高数专插本试题及答案

1、高等数学历年试题集及答案(2005-2016)2005年广东省普通高等学校本科插班生招生考试高等数学试题、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1、下列等式中，不成立的是A . sin(x-二)1BAB-1 .lim xsin-= 1x .x1.lin;ixsin-=0D2、设f(x)是在(一吗+)上的连续函数，且 Jf(x)dx =则 f(xx)dx=-exC2212A、-2eB、2excC-exCD、23、设f(x)=cosx,贝U1mf(x)-f(a)x：ax-aA-sinxB、cosxC-sinaDsinx4、下列函数中，在闭区间-1,1上满足罗尔中值定理条件的是f(x)=

2、|x|B、f(x)=xCf(x)=1-x2D、f(x)=x35、已知u=(xy)x,则=二yA、x2(xy)xB、x21n(xy)Cx(xy)x,D、y21n(xy)二、填空题(本大题共5小题，每个空3分，共15分)16、极限limx(ex-1)=0x.8、设函数f(x)=ln,则f(1)=01a(x1),x40,9、若函数f(x)=-在x=0处连续，则a=0(12x)x,x0.10、三、计算题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)微分方程dx+2xy=2xe&2的通解是。dy11、求极限12、求极限limx_0x 20ln (1 t)dtlim(Jn2+n_Jn2+1)。n.13、已知y

3、14、设函数y =y(x)是由方程arctan ? =ln vx所确定的隐函数，求去15、计算不定积分(1-1 33 x x1+2)dx。sin x16、计算定积分 之2 dt。 ln2 .et -117、求由两条曲线y = cos x, y = sin x及两条直线x = 0, x = 土所围成的平面图形绕 x6轴旋转而成的旋转体体积。18、计算二重积分ln(x2 +y2)dxdy,其中积分区域D = t (x, y) 1 wDx2 + y 2 0 时，1 ln(1 +1) - o 1 t t t3123、已知 f(n)=2,且f(x) + f (x) sin xdx = 5 ,求 f(0)

4、。.：-2,lnx=arctanxx-1，求y。,x2.12005年广东省普通高校本科插班生招生考试高等数学试题答案及评分参考一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、D2、B3、C4 CS A二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分）6、1; 7、0; 8、_89、e210、e* （x2 + c）9三、计算题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11、解：lim (Jn2 + nn ：. lin-1n )： n n n 11-1 limnn )二1 1 n1n122x2ln (1 t)dt12、解：Um。/x-2ln (1 +t)dt【0Jx22ln (1 x)2

5、xln 2 (1 x)2x2ln( 1 x)1 x 二 02/:13、解： y二(arctan x2 -1 -ln x，-2-Vx -1 J12 d2.x -11 x -1一 x2 7 - Hx2 -1 ln x x2x2x2 , x2 -1 x v x2 -1x2 -1一月ln x2、. x2 -1 二 xln x x2-1- x2 -1322分5分2分5分2分5分14、解法一：设F(x,y)=arctan?TnJx2+y2,则xFx(x,y)=2yixy、12x_I_2c22xJ2x+yFy(x，y)11112yx-y、2*7厂2x2+y2=x2+y21十x.J故型=Fx(x，y)=山,(

6、x乎y)dxFyx,yx-y解法二：方程arctan且=Infx2+y2可写为arctan-=ln(x2+y2)xx2视y=y（x）,上式两边对x求导得xy-y12x2yyxy-yxyy(x*y)所以y(xy)=x+y,推出dy=y=x-ydxx-y15、解:-13xx2dx二sinx3Inx+（每项的原函数求对各得1分，总体答案写对得5分）16、解：令.E=u,则e=+u2，dt=12ln22uIn2 e_1dt :2-1U(1 u2)43/、.1J35n1n-=2f-du=2arctanu1=2一一|=一6分；1+u3x7134J6TT17、解：由两条曲线y=cosx,y=sinx及两条直

