《正态分布》

1、2.4 正态分布正态分布14.2图图.,.,.14.2?的某一球槽内的某一球槽内最后掉入高尔顿板下方最后掉入高尔顿板下方与层层小木块碰撞与层层小木块碰撞程中程中小球在下落过小球在下落过通道口落下通道口落下上方的上方的让一个小球从高尔顿板让一个小球从高尔顿板前面挡有一块玻璃前面挡有一块玻璃隙作为通道隙作为通道空空小木块之间留有适当的小木块之间留有适当的木块木块形小形小柱柱互平行但相互错开的圆互平行但相互错开的圆排相排相在一块木板上钉上若干在一块木板上钉上若干图图板示意板示意所示的就是一块高尔顿所示的就是一块高尔顿图图你见过高尔顿板吗你见过高尔顿板吗?.,.,球球槽槽的的个个数数多多少少球球掉掉入

2、入各各槽槽的的堆堆积积高高度度反反映映了了小小各各个个球球会会越越来来越越高高堆堆积积的的高高度度也也越越来来越越多多数数就就各各个个球球槽槽内内的的小小球球的的个个掉掉入入随随着着试试验验次次数数的的增增加加重重复复进进行行高高尔尔顿顿板板试试验验中中第第几几号号球球槽槽就就可可以以考考察察到到底底是是落落在在如如果果把把球球槽槽编编号号.24.2,.,图图图图可可以以画画出出频频率率分分布布直直方方标标为为纵纵坐坐入入各各个个球球槽槽内内的的频频率率值值以以小小球球落落横横坐坐标标以以球球槽槽的的编编号号为为布布规规律律角角度度探探究究一一下下小小球球的的分分我我们们进进一一步步从从频频率

3、率的的况况个个球球槽槽内内的的小小球球分分布布情情落落在在在在各各验验次次数数的的增增加加为为了了更更好好地地考考察察随随着着试试05.010.015.020.025.030.035.0O1234567891011槽槽的的编编号号频频率率24.2图图.34.2,图图线线会会越越来来越越像像一一条条钟钟形形曲曲这这个个频频率率直直方方图图的的形形状状随随着着重重复复次次数数的的增增加加:)(下下列列函函数数的的图图象象或或近近似似地地这这条条曲曲线线就就是是 ,x,e21x222x, .,x.0,简简称称图图象象为为的的我我们们称称为为参参数数和和其其中中实实数数正正态态分分布布密密度度曲曲线线

4、正正态态曲曲线线34.2图图Oxy22()2,1( )2xxe ),(x1 、正态曲线的定义：、正态曲线的定义：函数函数式中的实数式中的实数、(0)是参数，分别表示是参数，分别表示总体的平均数与标准差，称总体的平均数与标准差，称f( x)为正态密度函为正态密度函数，数， f( x)的图象称为的图象称为正态曲线正态曲线cdab平均数XY 若用若用X表示落下的小球第表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时次与高尔顿板底部接触时的坐标的坐标,则则X是一个随机变量是一个随机变量.X落在区间落在区间(a,b的概率为的概率为:badxxbXaP)()(,2.正态分布的定义正态分布的定义:如果对于任何实数如

5、果对于任何实数 ab,随机变量随机变量X满足满足:,()( )baP aXbx dx 则称则称X 服从服从正态分布正态分布. 正态分布由参数、唯一确定.正态分布记作N（ ，2）.其图象称为其图象称为正态正态曲线曲线.如果随机变量如果随机变量X服从正态分布，服从正态分布，则记作则记作 X N（ ，2）正态总体正态总体的函数表示式的函数表示式当= 0，=1时222)(21)(xexf),(x2221)(xexf标准正态总体标准正态总体的函数表示式的函数表示式),(x标准正态曲线 01此时，21, 0(（，（，+）（1）当 = 时,函数值为最大.(3) 的图象关于 对称.（2） 的值域为 （4）当

6、时 为增函数.当 时 为减函数.)(xf)(xfxxx)(xf)(xf3.正态分布正态分布密度函数的性质密度函数的性质222)(21)(xexf),(x =xx= 正态曲线正态曲线012-1-2xy-334、正态曲线的性质、正态曲线的性质012-1-2xy-3= -1=0.5012-1-2xy-33=0=1012-1-2xy-334=1=2具有具有两头低、中间高、左右对称两头低、中间高、左右对称的基本特征的基本特征22()21( ),(,)2xxex 012-1-2xy-3= -1=0.5012-1-2xy-33=0=1012-1-2xy-334=1=2（1 1）曲线在）曲线在x轴的上方，与轴

7、的上方，与x轴不相交轴不相交. .（2）曲线是单峰的）曲线是单峰的,它关于直线它关于直线x=对称对称. 正态曲线的性质正态曲线的性质（4）曲线与）曲线与x轴之间的面积为轴之间的面积为1（3）曲线在）曲线在x=处达到峰值处达到峰值(最高点最高点)1 1 2222()21( ),(,)2xxex =0.5012-1-2xy-33X=1=2(6)当当一定时，曲线的形状由一定时，曲线的形状由确定确定 .越大，曲线越越大，曲线越“矮胖矮胖”，表示总体的分布越分散；，表示总体的分布越分散；越小，曲线越越小，曲线越“瘦高瘦高”，表示总体的分布越集中，表示总体的分布越集中.（5）当）当 x时时,曲线下降曲线下

