分配对于两电阻并联，对于两电阻并联，iR1R2i1i2InR1R2RkRnI+UI1I2Ik_+u_IReq4. 功率关系功率关系p1=G1u2， p2=G2u2， pn=Gnu2p1: p2 : : pn= G1 : G2 : :Gn总功率总功率 p=Gequ2 = (G1+ G2+ +Gn ) u2 =G1u2+G2u

9、2+ +Gnu2 =p1+ p2+ pn（1） 电阻并联时，各电阻消耗的功率与电阻大小成反比电阻并联时，各电阻消耗的功率与电阻大小成反比（2） 等效电阻消耗的功率等于各并联电阻消耗功率的总和等效电阻消耗的功率等于各并联电阻消耗功率的总和表明表明 例：计算图中所示电阻电路的等效电阻R，并求电流 I 和I5 。1R2R227R3V3I465R6R14R45I3R三、三、 电阻的串并联电阻的串并联 可以利用电阻串联与并联的特征对电路进行简化可以利用电阻串联与并联的特征对电路进行简化7R3V3I6R134R2112R12I5I5R67I7R3V3I2112R12I7I3456R1R2R227R3V3I

10、465R6R14R45I3RV3I51R(a)(b)(c)(d)解：解：由(d)图可知51R,ARUI1777R3V3I6R134R2112R12I5I5R67IAIII1712ARUI21256346345IRRRRRIA31(c)由(c) 图可知V3I51R(d) 计算举例：计算举例：例例2. R = 30 40 30 30 40 30 40 30 40 30 30 R40 30 30 40 30 （1）看电路的结构特点。若两电阻是首尾相连就是串联，是）看电路的结构特点。若两电阻是首尾相连就是串联，是首首尾尾相连就是并联。首首尾尾相连就是并联。（2）看电压电流关系。若流经两电阻的电流是同一

11、电流，那）看电压电流关系。若流经两电阻的电流是同一电流，那就是串联；若两电阻上承受的是同一电压，那就是并联。就是串联；若两电阻上承受的是同一电压，那就是并联。（3）对电路做变形。如把交叠在一起的支路平摊开，把个别）对电路做变形。如把交叠在一起的支路平摊开，把个别支路左右、上下做移位或翻转，弯曲的支路可以拉直，理想支路左右、上下做移位或翻转，弯曲的支路可以拉直，理想导线可任意拉长或缩短等。导线可任意拉长或缩短等。（4）找出等电位点。对于具有对称特点的电路，如能判断某）找出等电位点。对于具有对称特点的电路，如能判断某两点是等电位点，则有两种处理方法：一是可以把等电位点两点是等电位点，则有两种处理方

12、法：一是可以把等电位点短路；二是可以把等电位点开路（因支路中无电流），从而短路；二是可以把等电位点开路（因支路中无电流），从而得到电阻的串、并联的关系。得到电阻的串、并联的关系。电路中，判别电阻的串并联小窍门：电路中，判别电阻的串并联小窍门：例例3：在上图所示电路为一个用于数模转换的梯形电阻网络，试求在上图所示电路为一个用于数模转换的梯形电阻网络，试求a、b端的等效电阻及电流端的等效电阻及电流I1和电压和电压U1.解解:电阻电阻R1+R2= 2 , 然后与然后与R3并联的并联的1 ，重复上述过程可得，重复上述过程可得Rab= 2 R2R3R4R5R6R7R81 1 2 1 2 1 2 1 I+

13、-U=16V+-I1U1R1ab所以，从所以，从a、b端向右看，此梯形网络与一只端向右看，此梯形网络与一只2 电阻网络具有相电阻网络具有相同的伏安关系。同的伏安关系。方法一：方法一：根据欧姆定律易得由点根据欧姆定律易得由点a流入的电流流入的电流I=16/2=8A, 根根据分流公式，据分流公式，R7和和R6的电流都是电流的电流都是电流I的一半，依次连续向的一半，依次连续向右推算得右推算得I1=1A, U1=1V.例例3：R2R3R4R5R6R7R81 1 2 1 2 1 2 1 I+-U=16V+-I1U1R1ab方法二：方法二：根据分压公式，根据分压公式，R7两端的电压是端电压两端的电压是端电

14、压U的一半，的一半，为为8V, 依次连续向右推算得依次连续向右推算得U1=1V，I1=1A。从以上例题可得求解串、并联电路的一般步骤：从以上例题可得求解串、并联电路的一般步骤：（1） 求出等效电阻或等效电导；求出等效电阻或等效电导；（2）应用欧姆定律求出总电压或总电流；）应用欧姆定律求出总电压或总电流；（3）应用欧姆定律或分压、分流公式求各电阻上的电流和电压）应用欧姆定律或分压、分流公式求各电阻上的电流和电压以上的关键在于识别各电阻的串联、并联关系！以上的关键在于识别各电阻的串联、并联关系！例例46060 100100 5050 1010 b ba a4040 8080 2020 求求: Ra

