第三次课无穷小与无穷大极限运算法则

1、12.4 无穷大与无穷小2定义定义: 若若0lim( )0,xxf x称当称当 时为无穷小时为无穷小.( )f x、 、记作：记作：1:limxx如0 xyo1xx 称当时是无穷小.称当称当 时为无穷小时为无穷小.( )f x0 xxlim( )0,xf xx 3说明：说明：1.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.3. 一个量是否为无穷小一个量是否为无穷小与它自变量的变与它自变量的变化趋势有关化趋势有关.思考：思考： 是无穷小吗？是无穷小吗？1x4lim( )( )f xAf xA性质性质4 无穷小的性质

2、无穷小的性质性质性质1 有限个无穷小的代数和仍是无穷小有限个无穷小的代数和仍是无穷小. .性质性质2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小. .性质性质3 有限个无穷小的积是无穷小有限个无穷小的积是无穷小. . 推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小. .推论推论1 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. .501 lim sinxxx例1.求1 |sin| 1,x解：0lim0,xx又01lim sin0.xxxarctan limxxx例2.求 |arctan|,2x解：1lim0,xx又arctanlim0

3、.xxx性质性质2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小. .6定义：定义：00lim( ),( )lim( ), ( ) xxxf xf xxxf xf xx 称称当当时时是是无无穷穷大大. .称称当当时时是是无无穷穷大大. .特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大0()lim( )xxxf x 0()lim( )xxxf x 7xyo3limxxxx1lim0 xyo3xx 称 当时是无穷大10 xx称 当时是无穷大例如：8说明：说明：1.1.无穷大是变量无穷大是变量, ,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆; ;. .无穷大说明函数极限不存在无穷

4、大说明函数极限不存在; ;9无穷大的性质无穷大的性质性质性质 有限个同号无穷大的和是无穷大有限个同号无穷大的和是无穷大.性质性质 有限个无穷大的积是无穷大有限个无穷大的积是无穷大.性质性质 无穷大与非零常数的积是无穷大无穷大与非零常数的积是无穷大.性质性质 无穷大与有界函数的和是无穷大无穷大与有界函数的和是无穷大.性质性质 同一过程中的无穷小的倒数为无穷大，无同一过程中的无穷小的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小穷大的倒数为无穷小.101lim(1)xx0 xyo111)1xx称(当时是无穷小11lim1xx 而11 11小结：小结：掌握无穷大与无穷小的概念与性质；掌握无穷大与无穷小的概念与性

5、质；会利用无穷小性质求常见极限。会利用无穷小性质求常见极限。作业：作业： P91，7, 9122.5 极限的运算极限的运算13一、极限的四则运算法则一、极限的四则运算法则BAxgxfxgxf)(lim)(lim)()(lim 则lim( ) ( )lim( )lim ( )f x g xf xg xAB)0)(lim,)(lim)(lim)()(limxgBAxgxfxgxf lim( ), lim ( )f xAg xB设设在在同同一一极极限限过过程程中中，14231lim(32)xxx 例例1. 1. 求求2311lim3lim2xxxx解：原式23113 lim2 limxxxx（）（）

6、233 12 11 lim( )lim( )kf xkf x注：注：lim ( )lim( )nnf xf x注：注：为正整数为正整数n（）如果如果f( (x) )连续，极限连续，极限值等于函数值。值等于函数值。15211lim23xxx 例例2.2.求求121lim1lim 23xxxx（）解：原式（）21 12 132 如果分式中分子、分如果分式中分子、分母连续，且分母不为母连续，且分母不为0 0，则极限值等于函，则极限值等于函数值。数值。16分析：分析：21lim(23)xxx0,商的法则不能用商的法则不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由无

7、穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系, ,得得例例3.3.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx解：解：17211lim1xxx 例例4. 4. 求求11lim(1)(1)xxxx原式0.0型型111lim12xx方法方法： 消去零因子。消去零因子。分析：分式中分子分母都趋于分析：分式中分子分母都趋于0 0，称为，称为解：解：18例例5.5.147532lim2323 xxxxx求求. 型型332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 分析：分式中分子分母都趋于无穷，称为分析：分式中分子分母都趋于无穷，称为方法方法：分子、分母同除最高

8、次幂。分子、分母同除最高次幂。解：解：19例例6.25lim29xxx 解：解：222155limlim9292xxxxxxx 0 )(型型 20例例7.321lim52xxx 解：解：33231221limlim5252xxxxxxx )(型型 21小结小结: :00(0, 0, ,abm n 为为非非负负整整数数) )101101limmmmnnxna xa xab xb xb )(型型 00, ,0, , .anmbnmnm 当当当当当当2242lim4xxx例8. 求44lim(4)(2)xxxx41lim2xx4(2)(2):lim(4)(2)xxxxx解 原式=)00(型型14如果有根式，考虑先如果有根式，考虑先用有理化方法去根式。用有理化方法去根式。2332112lim()28xxx例9. 求22(2)(4)lim(2)(24)xxxxxx224lim24xxxx23224 12:lim8xxxx解 原式() 型12 考虑先通分