沪科版数学八年级下册整册教学课件

1、沪科版数学八年级下册全 册 教 学 课 件全 册 教 学 课 件（2021年春修订）第第16章章 二次根式二次根式16.1 二次根式二次根式第第1课时课时 二次根式二次根式沪科版沪科版八年级数学下册八年级数学下册复习导入复习导入（2）3 的算术平方根是的算术平方根是_. （3） 有意义吗？为什么？有意义吗？为什么？ 5（4）一个非负数）一个非负数 a 的算术平方根应表示为的算术平方根应表示为_.（1）3 的平方根是的平方根是_.30a a 3正数有两个平方根且互为相反数；正数有两个平方根且互为相反数；0 有一个平方根就是有一个平方根就是 0；负数没有平方根负数没有平方根.平方根的性质：平方根的

2、性质：算术平方根的性质：算术平方根的性质：正数和正数和 0 都有算术平方根；都有算术平方根；负数没有算术平方根负数没有算术平方根.填一填填一填1.面积为面积为 3 的正方形的边长为的正方形的边长为_，面积为，面积为 S 的正方形的边长为的正方形的边长为_.3S2.一个长方形围栏，长是宽的一个长方形围栏，长是宽的 2 倍，倍，面积为面积为 130 m2，则它的宽为，则它的宽为_m.65推进新课推进新课3.一个物体从高处自由落下，落到地面所用一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间的时间 t（单位：（单位：s）与开始落下的高度）与开始落下的高度 h（单位：（单位：m）满足关系）满足关系 h =

3、5t2，如果用含有，如果用含有 h 的式子表示的式子表示 t ，则，则 t =_.思思 考考3655hS， ，5h分别表示什分别表示什么意义？么意义？观观 察察3655hS， ，这些式子有什么共同特征？这些式子有什么共同特征？ 都表示一个非负数（包括字母或式子都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根表示的非负数）的算术平方根.根据你的理解，请写出二次根式的定义根据你的理解，请写出二次根式的定义. . 把形如把形如_，用来表示一个非负数的算术平，用来表示一个非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式方根的式子，叫做二次根式.a0aa二次根号二次根号被开方数被开方数读作读作“根号根号

4、a”二次根式二次根式表示非负数表示非负数 a 的算术平方根，的算术平方根， 0a a形如形如 的式子叫做二次根式的式子叫做二次根式. 0a a它必须具备如下特点：它必须具备如下特点：1.含有二次根号含有二次根号“ ”（根指数为（根指数为 2）；）；2.被开方数必须是非负数被开方数必须是非负数.思思 考考1.代数式代数式 是二次根式吗？是二次根式吗？a答答:代数式代数式 只有在条件只有在条件a0的情况下，才的情况下，才属于二次根式！属于二次根式！a属于有特殊条件属于有特殊条件的代数式的代数式.2. 是二次根式吗？是二次根式吗？22答：符合条件答：符合条件(1)被开方数被开方数 22 为非负数为非

5、负数; ; (2) 含有含有二次根号，所以二次根号，所以 是二次根式是二次根式223.代数式代数式 是二次根式吗？是二次根式吗？12(2),(0)aaxx答答:是的，二次根式的被开方数可以是整式或分式是的，二次根式的被开方数可以是整式或分式.做一做做一做下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 431133002200 x xxy xyxxy ， ， ， ， ， ， 当当a0 时时, 表示表示 a 的算术平方根，因的算术平方根，因此此 0；当；当a = 0 时，时， 表示表示 0 的算术平的算术平方根，因此方根，因此 = 0； 这就是说，这就是说

6、， （a0）是一个非负数）是一个非负数.具具有双重非负性有双重非负性.aaaaa思思 考考当当 x 是多少时，是多少时， 在实数范围内有意义？在实数范围内有意义？31x 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于要大于或等于 0，所以，所以 3x-10，才能有意义，才能有意义.解：由解：由 3x-10，得：，得：13x当当 x 时，时， 在实数范围内有意义在实数范围内有意义.1331x 练习 当当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？范围内有意义？(1)1;(2) 23;(3);(4) 5.aaaa a

7、132a a0a5形如形如 的式子叫做二次根式：的式子叫做二次根式： 0a a2. a 可以是数，也可以是式可以是数，也可以是式.3. 形式上含有二次根号形式上含有二次根号.5.既可表示开方运算，也可表示运算的结果既可表示开方运算，也可表示运算的结果.1.表示表示 a 的算术平方根的算术平方根.4. a0， 0 a归纳小结归纳小结( ( 双重非负性双重非负性). ).随堂练习随堂练习1.已知一个正方形的面积是已知一个正方形的面积是 3，那么它的边长是，那么它的边长是 . 2.使使 有意义的有意义的 x 的取值范围是的取值范围是 . 3.下列各式中一定是二次根式的是下列各式中一定是二次根式的是(