15、b100100 6060 b ba a4040 2020 100100 100100 b ba a2020 6060 100100 6060 b ba a120120 2020 Rab7070 6060 100100 5050 1010 b ba a4040 8080 2020 例例51515 2020 b ba a5 5 6 6 6 6 7 7 求求: Rab1515 b ba a4 4 3 3 7 7 1515 2020 b ba a5 5 6 6 6 6 7 7 1515 b ba a4 4 1010 Rab10 0 缩短无电阻支路缩短无电阻支路 解：由题意知解：由题意知R1R2R3R4

16、R5abcd2 4 6 3 10 42313241,RRRRRRRR那么那么R1、R2、R3和和R4组成组成平衡电桥平衡电桥，c、d两点等电位，则两点等电位，则Ucd=0, c、d之之间等效为短路；对间等效为短路；对R5应用欧姆定律应用欧姆定律得，得，Icd=0, 所以所以c、d之间又可以等之间又可以等效为开路。效为开路。若若c、d之间开路之间开路，电路结构变为，电路结构变为R1与与R4串联、串联、 R2和和R3串联，然后串联，然后并联，则有并联，则有6 . 36342)63()42(abR若若c、d之间短路之间短路，电路结构变为，电路结构变为R1与与R2并联、并联、 R3和和R4并联，然后并

17、联，然后串联，则有串联，则有6 . 364643232abR例例6：求右图中电路：求右图中电路的等效电阻的等效电阻2.4 2.4 电阻的电阻的Y Y - - 等效变换等效变换三端无源网络三端无源网络:引出三个端钮的网络，引出三个端钮的网络，并且内部没有独立源。并且内部没有独立源。Y型型网络网络R12R31R23i3 i2 i1 123+u12 u23 u31 三端电阻无源网络的两个例子：三端电阻无源网络的两个例子： ，Y网络：网络：R1R2R3i1Yi2Yi3Y123+u12Yu23Yu31Y无无源源 型型网络网络 b ba ac cd dR1R2R3R4包含包含 ，Y Y 网络的变形：网络的

18、变形： 型电路型电路 ( 型型) T 型电路型电路 (Y、星、星 型型)这两个电路当它们的电阻满足一定的关系时，能够相互等效这两个电路当它们的电阻满足一定的关系时，能够相互等效等效的条件等效的条件: i1 =i1Y , i2 =i2Y , i3 =i3Y , 且且 u12 =u12Y , u23 =u23Y , u31 =u31Y Y接接: 用电流表示电压用电流表示电压u12Y=R1i1YR2i2Y 接接: 用电压表示电流用电压表示电流i1Y+i2Y+i3Y = 0 u31Y=R3i3Y R1i1Y u23Y=R2i2Y R3i3Y i3 =u31 /R31 u23 /R23i2 =u23 /

19、R23 u12 /R12i1 =u12 /R12 u31 /R31(2)(1)R12R31R23i3 i2 i1 123+u12 u23 u31 R1R2R3i1Yi2Yi3Y123+u12Yu23Yu31Y133221231Y312Y1YRRRRRRRuRui1332213Y121Y23Y2RRRRRRRuRui1332211Y232Y31Y3RRRRRRRuRui由式由式(2)(2)解得：解得：i3 =u31 /R31 u23 /R23i2 =u23 /R23 u12 /R12i1 =u12 /R12 u31 /R31(1)(3)根据等效条件，比较式根据等效条件，比较式(3)(3)与式与式

20、(1)(1)，得，得Y Y型型型的变换条件：型的变换条件： 213133113232233212112RRRRRRRRRRRRRRRRRR321133132132233212112GGGGGGGGGGGGGGGGGG或根据等价条件有根据等价条件有R12R31R23i3 i2 i1 123+u12 u23 u31 R1R2R3i1Yi2Yi3Y123+u12Yu23Yu31YY接接接接213133113232233212112RRRRRRRRRRRRRRRRRR321133132132233212112GGGGGGGGGGGGGGGGGG或类似可得到由类似可得到由 接接 Y接的变换结果：接的变换

21、结果： 122331233133112231223223311231121GGGGGGGGGGGGGGGGGG312312233133123121223231231231121RRRRRRRRRRRRRRRRRR或电阻之和形三角形相邻电阻的乘积形三角形电阻形星形Y电导之和形星形相邻电导的乘积形星形电导形三角形YY为了便于记忆，可利用下面公式计算为了便于记忆，可利用下面公式计算 之间之间Y变换变换 接接 Y接接Y接接接接312312233133123121223231231231121RRRRRRRRRRRRRRRRRR Y :特例：若三个电阻相等特例：若三个电阻相等(对称对称)，则有，则有 R

