集合的表示及运算27993

1、集合的表示及运算浙江省义乌市第四中学322000陈金跃一、考情预报1考情分析：集合知识是历年必考的内容之一.其特征有：题型单一，主要以选 择填空题为主，但小题中也蕴涵着丰富的小知识点，如集合的含义与表示，集合间的基 本关系，集合的根本运算等；内容根底，以单纯考查集合知识为主，并且是整卷开篇 的一些根底题，与课本的要求、难度相当，但在根底中也考能力，即考查理解能力、转 化能力和运算能力等；渗透广泛，因为集合是整个高中数学知识的根底语言和有力工 具，所以它可渗透于高中数学的各个角落，如函数的定义域、值域，方程、不等式的解 集，排列、组合等.2高频考点：1集合的表示法：列举法，描述法，图示法；2集合

2、的根本运算：并集，交集，补集.从近几年浙江省自主命题的高考文科数学试题来看，其规律为：集 合的并、交、补运算是考查的核心，当然集合的表示法表达于运算之中，并且用列举法 表示集合时考查的集合运算是混合运算如 04, 05, 07年集合试题，用描述法表示集 合时考查的集合运算只是一种运算如06, 08年集合试题.集合的运算具有其独特的 规那么，所以转化集合的表示，使之简单化、具体化、直观化是成功运算的关键.二、考点精析1集合表示在集合的表示方法中，列举法具体、描述法本质、图示法直观，所以要根据元素的 特征和问题的需要，选择适当的方法表示集合；反之，在识别集合时，首先要确定它是 数集还是点集，其次在

3、用描述法表示集合时，要明白代表元素的重要作用 .例1有如下四个命题：方程 x2-1=0的解集可以表示为 -1,1 :不等式X2 1 0的解集表示为:yy=x21表示二次函数y=x21自变量组成的集合；(0,1) x,y)y = x2+1，(0,1)童blh其中正确的个数是()(A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个解：是数集，有限集，用列举法表示正确；是数集，无限集，但用符号表示时 不能再用大括号，从而错误；代表元素是 y，所以集合表示函数的值域而不是函数的 定义域，从而错误；是点集，关系正确.应选(B).点评：集合的本质是元素，只有明确集合中的元素是什么、有多少，才能选择适当

4、的方法表示集合；要明白代表元素的重要作用就是要明白集合中的元素是方程的解还是 不等式的解，是自变量还是因变量，等等.趁热打铁1:有如下四个命题：方程x2 0的解集可以表示为:?；不等式 x2-1 a0的解集表示为xx<-1，或x>；Jy=x2+1>表示二次函数y = x2+1自变量 组成的集合；(0,1)欽x,y) y = x2 -"，(0,1) (0,1).其中正确命题的序号是 .2子集关系一方面，判断集合与集合之间的包含关系，可以转化为元素与集合之间的附属关系， 所以子集关系的本质还是元素问题；另一方面，要特别注意关系符号的意义和区别.例2集合A = .EZ-1

5、兰xc2>，那么以下集合与集合之间的关系正确的选项是()(A) A (B)A (C) 匚 1,0： A (D)-1,2)= A解：在集合A中-1乞x：2且Z，只有-1，0，1这三个元素，二它可用列举 法表示为A- -1,0,1从而排除(B)(D);又' A符号用错，从而排除(A).应选(C).点评：将各表示方法进行相互转化，使之转化为最简洁的表示，可以认清它们之间 的联系与区别，从而更容易揭示集合与集合之间的包含关系.趁热打铁2:集合A = xRxc3，那么以下关系中不正确的选项是()(A)- A (B)©、2丄 A (C) A R (D) A = R3并集运算集合并集

6、运算的规那么，宜从自然语言、符号语言及图形语言三个方面来把握.主要抓住“并概念中的“或，即符号“ 就象一个正放的茶杯含有东西装得多的意思， 即图形“ A B 是由集合A、B中的全部元素组成的.例 3 设集合 A = xx>2，B=xxE3，求 AU B =.解：A、B两个集合用数轴表示为：BA由图可得A B二R.*点评：在求两个集合的并集时，并不是简单地罗列两个集合中的元素，根据集合中 元素互异性的特征，相同元素在集合中只能出现一次；根据集合都是某范围的无限 集之特征，利用数轴表示集合进行直观求解，是一种常用而有效的策略 .趁热打铁3:集合A = &xaO，B = k-x<

7、2，那么AUB = ()(A)xxK讣 (B) xxE2> (C) x0cx2 (D) 一仁 xE2>4交集运算集合交集运算的规那么，宜与集合并集运算的规那么进行比照来把握.主要也是抓住“交概念中的“且，即符号“ 就象一个倒放的茶杯含有东西装得少的意思，即 图形“ A B 是由集合A、B的公共局部组成的.例 4 设集合 A = *y，B =Hx2 _x = °，贝UB=.解：函数y = Jx -1的定义域为x，二A = & x色1；又方程X2 - x = 0的解为 x! =0,x2 =1， B = '0,1 二故 A B = ；xx -V.点评：在集合运算