8、 )3xx-33A.1x2B. (1)x2C.1a1D.xB4.二次根式二次根式 中，字母中，字母 a 的取值范围是的取值范围是( ) A.a0 B.a0 C.a0 D.a0Da15.当当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？2(1)2 , (2)3, (3) 5,(4)21.aaaa 解：解：(1) a-2; (2) a3; (3) a为任意实数；为任意实数；12(4) a6.当当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？2211(1)1 , (2) (1) , (3), (4).21

9、xxxxx解：解：(1) x 为任意实数；为任意实数； (2) x 为任意实数；为任意实数； (3) x0，a+c-b0. 2abcbac= a+b-c+(a+c)-b= 2a 22443623 .xxxx 化化简简3 320,2xx解解：由由，得得 22443 23xxxx 22=2323xxx = 2 - x + 3 - 2x + 3x = 5.课堂小结课堂小结2(0)aaa2(0)0(0)(0)aaaaaaa课后作业课后作业1.完成教材习题完成教材习题16.1 第第2、5题，题，2.完成练习册本课时的习题完成练习册本课时的习题.谢谢大家16.2 二次根式的运算二次根式的运算1. 二次根式

10、的乘除二次根式的乘除第第 1 课时课时 二次根式的乘法二次根式的乘法沪科版沪科版八年级数学下册八年级数学下册新课导入新课导入 一个长方形的长和宽分别是一个长方形的长和宽分别是 和和 ，求这个长方形的面积求这个长方形的面积. 你列出的算式是什么？你列出的算式是什么？102 2102 2S 这个算式应怎这个算式应怎样计算呢？样计算呢？推进新课推进新课观观 察察计算下列各题，观察有何规律？计算下列各题，观察有何规律？ 1425,4 25;20.25100,0.25 100. 25=10100=100.510=525=50()0,abab ab一般地，有一般地，有300.ababab性质 如果，那么有

11、因为当因为当 a0，b0 时，时， 222=.ababab又又 ，2=ababab 的算术平方根只有一个，所以的算术平方根只有一个，所以.abab00abab ab ， 算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.a、b 必须都是非负数！必须都是非负数！例例1 计算：计算：162723 52 10.（ ）；（ ）解解31627= 6 27= 2 3 3 （ ）4= 23 =9 2.例例1 计算：计算：162723 52 10.（ ）；（ ）解解23 52 10=35210 （ ）2=6 5 10=6 52=30 2.练一练练一练计算：计算：1622

12、 6 272 3 . （ ）；（ ）解解 162= 6 2= 2 3 2=2 3.（ ）2 6 272 3 =62723 （ ）3=12 273=12 33=108.一般地，一般地，00abab ab ， 由等式的对称性，反过来：由等式的对称性，反过来：=00abab ab ， 做一做做一做化简：化简：23149 121216.ab c（ ）；（ ）解解149 121= 49121=7 11=77.（ ）2323221616444.ab cabca bccbcacbc ac（ ）化简二次根式的步骤：化简二次根式的步骤：1.把被开方数分解因式（或因数）把被开方数分解因式（或因数） ；2. 把各因

13、式（或因数）积的算术平方根化为每个把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；因式（或因数）的算术平方根的积；3.如果因式中有平方式（或平方数），应用关系如果因式中有平方式（或平方数），应用关系式式 (a0)把这个因式（或因数）开出来，把这个因式（或因数）开出来，将二次根式化简将二次根式化简.2aa练一练练一练化简：化简：172（ ）；236 256（ ）；4353（ ）；2241312 .（ ）解解172= 36 2= 362=6 2.（ ）236 256= 36256=6 16=96.（ ）44353= 53=253=25 3.（ ）2241312 =13121

14、312 = 25=5.（ ）思考思考 )9()4()9()4(成立吗？为什么？成立吗？为什么？=00abab ab ， 非负数非负数 ( 4)( 9)366.随堂练习随堂练习1.4559 3 52874.化化简简= = =，同同理理可可得得 2.128=. 计计算算2 74 63.若直角三角形两条直角边的边长分别为若直角三角形两条直角边的边长分别为 cm和和 cm，那么此直角三角形的面积是，那么此直角三角形的面积是 .151223 5 cm4.下列各式正确的是下列各式正确的是( )DA. 25 95 945 B. ( 9) ( 4)94 22C. 72472431 22D. 2012(2012

15、)(2012)32 816 5.化简或计算：化简或计算： (1) 2427 ;(2) 6(15); (1) 2427 解：解：3 83 93 3 22 18 2. (2)6(15) 6 15 2 3 3 5 3 10. 11(3) 182075 ;(4)2;3xyx (3) 182075 解：解：2 94 53 25 3 22 55 330 30. 11(4)23xyx 1123xyx 2.3y 课堂小结课堂小结ab ab(a0，b0)0,()0abab二次根式的乘法计算：二次根式的乘法计算：ab课后作业课后作业1.完成教材课后习题，完成教材课后习题，2.完成练习册本课时的习题完成练习册本课时

