固体物理第一章 晶体结构

1、 第一章第一章 晶体结构晶体结构1.1 晶体特征晶体特征1.2 配位数和密堆积配位数和密堆积1.3 一些晶体的实例一些晶体的实例1.4 空间点阵空间点阵1.5 晶格周期性的描述晶格周期性的描述1.6 典型晶体结构的原胞和晶胞典型晶体结构的原胞和晶胞1.7 晶向晶面及标记晶向晶面及标记1.8 晶体宏观对称性及其对称操作晶体宏观对称性及其对称操作1.9 七大晶系七大晶系14种原胞种原胞晶体的结构特征及其描述晶体的结构特征及其描述单晶单晶：整块固体中粒子均是规则、周期排列。：整块固体中粒子均是规则、周期排列。多晶多晶：由大量微小单晶粒组成。每个晶粒内粒子规：由大量微小单晶粒组成。每个晶粒内粒子规则排

2、列，而各个晶粒间粒子排列取向不同。则排列，而各个晶粒间粒子排列取向不同。晶体晶体：至少在微米级范围粒子按一定规则周：至少在微米级范围粒子按一定规则周期有序排列（长程有序）形成的固体期有序排列（长程有序）形成的固体1.1 晶体特征晶体特征晶体晶体非晶体非晶体准晶体准晶体按内部结构特点可分为三大类按内部结构特点可分为三大类组成组成Be2O3晶体晶体的的粒子在空间的排列粒子在空间的排列具有周期性，是长具有周期性，是长程有序的。程有序的。一、一、 内部结构特征内部结构特征具有具有“平移对称旋转对称性平移对称旋转对称性”的特的特点点准晶体准晶体：无周期平移不变性但有某些取向旋转对称性：无周期平移不变性但

3、有某些取向旋转对称性非晶体非晶体：在微米级范围内粒子无：在微米级范围内粒子无序排列（序排列（长程无序长程无序）形成的固体）形成的固体非晶态固体又叫做过冷液体，它们非晶态固体又叫做过冷液体，它们在凝结过程中不经过结晶（即有序在凝结过程中不经过结晶（即有序化）的阶段，非晶体中粒子与粒子化）的阶段，非晶体中粒子与粒子的结合是无规则的的结合是无规则的Be2O3玻璃玻璃中的粒子只有近邻的范围中的粒子只有近邻的范围内粒子间保持着一定的短程有序，内粒子间保持着一定的短程有序，但隔开三、四个粒子后就不再保持但隔开三、四个粒子后就不再保持这种关系，由于键角键长的畸变破这种关系，由于键角键长的畸变破坏了长程序，形

4、成无规则网络。坏了长程序，形成无规则网络。19841984年年ShechtmanShechtman等用快速冷却方法制备等用快速冷却方法制备AlMnAlMn合金，经对电子衍射谱分析，发现有五合金，经对电子衍射谱分析，发现有五重对称（旋转重对称（旋转2 2 /5/5）的衍射斑点分布的存在，）的衍射斑点分布的存在，导致一种新的有序相导致一种新的有序相准晶准晶(quasicrystal(quasicrystal) )的发现的发现。以后不作特别说明，所说以后不作特别说明，所说“晶体晶体”指指“完整的单晶体或理想晶体。完整的单晶体或理想晶体。二、二、 晶体的外形特征晶体的外形特征晶体最显著的特征是晶面有规

5、则、对称地配置。晶体最显著的特征是晶面有规则、对称地配置。一个理想完整的晶体，相应的晶面的面积相等。一个理想完整的晶体，相应的晶面的面积相等。外形的对称性是晶体内部粒子间有序排列的反映外形的对称性是晶体内部粒子间有序排列的反映指的是晶体具有沿某些确指的是晶体具有沿某些确定方位的晶面劈裂的性质定方位的晶面劈裂的性质三、三、 晶体的解理性晶体的解理性相应的晶面称为晶体的解理面，显露在相应的晶面称为晶体的解理面，显露在晶体外面的晶面往往是一些解理面。晶体外面的晶面往往是一些解理面。晶面往往组合成晶带，如图中的晶面往往组合成晶带，如图中的a-1-c-2晶带由若干个晶面组成，相邻晶面的交线称为晶棱，晶带

6、由若干个晶面组成，相邻晶面的交线称为晶棱，晶带的特点是所有的晶棱相互平行，其共同的方向称晶带的特点是所有的晶棱相互平行，其共同的方向称为晶带的带轴，通常所说的晶轴是重要的带轴。为晶带的带轴，通常所说的晶轴是重要的带轴。晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，意味着平行解理面的原子层的间距大。间的结合力弱，意味着平行解理面的原子层的间距大。四、四、 晶体品种的特征因素晶体品种的特征因素a) 晶体的大小和形状不是晶体品种的特征因素晶体的大小和形状不是晶体品种的特征因素晶体外形中，只受内在结构决晶体外形中，只受内在结构决定而不受外

7、界条件影响的因素定而不受外界条件影响的因素称为晶体品种的特征因素。称为晶体品种的特征因素。由于外界条件和偶然情况不同，同一类型的晶体，其外形不由于外界条件和偶然情况不同，同一类型的晶体，其外形不尽相同。图是理想石英晶体和一种人造的石英晶体的外形尽相同。图是理想石英晶体和一种人造的石英晶体的外形。b) 晶面间的夹角是晶体品种的特征因素晶面间的夹角是晶体品种的特征因素属于同一品种的晶体，无论其外形如何，两属于同一品种的晶体，无论其外形如何，两个对应的晶面间夹角恒定不变，称为个对应的晶面间夹角恒定不变，称为面角守面角守恒定律恒定律可以看到，由于外界条件的差异，晶体中某组晶面可以相可以看到，由于外界条

