ch1.5数学模型

1、1控制系统的数学模型与转换控制系统的数学模型与转换2控制系统数学模型连续时间系统模型离散时间系统模型模型转换模型的连接微分方程传递函数状态空间模型差分方程脉冲传递函数离散状态空间模型实现问题3控制系统的数学模型控制系统的数学模型在控制系统的研究中有着相当重要的地位，要对系统进行仿真处理，首先应当知道系统的数学模型，然后才可以对系统进行模拟。同样，如果知道了系统的模型，才可以在此基础上设计一个合适的控制器，使得系统响应达到预期的效果，从而符合工程实际的需要。在线性系统理论中，一般常用的数学模型形式有：微分方程模型、传递函数模型（系统的外部模型）、状态方程模型（系统的内部模型）、零极点增益模型 和

2、 部分分式模型等。这些模型之间都有着内在的联系，可以相互进行转换。4系统的不同分类：连续系统和离散系统；线性系统和非线性系统；定常系统和时变系统等。 根据输入输出关系是否同时满足齐次性齐次性 和 叠加性叠加性，系统分为线性和非线性。假设系统在没有外界信号作用之前处于静止状态, 在输入信号 和 作用下, 有那么该系统称为线性系统，否则是非线性系统。系统的分类5系统的分类（续）系统的分类（续） 根据模型参数是否随时间变化，线性系统又可分为线性定常系统和线性时变系统。参数不随时间变化的系统，称为时不变系统或定常系统，否则称为时变系统。今后我们所讨论的系统主要以线性定常连续系统为主。例如：线性定常系统

3、线性定常系统：线性时变系统线性时变系统：非线性系统：非线性系统：6一. 连续系统时间模型 微分方程的表示形式（经典控制理论中的时域分析法时域分析法） 微分方程模型是控制系统模型的基础，一般来讲，利用机械学、电学、力学等物理规律，便可以得到控制系统的动态方程，这些方程对于线性定常连续系统而言是一种常系数的线性微分方程。7例：（质量弹簧阻尼器系统例：（质量弹簧阻尼器系统）由力学定律，得到其数学模型为：f是阻尼器的阻尼系数, k是线性弹簧的弹性系数，输入量是外力r(t) ，输出量y(t)表示质量块的位移弹簧质量阻尼器r(t)82. 2. 传递函数传递函数 （经典控制论中的（经典控制论中的频域频域分析

4、法，在零初始条件下，分析法，在零初始条件下，对微分方程对微分方程两边取拉氏变换两边取拉氏变换）11211121.)()()(nnnnmnmmasasasabsbsbsbsRsCsG对线性定常系统，式中s的系数均为常数，且a1不等于零，这时系统在MATLAB中可以方便地由分子和分母系数构成的两个向量唯一地确定出来。num=b1,b2,bm,bm+1den=a1,a2,an,an+1注意：它们都是按s的降幂进行排列的。9传递函数描述的是系统的输入-输出关系。用它描述时，对系统结构的内部信息一无所知，能够得到的只是系统的输入信息和输出信息。系统的内部结构就像一个“黑箱”一样?sin的传递函数uyyy

5、uyyy10零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其原理是分别对原系统传递函数的分子、分母进行因式分解 处理，以获得系统的零点和极点的表示形式。).()().()()(2121nmpspspszszszsKsGzi为零点，pj为极点, K为系统增益3. 3. 状态空间描述状态空间描述（可处理（可处理线性定常，线性时变，非线性，多线性定常，线性时变，非线性，多输入多输出系统输入多输出系统，随现代控制理论发展起来），随现代控制理论发展起来）状态、状态变量和状态向量状态、状态变量和状态向量 ：能完整描述和唯一确定系统时域行为或运行过程的一组独立（数目最小）的变量称为系统的状态；其中的各个变

6、量称为状态变量。当状态表示成以各状态变量为分量组成的向量时，称为状态向量。状态空间：状态空间：以状态向量的各个分量作为坐标轴所组成的n维空间称为状态空间。状态轨线：状态轨线：系统在某个时刻的状态，在状态空间可以看作是一个点。随着时间的推移，系统状态不断变化，并在状态空间中描述出一条轨迹，这种轨迹称为状态轨线或状态轨迹。 12状态轨迹状态轨迹 和 状态向量状态向量 13 (1) 状态和状态变量的本质在于表征系统的记忆特性或动态特性。它概括了为了预知未来特性而必须知道的有关系统历史情况的信息，并以能量形式保存在系统中。(2) 根据状态、状态变量的定义及其状态模型，一般可选取独立记忆元件(储能元件)