7、线x=0,x=所围成的平面图形6如图所示（要画出草图，不画图不扣分），依题意，旋转体的体积为二6V二二coS2x-二sin2xdx0二6一.=JIcos2xdx=sin2x220418、解：采用极坐标变换x=rcos6,y=sin日，则2二2!lnx2y2dxdy=di2rInrdr2n r2 In r2 r21 一 2二二 8ln2 -319、解：方程y+4y+3y=0的特征方程为片+4九+3=0解出儿=3,%可知方程的通解为y=c1ex-c2e，ciC2 = 2,-3G - c2 = 6由上式可得y-3cex-C2e用初始条件y(0)=2,y(0)=6代入上面两式得3解出c1=c2=6故所

8、求的特解为y=4ex+6e20、解：三:ycos(xy)e*y-xye*yFx二Z2R=xcos(xy)。xe:yz.：:z.故dz=-dx-dy衣：:y=_ycos(xy)ey1-xydxIxcos(xy)-x2eydy共20分)四、综合题(本大题共3小题，第21小题8分，第22、23小题各6分,1212-=_xc-=-x21、解：f(x)=xe2的te义域为(Q,),f(x)=(1x)e2令f(x)=0,解出驻点(即稳定点)x1=-1,x2=1列表x-1(-1,1)1一0+0一单调减极小单调增极大单调减可知极小值f(-1)=1、,e极大值f(1)=(2)因f(x)在0,2上连续，由(1)知

9、f(x)在(0,2)内可导，且在(0,2),内只有一个驻点x=1 (极大值点)12-因 f(0) = 0, f(1) = 6, f 2 = ,且x1故f(x)=xe2在闭区间0,2上的最大值为f(1)=3,最小值为f(0)=0一e22、证明：设f(x)=ln,贝Uf(x)=LxWt,t+1x由拉格朗日中值定理知，存在一点UW(t,t+1),使f(1t)-f(t)=f()又因,1J,故,cm0,3、设函数f(x)=11若limf(x)存在，则a=xsin+,x0,JXo、x2A.-B.leC.3eD.122224、设z=ln(xy),贝Udz=1 111八dxdyA.dxdyB.dxdyC.D.

10、ydxxdyxyyxxy5、积分JOedxA.收敛且等于-1B.收敛且等于0C.收敛且等于1D.发散二、填空题(本大题共5小题，每个空3分，共15分)6、若直线y=4是曲线y=迷白的水平渐近线，则a=。2x-1x=2sint+17、由参数方程上,所确定的曲线在t=0相应点处的切线方程是。8、积分(xcosx+sinx)dx=。519、曲线y=ex及直线x=0,x=1和y=0所围成平面图形绕X轴旋转所成的旋转体体积V=10、微分方程4y4y，+5y=0的通解是。三、计算题(本大题共8小题，每小题6分，共48分。解答应写出演算步骤和必要的文字说明)111、求极限lim，ln(2+)ln212、计算

11、不定积分fjdxo,x(1-x)13、设函数y=sin2J)-2sin tdt 求极限巴fp。20、设 f(x), g(x)都是(-,z)上的可导函数，且 f(x) = g(x),g(x)= f (x), f (0) = 1 , g = (0) = 0 O 试证：f 2(x)g2(x)=1,xW (-0,收)。,求立。xdx14、函数y=y(x)是由方程ey所确定的隐函数，求型在点(1,0)处的值。dx15、计算定积分底行 -016、求二重积分 |L|Lxy2diD+ x2 +x)dx o其中积分区域D=x, y)x2 y2 y=e，(c1cosx+c2sinx)2三、计算题（本大题共8小题，