16、的习题.谢谢大家第第 2 课时课时 二次根式的除法二次根式的除法沪科版沪科版八年级数学下册八年级数学下册复习导入复习导入1.二次根式的两个基本性质二次根式的两个基本性质:2a2a(0)0(0)(0)aaaaaa(0)aa(0,0)abab ab算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.00abab ab（，）积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根之积之积. .2.二次根式的乘法：二次根式的乘法：3.如何化简二次根式如何化简二次根式关键：将被开方数因式分解或因数分解，使被开关键：将被开方数因式分解或因数分解

17、，使被开方数出现方数出现“完全平方数完全平方数”或或“”. .思思 考考试着举出一些例子试着举出一些例子推进新课推进新课思思 考考计算下列各题，观察有何规律？计算下列各题，观察有何规律？36361(),();4949992(),().1616（ ）（ ）67673434aabb 一般地，有一般地，有400.aaabbb性质 如果 ， ，那么有二次根式的除法法则：二次根式的除法法则： 两个二次根式相除，等于把被开方数相两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数除，作为商的被开方数. 当二次根式根号外因数不为当二次根式根号外因数不为 1 时，根据单时，根据单项式除以单项式法则类比，可得

18、项式除以单项式法则类比，可得000 .m amaabnnbn b ， ，例例2 计算：计算：4114052.312（ ）；（ ）解解240401405=822=2 2.55（ ）41414212164.3123123（ ）类似地，把类似地，把 反过来，就得到反过来，就得到aabb (0).0aaabbb ， 商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根以除式的算术平方根.利用它可以进行利用它可以进行二次根式的化简二次根式的化简. .404055 8405=2 25555 把分母中的根号化去，使分母变成有理数，这把分母中的根号化去，使分母变成

19、有理数，这个过程叫做分母有理化个过程叫做分母有理化.24040405=822=2 255还有其他解还有其他解法吗？法吗？解解做一做做一做计算：计算：3 68.455123366 30.12（ ）； （ ）；（ ）3 636216326 3（ ）8.48.42700.120.12（ ）555632.3635（ ）思考思考观察上面各小题计算的最后结果：观察上面各小题计算的最后结果：（1）你觉得这些结果能否再化简，它们已经是最）你觉得这些结果能否再化简，它们已经是最简二次根式了吗？简二次根式了吗？（2）这些结果有什么共同特点，你认为一个二次）这些结果有什么共同特点，你认为一个二次根式满足什么条件就可

20、以说它是最简了？根式满足什么条件就可以说它是最简了？ 可以发现这些式子有如下两个特点：可以发现这些式子有如下两个特点：（1）被开方数不含分母；被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式被开方数中不含能开得尽方的因数或因式我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式简二次根式 简记为：分母无根简记为：分母无根号，根号无分母号，根号无分母.做一做做一做下列根式中，哪些是最简二次根式？下列根式中，哪些是最简二次根式？3, 8,2abxyxyx例例3 比较比较 与与 的大小：的大小：2 33 2解解2 34343123 2929 2181

21、218 1218 2 33 2你还能想到哪些方法你还能想到哪些方法比较它们的大小？比较它们的大小？随堂练习随堂练习1.如果等式如果等式 成立，那么成立，那么( )A. x0 B. x3C. x3D. x3B2.下列各式中，是最简二次根式的是下列各式中，是最简二次根式的是( )C2222A. 18B.C.D.3a bab 33xxxx 3.3(1)63(2)2 311(3)28(4) 27506(5) 6( 23) 计计算算：366 62 332 33 32 11281824 2 27 5069 2515 661 4.5 5.mmnmn 若若和和是是同同类类最最简简二二次次根根式式，则则5.32

22、4,.xx已已知知方方程程62 2解：解：SABC =2 312AC BC12 32BC3 15 3 5BC2222Rt(2 3)(3 5)57.ABCABACBC在在中中，由由勾勾股股定定理理得得： 6.如图，在如图，在 RtABC 中，中，C=90, AC= ，SABC = ，求，求 AB 的长的长.3 15ABC7.阅读理解与运用阅读理解与运用(1)当当x0, y0时时,同理可得：同理可得：22()()()(),xyxyxyxy 2.xxyy2()xy (2)a,b均为非负数，且均为非负数，且ab,化简化简 444.22abaabbabab 244422(2)(2)(2)=22abaab

23、bababababababab 解解：=22abab=42ab 课堂小结课堂小结1. . 利用商的算术平方根的性质化简二次根式利用商的算术平方根的性质化简二次根式. .2. . 二次根式的除法有两种常用方法：二次根式的除法有两种常用方法：00aaabbb ， （1）利用公式：）利用公式：（2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理化运算理化运算. .3.最简二次根式的概念最简二次根式的概念被开方数不含分母；被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式被开方数中不含能开得尽方的因数或因式4.如何化去分母中的根号，请举例说明如何化去分母中的根号，请举