7、中与系统能量有关的物理量作为系统的状态变量。典型的状态变量有：机械系统中与位能有关的位置变量，与动能有关的速度变量；电系统中与储存电场能有关的电容电压或电荷变量，与储存磁场能有关的电感电流或磁链变量；以及离散系统中移位器的输出变量等等。状态变量是一组独立变量，其数目等于独立记忆元件的个数，即系统的阶数。 讨论： 14（3）状态变量的独立性。（4）状态变量的选取不是唯一的，因此状态方程、输出方程、动态方程也都不是唯一的。但是，用独立变量所描述的系统的维数应该是唯一的，与状态变量的选取方法无关。（5）动态方程对于系统的描述是充分的和完整的，即系统中的任何一个变量均可用状态方程和输出方程来描述。 1

8、5例：例：试确定图中所示电路的独立状态变量。图中u、i分别是输入电压和输入电流，y为输出电压，xi为电容电压或电感电流。 x316 因此，只有一个变量是独立的，状态变量只能选其中一个，即用其因此，只有一个变量是独立的，状态变量只能选其中一个，即用其中的任意一个变量作为状态变量便可以确定该电路的行为。实际上，中的任意一个变量作为状态变量便可以确定该电路的行为。实际上，三个串并联的电容可以等效为一个电容。三个串并联的电容可以等效为一个电容。 对图（对图（b b） x x1 1 = = x x2 2，因此两者相关，电路只有两个变量是独立的，因此两者相关，电路只有两个变量是独立的，即（即（x x1 1

9、和和x x3 3）或）或( (x x2 2和和x x3 3) )，可以任用其中一组变量如（，可以任用其中一组变量如（x x2 2，x x3 3）作为状）作为状态变量。态变量。13232xcccx13223xcccx解：解： 并非所有电路中的电容器电压和电感器电流都是独立变量。对图（a），不失一般性，假定电容器初始电压值均为0，有17有记忆部分无记忆部分y(t)x(t)m(t)(b)记忆元件m(t)x(t)系统剩余部分(无记忆)y (t)(a)f (t)f (t)一阶动态系统一阶动态系统 状态方程的建立状态方程的建立18有记忆部分无记忆部分y1(t)yq(t)f1(t)fp(t)mn(t) xn

10、(t)x1(t)xn(t).m1(t) x1(t).动态系统的状态模型动态系统的状态模型 19状态空间方程模拟框图状态空间方程模拟框图 20一阶线性微分方程组线性代数方程组状态方程：输出方程：A：状态矩阵（系统矩阵）B：输入矩阵C：输出矩阵D：前馈矩阵（直接传输矩阵）y, u：外部变量X(t)：内部变量与传递函数模型不同，状态空间描述把系统动态过程考虑为一个更为细致的过程：输入引起系统状态的变化，而状态和输入则决定了输出的变化。的状态空间描述方程和分别写出 cos 2utxxxuxx22二.离散时间模型1 1、差分方程、差分方程2 2、脉冲传递函数、脉冲传递函数对上式两端取z变换，得3 3、

11、离散状态空间离散状态空间)() 1()() 1()(11kubknubkyaknyaknynn所谓所谓实现实现，就是根据描述系统输入，就是根据描述系统输入/ /输出动态关系的运动方程输出动态关系的运动方程式或传递函数建立系统的状态空间表达式。所求得的状态空间式或传递函数建立系统的状态空间表达式。所求得的状态空间表达式保持原传递函数的输入表达式保持原传递函数的输入/ /输出关系，同时反映内部动态变输出关系，同时反映内部动态变化。化。实现不是唯一的实现不是唯一的，会有无穷多个状态空间表达式能够获得会有无穷多个状态空间表达式能够获得相同的输入相同的输入/ /输出关系。输出关系。三三. . 模型实现模

