附录1截面的几何性质

1、1附录附录截面图形的几何性质截面图形的几何性质2-1 -1 静矩和形心静矩和形心-2 -2 惯性矩、惯性积和惯性半径惯性矩、惯性积和惯性半径-3 -3 惯性矩、惯性积的惯性矩、惯性积的平行移轴公式平行移轴公式-4 -4 惯性矩、惯性积的转轴公式惯性矩、惯性积的转轴公式附录附录 截面图形的几何性质截面图形的几何性质3 , ppGITlIT轴心受拉（压）构件：轴心受拉（压）构件： , NNEAlFlAF扭转构件：扭转构件： ,zzEIMwIMy 弯曲构件：弯曲构件：456钢轨嵌入式轨道结构的横截面梯形箱型梁，结构刚度很大，可以减少不均匀沉降和振动。 软土地区的新型无碴轨道系统： 7yzO一、静矩一

2、、静矩对对 y 轴的静矩：轴的静矩： AydAzS AzdAyS 对对 z 轴的静矩：轴的静矩：yzAd大小：正，负，大小：正，负，0 0。量纲：量纲： 长度长度 3 3-1 -1 静矩和形心静矩和形心8二、截面图形的形心二、截面图形的形心截面图形的形心截面图形的形心 = = 几何形状相同的均质薄板重心几何形状相同的均质薄板重心ASAAyyzAc d ASAAzzyAc d czyAS cyzAS yzOczcyC 则则截面图形对其对称轴的静矩恒为截面图形对其对称轴的静矩恒为0 0。结论：结论：若若Sy=0 若若Sz=0 反之亦成立。反之亦成立。y 轴通过形心，轴通过形心， zc=0 yc=0

3、 z 轴通过形心，轴通过形心， 反之亦成立。反之亦成立。9三、组合截面图形的静矩和形心三、组合截面图形的静矩和形心niiiyzAS1niiniiizcAyAASy11niiniiiycAzAASz11 例例-1-1 试确定左图的形心。试确定左图的形心。 cczyC , 212211AAzAzAzcmm 74.39110108010651101058010212211AAyAyAycmm 74.19110108010511010408010niiizyAS1yz801201010C2C110一、惯性矩和惯性半径：一、惯性矩和惯性半径：yzOyzAd对对 y 轴的惯性矩轴的惯性矩 AyAzId 2

4、对对 z 轴的惯性矩轴的惯性矩 AzAyId 2大小：正。大小：正。量纲：量纲： 长度长度 4 42yyiAI 2zziAI AIiyy 对对 y 轴的惯性半径轴的惯性半径AIizz 对对 z 轴的惯性半径轴的惯性半径-2 2 惯性矩惯性矩、惯性积、惯性积和惯性半径和惯性半径11hbyzC123hbIzzzd12dd 32h2h-22bhzbzAzIAy12123hbhbhAIiyy12123bbhhbAIizz同理：同理：例：例：求图示矩形截面对其对称轴的惯性矩和惯性半径。求图示矩形截面对其对称轴的惯性矩和惯性半径。12dOyz32d2d42022dAIdAp例：对实心圆截面，有：例：对实心

5、圆截面，有：d二、极惯性矩：二、极惯性矩： ApAId 2 zyAAAApIIAyAzAyzAI d d d d 22222 yzOAd yz64214dIIIpzy446424dddiizy13空心圆截面：空心圆截面：)(Dd 组合图形的惯性矩：组合图形的惯性矩： niyiyII1 nizizII14416421DIIIpzydDOyz)1 (3232)(d2d44442222DdDAIDdAp123bhIy)1 (3244DIp44164DIIzy圆形截面：圆形截面：矩形截面：矩形截面：4diizy实心圆截面：实心圆截面：hbyzC14AdAdy yzzyzOz 轴为对称轴：轴为对称轴：0

6、d AyzAyzI图形对任一包含图形对任一包含对称轴对称轴在内的一在内的一对正交坐标轴的惯性矩为对正交坐标轴的惯性矩为0。三、惯性积：三、惯性积： AyzAyzId 大小：正，负，大小：正，负，0 0。量纲：量纲： 长度长度 4 4组合图形的惯性积组合图形的惯性积 niyziyzII1y惯性矩是对惯性矩是对一根轴一根轴而言的，惯性积是对而言的，惯性积是对一对轴一对轴而言的，而言的，极惯性矩是对极惯性矩是对一点一点而言的。而言的。zypIII 15四、主轴：四、主轴：使截面的使截面的惯性积为零惯性积为零的一对正交坐标轴的一对正交坐标轴称为称为主惯性轴主惯性轴，简称简称主轴主轴；截面对主轴的惯性矩

