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年复旦大学“数学英才实验班”选拔考试试题2022年9月3日1.求符合条件的序列的个数，满足如下条件：（1）；（2），有。2.已知函数，其中，证明：存在，且。的根的实部全部大于0.3.求所有正整数组，使得不定方程组有正有理数的解。4.定义，其中为奇素数。（1）给出同余方程的满足的一组解；（2）（代数基本定理）设，且，求证在内至多有个解；（3）（小定理）求证：；（4）（原根存在定理）若正整数满足：，且≢，则记，则称为在意义下的阶，求证：必定存在，有；（5）求证，存在，都存在中必有一者成立；（6）说明当时，必有一组非零解。5.（1）四面体的四个平面将空间分成了几部分？（2）正八面体的八个平面将空间分成了几部分？2022年复旦大学“数学英才实验班”选拔考试试题解答1.解析：设满足题设条件设，.再记由题意，易得且有如下递推公式：由此可得：，而故所以。2.证明：取，反设，且。则这要求，矛盾！3.解答：（1）中至少有一个数为1，不妨设，由可知，同理知，设，则若，则，否则，此时；若，则，等号成立当且仅当，此时；考虑顺序，则为及其轮换；（2）中无任何一个数为1，可设，其中，且，于是，我们有，，故，同理可得所以同理，于是，；不妨设，由于，故，故；故，又所以；此时，，考虑顺序，则为及其轮换；综上所述，为及其轮换。4.解答：（1）显然是的倍数，所以；（2）下面先证明一个引理：若在内有一个跟，则（3）（4）（5）（6）5.解答：（1）显然三个面将空间分为8个部分，第四个平面将空间分成的两个半空间分别与这8个部分中的7个和8个有交集，故答案为个。（2）首先考虑一个基础的问题：处于一般位置的个平面将空间分割为几个区域？（这里“一般位置”指：无平行面、无面共点、无三面共线等等的一系列规定）用二维的结论去理解，容易得到答案是对于我们的问题，先设正八面体上半部分为，与之相对应的平行面设为.容易看出处于一般位置，它们分割出8个部分。考虑加入，它与上述三个面交于同一点，因此在其上的交线形状如下：（分割出6个区域）下一步添加，它与平行，因此无交线，和其余三面的交线如图所示：（分割出7个区域）再添加，它与平行，并且注意这里出现了一处四面共点：，故交线如图所示：（新增9个区域）再添加，出现一处四面共点，图中已标出：（新增13个区域）最后添上，需要注意此处有三处四点共面，不要忘记这一组：（新增16个区域）综上，总分割数为：我也不知道这个结果有什么意义，要说作何感想

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