24、例说明可以用二次根式的性质，乘除运算法则及分数基本性质化去可以用二次根式的性质，乘除运算法则及分数基本性质化去分母中的根号分母中的根号5.把一个二次根式化为最简二次根式的依据是什么？把一个二次根式化为最简二次根式的依据是什么？ 把一个二次根式化为最简二次根式的依据是二次根式的把一个二次根式化为最简二次根式的依据是二次根式的基本性质，二次根式的乘除运算，分数基本性质基本性质，二次根式的乘除运算，分数基本性质 课后作业课后作业1.完成教材完成教材P10练习练习1、2、3、4，2.完成练习册本课时的习题完成练习册本课时的习题.谢谢大家2. 二次根式的加减二次根式的加减沪科版沪科版八年级数学下册八年级

25、数学下册复习导入复习导入二次根式计算、化简的结果符合什么要求？二次根式计算、化简的结果符合什么要求？（1）被开方数不含分母；）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 观观 察察下列二次根式有什么共同特征：下列二次根式有什么共同特征：2112,3 2,2,2,53（）223,17 3, 5 3,3,13（ ）每组的二次根每组的二次根式的被开方数式的被开方数相同相同.推进新课推进新课思考思考下列根式又有什么共同特征？下列根式又有什么共同特征？92818320.52， ，提示：化为最简后再来比较！提示：化为最简后再来比较！8=2 218=

26、3 232=4 210.5=2293=2222 经过化简后，各根经过化简后，各根式被开方数相同，像这式被开方数相同，像这样的几个二次根式被称样的几个二次根式被称为同类二次根式为同类二次根式.比一比比一比计算下列各式计算下列各式. .13 222 231= 323143aa如何计算？如何计算？1= 322314231323aaa-+-+我们把我们把 看作系数，每一项所含的二次根式相看作系数，每一项所含的二次根式相同同( )，计算过程就和合并同类项的方法一样，计算过程就和合并同类项的方法一样.13 222 231= 323143aa1= 3223142313,2321323aaa-+-+试一试试一

27、试计算：计算：183250解解1832503 24 25 234522 2与合并同类项类与合并同类项类似，把似，把被开方数被开方数相相同的二次根式同的二次根式的项合并的项合并. .二次根式加减法的一般过程：二次根式加减法的一般过程：1.先将二次根式化成最简二次根式；先将二次根式化成最简二次根式；2.再将被开方数相同的二次根式进行合并再将被开方数相同的二次根式进行合并.例例4 计算：计算：2 123 484 75解解2 123 484 754 312 320 34 3 二次根式加减法的步骤：二次根式加减法的步骤：一化一化二找二找三合并三合并活动：探究活动：探究二次根式的混合运算二次根式的混合运算

28、836+ + （） ；（1） （2） 4 2 3 62 2- - （） 计算：计算：思考思考 （1）中，先计算什么？后计算什么，）中，先计算什么？后计算什么，最后的目标是什么？（最后的目标是什么？（2）呢）呢？与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，后与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，后加减；加减； 对于（对于（1）：先算乘，再化简，若有相同的二次根式）：先算乘，再化简，若有相同的二次根式进行合并，最后的目标是二次根式是最简二次根式；进行合并，最后的目标是二次根式是最简二次根式； 对于（对于（2）：先算除，再化简，若有相同的二次根式）：先算除，再化简，若有相同的二次根式进行合并，

29、把所有的二次根式化成最简二次根式进行合并，把所有的二次根式化成最简二次根式836+ + （） ；（1） （2） 4 2 3 62 2- - （） 计算：计算：836863648184 3 3 2（1）（） ；+=+=+=+=+=+=+4 2 3 62 234 22 23 62 2232（2）（） - -=-=-=-=- 二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则、乘法公式仍然适用则、乘法公式仍然适用. .平方差公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2;完全平方公式完

30、全平方公式：(ab)2=a22abb2.例例5 计算：计算：13131（ ）；解解 223131 =31 =31=2.解解2262 36 33 .（ ）262 36 3322=6262 32 36 36 3 =612 212186 3=6 312 2.例例6 计算：计算：38503045.解解38503045= 3 2 25 2303 5= 37 2653 56=7 6320=6.3随堂练习随堂练习1.二次根式：二次根式： 中，能中，能与与 合并的二次根式是合并的二次根式是( ) A.和和 B.和和 C.和和 D.和和32122 273；3C2. 计算计算 的结果是的结果是( ) A ABCD

31、2( 24 -3 152 2)23203-3 303203- 30323 30-3322 30-333.计算：计算：2311(1)2 81832;(2)( 4518)( 8125);2413(3)( 23)( 227);(4)8350.24aaaa 11(1)2 81832=24 解解：314 2+2-4 224 9=22(2)( 4518)( 8125)= 3 53 22 25 58 52 13(3)( 23)( 227)=24 233323 32244 112344 23(4)8350aaaa 222352aaaaa 2172aa4.:(2 3 -5)( 23).计计算算 (2 3 -5)

