2019年数学选修1-1常考题2026

1、2019年数学选修1-1常考题单选题（共 5 道）1、方程 2x2-5x+2=0 的两个根可分别作为（）A A 一椭圆和一双曲线的离心率B B 两抛物线的离心率C C 一椭圆和一抛物线的离心率D D 两椭圆的离心率2、 如果双曲线的两条渐近线的方程是0），那么它的两条准线之间的距离是（A-.B- 18 IC .D.3厂 F,焦点坐标是（-序，0）和莎,）3、一个物体的运动方程为 s=1-t+t2，其中 s 的单位是米，t 的单位是秒, 那么物体在 3 秒末的瞬时速度是A7A7 米/ /秒B6B6 米/ /秒C5C5 米/ /秒D8D8 米/ /秒4、路灯距离地面 8m 一个身高为 1.6m 的

2、人以 84m/min 的速度从路灯在地 面上的射影点 O 沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率为（A A m/sm/s23D7ZB Bm/sjiC C 一 m/sm/s24D Dm/s5、给出以下四个命题：1如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交， 那 么这条直线和交线平行；2如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， 那么这条直线垂直于这个平面；3如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；4如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直；其中真命题的个数是A4A4B3B3C2C2D1D1简答题（共 5 道）6 （本小题满分 12 分）求

3、与双曲线有公共渐近线，且过点一厂=的双曲线的标准方程。7、已知函数f(x)=(cosx-x) ( n+2x)-(sinx+1)g(x)=3(x-n )cosx-4(1+sinx)In(3,)证明：(I)存在唯一 x0( 0,，使 f (x0) =0;(n)存在唯一 x1 (, n ),使 g (x1)=0,且对(I)中的 x0，有 x0+x1V n .8、已知函数 f (x) =X(x-1 ) -2Inx , g (x) Jx,(入 R, e 为自然对数 的底数)(I)当X=1 时，求函数 f (x)的单调区间(n)函数 f (x)在区间(e, +x)上恒为正数，求X的最小值(川)若对任意给定

4、的 x0( 0, e在(0, e上总存在量不同的 xi (i=1 , 2),使得 f (xi ) =g (x0)成立，求X的取值范围.9、（本小题满分 12 分）求与双曲线-有公共渐近线，且过点丄二的双曲线的标准方程。10、（本小题满分 12 分）求与双曲线-有公共渐近线，且过点 丄二的双曲线的标准方程。填空题（共 5 道）11、设.：为双曲线n的左右焦点，点P在双曲线的左支上，且孚 的最小值为 L，贝 U 双曲线的离心率的取值范围是.12、 若=3,则 a=_ .13、 曲线 x3-y=0 在点（-2，-8 ）处切线方程是 _ .14、 设为双曲线-的左右焦点，点 P 在双曲线的左支上，且-

5、y yI的最小值为二，贝 U 双曲线的离心率的取值范围是.15、 设- .为双曲线- 的左右焦点，点 P 在双曲线的左支上，且-d* J|的最小值为二，贝 U 双曲线的离心率的取值范围是.2-答案：tc厂3力3-=1 （a 0，b 0）由渐近线的方程是卩二士尹，得；=又有 a2+b2=26 将联解，得 a=2 ，b=3 ，因此，双曲线的准线方程为 x=.，即 x= * | 可得两条准线之间的距离是字故选：A3-答案：C解： 双曲线的焦点坐标是-丨，0）和（.，0），设双曲线方程4-答案：tc45-答案：B所求双曲线的标准方程为略丄42-答案：证明：(I)：当 x(0,)时，f(X)=-(1+s

6、inx) ( n+2x)-2x-TCOSXv0,.函数 f (x) 在( 0,(：i 3cobf-3Jsin；if l + sinf)d忙QwCtQsJ则 u( t )=AB 则 AB=1.6,人的影子长(m/s)1-答案：设所求双曲线的方程为-，将点-代入得.=-2 ,上为减函数，又 f (0)=n-0;.存在唯一的 x0 ( 0, ),使 f (x0) =0;则 x,J( (A-n) )CQS.V考虑函数 h (x)=n _7t-4ln (3-RX), x,n，令 t=n-x ,rTT一，3/co s/时，t 0 ,，记函数 u (t) =h (n-t )=,2-4ln (1+ t),；a

7、 blS i】l f+3f3i(1 + si tif 3m/s，故选 D.(m/min)=21tx0() )=tm/s，Ah=0,二当 t ( 0, xO时，u (t)0,. u (t) )上 u (t )是减函数，且 u (x0) 0, u(”)当 t ( 0, x0)时，u( t ) 0;在(0, x0)上 u (x)是增函数，又 u (0)=0,.当 t ( 0, x0时，u (t) 0,. u (t)在(0, x0上无零点；在(x0,7 )上 u (t)是减函数，且 u (x0 ) 0, u()=-4ln2v0,.存在唯一的 t1 (x0,专)，使 u (t1 ) =0;.存在唯一的

8、t1 ( 0,号)，使 u (t1 ) =0;二存在,n, n唯一的 x 仁n-t1 (寸，n),使 h (x1) =h (n-t1 ) =u (t1 ) =0; .当 x (，丄1 + sirif)H3(s；DBr-JK n+2/l+inr)=卽【门(1+tinf)n+2 0;在(0, x0)上 u (x)是增函数，又 u (0)在（0, xO上无零点；在（xO,=-4ln2v0,A存在唯一的 t1 （x0,孑），使 u （t1 ） =0;二存在唯一的 t1 (0,），使 u （t1 ） =0;二存在唯一的 x1 =n-t1n2,n),使 h (x1) =h (n-t1 ) =u (t1 )

