材料力学之几何性质)

1、1附录附录平面图形的几何性质平面图形的几何性质2PITAPAId2平面图形的几何性质平面图形的几何性质F FNF FNTTAFNEAlFlN2/dIWPPPWTmaxmaxPGITPGIlT 均涉及到与截面均涉及到与截面图形的几何形状和尺图形的几何形状和尺寸有关的量。寸有关的量。3研究杆件的应力与变形，研究失效研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及强度、刚度、稳定问题，都要涉问题以及强度、刚度、稳定问题，都要涉及到与截面图形的几何形状和尺寸有关的及到与截面图形的几何形状和尺寸有关的量。这些量统称为几何量，包括：形心、量。这些量统称为几何量，包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯静矩、

2、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主轴等。性积、主轴等。 平面图形的几何性质平面图形的几何性质4 静矩和形心静矩和形心AyAzSdAzAySd图形对于图形对于 y y 轴的静矩轴的静矩图形对于图形对于 z z 轴的静矩轴的静矩A A分力矩之和分力矩之和合力之矩合力之矩AAzdAAydCAzCAy设该图形为单位厚度的匀质薄板容设该图形为单位厚度的匀质薄板容重为重为。5_若图形对某坐标轴的静矩为零，则该坐标轴若图形对某坐标轴的静矩为零，则该坐标轴 一定通过形心一定通过形心CAyAzAzSdCAzAyAySdAzdAASzAyCAydAASyAzC_若某坐标轴通过图形形心，则该图形若某坐标轴通过图

3、形形心，则该图形 对该对该 坐标轴的静矩一定为零坐标轴的静矩一定为零 静矩和形心静矩和形心AAzdAAydCAzCAy6z zy yo o对于组合图形对于组合图形niCiCnCCzinyAyAyAyAS12121niiniCiyCAzAASzi11niCiCnCCyinzAzAzAzAS12121niiniCizCAyAASyi11 静矩和形心静矩和形心1 12 27已知：已知：图形尺寸如图图形尺寸如图所示。所示。 求：求：图形的形心图形的形心解解1 1：1 1、将所给图形、将所给图形分解为简单图形的组分解为简单图形的组合合 C C1 1C C2 22 2、建立初始坐标、建立初始坐标，确定形心

4、位置确定形心位置 mm90502703030015050270011niiniCiiCAyAy 静矩和形心静矩和形心8解解2 2：1 1、同样将所给图形分解、同样将所给图形分解为两个矩形。为两个矩形。2 2、建立初始坐标、建立初始坐标轴轴与底边重合，则形心位置与底边重合，则形心位置 mm1055027030300165502701530300Cy 静矩和形心静矩和形心9AyAzId2AAId2PAyzAyIzdAzAyId2图形对图形对 y y 轴的惯性矩轴的惯性矩图形对图形对 z z轴的惯性矩轴的惯性矩图形对图形对 y z y z 轴的惯性积轴的惯性积图形对图形对 o o 点的极惯性矩点的极

5、惯性矩惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径00, 00, 00zyPIII222zyAIiyyAIizz图形对图形对 y y 轴的惯性半径轴的惯性半径图形对图形对 z z 轴的惯性半径轴的惯性半径10已知：已知：圆截面直径圆截面直径d 求：求：Iy y， Iz z， IP P例题 2解：解：取圆环微元面积取圆环微元面积惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径ddA2202212dPzydAIII204264221ddd3224dIIyP11已知：已知：矩形截面矩形截面b b h h 求：求：I Iy y， I Iz z解：解：取平行于

6、取平行于x x轴和轴和y y轴的微元面积轴的微元面积例题例题 3 3惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径223222212hhhhzbhbdyydAyI223222212bbbbyhbhdzzdAzIbdydAhdzdA12有对称轴截面的惯性积有对称轴截面的惯性积当图形有一根对当图形有一根对称轴时，称轴时，图形对图形对对称轴对称轴及与之垂直的任意轴的及与之垂直的任意轴的惯性积为零。惯性积为零。 0dAzydAzyIiiiiyz惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径13 y y1 1= =y ya a z z1 1= =z zb b