12、每小题6分，共48分）11、解法八，c 1、lim n“ln(2+/nTLn=lim ln(1n )二：2n)n=lim ln( 1n )二： 12n1 )2n2=ln e211ln( 2) - ln 2解法二：lim n (ln( 2-) - ln 2 = lim %n j 二nnn=(ln x) xwx=2解法三:lim n(ln( 2+1)-ln 2 x【ln( 2+1)-ln 2n-oQLnJnoOx2分3分6分2分4分6分1分ln2=limnln(1.)n.2n1ln(2)-ln2=叫2分11limx ,二1(2 -) x(一”)lim一x二2（说明：不转换成函数极限，直接用洛必达法

13、则计算可以不扣分）12、解法一:dx. x(1 - x)=2arcsin.xc解法二:dxx(1 -x)1dx 二2x - x1 -(x - 1) .421 d(x-2)=arcsin(2x-1)c解法三：设Vx =t,则 x=t222dtdx.x(1-x)一1一=2dt=2arcsintc-1-t=2arcsin.xc13、解:14、sin2(1)=2sin1一xx:(2x)=2xln2,dyJsin2(1)-2一xdxcos一x-x=sin2(工)-(2x)=-7sin-2xln2_xxx解法一：将方程ey=Jx2+y2两边对x求导数得eyy、=2x22yy2,2方y2贝Uy(ey.x22

14、、dyxy_y)=x/=y、：dxyy22dxexy-yx2ydy,y=dxx4解法二：将方程eyx2+y2两边取自然对数得y=1ln(x2y2)1V、22x2yy、22xy则y(x2y2、dy,_y)=x.二v、二dxx2y-dydxy力=1.x1解法三：设F(x,y)则,Fx2xC222txyFx=e2y2.x2y2=eydydxFxFyeyxx2y2y2ye-ydydx115、解：口n(%?1+x2+x)dx=xln(.1+x2+x)xln(1x2x)、dx00=ln(.21)=ln(.21)=ln(、,21)一：1x-21.16、解法一：D=(x,y)x2+y2M1,x之0如答图1所示

15、1分1口22,22,jjxydo-=JJxydxdy=Jdyxydx3分DD101-2/.V-J解法二1221y二(i-y2)y2dy-(V-2123112=.3515D=(x,y)x2+y20时，f(x)单调增加与直线y=0及x=2围成，求该图形线y轴旋转所得的旋转体体积。xyf(x,y)开(x,y九17、汝f(x+y,xy)=arctan，计具yx的1且x-y:义二y18、计算二重积分f1_dxdy,其中积分区域D=Ax,y)x2+y28,y圭01d.1x2y2四、综合题(本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分)xC19、若函数f(x)在(3,收)内连续，且满足f(x

16、)+2j0f(t)dt=x2,求f(x)。2007年广东省普通高校本科插班生招生考试高等数学试题答案及评分参考、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、C2、B3、D4D5A二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分）2xdx 2 ydy 2zdz2 一16、e7、-8、y=19、c1cos2x+c2sin2x10、4三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）11、解：应用洛必塔法则,sinx-xcosx原式二limx)0xsinxxsinxsinxxcosx= limxT cosx cosx。xsin xsinxxcosx-2，3dydydx14、解：原式=(2x

17、dx-(3x2),1,dxdx.4-x22x12ln26(3x2)2.x八arcsinC.2(说明：正确计算2*dx、(3x2)3dx和f-=34dx各得2分)15、解法一：设x=tant,贝Ux=0时，t=0;x=，3时,二03tan2tdsect=(sec21-1)dsect=1sec3t-sect31,4解法二：原式一1x22d(1x)16、解：如答图Vy=二8202dy一二二32二17、解：由题意知V1+x2J2d(1+x2)342o二一(1x)2-2.12|3所示,y3dy所求旋转体的体积为y364=n5f(x,y),x=arctan一，y(6(3答图1f(x,y)1x)x=2_F产