8、件的差异，晶体中某组晶面可以相对地变小、甚至消失。所以，晶体中晶面的大小和形状并对地变小、甚至消失。所以，晶体中晶面的大小和形状并不是表征晶体类型的固有特征不是表征晶体类型的固有特征。理理想想的的石石英英晶晶体体人造的石英晶体人造的石英晶体例如：石英晶体的例如：石英晶体的m与与m两面夹角为两面夹角为60o0 m与与R面之间的夹面之间的夹角为角为38o13，m与与r面的夹角为面的夹角为38o13 等。等。五、五、 晶体其它特征晶体其它特征1) 晶体有确定的熔点晶体有确定的熔点例如：冰例如：冰 0 NaCl 800熔点是指晶态固体的长称有序解体时所对应的温度熔点是指晶态固体的长称有序解体时所对应的

9、温度2) 物理性质的各向异性物理性质的各向异性例如：例如：La2-xBaxCuO4/22ccHH 1.2 配位数和密堆积配位数和密堆积原子在晶体中的平衡位置，排列应该采取尽可能的原子在晶体中的平衡位置，排列应该采取尽可能的紧密方式，相应于结合能最低的位置，见下章紧密方式，相应于结合能最低的位置，见下章把原子看成一个个小球，看这些小球如何堆积，把原子看成一个个小球，看这些小球如何堆积，不同的堆积方式，可以得到不同的晶体结构。不同的堆积方式，可以得到不同的晶体结构。六角密积结构六角密积结构CeCl型结构型结构NaCl型结构型结构四面体结构四面体结构层状结构层状结构链状结构链状结构一个原子周围最近邻

10、的原子数，称为一个原子周围最近邻的原子数，称为配位数配位数可以被用来描述晶体中粒子排列的紧密程度可以被用来描述晶体中粒子排列的紧密程度晶体结构中最大配位数是晶体结构中最大配位数是 12 ，以下依次是，以下依次是8 、6、4、3、2密堆积密堆积晶体内全同原子小圆球最紧密的堆积。晶体内全同原子小圆球最紧密的堆积。密堆积配位数为密堆积配位数为12，堆积方式有两种方式：立方和六角密积，堆积方式有两种方式：立方和六角密积在实际的由同种元素构成的晶体中，如果无特殊要求，晶在实际的由同种元素构成的晶体中，如果无特殊要求，晶体的配位数都很高，其中六角密积占体的配位数都很高，其中六角密积占31，立方密积占，立方

11、密积占26，说明晶体一般是按最紧密的方式堆积的。，说明晶体一般是按最紧密的方式堆积的。如果晶体由两种或两种如果晶体由两种或两种以上的元素组成，即组以上的元素组成，即组成晶体的原子小球大小成晶体的原子小球大小不等，则不可能有密堆不等，则不可能有密堆积结构，这时的配位数积结构，这时的配位数小于小于12。配位数为配位数为8CeCl型结构型结构1、 简单立方简单立方1）将原子球在一个平面内）将原子球在一个平面内按正方排列形成原子层按正方排列形成原子层2）将原子层按图所示沿垂）将原子层按图所示沿垂直层面方向叠加起来就得到直层面方向叠加起来就得到简单立方结构，其最小的重简单立方结构，其最小的重复结构单元（

12、原胞）如图复结构单元（原胞）如图3）用原点表示原子的位置，）用原点表示原子的位置，即得到简单立方格子即得到简单立方格子配位数为配位数为61.3 一些晶体的实例一些晶体的实例原子层原子层原子层原子层原子层原子层2、 体心立方体心立方1）原子球按正方形式铺开形成一原）原子球按正方形式铺开形成一原子层，计为原子层，类似排列形成子层，计为原子层，类似排列形成另一原子层，计为原子层另一原子层，计为原子层2）将）将B层原子放在层四个原子的层原子放在层四个原子的间隙里，第二层的每个球和第一层的间隙里，第二层的每个球和第一层的四个球紧密相切，如图，按四个球紧密相切，如图，按AB AB AB .次序沿垂直于层面

13、方向叠加起次序沿垂直于层面方向叠加起来就得到体心立方。体心立方原胞如来就得到体心立方。体心立方原胞如图所示图所示3）用原点表示原子的位置，即得）用原点表示原子的位置，即得到体心立方格子到体心立方格子配位数为配位数为8Li、Na、K、Rb、Cs、Fe等金属为等金属为典型的具有体心立方晶格的金属典型的具有体心立方晶格的金属Fe体心立方晶格结构体心立方晶格结构体心立方晶格中，体心立方晶格中，A A层中原子球的距离等于层中原子球的距离等于A-AA-A层间的距离，由此可计算出层原子球的间隙层间的距离，由此可计算出层原子球的间隙 222200002224rrrr 00.31r r0为原子球半径为原子球半径

14、r0+ +r0层层层层层层3、 面心立方面心立方面心立方晶体的原胞和简单立方相似，面心立方晶体的原胞和简单立方相似，所不同的是，除立方体顶角上有原子外，所不同的是，除立方体顶角上有原子外，在立方体的六个面的中心还有六个原子。在立方体的六个面的中心还有六个原子。用原点表示原子的位置，即得到面用原点表示原子的位置，即得到面心立方格子心立方格子贵金属（如贵金属（如Cu、Al、Ni等）具有面等）具有面心立方结构。心立方结构。配位数为配位数为124、 六角密积结构六角密积结构1）原子球平铺在平面上，任意一个球）原子球平铺在平面上，任意一个球都与六个球相切，每三个相切的球的中都与六个球相切，每三个相切的球

