剪力图和弯矩图4(例题)

1、剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直于梁轴线方以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直于梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘制表示向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘制表示F FQQ (x) (x)和和M(x)M(x)的图线。的图线。这种图线分别称为剪力图和弯矩图，简称这种图线分别称为剪力图和弯矩图，简称F FQQ图和图和MM图。图。 正弯矩画在正弯矩画在x轴下侧，负弯矩轴下侧，负弯矩画在画在x轴上侧，即把弯矩画在梁受轴上侧，即把弯矩画在梁受拉的一侧。拉的一侧。 绘图时一般规定正号的剪力绘图时一般规定正号的剪力画在画在x轴的上侧，负号的剪力画轴的上侧，负号的剪力画

2、在在x轴的下侧；轴的下侧； 例题例题1 1 图所示，悬臂梁受集中力图所示，悬臂梁受集中力F F作用，试作此作用，试作此梁的剪力图和弯矩图梁的剪力图和弯矩图解：解：1.1.列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程FxFQ)( (0 (0 x xl ) l ) FxxM)( (0 x (0 xl) l) 2.2.作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图由剪力图和弯矩图可知：由剪力图和弯矩图可知：FlMFFQmaxmax一、根据内力方程作内力图一、根据内力方程作内力图剪力方程剪力方程表示横截面上表示横截面上剪力剪力FQ随横截面位置随横截面位置x而变化的函数关系；而变化的函数关系；弯矩方程弯矩方程表示横截面上

3、表示横截面上弯矩弯矩M随横截面位置随横截面位置x而变化的函数关系。而变化的函数关系。例题例题2 2 简支梁受均布荷载作用，如图示，作此梁的剪力图和弯矩简支梁受均布荷载作用，如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。图。解：解：1.1.求约束反力求约束反力由对称关系，可得：由对称关系，可得：qlFFByAy21最大剪力发生在梁端，其值为最大剪力发生在梁端，其值为qlFQ21max2.2.列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程qxqlqxFxFAyQ21)(222121921)(qxqlxxxFxMAy3.3.作剪应力图和弯矩图作剪应力图和弯矩图最大弯矩发生在跨中，它的数值为最大弯矩发生在跨中，它的数值为

4、MMmaxmax281ql例题例题3 3 简支梁受集中作用如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。简支梁受集中作用如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。解：解：1.1.求约束反力求约束反力lFaFlFbFByAy,2.2.列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程lFbFxFAyQ)( （0 xa0 xa） lFbxFxMAy)( (0 xa) (0 xa) ACAC段：段：CBCB段：段：lFaFlFbFFxFAyQ)( (axl) (axl) )()()(xllFaaxFxFxMAy (0 xl) (0 xl) 3.3.作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图图 三Q 图M 图经分析可得出经分析可得出：剪力、弯矩

5、剪力、弯矩随荷载变化的规律随荷载变化的规律无无 荷荷 载载 区区 段：剪力图水平段：剪力图水平线；弯矩图斜直线（剪力为线；弯矩图斜直线（剪力为正斜向下，倾斜量等于此段正斜向下，倾斜量等于此段剪力图面积）。剪力图面积）。集中荷载作用点：剪力图有集中荷载作用点：剪力图有突变（突变方向与荷载方向突变（突变方向与荷载方向相同，突变量等于荷载的大相同，突变量等于荷载的大小）；弯矩图有尖点（尖点小）；弯矩图有尖点（尖点方向与荷载方向相同）。方向与荷载方向相同）。口诀表述：口诀表述：剪力图剪力图 没有荷载没有荷载水平线，集中荷载有突变。水平线，集中荷载有突变。弯矩图弯矩图 没有荷载斜直没有荷载斜直线线, 集

