2017年高考数学(四海八荒易错集)专题12空间平行与垂直理

1、专题 12 空间平行与垂直1.1.a , 3是两个平面，m n是两条直线，有下列四个命题：1如果mln,ml a,n/3,那么a丄3. .2如果ml a,n/a,那么mln. .3如果a/3,n? ?a,那么m/ 3. .4如果m/n,a/3，那么m与a所成的角和n与3所成的角相等.其中正确的命题有_.（填写所有正确命题的编号）答案解析 当mln,mla,n/3时，两个平面的位置关系不确定，故错误，经判断知均正确，故正确答案为.2.2. 如图，在三棱柱ABO ABC中，侧棱AA丄底面ABC底面是以/ABC为直角的等腰直角三角形,=2 2a,BB= 3 3a,点D是AQ的中点，点F在线段AA上，

2、当AF=_时，CF丄平面BDF答案a或 2 2a解折 由题資易知,ED丄平面ACCiAi,所以禺 D丄 X要使 CF丄平面R 曲 F,只 BCF1DF即可+令 CF丄 DF,设上尸二心贝AF=3a-x.易知士少龙曰HHI_ xg-砸即尸-？2 2整理得x 3 3ax+ 2 2a= 0 0, 解得x=a或x= 2 2a. .步珈】AC2A23 3.如图，正方形BCD啲边长为a,已知AB=73 3BC将厶ABE沿边BE折起，折起后A点在平面BCD上 的射影为D点，对翻折后的几何体有如下描述：1AB与DE所成角的正切值是 2 2;2AB/ CE1 133VACE是a；6 64平面ABCL平面ADC其

3、中正确的是 _ .（填写你认为正确的序号）答案在 AA5C 中cosZC= 2AB-BCJ-/. ZLABC/1 cos-C.:EC If DE, :.ZABC是异面直线肿，庞所成的角，故正确.连接 BDC,则CE1BD,又 WD丄平面BCDE?CE匚平面BCDE,siniSCcosziASC解析作出折叠后的几何体的直观图如图所示:3 CE1AD又BDA AD= D, Bt? ?平面ABDAD? ?平面ABD CE1平面ABD又AB?平面ABD二丄起故错误*三棱锥B-ACE的体积B *苏自口=纟，故正确.二也）丄平面BCDE,爭7亡平面BCDE,.BC_LAD,又BC.LCD, ADCCD=D

4、y.BC丄平面ACDfTSC匚平面ABC,二平面仙 C丄平面 MD故答案为一4.4.如图，在等腰梯形ABCDK AB/ CD AD= DC= a,/ABC=6060，平面ACEH平面ABCD四边形ACEF是平行四边形，点M在线段EF上.（1 1）求证：BC丄平面ACEF当FM为何值时，AM/平面BDE证明你的结论.（1 1）证明在等腰梯形ABCDKAB/ CD AD= DC=a,/ABC=6060, ADC是等腰三角形，且/BCD=/ADC=120120, /DCA=/DAC=3030, /ACB=9090,即卩BCLAC又平面ACE丄平面ABCD平面ACEA平面ABC&AC BC?

5、?平面ABCDBC丄平面ACEF解当FMh-a时，AM/平面BDE4设A8 BD= N,连接EN如图.丁厶 CS=90 , Z3C=6C ,BC=a?:.AC=aAB-la,；.CAr： A：4=l : 2, 丁四边JACEF是平行四边:.EF=AC=3a.丁 3平面迟 DE, 4A/t平面ACEFr平面平面* 爲NE, ：四边形ANEMf平行四边形，二FA/：血二1：2,当FM= -3a时，AM/平面BDE3 35 5.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，DE分别为AB BC的中点，点F在侧棱BB上，且B DL AF,AC丄AB.A D求证：直线DE/平面ACF;平面BDEL平面ACF. .证

6、明由已知，ABC的中位线，DE/ AC又由三棱柱的性质可得AC/ AC,DE/ AC,且DE?平面AiCF,AC? ?平面AiCF,DE/平面AQ F. .在直三棱柱ABC- AiB C中，AA丄平面A BiC,AA丄AiCi,又A B丄A C,且ABAAA=Ai,5AiG丄平面ABBAi,BiD? ?平面ABBA,AiC丄B D,又TAFL BiD,且AiFAAC=A,6 BD丄平面A C F，又TB D? ?平面B DE平面B DE丄平面A GF.6 6.如图 1 1,在正ABC中,E,F分别是AB AC边上的点，且BE= AF= 2 2CF点P为边BC上的点，将厶AEF沿EF折起到AEF