15、的中心构成一等边三角形，且每个球的周围心构成一等边三角形，且每个球的周围有六个空隙，这样构成一原子层，计为有六个空隙，这样构成一原子层，计为原子层。原子层。3）将）将B层的球放在层相间的层的球放在层相间的3个空个空隙里，隙里，B层每个球和层每个球和A层三个球紧密层三个球紧密相切，如图。相切，如图。2）类似排列形成另一原子层，计为）类似排列形成另一原子层，计为原子层。原子层。5）用原点表示原子的位置，即得）用原点表示原子的位置，即得到六角密积格子到六角密积格子4）按）按AB AB AB .次序沿垂直于层次序沿垂直于层面方向叠加起来就得到六角密排结构面方向叠加起来就得到六角密排结构配位数为配位数为

16、125、 金刚石结构金刚石结构金刚石由碳原子构成，其结构可以看金刚石由碳原子构成，其结构可以看成是由面心立方结构演变而来的，即：成是由面心立方结构演变而来的，即：在一个面心立方原胞的基础上在体内在一个面心立方原胞的基础上在体内再额外加四个原子，体内四个原子分再额外加四个原子，体内四个原子分别位于四个空间对角的别位于四个空间对角的1/4处。处。面心立方面心立方金刚石金刚石整个金刚石晶格可以看成是由沿体对整个金刚石晶格可以看成是由沿体对角线相互位移四分之一对角线长度的角线相互位移四分之一对角线长度的两个面心立方晶格套构而成。两个面心立方晶格套构而成。重要的半导体材料，如重要的半导体材料，如Ge、S

17、i等，等，都有四个价电子，其晶体结构和都有四个价电子，其晶体结构和金刚石相同金刚石相同由碳原子共价键的取向分析可知，在面由碳原子共价键的取向分析可知，在面心和顶角处的碳原子与体内的心和顶角处的碳原子与体内的4个碳原子个碳原子是不等价的。是不等价的。A类碳原子的共价键方向类碳原子的共价键方向B类碳原子的共价键方向类碳原子的共价键方向6、闪锌矿结构闪锌矿结构和金刚石结构相似，所不同的是，在立方体顶角和和金刚石结构相似，所不同的是，在立方体顶角和面心处的原子与体内原子分别属于不同的元素。面心处的原子与体内原子分别属于不同的元素。许多重要的化合物半导体，如许多重要的化合物半导体，如InSb、ZnS、G

18、aAs、InP等均是等均是闪锌矿结构闪锌矿结构。7、钙钛矿结构钙钛矿结构钙钛矿钙钛矿结构是指钛酸钙结构是指钛酸钙(CaTiO3)的结构的结构Ca在立方体顶角上是在立方体顶角上是Ca，Ti位于立方体的位于立方体的体心处，体心处，O位于立方体六个面心处。位于立方体六个面心处。如果把如果把OI、OII、OIII连接起来，则它们连接起来，则它们构成等边三角形，整个原胞中共有构成等边三角形，整个原胞中共有8个个这样的三角形面，围成一个八面体，通这样的三角形面，围成一个八面体，通常称为氧八面体。整个结构可看成氧八常称为氧八面体。整个结构可看成氧八面体的排列，其中面体的排列，其中Ti位于氧八面体中心，位于氧

19、八面体中心，而而Ca则在则在8个氧八面体的间隙里。个氧八面体的间隙里。Ca铁电体：铁电体：BaTiO3、PbZrO3、LiNbO3、LiTaO3铁磁体铁磁体：(La,Ca)MnO3ABO3作业作业1、3、以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体、以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体 心和面心晶体中的原子数之比心和面心晶体中的原子数之比2、1.4 空间点阵空间点阵晶体可以由一种或多种原子（或离子）组成，晶体可以由一种或多种原子（或离子）组成，它们构成晶体的基本结构单元，称为基元。它们构成晶体的基本结构单元，称为基元。1、基元、基元例例1：碳：碳60晶体晶体 晶体基元是晶体基元是一个包含一个包

20、含60个碳原子组个碳原子组成的巴基球成的巴基球 例例2：两种原子构成的某种晶体：两种原子构成的某种晶体 将基元在空间中按一定方式作周期性重复将基元在空间中按一定方式作周期性重复就形成了具有一定结构的晶体。就形成了具有一定结构的晶体。反映了晶体内在结构长程有序的特征反映了晶体内在结构长程有序的特征其正确性为其正确性为X X射线工作所证明射线工作所证明两者结合形成了关于晶体几何结构的完备理论两者结合形成了关于晶体几何结构的完备理论空间点阵学说空间点阵学说( (1919世纪布喇菲世纪布喇菲) )空间群理论空间群理论空间点阵学说中所称的点子，代表着空间点阵学说中所称的点子，代表着结构中相同的位置，称为

21、结点。结构中相同的位置，称为结点。如果晶体由完全相同的一种原子组成，如果晶体由完全相同的一种原子组成，结点一般认为是原子本身的位置，结点一般认为是原子本身的位置，也可也可以将原子周围相应点的位置看作为结点以将原子周围相应点的位置看作为结点3、结点、结点 如果晶体中含有数种原子，则如果晶体中含有数种原子，则将基元的重心选择为结点将基元的重心选择为结点是一种数学上的抽象是一种数学上的抽象2、格点、格点(Lattice site) 用位于原子平衡位置的几何点替代每一个原子，结果得到一个用位于原子平衡位置的几何点替代每一个原子，结果得到一个与晶体几何特征相同、但无任何物理实质的几何图形。处于原与晶体几