6、中荷载有尖点。集中荷载有尖点。例题例题4 4 简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪力图和弯矩图。简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪力图和弯矩图。解：解：1.1.求约束反力求约束反力lMFlMFeByeAy,2.2.列剪应力方程和弯矩方程列剪应力方程和弯矩方程ABAB段：段：lMxFeQ)(（0 xl0 xl）CBCB段：段：eeAYMxlMMexFxM)( (axl)(axl)ACAC段：段：xlMexFxMAy)( (0 xa)(0 xa)3.3.绘出剪力图和弯矩图绘出剪力图和弯矩图 力偶荷载作用点：力偶荷载作用点：剪力图无变化；弯矩图剪力图无变化；弯矩图有突变（荷载逆时针转向，向

7、上突变，突有突变（荷载逆时针转向，向上突变，突变量等于荷载的大小）。变量等于荷载的大小）。 口诀表述：口诀表述：剪力图剪力图 力偶荷载无影响。力偶荷载无影响。 弯矩图弯矩图 力偶荷载有突变。力偶荷载有突变。（）在均布荷载作用段，（）在均布荷载作用段， F FQQ图是斜直线，倾斜方向与荷载指向相同图是斜直线，倾斜方向与荷载指向相同(2)(2)无荷载作用区段，即无荷载作用区段，即q(x)=0q(x)=0，F FQQ图为平行图为平行x x轴的直线。轴的直线。(3)(3)在集中力作用处，在集中力作用处，FQFQ图有突变，突变方向与外力一致，且突变的数值等图有突变，突变方向与外力一致，且突变的数值等于该

8、集中力的大小。于该集中力的大小。(4)(4)在集中力偶作用处，其左右截面的剪力在集中力偶作用处，其左右截面的剪力FQFQ图是连续无变化。图是连续无变化。2.2.弯矩图与荷载的关系弯矩图与荷载的关系 在均布荷载作用的区段，在均布荷载作用的区段，MM图为抛物线。图为抛物线。(2)(2)当当q(x)q(x)朝下时，朝下时，0)()(22xqdxxMdMM图为上凹下凸。图为上凹下凸。当当q(x)q(x)朝上时，朝上时，0)()(22xqdxxMdMM图为上凸下凹。图为上凸下凹。二、根据内力图规律做图二、根据内力图规律做图.剪力图与荷载的关系剪力图与荷载的关系(3) (3) 在集中力作用处，在集中力作用

9、处，MM图发生转折。如果集中力向下，则图发生转折。如果集中力向下，则MM图向下转折；反之，则向上转折。图向下转折；反之，则向上转折。(4) (4) 在集中力偶作用处，在集中力偶作用处，MM图产生突变，顺时针方向的集中力偶图产生突变，顺时针方向的集中力偶使突变方向由上而下；反之，由下向上。突变的数值等于该集使突变方向由上而下；反之，由下向上。突变的数值等于该集中力偶矩的大小。中力偶矩的大小。(1)(1)任一截面处弯矩图切线的斜率等于该截面上的剪力。任一截面处弯矩图切线的斜率等于该截面上的剪力。(2) (2) 当当F FQQ图为斜直线时，对应梁段的图为斜直线时，对应梁段的MM图为二次抛物线。当图为

10、二次抛物线。当F FQQ图为平行于图为平行于x x轴的直线时，轴的直线时，MM图为斜直线。图为斜直线。3. 3. 弯矩图与剪力图的关系弯矩图与剪力图的关系(3) (3) 剪力等于零的截面上弯矩具有极值；反之，弯矩具有剪力等于零的截面上弯矩具有极值；反之，弯矩具有极值的截面上，剪力不，一定等于零。左右剪力有不同正、极值的截面上，剪力不，一定等于零。左右剪力有不同正、负号的截面，弯矩也具有极值。负号的截面，弯矩也具有极值。解：解： 1. 1. 求约束反力求约束反力例题例题 简支梁如图所示，试用荷载集度、剪力和弯矩间的微分简支梁如图所示，试用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系作此梁的剪力图和弯矩图。关

