河南理工大学课程概率论与数理统计

1、 数理统计的数理统计的基本任务基本任务就是通过对从总体中抽取的就是通过对从总体中抽取的 一部分个体一部分个体(称为总体的样本称为总体的样本)进行观察进行观察,根据所记录的根据所记录的 数据数据(样本值样本值)经整理与加工经整理与加工,以推断总体的某些性质以推断总体的某些性质. “从总体中抽取一个个体从总体中抽取一个个体”就是对总体进行一次观就是对总体进行一次观 察察(试验试验),并记录其数据结果并记录其数据结果. 在相同条件下对总体在相同条件下对总体X进行进行n次独立、重复的观察次独立、重复的观察, 将将n次试验结果依次记为次试验结果依次记为 ,则称之为来自则称之为来自 总体总体X的容量为的容

2、量为n的一个的一个简单随机样本简单随机样本;n次试验完成后次试验完成后 所得样本的一组观察值所得样本的一组观察值 称为称为样本值样本值.nXXX,21nxxx,21 显然显然,若若X的分布函数为的分布函数为F(x),则则 的联合的联合 分布函数为分布函数为nXXX,21).(),(121*niinxFxxxF独立nxxx,21 特别的特别的,若若X的概率密度为的概率密度为f(x),则则 的联合的联合 概率密度为概率密度为nXXX,21).(),(121*niinxfxxxf 若若X的概率分布为的概率分布为p(x),则则 的联合概率分的联合概率分 布为布为nXXX,21).(),(121*nii

3、nxpxxxp总总 体体 X样本X1,X2,Xn样本值x1,x2,xn随机抽样随机抽样 获得样本获得样本完成试验完成试验 获得数据获得数据整理加工整理加工 统计推断统计推断统计统计 工作工作),(21nXXXg),(21nxxxgniiXnX11样本均值样本均值(修正修正)样本方差样本方差212)(11XXnSnii(修正修正)样本标准差样本标准差212)(11XXnSSnii样本样本k阶原点矩阶原点矩),2, 1(11kXnAnikik样本样本k阶中心矩阶中心矩),2, 1()(11kXXnBnikik(修正修正)样本方差还可表示为样本方差还可表示为112122XnXnSnii212)(11

4、XXnSnii21112112nininiiiXXXXn2112122XnXnXnnii11212XnXnnii【推导【推导】)2(11212XXXXnniii样本方差样本方差212*)(1XXnSnii21Snn 样本均值是样本一阶原点矩；样本方差是样本二阶样本均值是样本一阶原点矩；样本方差是样本二阶 中心矩。中心矩。 上述各统计量的观察值为上述各统计量的观察值为niixnx11212)(11xxnsnii),2, 1(11kxnanikik),2, 1()(11kxxnbnikik 重要结论：重要结论：样本矩样本矩(的连续函数的连续函数)依概率收敛依概率收敛 于总体矩于总体矩(的连续函数的

5、连续函数)矩估计的理论基础矩估计的理论基础。),2, 1()(kXEkk 总体总体k阶阶(原点原点)矩矩 总体的总体的期望期望就是其一阶矩就是其一阶矩:1)(XE 总体的总体的方差方差:22221)()()(XEXEXD定义定义)0()(10 xdttexxt性质性质);0()() 1(xxxx; 1) 1 ()2(; !) 1(nn);1(212102 xxdttext.2212102dtet重要积分重要积分222212nXXX).(22n -分布的分布的概率密度概率密度为为)(2n., 0, 0,)2/(21)(2122/其它xexnxfxnnxO)(xf1n5n15n -分布的分布的性质

6、性质与与数字特征数字特征)(2n -分布的分布的可加性可加性:)(2n)(,),(),(2122212nnYXYXnYnX独立且 -分布的分布的期望期望与与方差方差为为:)(2n.2)(,)(22nDnE 上上分位点分位点(双侧双侧/2分位点分位点)(2n)(2n).10()(22nP查查附表附表5P.299:.156. 2)10(,304. 6)12(2995. 029 . 0)(),(22/22/1nn双侧分位点双侧分位点查查附表附表5:,262. 6)15()15(,025. 02,05. 02975. 022/1488.27)15()15(2025. 022/),(),1 , 0(2n

