第三节 无穷小(量)和无穷大(量)

1、1一、无穷小一、无穷小(量量)定义定义以零为极限的函数以零为极限的函数(或数列或数列)称为称为无穷小无穷小(量量).例如例如, 0sinlim0 xx.0sin时时的的无无穷穷小小是是当当函函数数xx, 01lim xx.1时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数 xx, 0)1(lim nnn.)1(时时的的无无穷穷小小是是当当数数列列 nnn注注: : 1.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混为一谈不能与很小的数混为一谈;3.零是唯一可以作为无穷小的数零是唯一可以作为无穷小的数.2.称一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势称一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势.第四节第四节 无

2、穷小无穷小( (量量) )和无穷大和无穷大( (量量) )2无穷小和极限的关系无穷小和极限的关系: :定理定理 变量变量 y 以以A为极限的充分必要条件是：变量为极限的充分必要条件是：变量 y 可以表示为可以表示为 A 与一个无穷小量的和。即与一个无穷小量的和。即lim y A y A+ +a a ，其中其中a a 是无穷小是无穷小 。0 x我们以x为例来证明这个定理的充分性。充分性。00ylim=0lim y=Axxxxaa设 = +A,如果，那么00lim=000,xxxxa由于，根据极限的定义,当0，时0ay0AyA根据极限的定义，0lim y=Axx3无穷小和极限的关系无穷小和极限的关

3、系: :定理定理 变量变量 y 以以A为极限的充分必要条件是：变量为极限的充分必要条件是：变量 y 可以表示为可以表示为 A 与一个无穷小量的和。即与一个无穷小量的和。即lim y A y A+ +a a ，其中其中a a 是无穷小是无穷小 。必要性证明略必要性证明略.定理表明：定理表明： 极限概念可以用无穷小量概念来描述极限概念可以用无穷小量概念来描述. 无穷小量的性质：无穷小量的性质： 1 有限多个无穷小量之和仍是无穷小量；有限多个无穷小量之和仍是无穷小量； 定理定理2 无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量；无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量； 3 有限多个无穷小量之积仍是无穷小量。有限多个

4、无穷小量之积仍是无穷小量。 4例例1.sinlimxxx 求求解解,1,为为无无穷穷小小时时当当xx .sin是是有有界界函函数数而而x. 0sinlim xxxxxysin 下周我们会讲求极限的四则运算，很多同学常犯如下错误：5xxxarctanlim 例例2.0 6二、无穷大二、无穷大(量量)定义定义 如果变量如果变量y在其变化过程中在其变化过程中|y|无限增大，则无限增大，则称称y为无穷大为无穷大(量量)，记作，记作 y lim y 或精确定义：精确定义： )(lim0 xfxx, 0 , 0 M.)(Mxf 有有,00时时当当 xx1. 无穷大量是一个变量，不可与很大很大的数无穷大量是

5、一个变量，不可与很大很大的数 混为一谈；混为一谈；2. 称函数是无穷大量，必须指明其自变量的变称函数是无穷大量，必须指明其自变量的变 化趋势。化趋势。注注: :7证证明明 xx1lim0. . 即即 Mx1 , , 当当 x0时时, ,恒恒有有Mx 1. . 所所以以取取M1 , , 证证 得证得证. . xoy例例48无穷大量与无界变量的关系无穷大量与无界变量的关系 (1) (1) 无穷大量显然是无界变量；无穷大量显然是无界变量； (2) (2) 但无界变量不一定是无穷大量。但无界变量不一定是无穷大量。nann)1(1 + +：例如数列例如数列当当 n时时, ,na是是无无界界的的, ,但但

6、), 2 , 1( nan不不是是无无穷穷大大量量. . 再如，再如，函函数数xxsin，当当 x时时是是无无界界的的, , 但它并不是无穷大量。但它并不是无穷大量。 ( (3 3) ) 无界变量是个全局的概念，而无穷小、大量是无界变量是个全局的概念，而无穷小、大量是局部的概念。局部的概念。9三、无穷大量与无穷小量的关系三、无穷大量与无穷小量的关系 )(1xf为为无无穷穷小小; ;反反之之, ,若若)(xf为为( (非非零零) )无无穷穷小小, ,则则)(1xf为为无无穷穷大大. . 定定理理 在在自自变变量量的的同同一一变变化化过过程程中中, ,如如果果)(xf为为无无穷穷大大, ,则则 意

7、义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论都可归结为关于无穷小的讨论.例例)1(limnnn + + nnn+ + + 11lim( lim1)nMNnn+ + 可以用语言证明：（）.0 10四、无穷小量的比较四、无穷小量的比较例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim0， 20limxxx.1sin,sin,022都是无穷小都是无穷小时时当当xxxxxx 比值极限不同比值极限不同, 反映了两者趋向于零的反映了两者趋向于零的“快快慢慢”程度不同程度不同.23;xx比要更快趋向于0;sin大大致致相相同同与与xx, 0 , 1 观察各极限观察各极限.2要慢得多要慢

8、得多比比xx下节证下节证11, 0lim)1(高高阶阶的的无无穷穷小小是是比比则则称称如如果果 a a a a 定义定义：. 0, a a且且穷穷小小是是同同一一过过程程中中的的两两个个无无设设;),0(lim)3(是是同同阶阶无无穷穷小小与与则则称称如如果果a a a a cc;, 1lim是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果特别地，特别地，a a a a 低低阶阶的的无无穷穷小小；是是比比则则称称如如果果 a a a a,lim)2( ;)( a ao 记记作作=1;aa记作或（ ）O( ) ;a记作12.),0, 0(lim3 0无无穷穷小小阶阶的的是是则则称称、如如果果kx

9、kCCxkxa aa a 说明说明: : 1 1、称一个变量为高阶或低阶无穷小，是没有意义、称一个变量为高阶或低阶无穷小，是没有意义的，只有在同一个变化过程中的两个无穷小比较时，的，只有在同一个变化过程中的两个无穷小比较时，才能说它们阶的高低或是否同阶才能说它们阶的高低或是否同阶. 2 2、在同一极限过程中的两个无穷小量，并不是总、在同一极限过程中的两个无穷小量，并不是总能比较阶的高低的能比较阶的高低的. 13例例7由于都是无穷小时当,1,1,1,2nnnn,01112 nnn,0111 nnn,11 nnn比比高高阶阶的的无无穷穷小小，是是即即故故nnnon11),1(122 低低阶阶的的无

10、无穷穷小小。是是比比而而nn1114例例8证证明明：当当 n时时，nn + +1与与n1是是同同阶阶无无穷穷小小。 证证nnnn/11lim + + nnnn+ + + 1lim,21 所所以以当当 n时时， 无无穷穷小小量量nn + +1与与n1是是同同阶阶的的。 nnnnnnnn+ + + + + + + 1)1)(1(lim1/111lim+ + + nn15例例9证证明明：当当0 x时时，xnxn11)1(1 + +。 证证xxnx11lim0+ntx + +1令令)1)(1(1lim211+ + + + nnttttt，n1 .111xnxn+11lim1 nttt111lim111lim,00+xxnxnxnxnx所以16例例10当当0 x时时，由由于于x1sin是是有有界界变变量量， 所所以以xx1sin是是无无穷穷小小。 但是，但是，xxxx1