数学选修4-4测试题

1、直线与圆的参数方程一、选择题x 1 coso6.曲线经过点(卫,a),_那么a =y 2sin2x直线y2 tC°S30，t为参数的倾斜角a等于 3 tsin607.在平面直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为X t 3,参数t R，圆C的参数方程y 3 tA. 30 °B . 60°C.- 45°D. 135°以下可以作为直线 2x- y+ 1 = 0的参数方程的是xC.y为 X cos ,参数旺0，2力，那么圆C的圆心坐标为 ，圆心到直线I的距离为y sin 2；t为参数；t t为参数xB.yt,2tt为参数2.51,5 (t为参数)由方程

2、x2 + y2-4tx 2ty + 5t2- 4= 0t为参数所表示的一组圆的圆心轨迹是A .一个定点C. 一条抛物线B 一个椭圆D 一条直线某条曲线的参数方程为A 线段C.双曲线的一局部1尹1尹1),a (其中a>0),那么该曲线是1)aB 圆D.圆的一局部x 1 2 cos ,8将参数方程B为参数化为普通方程为 y 2si n9. 一个圆的参数方程为x 2 cos ,B为参数，一条直线的方程为 3x-4y-9= 0,那么这条y 2si n直线与圆的位置关系是.10 .假设x2 + y2 = 4 ,_那么x-y的最大值是 三、解答题11.设直线l1过点1，- 2,倾斜角为 ，直线l2：

3、 x + 2y 4= 0.41写出直线l1的参数方程；2求直线l1与l2的交点.设动点P在直线x= 1 上, 角形POQ，那么动点Q的轨迹是O为坐标原点，以0P为直角边，点0为直角顶点作等腰直角三 12 某条曲线C的参数方程为A 圆二、填空题B 两条平行线C.抛物线D.双曲线x 1 2t,2其中t是参数，a R,点M5,4在该曲线上.y at1求常数a； 2求曲线C的普通方程.13.圆 M 的方程为 x2 + y2 4Rxcosa4Rysin a+ 3R2= 0(R>0).(1)求该圆圆心M的坐标及圆M的半径；(2)当R固定，a变化时，求圆心M的轨迹，并证明不管 a取什么值，所有的圆 M

4、都外切 于一个定圆，且内切于另一个定圆.x 1 t7将'代入 x + 2y 4= 0 得(1 +t)+ 2( 2 + t) 4 = 0,所以 ty 2 t3x所以y山拓展训练题14化以下参数方程为普通方程，并做出曲线草图.1x si n2(1) 2y sin cosx(B为参数);(2)y:t2(t为参数)110即l1与l2的交点为12 解：(1)由题意有1 22t 5故t 2,所以a= 1 .at 4, a 1 -(2)由(1)可得，曲线C的参数方程为1 2t， t2.由第一个方程得x 1，代入第二个2参考答案一、选择题1 . D 2. C 3. D 4. C 5. B二、填空题x

5、1 2方程得y () (x 1)2=4y，即为曲线C的普通方程.213 .解:(1)由题意，得圆 M 的方程为(x 2Rcosa)2+ (y 2Rsina)2= R2,故圆心为 M(2Rcosa，2Rsin«)，圆M的半径为 R;6 .;37. (0，2)，2.28 . (x 1)2+ y2 =4x 2Rcos ，(2)当a变化时，圆心M的轨迹方程为(其中a为参数)，两式平方相加得y 2Rsi nx2 + y2 = 4R2，所以圆心M的轨迹是圆心在原点、半径为 2R的圆.由于、(2Rcos )2 (2Rsin )2 = 2R= 3R r，9相交 10. 2 2三、解答题11.解：(1

6、)由题意得直线|1的方程为y+ 2 = x 1.设y + 2= x 1 = t得x 1 t,(t为参数)，即为l1的参数方程.y 2 t；(2Rcos )2 (2Rsin )2 = 2R= r + r，14.解:(1)由y2= (sin+ cos)2= 1+ sin2=1 + 2x，得 y2= 2x+ 1因为丄1 . o sin 2丄51,所以 一1x 一 .22222所以所有的圆M都和定圆x2 + y2= R2外切，和定圆x2+ y2= 9R2内切.因为 2 <sin + cos，所以故所求普通方程为2(x12)(X ，.2 y 2，图形为抛物线的22 x 那么由x4m28y28 2