18、22汉1+x、2d O r)二二 1 r2 2y20二2二四、综合题(本大题共2小题，第19小题14分，第20小题8分，共22分)19、解：当x=0时，有f(0)+2ff(t)dt=02=f(0)=0.0由题意知f(x)可导,xc等式f(x)+2J0f(t)dt=x2两边对x求导数得：f(x)+2f(x)=2x.“+2y=2x记y=f(x),则有=0.(4yx=0=ex(j2xe2xdx+C)66=xCe”x.2(8故f(x)=1exx.22(1020、解：(1)f(x)=(1十1)x两边取对数得x1IInf(x)=xln(1),x(2两边对x求导数得则f(x)=(2)(证法一)当x0时,记g

19、(x)=lnx,在1,1+上应用拉格朗日中值定理得ILxr1、,1ig1+-|-g(1)=g()-,xxl即 In 1 +11=1 I x M111 x111In 1+ i0,于是 f(x) = 1+1xjln；+二x J 1 0,(10故当x 0时,f (x)单调增加.(12(证法二)当一、一. f 1 )0 时,记邛(x) = In 1 + i I x !则1(x)=2 2x(1 x) (1 x) x(1 x)0 时，中(x)0,于是 f1(x) =1+-i(x)0,110x故当x0时，f(x)单调增加.(122008年广东省普通高校本科插班生招生考试高等数学试题一、单项选择题(本大题共5

20、小题，每小题3分，共15分。每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的)1、下列函数为奇函数的是A.x2-xB.exeC.ex-eD.xsinx12、极限lim（1+x户=A.eB.e-C.1D.-13、函数在点。处连续是在该点处可导的A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件4、下列函数中，不是e2xe=x的原函数的是A.1exe，2B.1ex-e2C.1e2xexD.-e2x-ex22225、已知函数z=exy,贝Udz=A.exydxdyB.ydxxdyC.exyxdxydyD.exyydxxdy二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1

21、cosx6、极限7、曲线x11m=xQe-ey=xlnx在点(1,0)处的切线方程是=。8、积分匹2sinxcosxdx=。9、T.x*U二V_&u=ecosy,v=esiny,则十。：:y三x10、微分方程曳-y=0的通解是。dx1x三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）11、12、求函数f(x)=3-x(x2)2在区间-1,2上的最大值及最小值。13、设参数方程e2t-t、y=t-e确定函数万冈，计算,14、求不定积分2sinxsinxdxo、1一15、计算积分101n(1+x)dx。16、设方程ey2z+ez=0确定隐函数z=z(x,y),求当名。；:x2y17、计算二重积分

22、yeyexydxdy,其中D是由y轴、直线y=1,y=2及曲线xy=2所围D18、求微分方程 y* + ycosx =e_sin四、综合题(本大题共2小题,x_x成的平面区域。,满足初始条件y-=2的特解。第19小题10分，第20小题12分，共22分)219、证明：对x0,e+e1+土。2220、设函数“*)在区间0,1上连续，且0Vf(x)1+巳等价于ex+e-2+x2.2(2分)(4分)(6分)令f(x)=ex+e-2-x2,f(x)=ex-e-2x,xxf(x)=ex+e&-2=(e2-e)20,于是f(x)在(0,口)内单调增加，从而(x)(0)=0,(8分)x_x2所以f(x)在(0

23、,2)内单调增加，故f(x)f(0)=0,艮Pe2e1+(；0分)x(3分)1/(t)dt 0,(6分)(9分)20、解：设F(x)=2xff(t)dt-1,贝(JF(x)在0,1上连续，1F(0)=_1,因为0vf(x)2-10,F(x)在0,1上单调递增,x所以F(x)在(0,1)内有唯一零点，即2x-fdt=1在(0,1)内有唯一实根%(12分)2009年广东省普通高校本科插班生招生考试高等数学试题、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分。每小题只有一个选项符合题目要求)1、设fix)=；31,。0，则limJX)一f(0)=1-x,x_0.x0x2、极限limxsin2+2s

