概率论：第4章 随机向量

1、第第4章章 随机向量随机向量二维随机向量及其分布二维随机向量及其分布二维离散型随机向量二维离散型随机向量二维连续型随机向量二维连续型随机向量边缘分布边缘分布随机变量的相互独立性随机变量的相互独立性条件分布条件分布随机变量函数的分布随机变量函数的分布定义定义1 设设1()，2()，n()是定义在样本空间是定义在样本空间上的随机变量，则上的随机变量，则 n维向量维向量(1()，2()，n()称为称为 上的上的n维随机向量或维随机向量或n维随机变量。维随机变量。4.1 二维随机向量及其分布二维随机向量及其分布i() (i=1,2, ,n) 称为第i个分量（或坐标）(1(), 2(), , n()简记

2、为 (1，2，n)联合分布函数联合分布函数 yxyxyx,定义定义 设(,)是二维随机变量，对任意实数x、y，函数F(x,y) =Px， y 称为(,)的（联合）分布函数。Px1 x2，y1 y2=P x2，y2P x2，y1 P x1，y2P x1，y1=F(x2，y2) F(x2，y1) F(x1，y2) F(x1，y1)(x1,y2)(x2,y2)(x2,y1)yx(x1,y1)定理定理 设F(x,y)为随机向量(,)的分布函数，则() 对对x或或y都是单调增的都是单调增的，即 当 x1x2时，F(x1,y) F(x2,y) 当y10,2 0, r 0,x1 ，求 P(,)D。 解解 （

3、）（）由二维分布函数性质，得0arctan2,yCBAyF02arctan,CxBAxF12CB2A,F21212CBA由以上三式可得到 （）（） (,)的分布密度2222y1x11yxy, xFy, xyxyxFarctan121arctan121, （）（） Ddxdyy, xD,P1222111dxdyyxx1222arctan111dxxx329arctan2arctan211122xx例例3 已知二维随机向量（，）的密度为 试确定k的数值，并求(,)落在区域D=(x，y)|x2yx，0 x1的概率。其他010 , 1,2xyxkxyyxf解解 由概率密度性质，知 1, dxdyyxf

4、66)221(,1021012 kkdxxxkkxydydxdxdyyxfx即41)(366),(),(10 ,),(10421022dxxxxxydydxxydxdydxdyyxfDPxxyxyxDxxDDy=xy=x211二维均匀分布二维均匀分布为密度函数的随机向量(,)服从二维均匀分布。其中SD为平面区域D的面积。 其他以称0),(1,DyxSyxfD4.4 边缘分布边缘分布定义定义1：对随机向量(,)，若已知其联合分布，则或的概率分布称为它的边缘分布。定义定义2：随机向量(,)分量、的分布函数称为(,)关于、的边缘分布函数。 设(,)的分布函数为F(x,y) ，则(,)关于的边缘分布函

5、数为 ,xFxPxPxF y,FyF由上述可知，F(x)、F(y)由F(x,y)唯一确定，但其逆并不一定成立。同理离散型的边缘分布律离散型的边缘分布律 二维离散型随机向量(,)的分量、都是一维离散型随机变量，、的分布律分别称为(,)关于、的边缘分布律。 设(,)的联合分布律为P=xi , =yj= pij (i,j=1,2, ) ，则(,)关于的边缘分布律有1)(,jjiiiyxPxPxP1),(jjiyxP11,jijjjipyxP 简记为, 2 , 1i,pxPp1jijii 同理， (,)关于的分布律为, 2 , 1j,pyPp1iijjj 例例 一袋中有五件产品，其中两件次品，三件正品

6、，从袋中任意依次取出两件，分别采用有放回与不放回两种方式进行抽样检查，规定随机变量第次取出正品第次取出次品, 0第次取出正品第次取出次品, 0则(,)的联合分布律如下（并可求得边缘分布律）：表表 有放回抽样的分布律有放回抽样的分布律 11010ijp254256256259jip5253ijp5253 11010ijpjip5253ijp5253表 不放回抽样的分布101103103103设连续型随机变量(,)的密度函数为(x,y)，则(,)关于的边缘分布函数F(x)有连续型的边缘分布密度函数连续型的边缘分布密度函数 xdudyyuxFxF, dyy, xx其分量是一维连续型随机变量，且的分布