7、的位置，使平面AiEF丄平面BEFC连接A B，AP, EP如图 2 2 所示.(2)(2)若BP=BE点K为棱AF的中点，则在平面AFP上是否存在过点K的直线与平面AiBE平行，若存在,请给予证明；若不存在，请说明理由.(1)(1)证明 在正ABC中，取BE的中点D,连接DF,如图 1.1.因为旋=AF=2CFf所叹血二肋，AE=DEf而厶=60“ ,所以血尸为正三甬形-又 所以EF1AD.所以在图 2中如丄园BE1EF.故厶问为二面甬小一 EFB的一个平面甬因为平面AiEFl平面BEFC,所叹厶,即AiElEB.因为EFAEB= E，所以AE丄平面BEFC因为FP? ?平面BEFC所以AE

8、丄FP.(2)(2)解在平面AFP上存在过点K的直线与平面ABE平行.(1)(1)求证：AiE丄FP;AL1*12图 1 17理由如下:8如图 1 1,在正ABC中，因为Bi BE BE= AF,所以Bl AF,所以FP/ AB所以FP/ BE如图 2 2,取AiP的中点M连接MK图 2 2因为点 K为棱 diF的中点，所決關 FP.因FP II BE,所 l 次皿BE因为伙工平面川田三占豆匚平面所以MK平面AiBE.故在平面AiFP上存在过点尤的直线，区与平面 ARE平行.【名阳h MM)易错起源 1 1、空间线面位置关系的判定则下列命题正确的是( () )A.A.I与I1,I2都不相交B.

9、B.I与I1,I2都相交C.C. I I 至多与丨1,丨2中的一条相交D.D. I I 至少与丨1,丨2中的一条相交关于空间两条直线a、b和平面a,下列命题正确的是( () )A.若a/b,b? ?a,则a/aB.若a/a,b? ?a,贝Ua/ bC.若a/a,b/a，贝Ua/bD.若a丄a,b丄a，贝Ua/b例 1 1、(1)(1)若直线l1和I2是异面直线,li在平面a内，丨2在平面B内，I是平面a与平面3的交线,AL9答案(1)D(1)D(2)D(2)D 解析 若I与I1,丨2都不相交，则I/I1,I/I2,|1/I2,这与I1和I2异面矛盾，I至少与I1,l2中的一条相交.(2)(2)

10、线面平行的判定定理中的条件要求a?a?a，故 A A 错；对于 线面平行，这条直线与面内的直线的位置关系可以平行，也可以异面，故 B B 错；平行于同一个平面的两条直线的位置关系：平行、相交、异面都有 可能，故 C C 错；垂直于同一个平面的两条直线是平行的，故D D 正确，故选 D.D.【变式探究】设 m m n n 是两条不同的直线，a,3是两个不同的平面，给出下列四个命题：若 m/m/ n,n,ml 3,贝 U Un n 丄3;若m/m/a, m/m/3,贝 U Ua/3；若 m/m/ n,n,m/m/3，贝 U Un n /3；若 m/m/a,n n 丄3,贝 U Ua丄3. .其中真

11、命题的个数为( () )A.A. 1B.1B. 2C.2C. 3D.3D. 4 4答案 B B解析 因为如果两条平行线中的一s直于一个平面那么另一条也垂直于这个平面 所臥正 确；当斑平行于两个相交平面 JB的交线 2时:，也有冊a ,mil 0f所以错误;若mUn 讪则 0或”匚0,所以错误面c,再与直线锻的关系如图所示必有口丄 6 故 正确.【名师点睛】解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况， 以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥 等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用

12、到立体几何中.【锦囊妙计，战胜自我】空间线面位置关系判断的常用方法(1)(1) 根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；(2)(2) 必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理 来进行判断.易错起源 2 2、空间平行、垂直关系的证明例 2 2、如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD= PC=4 4,AB=6 6,BC=3.3.10(1)证明：BC/平面PDA证明：BC丄PD求点C到平面PDA勺距离.证明因为四边形ABCDI长方形，所以BC/ AD因为BQ平面PDAAD?平面PDA所以BC/平面PDA