22、何特征相同、但无任何物理实质的几何图形。处于原子平衡位置的几何点称为格点。子平衡位置的几何点称为格点。意味着结意味着结点可以是点可以是格点也可格点也可以不是格以不是格点点4、点阵、点阵结点在空间周期性排列的总体，称为点阵结点在空间周期性排列的总体，称为点阵5、晶格、晶格通过点阵中的结点，可以作许多平行的直线族和平行的晶面族通过点阵中的结点，可以作许多平行的直线族和平行的晶面族这样，点阵就成为一些网格，称为晶格这样，点阵就成为一些网格，称为晶格6、布喇菲格子和复式格子、布喇菲格子和复式格子如果晶体由完全相同的一种原子组成，则由格点（原子）组成如果晶体由完全相同的一种原子组成，则由格点（原子）组成

23、的网格和由结点组成的网格相同，这样的网格称为布喇菲格子的网格和由结点组成的网格相同，这样的网格称为布喇菲格子如果晶体包含两种或两种以上的原子，则不同的原子各自构成如果晶体包含两种或两种以上的原子，则不同的原子各自构成自身的布喇菲格子（子晶格），若干个相同的布喇菲格子相互自身的布喇菲格子（子晶格），若干个相同的布喇菲格子相互位移套构而形成所谓的复式格子。位移套构而形成所谓的复式格子。整个金刚石晶格可以看成是由沿体对整个金刚石晶格可以看成是由沿体对角线相互位移四分之一对角线长度的角线相互位移四分之一对角线长度的两个面心立方晶格套构而成。两个面心立方晶格套构而成。1.5 晶格周期性的描述晶格周期性的

24、描述1、晶格周期性的描述、晶格周期性的描述原胞和基矢原胞和基矢原胞原胞 一个晶格中最小的重复单元一个晶格中最小的重复单元例例1：一维布喇菲格子：一维布喇菲格子原胞，即原胞，即最小重复单元，为一个最小重复单元，为一个原子加上原子周围长度为原子加上原子周围长度为a的区域的区域a习惯上的选择习惯上的选择两种选择两种选择一维长度最短、二维面积最小、一维长度最短、二维面积最小、三维体积最小的重复单元三维体积最小的重复单元晶格的共同特点是具有周期性，可晶格的共同特点是具有周期性，可以用原胞和基矢来描述这一周期性以用原胞和基矢来描述这一周期性例例2：二维布喇菲格子：二维布喇菲格子原胞，由相邻的四个原子构成的

25、原胞，由相邻的四个原子构成的面积最小的平行四边形面积最小的平行四边形基矢基矢原胞的边矢量原胞的边矢量例例1：一维布喇菲格子：一维布喇菲格子基矢基矢aai 例例2：二维布喇菲格子：二维布喇菲格子1aai 23322aaiaj 基矢基矢12aa(1)1aai 21322aaiaj (2)例例3：三维布喇菲格子：三维布喇菲格子三维格子的重复单元是平行六面体三维格子的重复单元是平行六面体基矢基矢123aaa是原胞的三个边矢量是原胞的三个边矢量（1）1aai 2aaj 3aak 例如：简单立方例如：简单立方原胞对应体积最小的重复单元原胞对应体积最小的重复单元除了周期性外，每种晶体还有自己特殊的对称性。为

26、除了周期性外，每种晶体还有自己特殊的对称性。为了同时反映晶格的对称性，往往会取最小重复单元的了同时反映晶格的对称性，往往会取最小重复单元的一倍或几倍的晶格单位作为原胞。结晶学中常用这种一倍或几倍的晶格单位作为原胞。结晶学中常用这种方法选取原胞，故称为结晶学原胞，简称晶胞。方法选取原胞，故称为结晶学原胞，简称晶胞。晶胞晶胞a b c 晶胞的边在晶轴方向，边长等于该方向上的一个周期，晶胞的边在晶轴方向，边长等于该方向上的一个周期，代表晶胞三个边的矢量称为晶胞基矢，用、代表晶胞三个边的矢量称为晶胞基矢，用、表示，这三个矢量的长度、表示，这三个矢量的长度a、b和和c实际实际上就是所谓的晶格常数。上就是

27、所谓的晶格常数。在一些情况下，晶胞就是原胞在一些情况下，晶胞就是原胞而在另一些情况下，晶胞不是原胞而在另一些情况下，晶胞不是原胞原胞1aai 2aaj 3aak 晶胞aai baj cak 原胞晶胞1()2aajk 2()2aaik 3()2aaij aai baj cak 例如简单立方晶格例如简单立方晶格例如面心立方晶格例如面心立方晶格2、晶格周期性的描述、晶格周期性的描述格矢格矢对于简单格子，一旦基矢被确定，则任一原子对于简单格子，一旦基矢被确定，则任一原子A的的位置可由下列格矢表示位置可由下列格矢表示112233lRl al al a 任意两个格点间的位移矢量，任意两个格点间的位移矢量，

28、即即格矢量，简称格矢格矢量，简称格矢例如例如1223lRaa l1、l2、l3为一组整数为一组整数对于复式格子，任一原子对于复式格子，任一原子A的位置可由下列格矢表示的位置可由下列格矢表示112233lRrl al al a l1、l2、l3为一组整数为一组整数 1，2，3.例如：金刚石晶格例如：金刚石晶格112233lRl al al a 对角线上的原子（红色）位置对角线上的原子（红色）位置112233lRl al al a 面心立方位置上（绿色）的原子位置面心立方位置上（绿色）的原子位置因此，可以用表示一个空间格子因此，可以用表示一个空间格子112233l al al a一组的取值可以囊括

29、所有的格点一组的取值可以囊括所有的格点112233l al al a因此，布喇菲格子又可以认为是因此，布喇菲格子又可以认为是由确定的空间格子由确定的空间格子112233l al al a晶体可以看成是布喇菲格子的晶体可以看成是布喇菲格子的每一个格点上放上基元构成的每一个格点上放上基元构成的 晶体结构晶格基元晶体结构晶格基元 例例1 1：布喇菲格子为二维斜方格子、基元为：布喇菲格子为二维斜方格子、基元为2 2个原子个原子 例例2 2：布喇菲格子为三维斜方格子、基元为：布喇菲格子为三维斜方格子、基元为1 1个原子个原子 例例3 3：布喇菲格子为二维斜方格子、基元为多个原子：布喇菲格子为二维斜方格子