8、降.并且当曲线并且当曲线向左、右两边无限延伸时向左、右两边无限延伸时,以以x轴为渐近线轴为渐近线,向它无限靠近向它无限靠近. 正态曲线的性质正态曲线的性质22()21( )2xxe 正态曲线下的面积规律正态曲线下的面积规律X轴与正态曲线所夹面积恒等于轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。对称区域面积相等。对称区域面积相等。S(-,-X)S(X,)S(-,-X)正态曲线下的面积规律正态曲线下的面积规律 对称区域面积相等。对称区域面积相等。S(-x1, -x2)-x1 -x2 x2 x1S(x1,x2)=S(-x2,-x1)5、特殊区间的概率、特殊区间的概率: -a +ax=若若XN ,则对于任何实数则

9、对于任何实数a0,概率概率 为如图中的阴影部分的面积，对于固定的为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和和 而言，该面而言，该面积随着积随着 的减少而变大。这说明的减少而变大。这说明 越小越小, 落在区间落在区间 的概率越大，即的概率越大，即X集中在集中在 周围概率越大。周围概率越大。2( ,) ,()( )aaPaax dx (,aa()0.6826,(22 )0.9544,(33 )0.9974.PXPXPX特别地有特别地有 我们从上图看到，正态总体在我们从上图看到，正态总体在 以外取以外取值的概率只有值的概率只有4.6，在，在 以外取值的概率只以外取值的概率只有有0.3 。2,23,3

10、由于这些概率值很小（一般不超过由于这些概率值很小（一般不超过5 ），通常），通常称这些情况发生为称这些情况发生为小概率事件小概率事件。区区 间间取值概率取值概率（，68.3%（22，2295.4%（33，3399.7%1、下列函数是正态密度函数的是（、下列函数是正态密度函数的是（ ） A. B. C. D.22()21( ), ,(0)2xf xe 都是实数222( )2xf xe2(1)41( )2 2xf xe221( )2xf xeB题型一、正态分布函数的考查 2、标准正态总体的函数为、标准正态总体的函数为（1）证明）证明f(x)是偶函数；是偶函数；（2）求）求f(x)的最大值；的最大值

11、；（3）利用指数函数的性质说明）利用指数函数的性质说明f(x)的增减性。的增减性。221( ),(,).2xf xex 3、若一个正态分布的概率函数是一个偶函数且该函、若一个正态分布的概率函数是一个偶函数且该函数的最大值等于数的最大值等于 ，求该正态分布的概率密度函数，求该正态分布的概率密度函数的解析式。的解析式。14 21、把一个正态曲线、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动沿着横轴方向向右移动2个单位，个单位，得到新的一条曲线得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是（。下列说法中不正确的是（ ）A.曲线曲线b仍然是正态曲线；仍然是正态曲线；B.曲线曲线a和曲线和曲线b的最高点的纵坐标相等的

12、最高点的纵坐标相等;C.以曲线以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a为为概率密度曲线的总体的期望大概率密度曲线的总体的期望大2;D.以曲线以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为为概率密度曲线的总体的方差大概率密度曲线的总体的方差大2。D题型二、正态曲线的性质 3、设随机变量XN(2,9)，若P(Xc+1)=p(X0)，若X在区间(0,1)内取值的概率为0.4，则X在区间(0,2)内取值的概率是_ 练习例例2、在某次数学考试中，考生的成绩、在某次数学考试中，考生的成绩 服从一个服从一个正态分布，即正态分布，即 N(

13、90,100).（1）试求考试成绩）试求考试成绩 位于区间位于区间(70,110)上的概率是上的概率是多少？多少？（2）若这次考试共有）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩名考生，试估计考试成绩在在(80,100)间的考生大约有多少人？间的考生大约有多少人？练习：练习：1、已知一次考试共有、已知一次考试共有60名同学参加，考生的名同学参加，考生的成绩成绩X ，据此估计，大约应有，据此估计，大约应有57人的分人的分数在下列哪个区间内？（数在下列哪个区间内？（ ）A. (90,110 B. (95,125 C. (100,120 D.(105,1152(100,5 )A2、已知、已知XN

14、(0,1)，则，则X在区间在区间 内取值的概率内取值的概率等于（等于（ ）A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.02283、设离散型随机变量、设离散型随机变量XN(0,1),则则 = , = .(, 2) (0)P X ( 22)PX D0.50.9544例例3、某年级的一次信息技术测验成绩近似的服从正、某年级的一次信息技术测验成绩近似的服从正态分布态分布 ，如果规定低于，如果规定低于60分为不及格，分为不及格，求：求：（1）成绩不及格的人数占多少？）成绩不及格的人数占多少？（2）成绩在）成绩在8090内的学生占多少？内的学生占多少？2(70,10 )N 例、某厂生产的圆柱形零件的外直径X(单位:cm)服从正态分布N(4,0.25)，质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7cm，试问该厂生产的这批零件是否合格？原则应用3练归纳小结1 正态总体函数解析式：012-1-2xy-3= -1=