12、型实现“ “实现问题实现问题”11211121.)()()(nnnnmnmmasasasabsbsbsbsUsYsGuyayayaynnnn1)1(1)(微分方程：微分方程：( (输入函数不含有导数项输入函数不含有导数项) )设：设：)1()2(121,nnnnyxyxyxyxuxaxaxauyayayaxxxxxxxnnnnnnnnn1211)1(1113221 ,则有：则有：uxxxxaaaaxxxxnnnnnnn 1000100001000010121121121Xy0 0 01能控能控标准标准型型u可控标准型：可控标准型：nnnnnnnasasasbsbsbsUsYsG 111111)

13、()()(令：令：采用拉氏反变采用拉氏反变换，化为微分换，化为微分方程形式：方程形式：uxxxxyaaxaxbbxbnnnnnnn 1)1(1)(1)1(1（研究系统的内部状态变量可否由控制输入完全（研究系统的内部状态变量可否由控制输入完全影响的问题）影响的问题）nnnbsbsbsXsY 111)()(nnnnasasassUsX 1111)()(ubububyayayaynnnnnnn1) 1(11) 1(1)(传递函数：传递函数：微分方程：微分方程：( (输入函数含有导数项输入函数含有导数项) )(状态方程)(输出方程)取状态：取状态：xxxxnnxxxx)1(321 得到可控得到可控标准

14、型：标准型：下友矩阵下友矩阵uxxxxaaaaxxxxnnnnnnn 1000100001000010121121121Xbbbynn11 u可控标准型：可控标准型：ububububyayayaymmmmnnnn1) 1(1)(01) 1(1)(输入函数含有导数项输入函数含有导数项uxxxxaaaaxxxxnnnnnnn 1000100001000010121121121ubXy011nn nmnnmnabbabbabb010111011,其中根据传递函数分子、分母根据传递函数分子、分母多项式系数写出多项式系数写出可控标准可控标准型型的步骤：的步骤：1.1.状态变量个数状态变量个数 = = n

15、 n 2.A2.A的最后一行元素是分母的最后一行元素是分母多项式系数（升幂排列）多项式系数（升幂排列）的负值，矩阵上方的斜的负值，矩阵上方的斜对角线元素为对角线元素为1 13. 3. 矩阵矩阵B B最后一行元素为最后一行元素为1 1，其余元素为其余元素为0 04. D4. D阵的元素取决于分子多阵的元素取决于分子多项式阶数项式阶数m m和分母多项式和分母多项式阶数阶数n n 的大小。如果的大小。如果mnmn，D=0D=0；如果；如果m=nm=n，bD0 在在MatlabMatlab中，对应函数中，对应函数 ctrbf() ctrbf()。uxxxxaaaaxxxxnnnnnnn10001000

16、01000010121121121nnnnmmmmasasasbsbsbsbsG1111110)(ubXynn01110110,abbabbnmn其中u 根据传递函数也写出根据传递函数也写出可观测标准型可观测标准型可控标准型与可观测标准型之间存在如下对偶关系：可控标准型与可观测标准型之间存在如下对偶关系：BCCBAATocTocToc ,对应对应MatlabMatlab函数为：函数为：obsvf()obsvf() 可观测问题是研究系统的输入和输出是否完全反映系统状态的问题，可观测问题是研究系统的输入和输出是否完全反映系统状态的问题，如果系统的所有状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反映，则称

17、如果系统的所有状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反映，则称系统是状态可观测的。系统是状态可观测的。uxxxaaaxxxnnnnnn 11211121100001000 ubXy01000 u 传递函数写出传递函数写出对角标准型对角标准型（当特征方程的根互异时）（当特征方程的根互异时）u 传递函数写出传递函数写出约当标准型约当标准型（当特征方程有重根时）（当特征方程有重根时）对应对应MatlabMatlab函数为：函数为：canon()canon()nA0021约当块对角标准形实现对角标准形实现（只考虑单变量系统只考虑单变量系统） nnnnnnnscscscsssbsbsbsbsG 2211

18、2112110 )( )(limsGscisii n个互异特征根个互异特征根iics 时，上式中仅保留时，上式中仅保留当当 )()()(1sUsYscsGniii )()(1sUscsYniii iissUsX )()(令令 niiisXcsY1)()(取取L1uxxiii niiixcy1推导过程推导过程例：例： 32186611686)(23 sssssssssG xy5- 4 1 uxx 1113- 0 00 2- 00 0 1-uxxn 11121 xcccyn21 约当标准形实现约当标准形实现 nnjjjjjnjjnnnnscscscscscsssbsbsbsbsG 11111112