32、( 23)解解： =2 6+6- 10- 15=2 32+2 33- 52- 53 课堂小结课堂小结谈一谈本节课自己的收获和感受？谈一谈本节课自己的收获和感受？课后作业课后作业1.完成教材完成教材P12练习练习1、2、3、4，2.完成练习册本课时的习题完成练习册本课时的习题.谢谢大家章末复习章末复习沪科版沪科版八年级数学下册八年级数学下册内容整理内容整理开平方开平方二次根式二次根式概念与性质概念与性质运算运算加减加减乘除乘除知识回顾知识回顾1.1.二次根式：一般地，我们把形如二次根式：一般地，我们把形如 的式的式子叫做二次根式子叫做二次根式. .2.2.最简二次根式满足条件：最简二次根式满足条

33、件：被开方数不含被开方数不含 ；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式根式，叫做最简二次根式. .分母分母(0)a a 3.3.同类二次根式：同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式同，则这几个二次根式就是同类二次根式. .8=2 218=3 232=4 210.5=2224.4.二次根式的性质：二次根式的性质：2aaa(a0)(a 0 时，方程时，方程 x2 = p 有两个不等的实数有两个不等的实数根根 . 当当 p = 0 时，方程

34、时，方程 x2 = p 有两个相等的实数有两个相等的实数根根 x1=x2=0. 当当 p 0 时，方程时，方程（x + m）2 = n 的两根为的两根为x1= m, x2 = m. 当当 n = 0 时，方程时，方程（x + m）2 = n 的两根为的两根为x1 = x2 = m. 当当 n 0212421492 14,3bbacxaxx 解：化简，得解：化简，得 x2 + 2x 3 = 0 a = 1，b = 2，c = 3 b2 4ac = 22 41(3) = 16 0212421622 13,1bbacxaxx 3. 若方程若方程 x2 9x + 18 = 0 的两个根分别是的两个根分

35、别是等腰三角形的底和腰的长，则这个三角形的等腰三角形的底和腰的长，则这个三角形的周长为（周长为（ ） A. 12 B. 15 C. 12或或15 D.无法确定无法确定B 4. 在正数范围内有一种运算在正数范围内有一种运算“*”，其运算，其运算规则为规则为 a * b = a + b2. 根据这个规则，方程根据这个规则，方程x*（x + 1）= 5 的根为（的根为（ ） A. x = 5 B. x = 1 C. x = 4 D. x1 = 4，x2 = 1B 5. 已知关于已知关于 x 的一元二次方程的一元二次方程 mx2 （3m 1）x + 2m 1 = 0，其根的判别式，其根的判别式 b2

36、4ac 的值为的值为 1，求，求 m 的值及方程的根的值及方程的根.解解 b2 4ac =（3m 1）2 4m（2m 1） = m2 2m + 1 m2 2m +1 = 1 m1 = 2，m2 = 0（舍去）（舍去）原方程可化为原方程可化为 2x2 5x + 3 = 0a =2，b = 5， c = 3，代入求根公式，得，代入求根公式，得 x1 = 1，x2 = .2554 2 351=44x （）32课堂小结课堂小结224 = 402bbacxbaca （）ax2 + bx + c = 0 （a 0且且b2 4ac0）1.从教材习题中选取，从教材习题中选取，2.完成练习册本课时的习题完成练习

37、册本课时的习题.课后作业课后作业谢谢大家沪科版沪科版八年级数学下册八年级数学下册第第 3 课时课时 因式分解法因式分解法新课导入新课导入前面我们用开平方法解方程前面我们用开平方法解方程 x2 = 9，你还能用其他方法解这个方程吗？你还能用其他方法解这个方程吗？想想 一一 想想新课探究新课探究将方程变形为将方程变形为 x2 9 = 0.再将方程左边分解因式，得再将方程左边分解因式，得（x 3）（）（x + 3 ）= 0. 如果两个因式的积等于如果两个因式的积等于 0，那么这两个因，那么这两个因式中至少有一个等于式中至少有一个等于 0；如果两个因式中有一；如果两个因式中有一个等于个等于 0，那么它

38、们的积就等于，那么它们的积就等于0.因此，有因此，有 x 3 = 0 或或 x + 3 = 0.解这两个一次方程，得解这两个一次方程，得 x1 = 3，x2 = 3. 这种通过因式分解，将这个一元二次方这种通过因式分解，将这个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做做.这里用到了什么样这里用到了什么样的数学思想方法？的数学思想方法？化归方法化归方法交流交流 1. 解下列方程，并与同学交流，检查解得的解下列方程，并与同学交流，检查解得的结果是否正确结果是否正确.（1）x2 + 3x = 0； （2）x2 = xx（x + 3）= 0 x1 = 0，

39、x2 = 3x（x 1）= 0 x1 = 0，x2 = 12.在解上面的方程（在解上面的方程（2）时，如果像下面这样做：）时，如果像下面这样做：两边同时除以两边同时除以 x，得，得 x = 1.故方程的根为故方程的根为 x = 1.这样对吗？为什么？这样对吗？为什么？不对，当不对，当 x 等于等于 0 时不能除以时不能除以 x. 3. 总结前面内容你能否归纳出缺项的二次方总结前面内容你能否归纳出缺项的二次方程：程：ax2 + c = 0（a，c 异号），异号），ax2 + bx = 0（a 0）的解法的解法.ax2 + c = 0 （a，c 异号）异号）把左边分解因式把左边分解因式 = 0cc