7、；截面对主轴的惯性矩称为称为主惯性矩。主惯性矩。如果主轴的交点与截面形心重合，则称其为如果主轴的交点与截面形心重合，则称其为形心主惯性形心主惯性轴，轴，简称简称形心主轴形心主轴；截面对形心截面对形心主轴的惯性矩主轴的惯性矩称为称为形心主惯性矩形心主惯性矩。zy y z C形心轴形心轴 y、z 不是形心主轴不是形心主轴形心轴形心轴 y、z 是形心主轴是形心主轴主轴不唯一主轴不唯一形心主轴唯一形心主轴唯一16一、平行移轴公式一、平行移轴公式AbbSIAbbyyAybAyIzczcAAAz221212122 d)2( d)(d yzOC cyczab1zAdz1yy AycAzId 21 AzcAy

8、Id 21 AyczcAzyId 11AbIzc2 - -3 3 惯性矩、惯性积的平行移轴公式惯性矩、惯性积的平行移轴公式已知：已知：Iyc，Izc，Iyczc；求：求： Iy，Iz，Iyz。0czccAySz 为形心轴，17AbIIzcz2 abAIIAaIIyzcyzycy 2同理：同理：在所有在所有互相平行互相平行的轴中，截面图形对的轴中，截面图形对形心轴的惯性矩形心轴的惯性矩最小最小。yzOC cyczab1zAdz1yy18zy解：解：644DIIzy外外外外644dIIzcy内内6452464 242242dddddAIIzcz内内内内dD 例例-2-2 求图示带圆孔的圆形截面对求

9、图示带圆孔的圆形截面对 y 轴和轴和 z 轴的惯轴的惯性矩。性矩。64 64 44dDIIIyyy内内外外64 564 44dDIIIzzz内内外外cz19BdA 例例-3-3 求图示圆对其切线求图示圆对其切线AB的惯性矩。的惯性矩。解：解：建立形心坐标如图建立形心坐标如图, ,求图求图形对形心轴的惯性矩。形对形心轴的惯性矩。64 516 64 24442dddAdIIyAByzOyzypIIIdI2324644dIIzy20 例例-4-4 求图示截面图形对水平形心轴求图示截面图形对水平形心轴 y 的惯性矩。的惯性矩。mm3 .331402010020014020801002011niinii

10、iycAzAASz10014016020yC解：解：(1)(1)选参考系选参考系 ，确定形心，确定形心 C 的的位置位置： zyyz0cy444232321cm7 .1210mm107 .1210)3 .331402014020121()3 .3380(1002020100121yyyIII(2)(2)计算计算Iy 215050Cz150100800500 例例-5-5 计算图示箱式截面对水平形心轴计算图示箱式截面对水平形心轴z z的惯性矩的惯性矩Iz。2C4252Cy4001Cy1CCyyz解：解：(1)(1)选参考系选参考系 确确定形心位置：定形心位置： zy 21318005001280

11、0500CCzyyI223255040012550400CCzyyI41021mm1054. 1zzzIIImm44.369550400800500425550400400800500212211AAyAyAASyCCzc(2)(2)计算计算Iz 22 例例-6-6 电线铁塔基座采用四个等边角钢组成电线铁塔基座采用四个等边角钢组成 L160 10mm，a=3m，试计算基座的形心主惯性矩。，试计算基座的形心主惯性矩。z0z1zyaa解：解：AzaIIzz2012442cm52.2677710) 1 .66864853.779(4502.3131. 415053.7794组合截面可以大大提高截面惯

12、性矩。组合截面可以大大提高截面惯性矩。8 .85753.7791 .668648单单个个形形心心惯惯性性矩矩平平衡衡项项惯惯性性矩矩23一、转轴公式一、转轴公式yzOyzAd AyAzId 2 AzAyId 2 AyzAyzId AyAzId 211 AzAyId 211 AzyAzyId 11111y1z 1y1z逆时针转为正。逆时针转为正。 cossinsincos11zyzzyy sincos sinsincoscoscos1zyy - -4 4 惯性矩、惯性积的转轴公式惯性矩、惯性积的转轴公式24 2sinsincos d sincosd 222211yzzyAAyIIIAyzAzI

13、cossinsincos11zyzzyyyzOyzAd1y1z 1y1z 2sincos2221yzzyzyzIIIIII 2sincos2221yzzyzyyIIIIII cos22sin211yzzyzyIIII 转轴公式转轴公式zyzyIIII 1125二、形心主轴和形心主惯性矩二、形心主轴和形心主惯性矩1 1、主轴和主惯性矩：坐标旋转到、主轴和主惯性矩：坐标旋转到 = 0 时，时，02cos2sin20000 yzzyzyIIII则与则与 0 0 对应的旋转轴对应的旋转轴y y0 0 z z0 0 称为称为主轴。主轴。zyyzIII 22tan0 220022 yzzyzyzyIIII

