立体几何解题方法技巧-(1)

1、专题六立体几何解题方法技巧一、内容提要：立体几何需要我们去解决的问题概括起来就是三个方面，证明位置关系、求距离和求 角；具体内容见下表：立 体 几 何提 要主要内容重点内容位置关系两条异面直线相互垂直、直线与平面平仃、直 线与平面斜交、直线与平面垂直、两个平面斜交、 两个平面相互垂直两条异面直线相互垂直、直线 与平面平行、直线与平面垂 直、两个平面相互垂直距离两条异面直线的距离、点到平面的距离、直线到 平面的距离、两个平面的距离两条异面直线的距离、点到平 面的距离角 度两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、 二面角两条异面直线所成的角、 直线 和平面所成的角、二面角二、主要解题方法：一位置

2、关系1、两条异面直线相互垂直证明方法：证明两条异面直线所成角为90o；证明两条异面直线的方向量相互垂直2、直线和平面相互平行证明方法：证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；0证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；0证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。3、直线和平面垂直证明方法：0证明直线和平面内两条相交直线都垂直，0证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；0证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。4、平面和平面相互垂直证明方法：0证明这两个平面所成二面角的平面角为900； 0证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面； 0证明两个平面的法向量相互垂直

3、。二求距离求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到 平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。1、两条异面直线的距离求法：如果知道两条 异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度，线段长度的求法也可以用向量来帮助解决，求线段AB的长度，可以利用22AB (AM MN NB)来帮助解决，但是前提条件是我们要知道 | ABn|AM,MN, NB的模和每两个向量所成的角。 利用公式d 二其中A B|n|分别为两条异面直线上的一点，n为这两条异面直线的法向量2、点到平面的距离求法：“一找二证三求，三步都必须要清楚地写出来。色等体积法。

4、向量法，利用公 式d |ABn|其中a为点，b为这个平面内的任意一点，n这个平面的法向量|n|三求角1、两条异面直线所成的角求法：先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得； 色通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异 面直线所成角得范围是(0,，向量所成的角范围是0,，如果求出的是钝角，要2注意转化成相应的锐角。2、直线和平面所成的角求法：“一找二证三求，三步都必须要清楚地写出来。向量法，先求直线的方向量于平面的法向量所成的角 a,那么所要求的角为一 或一2 23、平面与平面所成的角求法：“一找二证三求， 找出这个二面角的平面角，然后

5、再来证明我们找出来的这个角 是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求。通过射影面积来求S射影cos在其中一个平面内找出一个三角形，然后找这个三角形在另外一个平面的S原射影，那么这个三角形的射影面积与原三角形面积之比即为cos a,注意到我们要求的角为a或n a；向量法，先求两个平面的法向量所成的角为a,那么这两个平面所成的二面角的平面角为 a或n a。我们现在来解决立体几何的有关问题的时候，注意到向量知识的应用， 如果可以比拟容易建立坐标系，找出各点的坐标，那么剩下的问题根本上就可以解决了，如果建立坐标系不好做的话，有时求距离、角的时候也可以用向量，运用向量不是很方便的时候，就用传统

6、的 方法了！三、注意的问题：1、我们现在提倡用向量来解决立体几何的有关问题，但是当运用向量不是很方便的时候， 传统的解法我们也要能够运用自如。2、我们如果是通过解三 角形去求角、距离的时候，做到“一找二证三求，解题的过程中一定要出现这样一句话，“/a是我们所要求的角、“线段AB的长度就是我们所要求的距离等等。让人看起来一目了然。3、 用向量来求两条异面直线所成角时，假设求出COS a= x，那么这两条异面直线所成的角为a = a rccos|x|4、在求直线与平面所成的角的时候，法向量与直线方向量所成的角或者法向量与直线的方向量所成角的补交与我们所要求的角互余，所以要一或 一，假设求出的角为锐