11、系作此梁的剪力图和弯矩图。kNFkNFByAy15,152. 2. 画画F FQQ图图各控制点处的各控制点处的FQFQ值如下：值如下：F FQAQA右右=F=FQCQC左左=15kN =15kN F FQCQC右右=F=FQDQD=15 kN =15 kN 10kN=5kN 10kN=5kN F FQDQD=5kN =5kN F F QB QB左左= =15kN15kN3. 3. 画画MM图图MMA A = 0, M = 0, MCC =15kN =15kN2m=30 kN.m 2m=30 kN.m M MD D = 15kN = 15kN4m4m10kN10kN2m=40kN.m 2m=40

12、kN.m M MD D右右= 15kN= 15kN4m4m5kN5kN4m4m2m=20 kN.m2m=20 kN.mMB=0MB=0mkNmmmkNmkNME5 .22233/5315例题例题6 6 一外伸梁如图示。试用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关一外伸梁如图示。试用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系作此梁系作此梁的的F FQQ、MM图图。解：解：1.1.求约束力求约束力kNFkNFByAy13,52.2.画内力图画内力图(1)(1)剪力图。剪力图。ACBACB段：段： F FQAQA右右=F=FQCQC=F=FQBQB左左= =5kN5kNF FQQ图为一水平直线图为一水平直线 BDBD段

13、：段：FQFQ图为右下斜直线。图为右下斜直线。FQB右 F FQBQB左左+13=8kN +13=8kN FQD=0(2) (2) 弯矩图弯矩图 ACAC段：段：F FQQ00，故，故MM图为一右上斜直线图为一右上斜直线 MMA A=0=0，MMCC左左= =5kN5kN2m=2m=10kN.m 10kN.m CBCB段：段： F FQQ0,0,故故MM图为一右上斜直线，图为一右上斜直线，在在CC处弯矩有突变。处弯矩有突变。 MMCC右右= =5kN5kN2m+12kN.m2m+12kN.mMMB B= =4kN/m4kN/m2m2m1m=1m=8kN.m8kN.mBDBD段：段： 段内有向下

14、均布荷载，段内有向下均布荷载，MM图为下凸图为下凸抛物线，抛物线， MMB B= =8KN.m8KN.m，MMD D=0=0例例7 外伸梁如图所示，试画出该梁的内力图。外伸梁如图所示，试画出该梁的内力图。解：解： （1）求梁的支座反力）求梁的支座反力由由 0 Am 0221352 aqmaRaPB解得解得 kNqaamPRA102431 由由 0Y 02qaRRPBA解解得得 kNRqaPRAB52 q=10kN/mBEDACm=3.6kNmP3kNa=0.6ma=0.6m2a=1。2mxRARB （2）画内力图：）画内力图：CACA段段: q=0: q=0，剪力图为水平直线；剪力图为水平直线

15、；弯矩图为斜值线。弯矩图为斜值线。 kNPQQAC3 0CMkNaPMA8 . 1 ADAD段段:q=0,:q=0,剪力图为水平直线； 弯矩图为斜值线。kNaPMA8 . 1 kNRPQQADA7 mkNaRaPMAD 4 . 22DB段段:q0, :q0, 剪力图为斜直线；弯矩图为抛物线。 kNRQBB5 qxRxQBax200 xQ令：mxqRB5 . 0 mkNmaRaPMAD 2 . 12mkNqRMBE 25. 12/5 . 05 . 020BM根据根据Q QB B 5kN Q5kN QC C 3kN 3kN 、 Q QA A 7kN 7kN 、Q QA A 3kN 3kN 、Q QD D 7kN7kN的对应值便可作出图的对应值便可作出图(b)(b)所示的剪力图所示的剪力图 。可见，。可见， 在在ADAD段段剪力最大，剪力最大，kNQ7max mkNMMD 4 . 2max（Q）（M） q=10kN/mBEDACm=3.6kNmP3kNa=0.6ma=0.6m2a=1。2mxRARB3kN7kN5kN1.8kNm2。4k