19、1111112110 )(j重根重根1nj,1单根单根 )s (Gsdsdlim!1i1cj1)1i ()1i (si11 ji, 2 , 1 )(limsGscisii njji, 2, 1uxxxxxxxxxxnjjnjnjj11100 11121111112100 xcccccynjj111211 例：例： 123312353 )(43122112 scscscscsssssG 3)(3lim2311 sGscs 6)23()32)(153()23(3lim )1)(2()5(3lim)(3lim)!12(1222332)12()12(312 ssssssssssGsdsdcsss 3)

20、(1lim ,9)(2lim1423 sGscsGscssuxx11101- 0 0 00 2- 0 00 0 3- 00 0 1 3- xy3 9- 6 3 36标准型和约当标准型试求可控标准型、可观，已知例)3()2(161741216716174)( :22232ssssssssssG可控标准型： 321321321xxx41716yu100 xxx71612100010 xxx)3(1)2(3)2(2)(2ssssG因此约当标准型： 321321321xxx132yu110 xxx300020012xxx最小实现是模型实现的一种。最小实现是模型实现的一种。对于同样的输入输出系统，可以由

21、不同的状态空间来实对于同样的输入输出系统，可以由不同的状态空间来实现，其中现，其中阶数最低的称为最小实现阶数最低的称为最小实现。对传递函数或零极对传递函数或零极点增益模型，它等价于将可对消的零极点进行对消。点增益模型，它等价于将可对消的零极点进行对消。在在MatlabMatlab中，对应函数中，对应函数 sysr=minreal(sys)sysr=minreal(sys)37最小实现最小实现38控制系统数学模型连续时间系统模型离散时间系统模型模型的转换模型的转换模型的连接微分方程传递函数状态空间模型差分方程脉冲传递函数离散状态空间模型实现问题39在一些场合下需要用到某种模型，而在另外一些场合下

22、可能需要另外的模型，这就需要进行模型的转换。模型转换的Matlab函数包括：ss2tf()： 状态空间模型转换为传递函数模型ss2zp()： 状态空间模型转换为零极点增益模型tf2ss()： 传递函数模型转换为状态空间模型tf2zp()： 传递函数模型转换为零极点增益模型zp2ss()： 零极点增益模型转换为状态空间模型zp2tf()： 零极点增益模型转换为传递函数模型2.3.3模型的转换40传递函数tf状态空间ss零极点zpktf2ssss2tfzp2ssss2zptf2zpzp2tf图示：41用法举例：1）已知系统状态空间模型为：A=0 1; -1 -2; B=0;1; C=1,3; D=

23、1;num,den=ss2tf(A,B,C,D)422）已知一个单输入三输出系统的传递函数模型为：num=0 0 -2;0 -1 -5;1 2 0;den=1 6 11 6;A,B,C,D=tf2ss(num,den)A= -6 -11 -6 B= 1 C= 0 0 -2 D= 0 1 0 0 0 0 -1 -5 0 0 1 0 0 1 2 0 0 61162)(61165)(61162)()()(23231232123111ssssssGsssssGssssusysG433）系统的零极点增益模型：z=-3;p=-1,-2,-5;k=6;num,den=zp2tf(z,p,k)num= 0 0

24、 6 18 den= 1 8 17 10a,b,c,d=zp2ss(z,p,k)a= -1.0000 0 0 b=1 2.0000 -7.0000 -3.1623 1 0 3.1623 0 0 c= 0 0 1.8974 d=0 )5)(2)(1()3(6)(sssssG44控制系统数学模型连续时间系统模型离散时间系统模型模型的转换模型的连接模型的连接微分方程传递函数状态空间模型差分方程脉冲传递函数离散状态空间模型实现问题451、并联：parallel()四. 模型的连接iiiiiiiiiiiuDxCyubxAxsys :并联后，系统变量上的特点为：yyyuuu2121uDDxCxCyubxAxubxAx)(21221122221111因此，并联后的动态方程为：462.4 模型的连接（续）uyuxxDDxxCCbbxxAA0021212121212121)()(21sGsGiiMatlab函数格式：a,b,