7、YNXnYXt/ ).(ntt122(1)/2( )1()( /2)nnxf xxnnn xO)(xf1n10nn 上上分位点分位点(双侧双侧/2分位点分位点)(nt)(nt).10()(nttP查查附表附表4P.298:.6041. 4)4(,3060. 2)8(005. 0025. 0ttxO)(xf)(2/nt2/)(2/1nt2/双侧双侧/2分位点分位点:)(),(2/2/1ntnt显然显然,)()(2/2/1ntnt),(),(2212nYnX21/nYnXF ).,(21nnFF., 0, 0,)/(1)2/()2/()/(2/ )()(2212112221212111其它xnxn

8、nnxnnnnxfnnnnxO)(xf25,1021nn5,1021nn),(1),(1221nnFFnnFFxO)(xf),(21nnF),(21nnF),(21nnF).10(),(21nnFFP查查附表附表6P.301:F分布上分布上分位点分位点有如下性质：有如下性质：),(1),(12211nnFnnF357. 080. 21)12, 9(1)9 ,12(05. 095. 0FF:分位点具有如下性质分位点具有如下性质分布的上分布的上 F.),(1),(12211nnFnnF 证明证明),(1 211nnFFP 所以所以 ),(11211nnFFP ),(111211nnFFP ,),(

9、111211 nnFFP ),(21nnFF因为因为,),(11 211 nnFFP故故),(1 12nnFF因为因为,),(1 12 nnFFP所以所以, ),(),(11221-1nnFnnF 比较后得比较后得.),(1),(12211nnFnnF 即即)9 , 21(59 . 0F例例)12, 9(105. 0F 28. 01 .357. 0 . 分位点分位点的一些上的一些上用来求分布表中未列出用来求分布表中未列出 ,)(,)(2XDXEnXXX,21.)(,)(2nXDXE).,(2nNX ),(2NXnXXX,21);1() 1(222nSn).,(2nNX2,SX);1(/ntnS

10、X),1(221nXXnii).(221nXnii即即2卡方分布定义卡方分布定义).1(/,),(,2221 ntnSXSXNXXXn 则有则有方差方差分别是样本均值和样本分别是样本均值和样本样本样本的的是总体是总体设设证明证明),1 , 0(/NnX 因为因为),1()1(222 nSn 且两者独立且两者独立, 由由 t 分布的定义知分布的定义知)1()1(/22 nSnnX ).1( nt定理定理22,YXSSYX) 2(11)()(212121nntnnSYXw.2) 1() 1(2122212nnSnSnSYXw 上面介绍的上面介绍的3个重要分布个重要分布与与4个重要公式个重要公式在数

11、理在数理统计的统计的区间估计区间估计与与假设检验假设检验中有着重要应用，必须中有着重要应用，必须牢记牢记! （1）样本均值与总体均值之差的绝对值大于）样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概的概 率；率； （2）;15)(max51iiXP （3）.10)(min51iiXP 解正态总体样本均值的分布解正态总体样本均值的分布 (1) 因为因为 所以所以 ),5 , 4 , 3 , 2 , 1)(4 ,12(kNXk) 8 . 0 ,12( NX112XP 于是于是, 1121XP13111XP8 . 012118 . 0121318686. 01 2 .2628. 0 (2). 15)(max

12、51kkXP51212151k (3). 10)(min51kkXP51151kkXP15)(max151kkXP55 . 1159332. 01.292260149. 010)(min151kkXP51101kkXP51101 1kkXP5212101 1511 1 51158413. 01.578542862. 0)(),1 , 0(2nZNY.nZYX )(),1 (222nZY), 1 (22nFnZYX 再由再由F-分布定义得分布定义得: )(ntX), 1 (2nFX解因为解因为XiP(),所以所以E(Xi)=D(Xi)=(i=1,2,n),niiXnEXE11)(niiXEn1)

13、(1nin112,SX).(),(),(2SEXDXEniiXnDXD11)()(112niiXDnnnni121niiXXnESE122)(11)(niiXnXEn12211ninnn122)()(11)()(1122nnnn例例3-13-1niiXXnESE122)(11)(niiXnXEn12211niiXnEXEn122)()(11niiiXEXDnXEXDn122)()()()(11解卡方分布及其数字特征解卡方分布及其数字特征 。)15(15222S) 1(2) 1(22nSnD于是于是,由卡方分布数字特征知：由卡方分布数字特征知：由定理由定理1知知: 【例【例4 4】 设在总体设在总体 中抽取一容量为中抽取一容量为1