7、2 2角，就用，假设求出的钝角，就用2 25、 求平面与平面所成角的时，假设用第、种方法，先要去判断这个二面角的平面角是钝角还是锐 角，然后再根据我们所作出的判断去取舍。【专题训练】1、三棱锥 PABC中PB丄底面ABC BCA 90 ,PB=BC=CA= E是 PC的中点，点 F 在 PA上，且 3PF=FA.1求证：平面PACL PBC2求平面BEF与底面ABC所成角用一个反三角函数值表示2、如图，四棱锥 P ABCD勺底面是正方形，PA丄底面 ABCD PA=AD=2点M N分别在棱PDPC上，且 PCL平面 AMN.1求证：AML PD2求二面角 P AM- N的大小；3求直线CD与平

8、面AMN所成角的大小3、如图，平面 ABC丄平面 ABEF ABCD是正方形,EF的中点，1求证平面 AGC_平面 BGC2求GB与平面AGC所成角的正弦值.3求二面角 B- AC G的大小.4、如图，在正方体 ABCDA BiCi Di 中，E是棱AiDi的中点，H为平面EDB内一点，H62m, 2m, m (m 0)。1证明HG 平面EDB ；2求BC1与平面EDB所成的角；3假设正方体的棱长为 a，求三棱锥 A EDB的体积。h 证明(1)! /PB丄底面 ABC. /-PB丄AG 又ZBCA9OZ乂丄平面PBC5 AC匸平面PAC,二平面PAC丄平面PEC解；设FE的延长绕与AC的延长

9、钱交干M连入田，那么XIB次平面写平面ABU的交线 在平面PC代中，由三是：PC的中点.，F是P為的四弄分点，:.SfC =-AC-a取BC的中盘H,那么氏PB.二EE丄底面ABC过H作HCLLIB于6 由三垂线定理，E0丄田那么ZEOH洵平面HEF与底更ABC所成二面角的平而角V51在 RtBCM 中,HOa，在 RtEHO 中，.EHa102eh tan EOH5HO即平面bef与底面ABC所成二面角的大小为 arctan、5假设利用面积射影法，指出 HDB是厶EFB在底面ABC上的射影，并计算出其面积S射影 丄a27分 计算出S efb 6 a216 16cosS射影S EFB即平面BE

10、F与底面ABC所成二面角的大小为 arccos62、 1证明： ABCD是正方形， CDLAD,/ PAL底面 ABCD： PAL CD. CDL平面 PAD/ AM 平面 PAD, CDLAM./ PCL平面 AMN： PC! AM. AML平面 PCD. AML PD.2解：T AML平面 PCD已证. AML PM AML NM. / PMN为二面角P-AM-N的平面角./ PNL平面 AMN： PNL NM.在直角 PCD中，CD=2, PD=2 2 , PC=2 3./ PA=AD AML PD z.M 为 PD的中点，PM= PD/22由 Rt PMN Rt PCD 得CD PMP

11、Ccos( PMN)列 CD23PM PC 2彳3 3PMNv3arccos .即二面角P AM- N的大小为3、:2 arccos .3ZXiPX a 0.art Min 兰_C3)解；延长NM，CD交于点E.TM丄平面AAIN,二XI为CE在平面AA1X內的射彩 ZCEN为CD (BP (CE)肓平在AMN所成的角一.CD1PD, EX丄PX, .ZCEN=ZMPNr在 RiAPMN 中,AVCD与平面MIX所成的角的大小为3、 1证明：正方形 ABCD CB ABt面 ABCL面 ABEF且 交于 AB, CBL面 ABEF / AG GB 面 ABEF CBLAG CBL BG又AD=

12、2a, AF= a , ABEF是矩形，G是EF的中点, AG=BG= 2a , AB=23 , AB2=AG+BG , AGLBG v CGH BG=B. AGL平面 CBG 而 AG 面故平面AGCL平面BGCAGC2解：如图，由I知面 为H,贝U BHL平面AGCAGCL面BGC且交于/ BGH是GB与平面GC在平面 BGC内作BHL GC垂足AGC所成的角在 Rt CBG 中 BHBCBGCGBC BGBC2 BG2又 BG= 2a,bh sin BGHBG3由叮知，BHL面AGC作BQL AC垂足为O,连结HQ 贝U HOL ACBOH为二面角B AC-G的平面角在 Rt ABC 中，BQ2aBOH arcsi n-63在 Rt BOH中 ,sin BOH 业 兰BQ 3即二面角B- AC- G的大小为 arcsin 634s Cl设正方体的棱长为i那么= y； 0, C