40、xxaa 1 = cxa 2 = cxaax2 + bx = 0（a 0）把左边分解因式把左边分解因式 x（ax + b）= 0.x1 = 0，x2 = ba例例4 解方程：解方程：x2 5x + 6 = 0.解解 把方程左边分解因式，得把方程左边分解因式，得 （x 2）（）（x 3）= 0. 因此，有因此，有 x 2 = 0 或或 x 3 = 0. 解方程，得解方程，得 x1 = 2，x2 = 3.例例5 解方程：（解方程：（x + 4）（）（x 1） = 6.解解 将原方化为标准形式，得将原方化为标准形式，得 x2 + 3x 10 = 0 把方程左边分解因式，得把方程左边分解因式，得 （x

41、 + 5）（）（x 2）= 0. 因此，有因此，有 x + 5 = 0 或或 x 2 = 0. 解方程，得解方程，得 x1 = 5，x2 = 2.分解因式的方法有分解因式的方法有哪哪些些? ?（1）提取公因式法）提取公因式法:（2）公式法）公式法:（3）十字相乘法）十字相乘法:am + bm + cm = m（a + b + c）.a2 b2 = (a + b)(a b)a2 + 2ab + b2 = (a + b)2.x2 +（a + b）x + ab = (x + a)(x + b).11ab用因式分解法解一元二次方程的步骤用因式分解法解一元二次方程的步骤 把方程变形为把方程变形为 x2

42、+ px + q = 0 的形式的形式 把方程变形为把方程变形为（x x1）（）（x x2）= 0 的形式的形式 把方程降次为两个一次方程把方程降次为两个一次方程 x x1 = 0 或或 x x2 = 0 的形式的形式 解两个一次方程，求出方程的根解两个一次方程，求出方程的根练习练习用因式分解法解下列方程：用因式分解法解下列方程：（1）3（x + 1）= x（x + 1）解解 原方程可化为原方程可化为 （x 3）（）（x + 1）= 0. 因此，有因此，有 x 3 = 0 或或 x + 1 = 0. 解方程，得解方程，得 x1 = 3，x2 = 1.（2）t（t + 3）= 28解解 原方程可

43、化为原方程可化为 （t + 7）（）（t 4）= 0. 因此，有因此，有 t + 7 = 0 或或 t 4 = 0. 解方程，得解方程，得 t1 = 7，t2 = 4.随堂演练随堂演练1. 一元二次方程一元二次方程 x（x 2）= 2 x 的根是（的根是（ ）A. 1 B. 2 C. 1和和2 D. 1和和2D2. 用适当方法解下列方程：用适当方法解下列方程：（1）(2x+3)2-25=0; （2）x2+5x+7=3x+11；解：化简，得解：化简，得 4 4x2+12x+9-25=0 x2+3x-4=0 分解因式，得分解因式，得 (x-1)(x+4)=0 x1=1, x2=-4解：化简，得解：

44、化简，得 x2+2x=4 x2+2x+1=5 (x+1)2=5121515,15xxx 3. 若一个三角形的三边长均满足方程若一个三角形的三边长均满足方程x2 7x + 12 = 0，求此三角形的周长求此三角形的周长.解：解：x2 7x + 12 = 0，则则（x 3）（）（x 4）= 0. x1 = 3，x2 = 4.三角形三边长均为方程的根三角形三边长均为方程的根.三角形三边长为三角形三边长为 4、3、3，周长为，周长为 10；三角形三边长为三角形三边长为 4、4、3，周长为，周长为 11；三角形三边长为三角形三边长为 4、4、4，周长为周长为 12；三角形三边长为三角形三边长为 3、3、

45、3，周长为周长为 9.4. 解关于解关于 x 的方程的方程 x2 + 2ax b2 + a2 = 0.解解 原方程可化为（原方程可化为（x + a）2 b2 = 0. 左边分解因式，得左边分解因式，得 （x + a + b）（）（x + a b）= 0. 因此，有因此，有 x + a + b = 0 或或 x + a b = 0. 解方程，得解方程，得 x1 = a b，x2 = a + b. 5. 用因式分解法解关于用因式分解法解关于 x 的一元二次方程的一元二次方程 x2 kx 16 = 0 时，得到的两根均为整数，则时，得到的两根均为整数，则 k 的值可以是的值可以是_.0，6，6，15

46、， 15课堂小结课堂小结解一元二次方程解一元二次方程直接开平方法直接开平方法配方法配方法公式法公式法因式分解法因式分解法1.从教材习题中选取，从教材习题中选取，2.完成练习册本课时的习题完成练习册本课时的习题.课后作业课后作业谢谢大家17.4 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系沪科版沪科版八年级数学下册八年级数学下册新课导入新课导入探究探究 你是否注意到每个方程中的两根之间的关系？你是否注意到每个方程中的两根之间的关系？两根之和（两根之和（x1 + x2）、两根之积（）、两根之积（x1x2）与该方程的）与该方程的各项系数之间有怎样的关系？填写下表，然后观察各项系数之间有怎