7、2得 9y 2my m2 02(m 8) 0，二 m一局部图略.由图知，m 3时距离最小，此时P点坐标为由消去t 得,1 t 1)1.此时，最短距离即为I与I间距离注意到x 1t0,xy専0，可知所求轨迹为两段圆弧x2+ y2= 10v x< 1 0今v 1 或1$v 0， 1< y<0图略 椭圆的参数方程1、如图，以原点为圆心，分别以法二设点 P(2 2 cos ,sin12.2 cos sin 4|72d詈，那么有| 3sin(与小圆半径的交点，过点A作AN 求当半径OA绕点O旋转时M的轨迹的参数方程. 分析：动点 A、B是如何动的？ 解：设a、b a b 0为半径作两个

8、圆，点 B是大圆半径 OAOx，垂足为N，过点B作BM AN，垂足为M ,2 时，dmiminM点坐标为(x, y)，ON |OA| cosM点AOxA、B有什么联系？如何选取参数较恰当？，以此时，sin，cosNM |OB|sinM的参数方程，2 2消去中的 可得刍2 .2a b即为点为参数,a cosbsi n，即1为椭圆的标准方程acosbsi n由此可知，点 M的轨迹是椭圆，方程是椭圆的参数方程。 在椭圆的参数方程中，常数 a、b分别是椭圆的长半轴长和 短半轴长。为离心角.2 22、在椭圆x 8y 8上求一点P，使P到直线l : x 解：法一：几何法设与I平行且与椭圆相切的直线I方程为

9、x y m 0，y1.4£/1、P点坐标为，二 cos3直线的参数方程直线A.B.(0，- 1)或(4，- 5)3，-,1)，3 3辽2 )4|sin，tanx= 2 tt为参数上与点A2，- 3的距离等于y= 3+ t(1，- 2)或(3，- 4)(2 2，- 3+2 )或(2 +2，- 3 2 )(2 - ' -，- 3 +-)或(2 +-，- 3 -'-)2 2 2 22、2，2 2 . ，sin3cos1的点的坐标是x2、在参数方程ya t cost为参数所表示的曲线上有 B、C两点，它们对应的参数b tsin6、将参数方程2 sin22为参数化为普通方程为s

10、in值分别为t1、t2，那么线段BC的中点M对应的参数值是A.D.b . y x 2 C . y x 2(2 x 3) 2(0 y 1)7、直线3.经过点M1,5且倾斜角为一的直线，以定点3M到动点P的位移t为参数的参数方程是2 tt t为参数被圆x 32 y 12 25所截得的弦长为A.98.40- C . , 82 d . , 93 443xA.1-t2-3t2B.4.参数方程1-t2 C42D.1-t2刍2&直线(t为参数所表示的曲线是5、假设直线的参数方程为x 1 2ty 2 3t(t为参数)那么直线的斜率为1-t2-t为参数和圆x22那么AB的中点坐标为A. (3, 3) B

11、 .1、直线丨过点M 0 1,5长为2、直线的参数方程为(.3,3) c . (、. 3, 3),倾斜角是，且与直线x3x= tsin20 + 3(t 为参数),y= tcos 2016交于A, B两点,2j3 0交于M，那么MM 0的那么直线的倾斜角为x3、直线ytcostsin与圆x 4 2cosy 2sin相切，那么4、 直线 x 2 2t t为参数 上与点P 2,3距离等于、2的点的坐标是_y 3 2t25、双曲线x2 - -2- = 1，过点P2，1丨的直线交双曲线于 P，P2,线段PP的中点M的轨迹方程是.6、 一个小虫从p 1，2出发，它在 x轴方向的分速度是-3,在y轴方向的分