7、已知：已知： I Iy y、I Iz z、I Iyzyz求：求： I Iy1y1、I Iz1z1、I Iy1z1y1z1AzyAzAyAzyIAyIAzIddd1111211211a ab b 平行移轴公式平行移轴公式AAAAydAbzdAbdAzdAbzI22212AAAAAzydAabydAbzdAayzdAdAbzayI11AAAAzdAaydAadAydAayI22212AbbSIIyyy212AaaSIIzzz212abAbSaSIIzyyzzy1114如果如果y y、z z轴通过图形形心，轴通过图形形心，各式中的各式中的S Sy yS Sz z0 0。 AbIIyy21AaIIzz

8、21abAIIyzzy11 平行移轴公式平行移轴公式AbbSIIyyy212AaaSIIzzz212abAbSaSIIzyyzzy11 因为面积及包含因为面积及包含a2、b2的项恒为正，的项恒为正，故自形心轴移至与之平行的任意轴，惯故自形心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。性矩总是增加的。a、b为原坐标系原点在新坐标系中为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，要注意二者的正负号；二者同的坐标，要注意二者的正负号；二者同号时号时abA为正，异号时为负。所以，移为正，异号时为负。所以，移轴后惯性积有可能增加也可能减少。轴后惯性积有可能增加也可能减少。15已知：已知：图形尺寸如图所示。图形尺寸如图

9、所示。求：求：图形对图形对形心轴的惯性矩形心轴的惯性矩解解 ：1 1将所给图形分解为简单图形的组合将所给图形分解为简单图形的组合 2.2.建立初始坐标，确定形心位置建立初始坐标，确定形心位置 mm90502703030015050270011niiniCiiCAyAy 平行移轴公式平行移轴公式yz901506012502701230030334547m1003. 7mm1003. 73. 3. 惯性矩惯性矩502706012270503030090123030023234448m1004. 2mm1004. 2 IIIzzz000 IIIyyy000y0z016已知：已知：图形尺寸如图所示。图

10、形尺寸如图所示。求：求：图形对图形对形心轴的惯性矩形心轴的惯性矩1. 1. 确定形心位置确定形心位置 2121100 60 504070444.7mm100 60404niCiiCniiA yyA 平行移轴公式平行移轴公式2. 2. 惯性矩惯性矩3260 1005044.7100 60124484424 10 mm424 10 m12zzzIII403070600zyzCy422407044.74064417求：求：图形对形心轴的惯性矩图形对形心轴的惯性矩1. 1. 确定形心位置确定形心位置 1121.31620 1.6739.578 1014.06cm21.31639.578niCiiCni

11、iA yyA 平行移轴公式平行移轴公式0zzCyy0N .20b0N .14b查附录得槽钢查附录得槽钢 210121.316cm1.67cmAy查附录得工字钢查附录得工字钢 220239.578cm10cmAy02y01y1z2z1814.06cmCy 平行移轴公式平行移轴公式2. 2. 惯性矩惯性矩261.120 1.67 14.0621.31612zzzIII2250014.06 1039.578210121.316cm1.67cmAy220239.578cm10cmAy0zzCyy0N .20b0N .14b02y01y1z2z41161.1cmzI4222500cmzI44534.7c

12、m查附录得槽钢查附录得槽钢(y-y) 查附录得工字钢查附录得工字钢(x-x(x-x) ) 19 d dA Ay yz z已知：已知： I Iy y、I Iz z、I Iyzyz、 求：求： I Iy1y1、I Iz1z1、I Iy1z1y1z1AzyAzAyAzyIAyIAzIddd1111211211sincos1yzzsincos1zyy 转轴公式、主惯性矩转轴公式、主惯性矩2sin2cos221yzzyzyyIIIIII2sin2cos221yzzyzyzIIIIII2cos2sin211yzzyzyIIII图形对一对垂直轴的惯图形对一对垂直轴的惯性矩之和与转轴时的角度无性矩之和与转轴时的角度无关，即在轴转动时，其和保关，即在轴转动时，其和保持不变。持不变。APAzyzyIdAdAzyIIII2221120 转轴公式、主惯性矩转轴公式、主惯性矩2sin2cos221yzzyzyyIIIIII2sin2cos221yzzyzyzIIIIII2cos2sin211yzzyzyIIII 当当 = = 0 0时，时，I Iylyl、 I Izlzl分别为极大分别为极大值和极值。值和极值。I Iy0y0、 I