22、 = 3RY( 外大内小外大内小 )13注意：注意：(1) 等效对外部等效对外部(端钮以外端钮以外)有效，对内不成立。有效，对内不成立。(2) 等效电路与外部电路无关。等效电路与外部电路无关。1R31R23R12R3R2R123321133132132233212112GGGGGGGGGGGGGGGGGGY应用：简化电路应用：简化电路例例. 桥桥 T 电路电路1k 1k 1k 1k RE1/3k 1/3k 1k RE1/3k 1k RE3k 3k 3k 应用：简化电路应用：简化电路1/3k 1/3k 1k RE1/3k 1/3k 1/3k RE4/3k RE3k 3k 3/4k 1k RE3k

23、 3k 3k 例例1 4 1 +20V90 9 9 9 9 -1 4 1 +20V90 3 3 3 9 -计算计算9090 电阻吸收的功率电阻吸收的功率1 10 +20V90 -i1i 10901090101eqRAi21020 /Ai2090102101. WiP63209090221.).( 2.5 理想电压源和理想电流源的串并联理想电压源和理想电流源的串并联 一、一、 理想电压源的串、并联理想电压源的串、并联串联串联:uS= uSk ( 注意参考方向注意参考方向)电压相同的电压源才电压相同的电压源才能并联，并联后对外能并联，并联后对外电路的等效电压大小电路的等效电压大小和方向不变。和方向

24、不变。并联并联:21sssuuuus1=us2=us3=usuS2+_+_uS1+_uS+_usIuS1+_+_I+_uS2uS3二二.、理想电流源的串、并联、理想电流源的串、并联可等效成一个理想电流源可等效成一个理想电流源 i S（ 注意参考方向）注意参考方向）.电流相同的理想电流源才能串联电流相同的理想电流源才能串联,并且每个电流并且每个电流源的端电压不能确定。源的端电压不能确定。iS1iS2iSkskssssksiiiiii 21 ,iS并联并联:串联串联:usR12us12* 对电压源而言，与它并联的支路性质受电压源性质的约束，对电压源而言，与它并联的支路性质受电压源性质的约束，无论它

25、的外部并联多少其他元件，其端电压总保持恒定。即使无论它的外部并联多少其他元件，其端电压总保持恒定。即使与电流源并联，也不改变其电压性质（只影响流过电压源内部与电流源并联，也不改变其电压性质（只影响流过电压源内部的电流）的电流）* 与电压源并联的元件与外电路无关，在讨论外电路时，可将与电压源并联的元件与外电路无关，在讨论外电路时，可将与其并联的电路元件删去。与其并联的电路元件删去。12usis窍门窍门* 对电流源而言，其所在支路的性质受电流源性质的约束，无论对电流源而言，其所在支路的性质受电流源性质的约束，无论与它串联多少其他元件，它的输出电流总保持恒定。即使与它与它串联多少其他元件，它的输出电

26、流总保持恒定。即使与它串联元件为电压源，也不能改变电流恒定的性质（只影响电流串联元件为电压源，也不能改变电流恒定的性质（只影响电流元的端电压）元的端电压）* 与电流源串联的元件与外电路无关，在讨论外电路时，可将与电流源串联的元件与外电路无关，在讨论外电路时，可将与其串联的电路元件删去。与其串联的电路元件删去。is12usis121isR2窍门窍门讨论题讨论题?IA32410A72210A5210III哪哪个个答答案案对对? 10V+-2A2 I原因：原因：理想电压理想电压源（恒压源源（恒压源) )的特的特点点无论负载电阻无论负载电阻如何变化，输出如何变化，输出电电压不变。故压不变。故2 2欧欧

27、的的电阻上的电压电阻上的电压恒为恒为1 10V.0V.含独立源二端网络等效小窍门：含独立源二端网络等效小窍门：凡是与凡是与独立电压源并联独立电压源并联的元件，与的元件，与独立电流源串联独立电流源串联的元件都的元件都是是虚支路，对外作等效变换时均可除去不计虚支路，对外作等效变换时均可除去不计。可作如下处理：。可作如下处理：（1）与）与理想电压源并联理想电压源并联的所有元件可用的所有元件可用开路开路等效等效。（2）与）与理想电流源串联理想电流源串联的所有元件可用的所有元件可用短路短路等效等效。is=is2-is1isis=is2-is1isus2is2is1us2例例:us1is2is1us22.