13、证明 因为四边形ABCD是长方形，所以BCLCD因为平面PDCL平面ABCD平面PDC1平面ABCD=CD BC? ?平面ABCD所以BCL平面PDC因为PD? ?平面PDC所以BCLPD解如图，取CD的中点E,连接AE和PE因为PD=PCf所以PElCDf在中，PE=xlPD-DE-=-31= ?.因为平面円贮丄平面ABCD,平面PDCf平面ABCD=CDfPEu平面 PD。所以.血丄平面ABCD.由(2號山 BC丄平面 PDC,由(10：BCH.4D,所以ADL平面PDC因为PD? ?平面PDC所以ADL PD设点C到平面PDA的距离为h,因为V三棱锥c PDQV三棱锥P-ACD所以 f

14、fsPDA3 31 1h=3SACD-PE11S. PE_2 2X3X6XV7_3 3护SPDA1 12 2，2 2X3 3X4所以点C到平面PDA勺距离是葺.P-ABCD中,AD/ BC且BC=2 2AD ADL CD PBL CD点E在棱PD上,求证：PB/平面AEC证明 因为 Q 丄3, AD BC,所以 QD丄仔 G 又 PB丄 CD,PBCBCBr册亡平面胡 GBCr平面PBC所以 CD丄平面阳 C又 CDu平面PCD,所以平面 PED 丄平面PBC.(2琏接BD交AC于点 6 连接0E因为AD/ BC所以AD(ACBQ所以DO：QB= AD：BC=1 1 : 2 2,又PE=2 2

15、ED所以0曰/PB又QE平面AEC PB? ?平面AEC所以PB/平面AEC【名师点睛】 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行 四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质即h=【变式探究】如图，在四棱锥12定理进行平行转换.(2)(2)证明线线垂直常用的方法：利用等腰三角形底边中线即高线的性质；勾股定理；线面垂直的 性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，I丄a,a? ?a? ?I丄a. .【锦囊妙计，战胜自

16、我】 空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化.闻面平行的判定- H H 亍线卿平和的判定线面L画面平行的判宜面面|线面平行的性质:平行面面行的蟲 1 1 半行 I It t_I I面而平行的性质面面垂直的判定- -II|线網线 ifiiifii 垂宜們判定线面|耐睡 1W1W 判定-面而|垂立线面亟自的件质垂直面面乖自的性质垂克|t t_I I面而垂直的性质易错起源 3 3、平面图形的折叠问题例 3 3、如图，在边长为 4 4 的菱形ABCDK/DAB=6060，点E,F分别是边CD,CB的中点，A8 EF= 0,沿已尸将厶C

17、EF翻折到PEF连接PA PB PD得到如图的五棱锥PABFED且PB=To.To.(1)(1)求证：BD丄PA求四棱锥BFED勺体积.(1)(1)证明点E,F分别是边CD CE的中点，:.BDIIEF.T菱形肋 CD的对角线互相垂直，二妙丄必一:.EF1AC /.EFAOEFLP0,W0 匸平面POAfP0匚平面P0A?A0CP00二 EF丄平面POAf二#0丄平面P0A,又出匚平面P0Af:3D丄刊13解 设A6 BD= H连接BQv/DAB=6060, BD=4 4,BH=2 2,HA=2 2 3 3,HQ= PQ= 3,在 RtRtBHC中,BQ= BH+HQ= 7 7,在厶PBC中,

18、BQ+PQ= 1010=P,A PQL BC. ./ PQL EF, EFABQ= Q EF? ?平面BFED BQ平面BFEDPQL平面BFED梯形BFED勺面积S=jEF+BDHQ=3 3 3 3 ,四棱锥PBFED勺体积V=PQ=3 3X33 3X3 3=3.3.【变式探究】如图 1 1,在 RtRtABC中 , /ABC=6060, /BAC=9090 ,AD是BC上的高，沿ADABC折 成 6060的二面角BAD- C如图 2.2.(1)(1)证明：平面ABDL平面BCD设点E为BC的中点，BD=2 2,求异面直线AE和BD所成的角的大小.a 明 因为折起前 q 是兀边上的高，则当心

19、血折起后，ADlCD, AD丄少又CDCBDDr则 Q 丄平面BCD.因为血 u 平面仙 D,所以平面丄平面BCD解 如虱 収CD的中点Fr连接EF,则EFli BD,ABD为等边三角形，1415所以/AEF为异面直线AE与BD所成的角.连接AF, DE由BD=2 2,贝U EF= 1 1,AD=2申,CD=6 6,DF=3.3. 在 RtRtADF中,AF=AD+DF= 21.21.在厶BCD中，由题设/BDC=6060,贝yBC=BD+CD 2 2BD- CDcoscos/BDC=2828,1 1即BC=2 2 7 7,从而BE= BO7 7,BD+BCCD1 1cos/CBD=2 2BD

