函数单调性的判定方法(高中数学)

1、函数单调性的判定方法学生：日期；课时：教师：1.判断具体函数单调性的方法1.11.1 定义法一般地，设f为定义在D上的函数。若对任何Xi、X2 D，当：X2时，总有(1)(1)f(Xi)乞f(X2)，则称f为D上的增函数，特别当成立严格不等f (Xi):：f(X2)时，称f为D上的严格增函数；(2)(2)f(xj _f(X2), ,则称f为D上的减函数，特别当成立严格不等式f(X1)f(X2)时，称f为D上的严格减函数。利用定义来证明函数y = f(x)在给定区间D上的单调性的一般步骤：(1) 设元，任取X1,X D且x1:X2；(2) 作差f (xj - f(X2)；(3)变形(普遍是因式分

2、解和配方)；(4)断号(即判断f(捲)- f (x2)差与 0 0 的大小)；(5)定论(即指出函数f(X)在给定的区间 D D 上的单调性)。例 1.1.用定义证明f(x)=-x3 a(a R)在(Y,：)上是减函数。证明：设x1, ,x(：)，且X1 : X2，贝Uf (xj_ f (x2) = _x；a -(-x；a) = x；-xf= (x2-x1)(xfx|x1x2).22, X? 232由于X1X2X1X2=(X1) X20,x2x1024则f(xj -f (x2) =(x2-为)(为2x|X-!X2) 0,即f (x-j)f (x2)，所以f (x)在上是减函数。k例 2.2.用

3、定义证明函数f(x)=x (k 0)在(0/:)上的单调性。X证明：设x1、x2(0/:)，且X：x2，则kkkkf (xj - f(X2) =(Xi)-(X2) =(Xi-X2)()X1X2X1X2X2XiXi X2X1X2k-(XiX2)k() = (Xi X2) k() = (XiX2)()，X1X2X1X2X1X2又0：Xj：X2所以为一x2: 0,X1X2 0,当x1、x2 (0, . k时XjX2- k _ 0 = f (xj - f (x2) _ 0,此时函数f (x)为减函数；当x1、x2 (. k,：)时x1x2-k . 0 = f (%) - f (x2)：0，此时函数f

4、(x)为增函数。综上函数f(x)=x，k(k 0)在区间(0, *内为减函数；在区间(.、k,：)内为增函数。x此题函数f (X)是一种特殊函数(对号函数)，用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于x/2- k与 0 0 的大小关系(k .0)不是明确的，因此要分段讨论。用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数x1,x2当捲cx2时，容易得出f (xj与f(X2)大小关系的函数。在解决问题时，定义法是最直接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种方法思路比较清晰，但通常过程比较繁琐。1.21.2 函数性质法函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我

5、们常见的简单函数的单调性结合起来使用。对于一些常见的简单函数的单调性如下表：函数函数表达式单调区间特殊函数图像V A次当k0时，y在 R R 上是增函数；KbJT函数y=kx + b(k芒0)当kcO时，y在 R R 上是减函数。当a 0时，x -时y单调减，b /2ay2=ax + bx + cb fh-x c时y单调增；次2a函(a式0,a,b,c R)bKV数当aX X在在B,调调单单时时o O 调V调KiKi当时当时1 1 a a- -3 3 -指数函数11 X X# # a a a a -Q-Q y y a a .数减函是增上是R上在Ry在时y1时y y a a -、|1一数减函是增

6、上是y眄,1时 V a o当当A A F Fr r：y y一些常用的关于函数单调的性质可总结如下几个结论：.f(x)与f(x)+ +C单调性相同。(C为常数)当k 0时，f(x)与kf(x)具有相同的单调性；当k -0时，f(x)与kf(x)具有相反的单调性。1当f(x)恒不等于零时，f (x)与具有相反的单调性。f(x).当f (x)、g(x)在D上都是增(减)函数时，则f (x)+g(x)在D上是增(减)函数。.当f(x)、g(x)在D上都是增(减)函数且两者都恒大于 0 0 时，f(x) g(x)在D上是增(减)函数； 当f(x)、g(x)在D上都是增(减)函数且两者都恒小于0 0 时，