30、、基元为多个原子 若若代表晶体的任一物理性质（如电场强度、电子云代表晶体的任一物理性质（如电场强度、电子云密度等），由于晶格的周期性，则有密度等），由于晶格的周期性，则有)()(rRr3、晶格周期性、晶格周期性物理性质物理性质112233Rl al al a 其其中中上式表明：一个重复单元中任一上式表明：一个重复单元中任一r处的物理性质，处的物理性质，同另一个重复单元相应处的物理性质相同同另一个重复单元相应处的物理性质相同1.6 典型晶体结构的原胞和晶胞典型晶体结构的原胞和晶胞（1）简单立方）简单立方体积体积3aV 原子数原子数10 0 0原胞原胞1aai 2aaj 3aak 晶胞晶胞aai

31、baj cak 晶胞原胞晶胞原胞体积体积3123()Vaaaa 原胞只含一个原子原胞只含一个原子基矢基矢（2）体心立方）体心立方体积体积3aV 原子数原子数2晶胞晶胞aai baj cak 111000222原胞原胞1()2aaijk 2()2aaijk 3()2aaijk 由立方体的中心到三个顶点引三个基矢由立方体的中心到三个顶点引三个基矢基矢基矢原胞只含一个原子原胞只含一个原子体积体积31231()2Vaaaa （3）面心立方）面心立方原胞原胞1()2aajk 2()2aaik 3()2aaij 晶胞晶胞aai baj cak 3Va 原子数原子数4体积体积 111111000000222

32、222 原胞只含一个原子原胞只含一个原子体积体积基矢基矢由立方体的顶点到三个近邻的面心引三个基矢由立方体的顶点到三个近邻的面心引三个基矢31231()4Vaaaa 基矢基矢（4）六角密积结构）六角密积结构原胞基矢原胞基矢 、 在密排面内，互成在密排面内，互成1200角角 沿垂直密排面的方向。沿垂直密排面的方向。1a 2a 3a 1322aaaij 2322aaaij 3ack 基矢基矢作业作业1、何谓布喇菲格子？画出、何谓布喇菲格子？画出NaCl晶体的结点所构成的布喇菲格晶体的结点所构成的布喇菲格子。为什么金刚石结构是复式格子？子。为什么金刚石结构是复式格子？2、1aai 2aaj 3()2a

33、aijk 基矢为基矢为的晶体为何种结构？的晶体为何种结构？若若33()22aaaijk 又为何种结构？又为何种结构？提示：先计算出原胞体积提示：先计算出原胞体积31231()2Vaaaa 由原胞体积可推断为体心结构由原胞体积可推断为体心结构也可以由已知的三个基也可以由已知的三个基矢构造三个新的基矢矢构造三个新的基矢1312323123()2()2()2aaaaijkaaaaijkaaaaaijk 由此可推断为体心结构由此可推断为体心结构1.7 晶向晶面和它们的标记晶向晶面和它们的标记通过任何两个格点连一直线，则这通过任何两个格点连一直线，则这直线上包含无限个相同的格点，这直线上包含无限个相同的

34、格点，这样的直线称为晶体的晶列。样的直线称为晶体的晶列。晶列上格点的分布具有周期性，周晶列上格点的分布具有周期性，周期为晶列上任何两相邻格点的间距期为晶列上任何两相邻格点的间距晶列晶列由于所有格点周围情况相同，因此通由于所有格点周围情况相同，因此通过任何其它的格点都有一晶列和原来过任何其它的格点都有一晶列和原来晶列平行且具有相同的周期，这些平晶列平行且具有相同的周期，这些平行的直线可以将所有格点包括无遗。行的直线可以将所有格点包括无遗。在一个平面中相邻晶列间距离相等在一个平面中相邻晶列间距离相等通过一格点可以有无限多个晶列，通过一格点可以有无限多个晶列，其中每一个晶列都有一族平行的晶其中每一个

35、晶列都有一族平行的晶列与之对应，所以共有无限多族的列与之对应，所以共有无限多族的平行晶列。每一族晶列定义了一个平行晶列。每一族晶列定义了一个方向，称为晶向。方向，称为晶向。晶向晶向晶向指数晶向指数同族晶列中的晶列相互平行，并且完全等同，所以一族晶同族晶列中的晶列相互平行，并且完全等同，所以一族晶列的特点是晶列的取向。列的特点是晶列的取向。如何描述晶列的取向？如何描述晶列的取向？晶向指数晶向指数112233lRl al al a l1、l2、l3为一组整数为一组整数原胞为最小的重复单元，格点只在原胞原胞为最小的重复单元，格点只在原胞的顶角上，若取某一格点的顶角上，若取某一格点O为原点，为原点，1

36、23aaa、 、为原胞的三个基矢为原胞的三个基矢则任何一个格点则任何一个格点A的位矢可以表示为：的位矢可以表示为：很明显，晶列很明显，晶列OA的取向被的取向被l1、l2、l3三个整数所确定。三个整数所确定。若若l1、l2、l3为互质整数，则为互质整数，则可直接用这三个互质整数来可直接用这三个互质整数来表示该晶列的方向表示该晶列的方向类似于直角坐标系中，知道一个矢量在类似于直角坐标系中，知道一个矢量在x、y、z三个方向三个方向上的投影，这个矢量则被唯一确定。上的投影，这个矢量则被唯一确定。用晶向指数表示晶列方向用晶向指数表示晶列方向123lll， ，称为晶向指数称为晶向指数若若l1、l2、l3不