47、样的关系？填写下表，然后观察根与系数的关系：根与系数的关系：新课探究新课探究方程方程x1x2x1+x2x1x2x2 + 2x 15 = 03x2 4x + 1 = 02x2 5x + 1 = 05321513143135174 5174 5212 方程方程 ax2 + bx + c = 0（a 0）的根如）的根如果是果是 x1、x2，那么，那么 x1+x2 =_，x1x2 =_.ba ca你能证你的猜想吗？你能证你的猜想吗？ 我们知道，我们知道，一元二次方一元二次方 ax2+ bx + c = 0 （a 0）的两根为）的两根为214 = 2bbacxa 214 = 2bbacxa 所以所以 x

48、1 + x2 = + = =24 2bbaca 24 2bbaca 22ba ba x1x2 = = = 24 2bbaca 24 2bbaca 244acaca 如果如果 ax2+ bx + c = 0（a 0）的的两根为两根为 x1，x2，那么那么 x1 + x2 = ， x1x2 = .ba ca韦韦 达达 定定 理理 当一元二次方程的二次项系数为当一元二次方程的二次项系数为 1 时，它的标时，它的标准形式为准形式为 x2 + px + q = 0. 设它的两个根为设它的两个根为 x1，x2，这时韦达定理应是：这时韦达定理应是：x1 + x2 = p，x1x2 = q.练习练习不解方程，

49、求下列方程两根的和与积不解方程，求下列方程两根的和与积. .x2 3x = 15； 5x2 1 = 4x2 + x解：解：x1 + x2 = 3 x1x2 = 15解：化简得解：化简得 x2 x 1 = 0 x1 + x2 = 1 x1x2 = 1 例例 1 已知关于已知关于 x 的方程的方程 2x2 + kx 4 = 0 的一的一个根是个根是 4，求它的另一个根及，求它的另一个根及 k 的值的值.解解 设方程的另一个根是设方程的另一个根是 x2，则，则242kx 2442x 解方程组，得解方程组，得212x 7k 答：方程的另一个根为答：方程的另一个根为 ，k 的值为的值为 7.12想一想想

50、一想本题还有别的解法吗？本题还有别的解法吗？解解 将将 x = 4 代入方程，得代入方程，得2（ 4 ）2 +（ 4 ）k 4 = 0.解得解得 k = 7.将将 k = 7代入方程，得代入方程，得 2x2 + 7x 4 = 0， 解得解得112x 24x 例例 2 方程方程 2x2 3x + 1 = 0 的两个根记作的两个根记作x1，x2，不解方程，求，不解方程，求 x1 x2 的值的值.解解 由韦达定理，得由韦达定理，得 x1 + x2 = ， x1x2 = .3212（x1 x2）2 =（x1 + x2）2 4x1x223114224 x1 x2 =12 引申：若引申：若 ax2 bx

51、c 0（a 0 0）（1）若两根互为相反数，则）若两根互为相反数，则 b 0；（2）若两根互为倒数，则）若两根互为倒数，则 a c；（3）若一根为）若一根为 0，则，则 c 0；（4）若一根为）若一根为 1，则，则 a b c 0；（5）若一根为）若一根为 1，则，则 a b c 0；（6）若）若 a、c 异号，方程一定有两个实数根异号，方程一定有两个实数根.随堂演练随堂演练 1. 关于关于 x 的方程的方程 x2 + px + q = 0 的根为的根为 x1 = 1+ ，x2 = 1 ，则则 p = ，q= . 2. 已知方程已知方程 5x2 + kx 6 = 0 的一根是的一根是 2，则，

52、则另一根是另一根是 ， k .22 1 35 27 3. 求下列方程的两根求下列方程的两根 x1，x2 的和与积：的和与积： （1）x2 3x + 2 = 0； （2）x2 + x = 5x + 6解：解：x1 + x2 = 3 x1x2 = 2解：化简得解：化简得 x2 4x 6 = 0 x1 + x2 = 4 x1x2 = 6 4. x1，x2 是方程是方程 x2 5x 7 = 0 的两根，不解的两根，不解方程求下列各式的值：方程求下列各式的值： （1） ；（；（2） .1211xx 2212xx 解：解： x1，x2 是方程是方程 x2 5x 7 = 0 的两根的两根. 则则 x1 +

53、x2 = 5，x1x2 = 7 .1212121155(1)77xxxxx x 221222112212212122(2)22()252 ( 7)39xxxx xxx xxxx x 5. 已知关于已知关于 x 的方程的方程 x2 （2m + 3）x + m2 = 0 的的两根之和等于两根之积，求两根之和等于两根之积，求 m 的值的值.解：设方程解：设方程 x2 （2m + 3）x + m2 = 0 的两根为的两根为 x1，x2. x1 + x2 = 2m + 3，x1x2 = m2. 根据题意得根据题意得 m2 = 2m +3，解得，解得 m1= 3，m2 = 1. 当当 m = 3 时，原方