7、f (x) g(x)在D上是减(增)函数。.设y = f (x), ,x D为严格增(减)函数，则f必有反函数f二，且f在其定义域f (D)上也是严格增(减) 函数。例 3.3.判断f (x) = x x3log2x3 2x 1(x21) 5的单调性。解: :函数f (x)的定义域为(0，畑)，由简单函数的单调性知在此定义域内x,x3,log2x3均为增函数，因为2x 10, ,x21 0由性质可得2x1(x21)也是增函数；由单调函数的性质知x x3log2x为增函数，再由性质知函数f (x x x3log2x32x 1(x21)+5+5 在(0/:)为单调递增函数。x + a例 4 4设函

8、数f(x)(a b 0)，判断f(x)在其定义域上的单调性。x +bx + a解: :函数f (x)的定义域为-(-b：). .x +b_x亠aa b先判断f (x)在(-b, ：)内的单调性，由题可把f(x)转化为f(x)=1，又a . b . 0故a-b . 0由x +bx+ b性质可得为减函数；由性质可得为减函数；再由性质可得f(x)=1电逹 在(_b,=)内是减函x+bx+bx+b数。_x亠a _ _同理可判断f (x)在(-：,_b)内也是减函数。故函数f (x)在(-：,-b)(_b, ：)内是减函数。x+b函数性质法只能借助于我们熟悉的单调函数去判断一些函数的单调性，因此首先把函

9、数等价地转化成我们熟 悉的单调函数的四则混合运算的形式，然后利用函数单调性的性质去判断，但有些函数不能化成简单单调函数四则混合运算形式就不能采用这种方法。1.31.3 图像法用函数图像来判断函数单调性的方法叫图像法。根据单调函数的图像特征，若函数f (x)的图像在区间I上从左往右逐渐上升则函数f (x)在区间I上是增函数；若函数f (x)图像在区间I上从左往右逐渐下降则函数f(x)在 区间1 1上是减函数。、例 5.5.如图 1-11-1 是定义在闭区间-5,5-5,5上的函数y = f (x)的图像，试判断其单调性。r2),2),K N) )个单调函数复合而成其中有m空K个减函数:当m=2k

10、，1时，则y=f(x)是减函数；当m =2k时，则y二f (x)是增函数。判断复合函数y=fg(x)的单调性的一般步骤：合理地分解成两个基本初等函数y = f(u),u =g(x)；分别解出两个基本初等函数的定义域；分别确定单调区间；若两个基本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减，则y = fg(x)为增函数，若为一增一减，则y二f g(x)为减函数(同增异减)；求出相应区间的交集，既是复合函数y = fg(x)的单调区间。以上步骤可以用八个字简记“一分”，“二求”，“三定”，“四交”。利用“八字”求法可以解决一些复合函数的单调性问题。例 7.7.求f(x) =loga(3x

11、25x-2)(a 0且a = 1)的单调区间。解：由题可得函数f (x) = loga(3x2 5x-2)是由外函数y = logau和内函数u=3x2，5x-2符合而成。由题知函数f(x)的定义域是(-：，-2)(,；)。内函数u =3x25x-2在(，；)内为增函数，在(-二，-2)33内为减函数。1若a1，外函数y = logau为增函数，由同增异减法则，故函数f(x)在(1址)上是增函数；函数f(x)3，在-：,-2上是减函数。2若Ocacl，外函数y=logau为减函数，由同增异减法则，故函数f (x)在(-垃)上是减函数；函数3f (x)在：，-2上是增函数。2 2.判断抽象函数单