7、密度为 分别称为随机变量(,)关于，的边缘分布密度。同理， dxy, xy yy， 例例 设(,)在椭圆 所围成的区域上服从均匀分布。即其联合密度为1byax22221byax, 01byax,ab1y, x22222222求它的边缘密度。 解解 0,dyyxx dyyxx,(1)当xa时，0),(yx(2)当xa时，222222221111010axbaxbaxbaxbdydyabdy2212axa222222221111,axbaxbaxbaxbdyyxdyyxdyyx ax,ax1a2ax, 0 x22同理，可得关于的边缘密度 by,by1b2by, 0y22 例例 设 (,)服从二维正

8、态分布，其联合分布密度为求边缘分布密度。21222121212122212121exp121,yyxrxrryx),(,),(222211NN证明：证：证：2211,yvxu令 dyyxx,dvvruvurr222212121exp121dvrruvreu2221212exp1212221211212exp211212xeu则),(211N同理同理:222222exp21),()(ydxyxy其中用到：其中用到：adxexa2022),(222N4.5 随机变量的相互独立性随机变量的相互独立性 定义定义 F(x,y)及F(x)、F(y) 分别是(,)的联合分布函数及边缘分布函数，若对任意实数x

9、、y有F(x,y)= F(x) F(y) 即 yPxPyxP,则称随机变量、是相互独立。 定理定理 设(,)是二维连续型随机变量，(x,y)及(x)、(y)分别是(,)的联合分布密度及边缘分布密度，则、相互独立的充要条件是：对任意相互独立的充要条件是：对任意点点(x,y)，有有(x,y)=(x) (y) yxyx, yFxFdvvduududvvududvvuyxFxyxyxy ,证明证明若，相互独立，即有 yFxFy, xF 此式的两边对x及y求导，便可得到 yxyFxFyxyxFyx,2定理定理 设(,)是二维离散型随机变量，则、相互独立的充要条件是：对对(,)的任意一组可能值的任意一组可

10、能值(xi,yj)有有jijiyPxPy,xP, 2 , 1,jipppjiij 即 证明证明 只证充分性jijiyPxPyxP,设, 2 , 1j , ixxyyjixxyyjiijijyPxPyxPyxF,即，相互独立，这就证明了条件的充分性。必要性的证明复杂一些，证明略。 yFxFyPxPyyjxxiji解解表表 有放回抽样的分布律有放回抽样的分布律 11010ijp254256256259jip5253ijp5253 例例1 检验4.4中例有放回抽样和无放回抽样条件下，、边缘分布的独立性。（p36）p56从表知：pij=pi.pj. i,j=1,2 所以， ，相互独立。 11010ij

11、pjip5253ijp5253101103103103表表 不放回抽样的分布不放回抽样的分布 从表知： 1111pp5252101p所以，所以，不相互独立。不相互独立。例例2 检验4.4例中、边缘分布的独立性。（p41）解解 显然， 所以，不相互独立。 yxyx,p59例例3 (,)服从参数为1，2，1，2，r的二元正态分布,证明、相互独立的充要条件是r0。证证 因为， 222221212121exp21yxyx 充分性充分性 若r=0 ，则对任意实数x，y有 yxy, x 即、相互独立。 必要性必要性 若、相互独立，则对任意实数x，y有 yxy, x2122121r121取x=1，y=2时上

12、式也成立，此时上式化为从而得到r=0。0r 例例4 在某一分钟内的任何时刻，信号进入收音机是等可能的。若收到两个相互独立的信号的时间间隔小于.秒，则信号相互干扰。求：两信号相互干扰的概率。解解 把一分钟取作区间0，1，设两信号进入收音机的时刻分别为、（单位：分） 其它, 010, 1xx 其它, 01y0, 1x0, 1yxy, x、相互独立，所以(,)的联合分布密度如下： 其它, 01x0, 1y166.120)()(1,1201积两个等腰直角三角形面正方形面积的面积DdxdydxdyyxPDD1201 xy1201 xy12011201D 相互独立的概念可以推广到多于两个随机相互独立的概念

13、可以推广到多于两个随机变量的情形。变量的情形。 (1) n个随机变量1,2,n相互独立，就是说，对任意个实数x1,x2,xn 有 nnnnxPxPxPxxxP22112211,(2) 一系列随机变量1,2,n ,相互独立，就是指，对于任意有限个自然数k1,k2,kn有 k1, k2,kn相互独立；定理和定理也可以推广到多于两个随机定理和定理也可以推广到多于两个随机变量的情形。变量的情形。4.6 条件分布条件分布对于离散型随机向量，对于离散型随机向量，当当p.j0时，时，称称jijjjijippyPyxPyxP.,为为=yj条件下条件下的条件分布律。的条件分布律。离散型随机变量的条件分布离散型随