54、程为时，原方程为 x2 9x + 9 = 0，b2 4ac = 45 0. 方程有实数根方程有实数根. 当当 m = 1 时，原方程为时，原方程为 x2 x + 1 = 0，b2 4ac = 3 0. 方程无实数根，此方程无实数根，此 m 值舍去值舍去. m 的值为的值为 3.课堂小结课堂小结 如果如果 ax2+ bx + c = 0（a 0）的的两根为两根为 x1，x2，那么那么 x1+x2 = ， x1x2 = .ba ca韦韦 达达 定定 理理1.从教材习题中选取，从教材习题中选取，2.完成练习册本课时的习题完成练习册本课时的习题.课后作业课后作业谢谢大家17.3 一元二次方程根的判别式

55、一元二次方程根的判别式沪科版沪科版八年级数学下册八年级数学下册新课导入新课导入交流交流 在前面的学习中，你是否注意到：方在前面的学习中，你是否注意到：方程程 ax2 + bx + c = 0（a 0）有实数根的条）有实数根的条件是什么？何时有两个相等的实数根？何件是什么？何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？时有两个不相等的实数根？新课探究新课探究 通过配方得到了一元二次方程通过配方得到了一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a 0） 的求根公式的求根公式 224 = 402bbacxbaca （）因为因为 a 0，所以，所以 （1）当）当 b2 4ac 0 时，时， 是

56、正实是正实数，因此，方程有两个不相等的实数根：数，因此，方程有两个不相等的实数根： 24bac 214 = 2bbacxa 214 = 2bbacxa （2）当）当 b2 4ac = 0 时，时， ，因，因此，方程有两个相等的实数根：此，方程有两个相等的实数根： 240bac 12 = 2bxxa （3）当）当 b2 4ac 0方程有两个不方程有两个不等的实数根等的实数根 = b2 4ac = 122 494 = 0方程有两个方程有两个相相等的实数根等的实数根2x2 + 4x 3 = 2x 4 ； x（x + 4）= 8x + 12.化简得化简得 2x2 + 2x + 1 = 0 = b2 4

57、ac = 22 4 21 = 4 0方程有两个不等的实数根方程有两个不等的实数根随堂演练随堂演练 1. 一元二次方程一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a 0）有）有实数根，则实数根，则 b2 4ac 满足的条件是（满足的条件是（ ） A. b2 4ac = 0 B. b2 4ac 0 C. b2 4ac 0 D. b2 4ac 0D 2. 已知一元二次方程：已知一元二次方程： x2 + 2x + 3 = 0， x2 2x 3 = 0.下列说法正确的是（下列说法正确的是（ ） A.都有实数解都有实数解 B.无实数解，有实数解无实数解，有实数解 C.有实数解，无实数解有实数解，无实数

58、解 D.都无实数解都无实数解B 3. 无论无论 p 取何值，方程取何值，方程 (x 3)(x 2) p2 = 0 总总有两个不等的实数根吗？给出你的答案并说明理由有两个不等的实数根吗？给出你的答案并说明理由.解：方程化简为解：方程化简为 x2 5x + 6 p2 = 0, b2 4ac =(5)2 41(6 p2) = 4p2 + 1 1, 0 无论无论 p 取何值，方程取何值，方程 (x 3)(x 2) p2 = 0 总总有两个不等的实数根有两个不等的实数根. 4. 已知已知 2mx2 + 8m（x + 1）= x，当，当 m 为何为何值时，值时， （1）方程有两个不相等的实数根；）方程有两

59、个不相等的实数根； （2）有两个相等的实数根；）有两个相等的实数根； （3）没有实数根）没有实数根.解解：原方程可化为：原方程可化为 2mx2 + (8m + 1)x + 8m = 0因为因为 = b2 4ac = (8m + 1)2 42m8m = 16m + 1（1）当）当 = 16m + 1 0，即，即 m ，且，且m 0 时，方程有两个不等的实数根；时，方程有两个不等的实数根；116（2）当）当 = 16m + 1 = 0，即，即 m = 时，方时，方程有两个相等的实数根；程有两个相等的实数根；116（3）当）当 = 16m + 1 0，即，即 m 时，方时，方程没有实数根程没有实数根

60、.1165. 解方程解方程 ax2 5x + 5 = 0解解 当当 a = 0 时，时，x = 1. 当当 a 0 时，方程为一元二次方程，时，方程为一元二次方程， = 25 20a. 当当 0，即，即 a 时，时，x= ； 当当 = 0，即，即 a = 时，时，x=2； 当当 0，即，即 a 时，方程无解时，方程无解.54525202aa5454课堂小结课堂小结根的判别式根的判别式 = b2 4ac 当当 0 时，有两个不相等的实数根；时，有两个不相等的实数根；当当 = 0 时，有两个相等的实数根；时，有两个相等的实数根；当当 0 时，没有实数根时，没有实数根.1.从教材习题中选取，从教材习