37、为互质整数，则先要将这三个数简约为互质整数不为互质整数，则先要将这三个数简约为互质整数 在结晶学中，以在结晶学中，以 、 、 为原胞基矢，为原胞基矢，把把 、 、 称为晶轴，结点的位矢可写成称为晶轴，结点的位矢可写成a b c m 、n 、p 不一定是整数，但乘上公倍数后，可得到一不一定是整数，但乘上公倍数后，可得到一组整数组整数m、n、p ，并有，并有Rm an bp c :mnpm np 称为晶列指数称为晶列指数。m n p，a b c 例例1112233lRl al al a 取某一格点取某一格点O为原点，为原胞基矢为原点，为原胞基矢123aaa、 、沿晶向到最近一个格点沿晶向到最近一个

38、格点A的位矢为：的位矢为：求晶向指数求晶向指数的简便方法的简便方法123lll， ，则晶向指数：则晶向指数：对二维布喇菲格子，对二维布喇菲格子，求求(1)(1)和和(2)(2)两晶列的两晶列的晶向指数晶向指数(1)(2)01a 2a (1)(1)上离原点最近的格点位矢为上离原点最近的格点位矢为所以晶向指数为所以晶向指数为122lRaa 2，2，1，1，0 0(2)(2)上离原点最近的格点位矢为上离原点最近的格点位矢为所以晶向指数为所以晶向指数为122lRaa 1，2，0例例2对三维布喇菲格子，对三维布喇菲格子，求求OAOA晶列的晶向指数晶列的晶向指数OAOA晶列上离原点最近的格点位矢为晶列上离

39、原点最近的格点位矢为所以晶向指数为所以晶向指数为1233lRaaa 3，1，1，1 1例例3求简立方格子立方边求简立方格子立方边OAOA、面对角、面对角线线OBOB和体对角线和体对角线OCOC的晶向指数的晶向指数立方边立方边OAOA的晶向指数为的晶向指数为100立方边共有立方边共有6个不同的晶向，个不同的晶向，晶向指数分别为晶向指数分别为 1，1，0，0，0 01，1，0，0，0 0 0，0，1，1，0 00，0，1，1，0 0 0，0，0，0，1 10，0，0，0，1 1面对角线面对角线OBOB的晶向指数为的晶向指数为110面对角线共有面对角线共有12个不同的晶向个不同的晶向体对角线体对角线

40、OCOC的晶向指数为的晶向指数为111体对角线共有体对角线共有8个不同的晶向个不同的晶向由于立方晶格的对称性，每一由于立方晶格的对称性，每一组晶向中所有晶向是等效的，组晶向中所有晶向是等效的，因此，常常用因此，常常用、和和分别表示边、面对角和体分别表示边、面对角和体对角线的对角线的晶向。晶向。晶面晶面晶面晶面 晶体内三个非共线格点组成的平面晶体内三个非共线格点组成的平面在一晶面外过其它格点作一系列与原晶面平行的晶面，可在一晶面外过其它格点作一系列与原晶面平行的晶面，可得到一组等距的晶面，各晶面上格点的分布情况是相同的，得到一组等距的晶面，各晶面上格点的分布情况是相同的，这组等距的晶面称为一族晶

41、面。所有的格点都在一族平行这组等距的晶面称为一族晶面。所有的格点都在一族平行的晶面上而无遗漏。的晶面上而无遗漏。同一个格子两组不同的晶面族同一个格子两组不同的晶面族与晶列相似，同族晶面中的晶面完全等与晶列相似，同族晶面中的晶面完全等同，所以晶面的特点也由其取向决定。同，所以晶面的特点也由其取向决定。密勒指数密勒指数由于一族晶面必包含了所有格点而无遗漏，因此，在由于一族晶面必包含了所有格点而无遗漏，因此，在三个基矢末端的格点必分别落在该族的不同晶面上。三个基矢末端的格点必分别落在该族的不同晶面上。1a 末端上格点所在的晶面和原点末端上格点所在的晶面和原点所在晶面的间距应当为所在晶面的间距应当为h

42、1d，d为相为相邻晶面间的面间距，邻晶面间的面间距，h1为整数为整数例如图示的例如图示的为为3d1a 末端晶面离原点末端晶面离原点同理同理点所在晶面的间距应当分别为点所在晶面的间距应当分别为h2d和和 h3d，h2和和h3均为整数均为整数2a 、末端上格点所在的晶面和原、末端上格点所在的晶面和原3a 可以证明，可以证明，h1、h2和和h3三个数是互质的整数，且可用来表示三个数是互质的整数，且可用来表示晶面的法线方向，因此，这三个互质整数称为该晶面族的面晶面的法线方向，因此，这三个互质整数称为该晶面族的面指数，记为指数，记为 。最靠近原点的晶面在三最靠近原点的晶面在三个基矢上的截距分别为个基矢上

43、的截距分别为312123aaahhh、同族其它晶面在三个基矢方向上同族其它晶面在三个基矢方向上的截距为这组最小截距的整数倍的截距为这组最小截距的整数倍若用天然长度单位表示，则若用天然长度单位表示，则h1、h2、h3三个数的倒数为这组晶面中最靠近三个数的倒数为这组晶面中最靠近原点的晶面在三个基矢方向上的截距原点的晶面在三个基矢方向上的截距 123h h h同样，可以以晶胞基矢为坐标轴表示晶面指数，表征晶面取向同样，可以以晶胞基矢为坐标轴表示晶面指数，表征晶面取向的互质整数称为晶面族的的互质整数称为晶面族的密勒指数密勒指数，记为，记为 。 hkl1a 2a 3a OABCDEFG例例1对如图所示的