14、机变量的条件分布当当pi.0时，在时，在=xi条件下条件下的条件分布律的条件分布律.,iijijiijppxPyxPxyP类似地类似地 例例1 在整数在整数15中任取一数中任取一数，(1)取取后放回去再取另一数后放回去再取另一数。(2)取取后不放回去再取另一数后不放回去再取另一数。在这两种情况下分别求在这两种情况下分别求(,)的联合分布律、边的联合分布律、边缘分布律、缘分布律、P=2。解解 512251,5 , 2 , 1,51) 1 (iPiPjPiPjiPjijPiP独立，jijiijPiPjiPjijijiijPiP0201,5 , 2 , 1,04151)2(205 , 4 , 3 ,

15、 1412415120122022222,25 , 2 , 1512014,51iiiPiPiPiPiPiPjjiPjPi即时，当时，当连续型随机变量的条件分布连续型随机变量的条件分布)()(),(),(yfxfyxf、，边缘密度为的联合密度为设,limlim)(0)(00yyyPyyyxPyyyxPyxPyxFyyyfyy的分布函数的条件下，定义在，的对连续，、如)(),(yfyxf yyyxyyyydvvfdudvvuf)(),(lim0)(),()()(),()(),()(yfyxfyxfduyfyufyfduyufyxFxx由积分中值定理类似地，类似地，的条件分布函数及条件密度函数为的

16、条件分布函数及条件密度函数为)(),()()(),()(xfyxfxyfdvxfvxfxyPxyFy)()(),(),(yfxfyxf、，边缘密度为的联合密度为设综上所述综上所述)(),()()(),()(xfyxfxyfyfyxfyxf 例例2设设(,)的密度函数为的密度函数为。及求其他)()(010 , 16),(2xyfyxfxyxxyyxf其他时或当时当01033)(0)(01336)(105512xxxxfxfxxxxxydyxfxx解解其他时或当时当0103)(0)(0136)(10220yyyfyfyyyxydxyfyy其他其他时当010 , 112010 , 1)1 (36)(

17、),()(102424xyxxyxyxxxxyxfyxfxyfx其他其他时当010 ,02010 ,036)(),()(102yyxyxyyxyxyyfyxfyxfy例例3分布的二维服从设),(),(222121aaN解解。、正态随机变量，求)()(xypyxp)(),()(ypyxpyxp)()1 (21exp12122211221ayax2)(exp)()(2)()1 (21exp21121222222222121212122221ayayayaxax由此可知由此可知的正态分布。的条件下，服从在)1 (),(2212211ayaNy)()1 (21exp1212221122121ayax由

18、此可知由此可知的正态分布。的条件下，服从在)1 (),(2221122axaNx)()1 (21exp121)(2112222222axayxyp由对称性4.7 随机向量函数的分布随机向量函数的分布离散型随机向量和函数的分布离散型随机向量和函数的分布 设设 (,)的布律为的布律为P=i,=j=pij （i=0，1，2，; j=0，1，2，） 令令=+则则取值为取值为0,1,2, , 1 , 0,)(0,0kpikiPkPkiikikikiikikkk0,，有对任意非负整数特别地，当特别地，当,独立时，有独立时，有, 1 , 0)(00kppikPiPkPkiikiki,ikPiPikiP故故

19、例例1 证明：证明：P(1),P(2)，且，且、相互独立。相互独立。 ，证明证明P(1+2)。, 2 , 1 , 0!)!( !)!(!)()(21021)(2010212121kekikieeikeiikPiPkPkkiikiikkiikiP(1+2);();();(pmnBpmBpnB，则独立，、， 例例2 证明证明mnkqpCCCqpqpCqpCikPiPkPkmnkkmnkiikminkmnkikmikikminikiinki, 2 , 1 , 0)(000连续型随机向量和函数的分布连续型随机向量和函数的分布设设(,)的联合密度为的联合密度为f(x,y)令令=+ xzzyxdydxyx

20、fdxdyyxfzPzPzF),(),()()()( zzxzdxxufxfdududxxufxfzFdudyxuydxdyyfxfzFyfxfyxf)()()()()(,)()()()()(),(,则令独立，则如卷积公式卷积公式dxxzfxfzf)()()(dxxfxzfzf)()()(也可表为：也可表为：卷积公式卷积公式 例例3设设,是相互独立的服从是相互独立的服从N(0,1)的随机变量，求的随机变量，求 的密度函数。的密度函数。 解解dxeedxeedxxzfxfzfzxzxzx2222)2(42)(22121)()()(42422221221)(,22ztzedteezfzxt得令N(0,2),(),(),(122221212122222