12、调性的方法如果一个函数没有给出具体解析式，那么这样的的函数叫做抽象函数。抽象函数没有具体的解析式，需充分提取题目条件给出的信息。2.12.1 定义法通过作差( (或者作商) )，根据题目提出的信息进行变形，然后与 0 0 (或者 1 1)比较大小关系来判断其函数单调性。通常有以下几种方法：2.1.12.1.1 凑差法大小关系。根据单调函数的定义， 设法从题目中“凑出”f (xj - f (x2)”的形式，然后比较f(xj - f (x2)与 0 0 的例 11.11.已知函数f(X)对任意实数m、n均有f (m n) = f(m) f( n)，且当m . 0时，f(m) 0,试讨论函数f (x

13、)的单调性。解：由题得f (m n) f (m)二f (n)，令x1=m n, x2= m，且洛x?，n xx20又由题意当m.0时，f (m) .0 = f (xj - f (x2) =f (n) 0，所以函数f (x)为增函数。2.1.22.1.2 添项法弄清题目中的结构特点，采用加减添项或乘除添项，以达到能判断“f(x2) - f(x1)”与 0 0 大小关系的目的。例 12.12.(同例 1111)解：任取x2R, x1: x2，则x2- x10，f (x2) - f(论)=f (x2- 论)论- f (x1)由题意函数f (x)对任意实数m、n均有f (m n)二f (m) f (n

14、)，且当m .0时，f(m) 0= f(X2)- f (xj = f(X2-为)0,所以函数f (x)为增函数。2.1.32.1.3增量法由单调性的定义出发，任取X1,X2R,X1：X2设X2=X1=(、：0), ,然后联系题目提取的信息给出解答。例 13.13.(同例 1111)解：任取X1, x R, X1 : X2设X2 =X1 0)由题意函数f (x)对任意实数m、n均有f (m n) = f (m) f (n)，二f(X2) -f(xj = f(捲、)-f (xj = f C )，又由题当m 0时，f(m) 0二f(X2)- f (xj = f C )0(、0)，所以函数f (x)为

15、增函数。2.1.42.1.4放缩法利用放缩法，判断f(xj与f(X2)的大小关系，从而得f(x)在其定义域内的单调性。例 14.14.已知函数f(x)的定义域为(0 0, + +8),对任意正实数m、n均有f (mn)二f (m) f (n)，且当m 1时0：f (m) 1，判断函数f (x)的单调性. .解：设0：必：X2，则X2.1又当m .1时0 :：f(m):：:1，故0：f(X2)：1XiX1再由f (mn) = f (m) f (n)中令m 1,n = 1得f (1) =111当0 :：: x :：: 1时，一1，由f(1)= f(x)f( )易知此时f(x) 1，故f (x) 0

16、恒成立。Xx因此f(x2)= fxj= f (2) f (x1) : 1f(xj= f (xj =f (x2)：f (xjx1x即f (x)在(0 0, + +8)上为单调递减函数。对于抽象函数，由于抽象函数没有具体的解析式，因此需充分提取题目条件给出的信息，观察结构特点。用定义法判定抽象函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数x1,x2当治：:：x2时，容易得出f(X1)- -f(X2)与 0 0 大小关系的函数。定义法是最直接的方法，思路也比较清晰，在解题中灵活选择凑差法、添项法、增量法、放缩法等恰当的方法，可使解题过程更加简单方便。2.22.2 列表法对于比较复杂的复合函数，除了用复合函数单调性判断法外，还可以用列表，将各个函数的单调性都列出来，然后再判断复合函数单调性。例 15.15.已知y二f(x)在 R R 上是偶函数，且在0,+0,+ ：)上是增函数，求f(2 x2)是减函数的区间解：列表如下函数单调性表达式-,0)02)M2严)y =2 _x2Iy = f (u)JJy = f(2-x2)II由表知f(2-x2)是减函数的区间(-：，一2),0,、2)。利用列表法比较直观，精确、易懂、量与量之间的关系又很明确。列表法在实际生活当中应用也是比较广 泛的。但是列表法也有其局限性：在于适用题型狭窄，求解范围小，大部分是跟探寻规律或反映规律有关。函数单调性是函数的