28、4 电压源和电流源的等效变换电压源和电流源的等效变换 一个实际电压源，可用一个理想电压源一个实际电压源，可用一个理想电压源uS与一个电阻与一个电阻Rs串联的支路模型来表征其特性。当它向外电路提供电流时，串联的支路模型来表征其特性。当它向外电路提供电流时，它的端电压它的端电压u总是小于总是小于uS ，电流越大端电压，电流越大端电压u 越小。越小。一、实际电压源一、实际电压源 u=uS RsiRs: 电源内阻电源内阻,一般很小。一般很小。i+_uSRs+u_RUIab二二 、 实际电流源实际电流源一个实际电流源，可用一个电流为一个实际电流源，可用一个电流为 iS 的理想电流源的理想电流源和一个内电

29、阻和一个内电阻 Rs并联的模型来表征其特性。当它向外电并联的模型来表征其特性。当它向外电路供给电流时，并不是全部流出，其中一部分将在内部路供给电流时，并不是全部流出，其中一部分将在内部流动，随着端电压的增加，输出电流减小。流动，随着端电压的增加，输出电流减小。 i=iS u/RsRs: 电源内电阻电源内电阻,一般很大。一般很大。iRs+u_iSUI三三 、电源的等效变换、电源的等效变换本小节将说明实际电压源、实际电流源两种模型可本小节将说明实际电压源、实际电流源两种模型可以进行等效变换，所谓的以进行等效变换，所谓的等效等效是指是指端口的电压、电流在端口的电压、电流在转换过程中保持不变。转换过程

30、中保持不变。u=uS Rs ii =iS u/Rsi = uS/Rs u/Rs 通过比较，得等效的条件：通过比较，得等效的条件： iS=uS/Rii+_uSRs+u_iRs+u_iS且两种电源模型且两种电源模型的内阻相等。的内阻相等。由电压源变换为电流源：由电压源变换为电流源：转换转换转换转换i+_uSRs+u_i+_uSRs+u_由电流源变换为电压源：由电流源变换为电压源：iRs+u_iSiRs+u_iS且两种电源模型且两种电源模型的内阻相等。的内阻相等。且两种电源模型且两种电源模型的内阻相等。的内阻相等。例：电压源与电流源的例：电压源与电流源的等效互换举例等效互换举例I2 +-10VbaU

31、5AabI10V / 2 = 5A2 US = ISRSIS = US/ RS5A 2 = 10V等效变换的注意事项等效变换的注意事项(1)电压源和电流源的等效关系中电压源和电流源的等效关系中“等效等效”是指是指“对外对外”等效（等效互换前后对外伏安特性一致）等效（等效互换前后对外伏安特性一致），对电源内部则是不等效的。，对电源内部则是不等效的。IsaRSbUabI RLaUS+-bIUabRSRLIS = US / RS(2)(2)注意转换前后注意转换前后 U US S 与与 I Is s 的方向。等效变换时，的方向。等效变换时，两电源的参考方向要一一对应。两电源的参考方向要一一对应。aUS

32、+-bIRSUS+-bIRSaIsaRSbIaIsRSbI(3)(3)理想电压源与理想电流源之间无等效关系，理想电压源与理想电流源之间无等效关系，不能等效互换。不能等效互换。abIUabIsUabaUS+-bI(4)(4) 任何一个电动势为任何一个电动势为E E的恒压源和某个电阻的恒压源和某个电阻R R串联串联的电路，都可化为一个电流为的电路，都可化为一个电流为I IS S的恒流源和这个电阻的恒流源和这个电阻并联的电路。并联的电路。 R R不一定是电源内阻。不一定是电源内阻。电源模型等效变换的小窍门：电源模型等效变换的小窍门：（1）这种等效变换是对负载而言的，对于电源内部并不等效）这种等效变换

33、是对负载而言的，对于电源内部并不等效。所以计算内部电路功率时一定要把电路还原为实际电路。所以计算内部电路功率时一定要把电路还原为实际电路。（2）作等效变换时，既要满足参数间的关系，还要保证电流）作等效变换时，既要满足参数间的关系，还要保证电流源电流流出端与电压源正极对应。源电流流出端与电压源正极对应。（3）理想电压源与理想电流源没有相同的伏安关系，不能相）理想电压源与理想电流源没有相同的伏安关系，不能相互等效互等效。（4）电源等效变换的方法可以推广，即把理想电压源与外电）电源等效变换的方法可以推广，即把理想电压源与外电阻的串联等效变换成理想电流源与外电阻的并联；把理想电阻的串联等效变换成理想电流源与外电阻的并联；把理想电流源与外电阻的并联等效变换成理想电压源与外电阻的串联。流源与外电阻的并联等效变换成理想电压源与外电阻的串联。受控电压源、电阻的串联组合与受控电流源、电阻的并联组合受控电压源、电阻的串联组合与受控电流源、电阻的并联组合也可以用上述同样的方法进行变换。此时，应把受控源当做独也可以用上述同样的方法进行变换。此时，应把受控源当做独立源来处理，不过应注意在变换过程中控制量必须保持完整而立源来处理，不过应注意在变换过程中控制量必须