24、inx=x0xx3、下列函数中，在点x=0处连续但不可导的是A.y=xB.y=1C.y=InxD.y=x74、积分fcosxf(12sinx)dx=1 .A.2f(1-2sinx)CB.-f(1-2sinx)C2C.-2f(1-2sinx)CD.-1f(1-2sinx)C2,、，11x25、改变二次积分I=J0dxJ0f(x,y)dy的积分次序，则I=如101.A.dyf(x,y)dxB.0dy1f(x,y)dxy1 11C.0dyf(x,y)dxD.0dy0f(x,y)dx二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)6、若当xt0时，v1-ax2-12x2,贝U常数a=07、曲线y=l

25、n(1*x)的水平渐近线方程是。xf_I12,28、若曲线x=kt3t；在t=0处的切线斜率为1,则常数k=j=(1+2t)2二29、已知二元函数z=f(x,y)的全微分dz=y2dx+2xydy,则二x：y10、已知函数f(x)满足f(x)=f(x)+1,且f(0)=0,则f(x)=。三、计算题(本大题共8小题，每小题6分，共48分)11、.一一，ZXx.2计算极限limyjedtxT01x3J0r112、设f(x)Jx(1+2x2Hx0,用导数定义计算f，(0)0,x=0.13、已知函数f(x)的导数f，(x)=xln(1+x2),求严(1)。14、计算不定积分farctanVxdx031

26、5、计算定积分工dx。-11x216、设隐函数z=f(x,y)由方程xy+z3+xz=0所确定，求人及三。；:x；:y17、计算二重积分仃(2J：2；y2Edxdy，其中积分区域D:1Wx2+y2W4d.x2y218、求微分方程y“+y-6y=0满足初始条件y-=1,yx=0=-8的特解。四、综合题(大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分)19、用G表示由曲线y=1nx及直线x+y=1,y=1围成的平面图形。(1)求G的面积;(2)求G绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积。20、设函数f(x)=x24x-4xlnx-8.(1)判断f(x)在区间(0,2)上的图形的的凹凸性，并说

27、明理由;(2)证明：当0Vx2时，有f(x)02009年广东省普通高校本科插班生招生考试高等数学试题答案及评分参考一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、A2、C3、A4、DSC二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分）6、-47、y=08、49、2y10、ex-1三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）11、解：原式=limx_0xt2edt-x03x=limx02xe-13x222xex=limx06x2x.elim一x-0312、解：f（0）=鸡1f(：x)-f(0)二义Lx(12lx2)x201=limQ(12x2)x21=lim(12x2)2x22

28、飞2.x-0213、解：:f“(x)=ln(1+x2)+-2-y,1x工、2x4x(1x2)-4x32xf(x)-222-21x(1x)1x4x(1x2)2f(1)=2.14、解：设&=t,x=t2,则原式二arctantdt2=t2arctant-t2-1-2dt1t22.1.2=tarctant-(1-2-)dt=tarctant-tarctantC(2分)(4分)(6分)(3分)(6分)(2分)(5分)(6分)(3分)=xarctan.x-xarctanxC.15、解:为奇函数,i1x2为偶函数,dx-0d（1x2）=ln（1故原式=d2-dx-11x2x2）_1dx（2分）dxx2dx

29、16、解:设F（x,y,z）=xy+z3+xz,贝1JF；=yxy+z,Fy=xylnx,Fz0=ln2.2-dxln（5分）（6分）（6分）=3z2x.（3分）所以三：xFxyxyJz；zFyxylnxFz2,3zxfyFz3z2x（6分）17、解:设x=rcosdy=rsin 厂(2) =44ln 2 A 0,(8分)故f（x）在区间（0, 2上单调增加.因此当0vxv2时，有f (x)f(2) =4 8 -8ln2 -8 =4 -8ln2 =4 -4ln4 0.(12 分)2010年广东省普通高校本科插班生招生考试高等数学试题一、选择题（本大题共5题，每小题3分，共15分。每小题只有一个选项符合题目