20、- BC_2.72.7D4BB+B 呼_2BD BE cosZCSD=13在 RtAQE 中，AE=pQ+D&=“在中因为两条异面直线所成的甬为说角或直角,所叹异面直线AE与BD所成的角的大小为 60【名师点睛】(1)(1) 折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口；(2)(2) 存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾或肯定结论.【锦囊妙计，战胜自我】 平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化、有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决

21、这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法.B.B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件C. p是q的充分必要条件D. p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件q：丨1,丨2不相交， 则( (TJF -FF2丁扭+护血A. p是q的充分条件，但不是q的必要条件16答案 A A解析 由li,丨2是异面直线，可得11,I2不相交，所以p? ?q；由li,丨2不相交，可得11,I2是异面直线 或I1/I2，所以q? ?p. .所以p是q的充分条件，但不是q的必要条件故选 A.A.2 2.设a，b是平面a内两条不同的直线，I是平

22、面a外的一条直线，则“I丄a,I丄b”是“I丄a” 的（）（）A.A.充要条件B B.充分而不必要条件C.C.必要而不充分条件 D D 既不充分也不必要条件答案 C C解析 若a,b是平面a内两条不同的直线，I是平面a外的一条直线，I丄a,I丄b,a/b,则I可以与平面復斜交，推不出4 若丄 j勺罡平面呦内两条不同的直线罡平面口外的一条直线，则/丄I丄b.-lLaf21是 1 的必要而不充分条件，故选 CCHA.A.平行B B.垂直如图，直线AB CD异面.因为CE/ AB所以/ECD即为直线AB CD所成的角，因为CD助等m n是空间两条直线，a,3是空间两个平面，则下列命题中不正确的是（）

23、A.若n? ?a ,n/a ,则n/mB.若n? ?a ,ml3 ,则a丄3C.若n丄a ,n丄3 ,则a / 3D.若n? ?a ,n丄a ,则mln解析A A 中，若n? ?a,n/a,贝Un/m或m n异面.故不正确； B B, C,C, D D 均正确.故选 A.A.4 4.将正方体的纸盒展开如图，直线AB CD在原正方体的位置关系是 （C.C.相交成 6060角答案 D DD.D.异面且成 6060角解析设3 3.答案A A175 5.如图，四边形ABC中，AD/ BC AD= AB/BCD=4545,/BAD=9090，将ADB沿BD折起，使平答案 D D解析 因为在四边形中，AD

24、ll BC,血=舶,ZBCD=45,所法 BD 丄 CD,又平面血 Q 丄平面BCDf且平面ABDC平面3CD=BDfCD匚平面BCD,所以CD丄平面仙 o,则CDLAB,又加丄朋ADCCD=D?所以 3 丄平面/DC又 4B亡平面曲 G 所汰平面 XBC1丄平面也）G 故选 D_6如图，在空间四边形ABCD中，点M AB点N AD,若倍需贝卩直线MN与平面BDC的位置关系是_.答案平行,AM ANZH解析由MET ND得M/BD而B? ?平面BDC MN平面BDC所以MN/平面BDC_. .（填序号）Ad BE面ABDLA-BCD则在三棱锥A-BCD中,F列命题正确的是A.平面ABDL平面A

25、BCB B.平面ADC_C.平面ABCL平面BDCD.平面ADC_平面ABC7 7正方体ABC-ABCD中，E为线段BD上的一个动点，则下列结论中正确的是边三角形，故/ECD6060E182BE/平面ABCD3三棱锥EABC勺体积为定值;4直线BE丄直线BC. .答案解析 因ACL平面BDDB，故正确；因BD/平面ABCD故正确；记正方体的体积为V则VE-ABC1 1=& &V,为定值，故正确；BE与BC不垂直，故错误.& &下列四个正方体图形中，点A, B为正方体的两个顶点，点M N, P分别为其所在棱的中点，能得出AB/平面MNP勺图形的序号是 _ （写出所有符合要求的图形序号 ）N AaMaRM3答案解析对于，注意到该正方体的面中过直线AB的侧面与平面MNP平行，因此直线AB平行于平面对于，注意到直线曲和过点且的一个与平面丄心卩平行的平面相交，因此直线仙与平面丄皿尹相交对于注青到此时直线AB与平面 AP內的一条直线MP平行,且直线A3位干平面施 VP外,因