14、III：主主惯惯性性矩矩 2sincos2221yzzyzyzIIIIII 2sincos2221yzzyzyyIIIIII cos22sin211yzzyzyIIII 转轴公式转轴公式26截面对通过截面对通过同一点同一点的所有轴中，最大或最小惯的所有轴中，最大或最小惯性矩即为对通过该点的主轴的主惯性矩。性矩即为对通过该点的主轴的主惯性矩。 2sincos2221yzzyzyyIIIIII 0dddd 00110 时，时，当当zyII 2sincos2221yzzyzyzIIIIII 02cos2sin20000 yzzyzyIIIIzyyzIII 22tan0 2cos22sindd1 yz

15、zyyIIII 2cos22sindd1 yzzyzIIII272 2、形心主轴和形心主惯性矩、形心主轴和形心主惯性矩zcycyczcIII 22tan0 220022yczczcyczcyczcycIIIIIII 形心主惯性矩形心主惯性矩形心主轴形心主轴形心主惯性矩小者为截面对形心主惯性矩小者为截面对所有轴所有轴的惯性矩中的惯性矩中的的最小值最小值。283 3、求截面形心主惯性矩的方法、求截面形心主惯性矩的方法、建立坐标系。、建立坐标系。、计算面积和静矩、计算面积和静矩、求形心位置、求形心位置 AAzASzAAyASyiiyiiz、求形心主惯性矩求形心主惯性矩zcycyczcIII 22ta

16、n0 、求形心主轴方向、求形心主轴方向 0 0 、建立形心坐标系，求、建立形心坐标系，求yczczcycIII、220022yczczcyczcyczcycIIIIIII 29 例例-7-7 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。的形心主轴。( (b=1.5d) )解解 ： 建立参考坐标系建立参考坐标系yOz： 求形心位置：求形心位置：dddddAAzzAAAyyiiCiiC177.0434200222db2dyzOyCzCy1 建立形心坐标系建立形心坐标系yCCzC ，求，求yczczcycIII、便便是是形形心心主主惯惯性性矩矩。轴轴便便是是形

17、形心心主主轴轴；zcycccyczcIIzyI、 0C30一、选择题一、选择题1 1、在下列关于平面图形的结论中，、在下列关于平面图形的结论中， 是错误的。是错误的。（A）图形的对称轴必定通过形心。）图形的对称轴必定通过形心。 （B）图形两个对称轴的交点必为形心。）图形两个对称轴的交点必为形心。（C）图形对对称轴的静矩为零。）图形对对称轴的静矩为零。 （D）使静矩为零的轴必为对称轴。）使静矩为零的轴必为对称轴。D本本 章章 习习 题题312 2、在平面图形的几何性质中，、在平面图形的几何性质中， 的值可正，可负的值可正，可负，也可为零。，也可为零。 （A）静矩和惯性矩。）静矩和惯性矩。 （B）

18、极惯性矩和惯性矩。）极惯性矩和惯性矩。 （C）惯性矩和惯性积。）惯性矩和惯性积。 （D）静矩和惯性积。）静矩和惯性积。D323 3、设矩形对其一对称轴、设矩形对其一对称轴 z 的惯性矩为的惯性矩为 I, , 则当其高则当其高宽比保持不变，而面积增加宽比保持不变，而面积增加 1 1 倍时，该矩形对倍时，该矩形对 z 轴轴的惯性矩将变为的惯性矩将变为 。 （A）2I （B）4I （C）8I （D）16IB334 4、若截面图形有对称轴，则该图形对其对称轴的、若截面图形有对称轴，则该图形对其对称轴的 说法正确的是说法正确的是 。（A）静矩为零，惯性矩不为零。）静矩为零，惯性矩不为零。（B）静矩不为零

19、，惯性矩为零。）静矩不为零，惯性矩为零。（C）静矩和惯性矩均为零。）静矩和惯性矩均为零。 （D）静矩和惯性矩均不为零。）静矩和惯性矩均不为零。 A345、直径为直径为D的圆对其形心轴的惯性半径的圆对其形心轴的惯性半径 i = 。 （A）D/2 （B）D/4 （C）D/6 （D）D/8 B356、若截面有一个对称轴，则下列说法中若截面有一个对称轴，则下列说法中， 是错是错误的。误的。（A）截面对对称轴的静矩为零。截面对对称轴的静矩为零。（B）对称轴两侧的两部分截面，对对称轴的惯性矩对称轴两侧的两部分截面，对对称轴的惯性矩相等。相等。（C）截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积一定截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积一定为零。为零。（D）截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积不一截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积不一定为零（这要取决坐标原点是否位于截面形心）。定为零（这要取决坐标原点是否位于截面形心）。 D367、任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零，则这一对坐标轴一