44、基矢，求：对如图所示的基矢，求：(1)ABC晶面的密勒指数；晶面的密勒指数；(2)DEFG晶面的密勒指数晶面的密勒指数(1)ABC晶面在三个基矢方向上的截距分晶面在三个基矢方向上的截距分别为别为4a、b、c，因此截距的倒数为，因此截距的倒数为1,1,14因此，该晶面的密勒指数为因此，该晶面的密勒指数为(144)(2)DEFG晶面在三个基矢方向上的截距分别晶面在三个基矢方向上的截距分别为为2a、3b、 ，因此截距的倒数为，因此截距的倒数为1 1,02 3因此，该晶面的密勒指数为因此，该晶面的密勒指数为(320)将晶面在基矢上的截将晶面在基矢上的截距的倒数的比简约为距的倒数的比简约为互质的整数的比

45、，所互质的整数的比，所得的互质整数即为密得的互质整数即为密勒指数为勒指数为例例2求简立方格子典型晶面的密勒指数求简立方格子典型晶面的密勒指数1、(100)晶面晶面在三个基矢方向上的截距分别为在三个基矢方向上的截距分别为a、 、 ，因此截距的倒数为，因此截距的倒数为1,0,0由于立方晶格的对称性，这三由于立方晶格的对称性，这三组晶面是等效的，因此，常常组晶面是等效的，因此，常常用用100100来表示来表示(100)(100)、(010)(010)和和(001)(001) 三个等效的晶面。三个等效的晶面。因此，该晶面的密勒指数为因此，该晶面的密勒指数为(100)a b c (100)类似的晶面有类

46、似的晶面有(010)、(001)(100)(010)(001)在三个基矢方向上的截距分别为在三个基矢方向上的截距分别为a、b、 ，因此截距的倒数为，因此截距的倒数为1,1,0因此，该晶面的密勒指数为因此，该晶面的密勒指数为(110)类似的晶面有类似的晶面有6个，密勒指数分别为个，密勒指数分别为记为记为1102、(110)晶面晶面a b c (110)(110) (011) (101) (110) (011) (101)、3、(111)晶面晶面a b c (111)在三个基矢方向上的截距分别为在三个基矢方向上的截距分别为a、b、c，因此截距的倒数为，因此截距的倒数为1,1,1因此，该晶面的密勒指

47、数为因此，该晶面的密勒指数为(111)类似的晶面有类似的晶面有4个，密勒指数分别为个，密勒指数分别为(111) (111) (111) (111)、记为记为111符号相反的晶面指数只符号相反的晶面指数只是在区别晶体的外表面是在区别晶体的外表面时才有意义，在晶体内时才有意义，在晶体内部这些面都是等效的部这些面都是等效的作业作业2、如图所示，、如图所示，B、C两点是面心立方晶胞上的两面心，求：两点是面心立方晶胞上的两面心，求： （1）ABC面的密勒指数；面的密勒指数； （2）AC晶列的指数。晶列的指数。BCAabc1、 指出立方晶格指出立方晶格(111)面与面与(100)面的交线的晶向以及面的交线

48、的晶向以及 (111)面与面与(110)面的交线的晶向。面的交线的晶向。1.8 晶体宏观对称性及其对称操作晶体宏观对称性及其对称操作1.8.1正交变换正交变换 以宏观的角度讨论如何描写以宏观的角度讨论如何描写一个几何图形的对称性一个几何图形的对称性要描述一个几何图形的对称性，一般采用几何变换的方法要描述一个几何图形的对称性，一般采用几何变换的方法例：比较以下图形的对称性例：比较以下图形的对称性（a）（b）（c）（d）为比较图形的对称性，规定在作几何变换时，图形中有一点固定不动为比较图形的对称性，规定在作几何变换时，图形中有一点固定不动（a）ABCD一个对称轴，旋转一个对称轴，旋转角度。一种几何

49、变换。角度。一种几何变换。（b）(1)(2)(3)(1)旋转旋转角度角度 （2）旋转）旋转角度角度 (3) 旋转旋转/2、3/2角度角度 五种几何变换。五种几何变换。（c）无穷多种变换。无穷多种变换。（d）无几何变换无几何变换所以，几何变换越多，对称性越高所以，几何变换越多，对称性越高.对称操作对称操作对晶格点阵而言对晶格点阵而言，对称操作即为操作前后点阵不变对称操作即为操作前后点阵不变正交变换正交变换在几何变换中，若任意两点间的距离不变，在几何变换中，若任意两点间的距离不变， 这种变换称这种变换称之为正交变换，如用数学表示，正是熟知的线性变换之为正交变换，如用数学表示，正是熟知的线性变换一个

50、物体在某一个正交变换下保持不变，称之为物体的一个物体在某一个正交变换下保持不变，称之为物体的一个对称操作，物体的对称操作越多，则其对称性越高一个对称操作，物体的对称操作越多，则其对称性越高一种几何变换一种几何变换ABCD无穷多变换无穷多变换1、转动、转动几种简单操作的变换关系几种简单操作的变换关系xyo( , , )R x y z ( , )Rxyz 一矢量一矢量 在在 oxy平面旋转平面旋转角度角度得到矢量得到矢量 ，则变换关系是则变换关系是R R cossinsincosxxyyxyzz cossin0sincos0001xxyyzz 1000cossin0sincosA写成矩阵写成矩阵若

