2020高考理数必考题突破讲座：三角函数与平面向量的综合问题

1、咼考必考题突破讲座( (二)31. (2017 北京卷)在厶 ABC 中，/ A= 60 c= 尹求 sin C 的值；(2)若 a = 7,求厶 ABC 的面积.解析 在ABC 中，因为ZA= 60 c=3a,所以由正弦定理得 sin C =CSjnjA=7a 723*374.(2)因为 a=乙所以 c= |x7= 3由余弦定理得 72= b2+ 32-2bx3X解得 b = 8,所以 ABC 的面积 S=Ibcsin A= |x8x3x今=6.3.-n n-2. 设函数 f(x) = Asin(3x+ (j)A0,w0，- ?0 ,所以 T = 2n=，解得3=1 ,所以 f(x)4632

2、3/ nnnnn n=2sin(x+ (.将点 3, 2 代入得 3+ (= + 2kXkZ),即卩(=石+ 2knk)，又一 2(2，所以(=6.所以 f(x) = 2sin x+ 6 .(2)x 2，,扌，则 x+-3，所以 sin(+ n)-爭,1,即 f(x)q-0,0v(v寻 的最小正周期为n.(1) 求当 f(x)为偶函数时(的值；(2) 若 f(x)的图象过点n-2,求 f(x)的单调递增区间.解析 因为 f(x)的最小正周期为n,则 T=2n=n,所以3=2,所以 f(x)= sin(2x+ ().3(1)当 f(x)为偶函数时,f(-x)= f(x).所以 sin(2x+ (

3、)= sin(- 2x+ (),展开整理得 sin 2xcos0=0，由已知可知上式对任意xR 都成立，所以 cos(j)=0.因为 Ov (j)寸，所以0= 2.32f(x)的图象3+=中又o o #，所nnn2nnnnnn以 33+ 0 n所以 3+ 0=3, 0=3.所以 f(x)=sin?x+ 3 令2kn-g2x+32kn+?,k乙得 kn-12 x kn+話，kZ.所以 f(x)的单调递增区间为kn-誇，kn+話I,kZ4.已知向量 a= (m,cos 2x),b= (sin 2x, n),函数 f(x)= ab,且 y= f(x)的图象过点!12，V3和点自,-2)(1)求 m,

4、 n 的值；将 y= f(x)的图象向左平移0(O0n)单位后得到函数 y= g(x)的图象，若 y= g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为 1，求 y= g(x)的单调递增区间.解析(1)由题意知 f(x) = a b = msin 2x+ ncos 2x.因为 y = f(x)的图象过点，3和n+ncos 匚,6(2)由(1)知 f(x)=, 3s in 2x+cos 2x=2si n 2x+才.易知 g(x)=f(x+ 0)=2si n 2x+20+f.设 y = g(x)的图象上符合题意的最高点为 (xo,2)，由题意知 x0+ 1 = 1,所以 xo= 0，即到点(0

5、,3)的 距离为 1 的最高点为(0,2).将其代入 y= g(x),得 si njo+f=1，因为 00n,所以0=f, 因此 g(x) = 2sin ?x+ 訂=2cos 2x.由 2kn n2x 2knkCZ 得 kn jwx kn,kCZ.所以函数 y=g(x)的单调递增区间为 kn- n，kn,kZ5. (2019 东、湖北部分重点中学联考)设函数 f(x)= 2sin+ cos x-3.(1)求 f(x)的单调递增区间；已知 ABC 的内角分别为 A, B, C，若 f A =于，且厶 ABC 能够盖住的最大的圆面 积为n求ABAC的最小值.解析(1)f(x)= 2sin x+ 3

6、 cosx-务 2 23cos x+*in xcos x于in 2x+cos 2xI 寸， sinsin4n4n7+ncos亍3 =如+于门冗匕冗nn5nn=sin i2x+ 3 .令2+ 2kn2x + 3W空+ 2kn,k0，所以+ 2kn2x- + 2knk 題，则 器+ knx 12 或 0bcW3(舍).所以 AB AC =尹/6 , +)，当且仅当 b = c 时，AB AC 取得最小值 6.6. (2019 三门峡调考)在如图所示的平面直角坐标系中，|= 1,且/ AOC= x,3n(1)若 x=,设点 D 为线段 OA 上的动点， 求|OC+ OD 的最小值;n,即 x=訓寸， m-n = 1 寸 2sin2x+才取得最小值 1-溟，所以 m-n 的最小值为1_書,此 时x=昌-H-7t若 x 0, 2向量 m = BC , n= (1 cos x, sin x 2cos x),求 m n 的最小值及对应的 x 值.解析3n(1)设 D(t,0)(0wtw1)，当 x =时，可得 C亡，所以 OC + OD =7 2 2W，所以 |OC + OD| =22122tW + 2(0wtW1),所以当 t =时，|OC + OD| 取得1-最小值为 2 故|OC + OD|的最小值为-n r22易得 C(cos x, sin x), m = BC= (co