12、速度是4， 小虫3s后的位置Q的坐标为.7、点A- 1, - 2关于直线丨：2x-3y+1 =0的对称点A'的坐标为.x =1 -18、 直线丨过点P(1 , 2)，其参数方程为“斗，(t是参数)，直线丨与直线2x+y -2 =0交y =2 +t于点Q PQ=.三、解答题：5、直线丨：y kx(k 2J2 2)交抛物线y x2 2x 2于P,P2两点，在线段PP2上取一点，使|OP1|、|OQ|、IOP2I成等比数列，求 Q点的轨迹方程。探究:1、过点B(0, a)作双曲线x2 线，交双曲线于G 1求证：BCGFH两点。BD2a 右支的割线BCD又过右焦点F作平行于BD的直FH2设M为

13、弦CD的中点,2、过边长a为的正三角形重心pqS MBFG作一直线交两边于,求割线BD的斜率。E、F,设 |EG|= P，|FG|= q .,0)作倾斜角为的直线与曲线x212y21交于点M,N ,参考答案一、选择题:ABDBDCCD求PM PN的最小值及相应的的值。二、填空题:1、106. 3、1100 3、2、经过点P(-1, 2)，倾斜角为4的直线丨与圆x2 +y2 = 9相交于a, B两点，求PA+PB和，或6 6、-1 , 2或-3 , 4PA PB的值。2x2-y2 -4x +y = 0 6、-8,127、(-菩囂)8、写3、抛物线y2 = 2 px,过焦点F作倾斜角为0的直线交抛

14、物线于 A, B两点，求证:三、解答题AB =2P2sin 01、解：设直线为4、椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点 F且倾斜角为60。的直线交椭圆于歴"V tcos (t为参数)，代入曲线并整理得tsin(1 sin2 )t2 C，10 cos )t -024、解：设椭圆方程为2 2扌+= 1 ,左焦点F1 c, 0，直线AB的方程为=-c + 2 t ,那么PMPN27 JMl212sin所以当sin21时，即PMPN3的最小值为一，此时24代入椭圆整理可得:1 23 2(4b +4a)t-b ct - b = 0 ,由于 11= - 2t 2,那么2、解：直线|的方程

15、可写成t1 +t2 =y=2 + -2 t代入圆的方程整理得：t2 + .2t-4=0,设点t1 t2 =bc1 23 24b +4a-亠二=-2 t J 3 2 t 4b +4a,13， 2x2+得：2c2 = 4b2 +/ a2, 将 4 4b2 =ya2 -c2代入,A, B对应的参数分别是ti , t2，那么11 +t2 = - 2, ti t2 = -4，由ti与t2的符号相反知PA +PB= |t 1| +| t2| = | t 1 -t 2| = (11 +t 2)2- 4 t 1 12 = 3 2，PA PB =| t 1 12 | = 4 。2 = 3 a2+ a2-c2,得

16、9故e = 1°3、解：由条件可设 AB的方程为x = 2 +t cos e y = t sin et是参数，代入抛物线方程,5、解：设直线的参数方程为tcos,t为参数tsin得 t2 sin 2 e -2pt cos e - p = 0，由韦达定理:t 1 + t2 =t 1 t2 =2pcos e. 2sin e2p-2sin eAB= | t1 -其中 是直线的倾斜角,ta n将它代入抛物线方程得t2cos2(sin 2cos )t 2 0t 2| =(t 1 -t2)2 -4 t 1 t2 =设方程的两根为t1,t2，那么t1t222cos2psin 2 e由参数的几何意义

17、知ORt1, OP2设Q点对应的参数为t，由题意知tt1t2t2 (cos0)同理,GH FHFG FHBCcoscos2GFBD 2.FH0时，同理可得上述结果。x那么Q点对应的坐标 (x, y)有cos从而点的轨迹方程是 x 2 且y探究:1、 1证明：当acos22解：当a0时，首先确定割线BD的斜率范围，显然tan-2，于是cossin2kBMBC BDasi ncos24 2 2.设F到BD的距离为d，tan、2a tan0时，设直线的倾斜角为，那么割线的参数方程为tcost为参数a tsi n12(as in)cos2那么过焦点F平行于BD的直线GH的参数方程为ta n2a tcos t为参数tsin同时，当asecsec将代入双曲线方程，得 t2cos22atsin2a20同理可求得设方程的解为t1,t2，那么有BC BD t1t22a2cos22a tan a 3 2 2 a ，2 或 tan0时,tan综上可知，BD的斜率为sec一 2 tan3、22、证明