8、之前，有时要先对给定的集合进行转化，只有通过转化，才能得 以有效地利用；注意体会有限集与无限集，列举法与描述法共存时求交集的策略.趁热打铁4:设集合A = ER 1x兰2， B=JwN0WxE4，那么 Ag = ()(A)0,2(B)-1,4(C) 心公 (D)1,0,123,415补集运算集合补集运算的规那么，还是从自然语言、符号语言及图形语言三个方面来把握.补集是相对于全集U而言的；符号&仁有三层意思：A是U的一个子集，即A - U :表示一个集合，且 厂小二;：是U中不属于A的所有元素组成的集合.例5全集U = 小于6的正整数，M =& Z1 Ex兰2，N =x Z2Wx

9、W3.(i)计算：?假设A U，且:- 厂-求所有的集合A.解：集合可以转化为U 1,2,3,45，M12，N 23.(1) v M N =：1,2? 2,3 ； = ：1231,二.-'一 .一 .(2) v，1 飞 L .二 A，3 A，且 A 1,2,3,4,5：，故所求的集合 A分别是咗,1,3；，34：，愛，1,3,4；，1,3,5；, 34,5：，1,3,4,5：.点评：对于并、交、补集的混合运算问题，宜从理解各种运算的含义入手，同时运 用分步进行运算的策略；还要特别注意各种符号的意义与区别，以及逆向运算问题.趁热打铁 5:设全集 U 1,3,5,6,81，A1,6二 B

10、5,6,81，贝1总厂心=()(A) fe (B)5,8(C) fe,81(D)3,5,6,86集合思想的应用应用并集、交集思想是：假设把某问题分解成假设干个小问题，它们之间是“或(“且) 的关系时，那么可以先求出各小问题的解集，再取并集(交集)求得原问题的解集.应用补集思想是：当正面思考较繁或难以下手时，不妨先求其反面问题的解集，再利用其补 集求得原问题的解集gxT xO例6函数f(x)=2彳一，求该函数的定义域和值域.1 ,X£0' 1 1解：当 x 0,：)时，yx-1 -1,：);当 x (Y,0)时，y(0,：).2x故函数f (x)的定义域是取其并集为0,=)(_

11、;0)=：R ,值域是取其并集为_1,：=) (0, ：) = _1,：).点评：分段函数只是一个函数，但又总是分段求解，而分段函数的定义域和值域是各段相应范围之间的“或的关系，那么最后结论取其并集趁热打铁6：函数x2 +1fX=1x -1的定义域是，值域是二、考能训练1. 设集合A0,3l,有以下关系式：1 A ；心三A ； 亠 A ； ：0,3 A ；0,3.；=A.其中正确的个数有()(A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个2. 集合 M =&xa2，N=xxc3>，那么 mUn=()(A) R (B)&-2*£3(C)xx>-

12、2(D) 以打3. 设全集U=R，A = xN1兰x兰5，B = Rx2 2x 3 = 0，那么右图中阴影表 示的集合为()(A) 1(B)/(C)(D)1-1,3：4. 集合 M 二 dxl, N = 5,4?，假设 M N 4?，那么 M N =()(A) <0,x,2,4?(B)04,2,4?(C)0,2,4?(D) 不能确定5. 全集U二01,2,31，A二，那么.的真子集的个数是()(A)3 个 (B)4 个 (C)7 个 (D)8 个6. 集合M =旬3<xv1，N=<x|xM-3，那么集合 以纣=()(A) M N (B) M N ：宀I- I.小7. 集合P中

13、含有5个元素，集合Q中含有8个元素，假设P Q含有3个元素，那么P Q含有 个元素.8. 设集合 A(x,y)x y = 3：, 8 = x,y) x-2y = 0：，那么 A 8=_9. 集合P =xax 一1 .0；,且2 P , V P，求实数a的取值范围.10. 设全集 U=R，A = xw N2 vx<5, 8 =以己只丫=>，求:L 丨JX 一2 J(1) A B ； (2) A B ； (3), :'； (4) 禺片匚q.趁热打铁答案：1. 2.D3.A4.C5.B6.R，(0,二)答案提示：1. 方程x2 1=0的解集是空集，但空集用符号表示时不能再加大括号

14、，所以错 误；都正确.2. 由 '是任何集合的子集，得' A正确；由0A, . A，得0.2?A正确；由 x ：3，得A R正确；由4 R但4 A，得A二R错误.3. 把集合A,B用数轴表示出来，即得 A B二xx -114. 把集合 A,B 分别转化为 A=-1,2，B=：0,123,4?，那么 A B 0,1,215. 先求得:-：.匚二.2 16. 当 x 乞1 时，y = x r 1/ :);当 x 1 时，y(0/ :=).故函数 f (x)的定x -1义域为1,(-打)=R，值域为1, :) (0：)=(0,=).考能训练答案：1.D 2.A 3.B 4.C 5.C

15、 6.D 7. 10 8.(2,1) 9.(丄,1210.(1)3,41 ； (2)2 ： x ;(3)2x4,且x= 3; (4)xxR,且x = 3, x= 4答案提示:1. 由1不是集合A中的元素，得1 A错误；其它都正确2. 把集合M , N用数轴表示出来，即得 M N二R.3. 把集合A,B转化为 1,2,3,4,5，B 1,3，所以阴影局部为A B =.4. 由 M N =也：，得 4 M，从而 x = 4，即集合 M 二 b,4：，故 MN =0,2,4二5. 由条件得= .iiij其真子集为，心,论3,：0,10313，共7个.6. 先求得M U N = xx £讣，再求得盘= 雨>1.7. 由P Q含有3个元素，即有3个元素是集合P与Q的公共元素，故P Q中的 元素个数为5 8-3=10.8. 求A"就是求方程组x + y