9、 =0;.当 x ( ,n)时，1+sinx 0, g (x) = (1+sinx ) h (x)与 h (x)有相同的零点，二存在唯一的 x1 n ),使 g (x1)=0,.x1=n-t1,t1x0, x0+x1v n .n2v0,.证明：（I）.当x (0,)时，f (x) =- (1+sinx ) (n+2x) -2x- cosx又 f (0) 0, f (寸)=-n2-v0;.存在唯一的 x0（ 0, ）,使 f(x0) =0;则 x,考虑函数 h（x）=一TI _-4ln(3-fx),Hx ,，令 t=n-x ,n、rp、仏 ，、z、时，t 0 ,，记函数 u （t） =h （ n

10、 -t ） =2-4ln (1+ t),i+-rnaf-t1 + sinf)H3(CQif-f)(Tl+2f)-8(l+si nf)MtH1(l + sinf)-n+20,. g (x ) = (1+sinx ) h (x)与 h (x)有相同的零点，.存在唯一的 x1 ( ,n)，使 g (x1) =0, .x1=n-t1 , t1 x0, .x0+x1v n.3-答案：解：(I)：函数 f(x)的定义域是(0,+x),当入=1 时，f(x)=x-1-2lnx , f(x) =1-二，由 f(x)0,解得：x2,由 f(x)v0,解得：0vxv2,Af (x)在(0, 2)递减，在(2, +

11、x)递增；x 在 R 上递增，故 g( x )在(0, e上的值域是(0,入(1，当入=0 时，f (x) =-2lnx ,单调递减，不合题意，当入工0时，f (x)=( 0, e，要使 f (x)在(0, e不单调，只需 0一，故Ae不同的两个 xi/4)so(i=1 , 2),使得 f (xi ) =g (x0)成立，当且仅当满足下列条件(入 即2,令 h (入)=2ln 入-入 +2-21 n2 , h(入)= ,当入 (-，Af2)时，h(X)0,h (入)递增,当入( 2,+x)时，h(入)v0,h(入)递减，当,+x)时,有 h(X) 1,解得：入一，综上得：当入时，对任意给定的

12、x0 ( 0 ,(H)f(x) 0 在(e,+x)恒成立？入2 Jfl T73T恒成立，令(I IffX),x(e, +x),则 h(x) =2?1v0,于是 h(A- l2(X )在(e,+x)递减，又在 x=e 处连续，故在(e, +x)上，h (x)vh (e),从而对任意的 x( e, +x)恒成立，只要 入,故入的最小值(川)一次函数 g (x)=f (x)在(0,)递减，在(殳，e递增,f (x) min=f)=2ln 入-入 +2-21 n2 ,f (e) =X(e-1 ) -2，对任意给定的x0( 0, e，在区间(0, e上总存在要使入e在(0 , e上总存在量不同的 xi(

13、i=1 , 2),使得 f (xi ) =g (x0)成立.解：(I)：函数 f(x)的定义域是(0,+x),当入=1 时，f(x)=x-1-2lnx,(x) 0,解得：x 2,由 f( x)v0,解得：0vxv2,x 在 R 上递增，故 g( x )在(0, e上的值域是(0, 1,当X=0 时,f (x) =-2Inx ,单调递减,不合题意,当X工0时,f (x)=x( 0 , e,要使 f (x)在(0 , e不单调，只需 0灭ve ,此时X，故if (x)min=f 年)=2InX-X+2-2In2,不同的两个 xi(i=1 , 2),使得 f (xi ) =g (x0)成立. f (

14、x) 在( 0, 2)递减，在(2,(H)f(x) 0 在(e,+x+x)递增；2 /fi T恒成立？入恒成立，令,x(e,+x),则 h(1bur)(x) =2?V0,于是 h(A-l2(x )在(e,+x)递减，又在 x=e 处连续，故在(e, +x)上，h (x)vh (e),从而要使入对任意的 x( e , +x)恒成立，只要入f一|,故入的最小值(川)一次函数 g (x)递减，在(-,e递增,f (e)=入(e-1 ) -2，二对任意给定的xO( 0, e，在区间(0, e上总存在(i=1 , 2),使得 f (xi ) =g (xO)成立，当且仅当满足下列条件贞严丿2尼仃心_|)七

15、12)时，h(入)，令 h(入)=入 +2-2In2 , h ( X )=0,h( X )递增,当X(2,+x)时，h( X)v0,h(入)递减，.当入 ，+x)时，有 h( X )0, b0）的左右焦点分别为 F1, F2, P 为双曲线左支上的任意一点，二 |PF2| -|PF1|=2a , |PF2|=2a+|PF1| ,|PF2|=2a+|PF1|=4a ,v|PF2|-|PF1|=2av2c, |PF1|+|PF2|=6a 2c,所以 e（1, 3。点评：本题把双曲线的定义和基本不等式相结合，考查知识点的灵活应用。解题时要认真审题，注意基本不等式的合理运用2-答案：解V恵怎=3,诽=3,二 a 二-.故答案为：埠.3-答案： 由题意得， y=x3,则 y =3x2, .在点（-2 , -8 ） 处切线的斜率是 k=12,5-答案：设所求双曲线的方程为将点-代入得，.-:（当且仅当 I-0, b0)的左右焦点分别为 F1, F2, P 为双曲线左支上的任意一点，二 |PF2| -|PF1|=2a , |PF2|=2a+|PF1| , -:-:-(当且仅当一时取等号)，所以|PF2|=2a+|PF1|=4a ,v|PF2|-|PF1|=2av2c, |PF1|+|PF2|=6a 2c,所以 e(1, 3。点评：本题把双曲线的定义和基本不等式相结合，考查知识点的灵活应用