51、令矩若令矩阵为阵为则有则有RAR 很容易验证矩阵很容易验证矩阵为正交矩阵为正交矩阵1AAIAA 或或1A 2、中心反映、中心反映xyzR R xxyyzz 经中心反演后得到新经中心反演后得到新的矢量，变换关系是的矢量，变换关系是100010001xxyyzz 写成矩阵写成矩阵100010001A变换矩变换矩阵为阵为1A 3、镜象、镜象以以z=0作为镜面，镜象对作为镜面，镜象对称操作是将图形中任何一称操作是将图形中任何一点点(x,y,z)变成变成(x,y,-z)，变，变换关系是换关系是xyzR R ( , , )x y z( , ,)x yz xxyyzz 写成矩阵写成矩阵100010001xx

52、yyzz 变换矩变换矩阵为阵为100010001A1A 1.8.2基本的对称操作基本的对称操作晶格周期性对对称操作有所限制，以转动操作为例，由于晶格周期性对对称操作有所限制，以转动操作为例，由于晶格周期性，并非所有的转动操作对晶体都是允许的。晶格周期性，并非所有的转动操作对晶体都是允许的。设想有一个对称轴垂直于平面，绕转轴设想有一个对称轴垂直于平面，绕转轴的任意对称操作，即转过一角度的任意对称操作，即转过一角度 同族晶列格点的周期性相等，因此有同族晶列格点的周期性相等，因此有A BmAB （m为整数）由图知 (1 2cos )A BAB A点和点是等价的，以通过点的轴顺点和点是等价的，以通过点

53、的轴顺时针转角度时针转角度 后点转到后点转到点，操作前点，操作前后点阵不变，因此，后点阵不变，因此，点必有一格点点必有一格点逆时针转角度逆时针转角度 后后B点转到点转到B点，操作前点，操作前后点阵不变，因此后点阵不变，因此B点必有一格点点必有一格点12cosm 1 1、晶格周期性对对称操作的限制、晶格周期性对对称操作的限制12cosm cosm012312 120123 24 26 22 2n n=2, 3, 4, 6综上所述，旋转角综上所述，旋转角 可写成且可写成且因此，晶体中由于晶格周期性的限制，只可有因此，晶体中由于晶格周期性的限制，只可有1，2，3，4，6度转轴，不存在度转轴，不存在5

54、度或度或6度以上的转轴度以上的转轴n称为转称为转轴的次数轴的次数或度数或度数2 2、几种基本的对称操作、几种基本的对称操作n度旋转对称轴度旋转对称轴晶体绕某轴旋转角度后能自晶体绕某轴旋转角度后能自身重合，则称该轴为身重合，则称该轴为 n 度旋转对称轴。度旋转对称轴。2n 对称轴的度数对称轴的度数n符号符号2346由于晶格满足平由于晶格满足平移对称性，故不移对称性，故不存在存在5度轴度轴准晶（准晶（19841984）：）：有五重对称但不有五重对称但不具有平移对称性具有平移对称性n度旋转反演轴度旋转反演轴晶体绕某轴旋转角度后在经过中心反演晶体绕某轴旋转角度后在经过中心反演能自身重合，则称该轴为能自

55、身重合，则称该轴为 n 度旋转反演轴。度旋转反演轴。2n xxyyzz 由于晶格满足平移对称性，故只有由于晶格满足平移对称性，故只有1，2，3，4，6度旋转反演轴，分别记为度旋转反演轴，分别记为不存在不存在5度或度或6以上的对称轴以上的对称轴n用表示用表示n度旋转反演轴度旋转反演轴1,2,3,4,61 :中心反演，称为对称心，用中心反演，称为对称心，用i表示，即表示，即1i 2:先绕轴旋转先绕轴旋转1800再作中心反演，如图，再作中心反演，如图，AAA”其效果相当于其效果相当于A通过垂直于转轴的平面通过垂直于转轴的平面的镜象操作（的镜象操作（m），因此，），因此，2m 3:其效果相当于其效果相

56、当于3度转轴加上对称心度转轴加上对称心i6:其效果相当于其效果相当于3度转轴加上垂直于该轴的对称面度转轴加上垂直于该轴的对称面4:4度旋转反演的效果并不能通过其它操作来替代度旋转反演的效果并不能通过其它操作来替代综上所述，晶体的微观对称性中有综上所述，晶体的微观对称性中有8种基本的对称操作种基本的对称操作1,2,3,4,6, ,4i m和和1.8.3对称操作群对称操作群1、群的基本知识、群的基本知识群：一组具有特殊运算规则的数学群：一组具有特殊运算规则的数学“元素元素”的集的集合合 ,.GA B C D E 1）集合）集合G中任意两个元素的中任意两个元素的“乘积乘积”仍为集合内的元仍为集合内的

57、元素素群的封闭性群的封闭性,若A BG ABCG 则则2）存在单位元素）存在单位元素E使得所有元素满足：使得所有元素满足：AEA 3）对任意元素）对任意元素A，存在逆元素，存在逆元素A-1，且，且1AAE 4）元素间的）元素间的“乘法运算乘法运算”满足结合律：满足结合律：()()A BCAB C 群的性质群的性质2、几个简单的群、几个简单的群1）所有除）所有除0以外的正实数的集合，以普通乘法为运算以外的正实数的集合，以普通乘法为运算法则，组成正实数群。法则，组成正实数群。2）所有整数的集合，以加法为运算法则，组成整数群）所有整数的集合，以加法为运算法则，组成整数群群的封闭性：群的封闭性：操作：绕操作：绕OA轴转轴转 /2，S点转到点转到T点点操作：绕操作：绕OC轴转轴转 /2，T点转到点转到S点点两个操作中两个操作中S和和O没动，而没动，而T点转到点转到T点点相当于操作：绕相当于操作：绕OS轴转轴转2 /3因此，因此，C=BA群的封闭性群的封闭性同样可以论证同样可以论证3）一个物体全部对称操作的集合，以连续操作为运算）一个物体全部对称操作的集合，以连续操作为运算法则，组成对称