线性代数同济六版共五章全

1、 线性代数 同济六版 2007。09。05一元一次方程一元一次方程 ax = b 一元二次方程一元二次方程二元二元 、三元线性方程组、三元线性方程组 行列式 矩阵及其运算 矩阵的初等变换与线性方程组 向量组的线性相关性 矩阵的特征值和特征向量一元一次方程一元一次方程 ax = b 当当 a0 时，时，bax1 10 x2x22x3x22121 2312二元二元 （三元）线性方程组（三元）线性方程组例例 解二元线性方程组解二元线性方程组14x71 得得于是于是2x1 6x2 42x72 类似地，可得类似地，可得于是于是第一章第一章 行列式行列式1 1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式,21122

2、211212221aaaabaabx1 )( 1bxaxabxaxa22221211212111 线性方程组线性方程组时时，得得当当0aaaa1221211乘乘第第二二个个方方程程乘乘第第一一个个方方程程的的两两边边，即即用用1222aa 212221112212211baabxaaaa )(消去消去 x2 ,的两边后的两边后,两式相加得两式相加得消元法消元法记记22211211aaaa22211211aaaa称它为称它为二阶行列式二阶行列式，于是，线性方组（于是，线性方组（1）的解可以写为）的解可以写为21122211aaaa定义为定义为类似地，可得类似地，可得.aaaaabbax21122

3、2112112112 ,21122211212221aaaabaabx1 333231232221131211aaaaaaaaa312213332112322311aaaaaaaaa 类似的，我们还可以定义三阶行列式为类似的，我们还可以定义三阶行列式为3221312312332211aaaaaaaaa13222112112211112222112112221211aaaababaxaaaaababx ,n 阶排列共有阶排列共有 n! !个个. 排列的逆序数排列的逆序数 2 全排列及其逆序数 把把 1, 2, , n 排成一列，称为一个排成一列，称为一个 n 阶全排列阶全排列. 奇排列 逆序数为

4、奇数的排列. 在一个排列中如果一对数的前后位置与大小次序相反就说有在一个排列中如果一对数的前后位置与大小次序相反就说有 例例 1 排列排列 1 2 n 称为自然排列，称为自然排列，所以是偶排列所以是偶排列.一个一个逆序逆序.偶排列 一个排列中所有逆序的总数一个排列中所有逆序的总数.逆序数为偶数的排列. 它的逆序数为它的逆序数为0 ，三 阶排列阶排列共有共有321=3!个个.321jjj 例例 2 排列排列 3 2 5 1 4 的逆序数为的逆序数为 t () 例例 3 排列排列 n ( n 1 ) 3 2 1 的逆序数为的逆序数为 t ( n (n 1) 3 2 1 ) = 0 + 1 + 2

5、+ + ( n 1 ) = 21nn 排列排列 3 2 5 1 4 为奇排列为奇排列. 5333231232221131211aaaaaaaaa312213332112322311aaaaaaaaa 三阶行列式定义为三阶行列式定义为3221312312332211aaaaaaaaa13 3n 阶行列式的定义三阶行列式是三阶行列式是 3 ! != 6 项项 的代数和的代数和.321321j3j2j1jjjtaaa1)()( 321j3j2j1aaa 123231312132213321t(123)=0t(231)=2t(312)=2t(132)=1t(213)=1t(321)=3三阶行列式可以写

6、成3213212331232221131211j3j2j1jjjt33aaaaaaaaaaaa1 )()(,的的一一个个排排列列，是是其其中中321jjj321.jjjjjjt321321的的逆逆序序数数是是排排列列)( 定义定义 由由 n2 个数组成的数表，个数组成的数表，的的一一个个排排列列，是是其其中中n21jjjn21.jjjjjjtn21n21的的逆逆序序数数是是排排列列)(n21n21njj2j1jjjtaaa1.)()( nn2n1nn22221n11211a.aaa.aaa.aa称为称为 n 阶行列式阶行列式 ,项的代数和，项的代数和， 即即 规定为所有形如规定为所有形如记成记

7、成nn2n1nn22221n11211a.aaa.aaa.aa例例 1 下三角行列式下三角行列式333231222111aaa0aa00a332211aaa n21n21njj2j1jjjtaaa1.)().( 例例2 下三角行列式下三角行列式nn2211aaa nn2n1n222111a.aa0.aa0.0a例例 3 三阶行列式三阶行列式321 321 例例5 n 阶行列式阶行列式n21 n2121nn1 )()( 4321 例例4 四阶行列式四阶行列式4321 经对换经对换 a 与与 b ,得排列得排列 ,m1k1babbaa1babbaatbbabaatm1k1m1k1)()(所以，经一

8、次相邻对换，排列改变奇偶性所以，经一次相邻对换，排列改变奇偶性.,11mkbbabaa 4 4 对换对换 对换对换 定理定理 1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 证证 先证相邻对换的情形先证相邻对换的情形. 那么那么设排列设排列 1cbcbabaan1m1k1经对换经对换 a 与与 b排列，得排列排列，得排列 2cacbbbaan1m1k1 相邻对换相邻对换 再证一般对换的情形再证一般对换的情形. 设排列设排列事实上，排列（事实上，排列（1）经过）经过 2m + 1 次相邻对换变为排列（次相邻对换变为排列（2）.np2p1pppptn

9、21n21aaaD1 )()( 定理定理 2 n 阶行列式也可以定义为阶行列式也可以定义为根据相邻对换的情形及根据相邻对换的情形及 2m + 1 是奇数，是奇数，性相反性相反.所以这两个排列的奇偶所以这两个排列的奇偶 53142 解解 t(5314 2) = 0+1+2+1+3=7t(53412) = 0+1+1+3+3=8 53412求这两个排列的逆序数求这两个排列的逆序数.经对换经对换1与与4 得排列得排列例例 1 排列排列 1. 选择选择 i 与与 k 使使 （1）2 5 i 1 k 成偶排列成偶排列; （2）2 5 i 1 k 成奇排列成奇排列.项项，是是否否为为四四阶阶行行列列式式中

10、中的的和和2431431244332114aaaaaaaa2.若是，指出应冠以的符号若是，指出应冠以的符号 3.计算计算n 阶行列式阶行列式练习练习111是是四四阶阶，不不是是四四阶阶行行列列式式中中的的项项2431431244332114aaaaaaaa2 .4331241224314312aaaaaaaa 21nn11113)()(. 43312412433124123433124122413taaaaaaaa1aaaaa1 行列式中的项行列式中的项. 1.（1）i = 4, k = 3时，即排列时，即排列 2 5 4 1 3 为偶排列；为偶排列； （2）i = 3, k = 4时，即排列

11、时，即排列 2 5 3 1 4 为奇排列为奇排列. 性质性质 1 性质性质 2 5 行列式的性质行列式的性质 推论推论 两行（列）相同的行列式值为零两行（列）相同的行列式值为零. 数数 k , 推论推论 行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号 性质性质4 性质性质 3 式等于零式等于零.等于用数等于用数 k 乘此行列式乘此行列式 . 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. 互换行列式的两行（列），行列式变号互换行列式的两行（列），行列式变号. 行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以

12、同一个 行列式中如果有两行（列）元素成比例行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列，则此行列 外面外面.nnnj2n1nn2j22221n1j11211nnnj2n1nn2j22221n1j11211acaaacaaacaaabaaabaaabaa 若行列式若行列式 的某一列（行）的元素都是两个元素和的某一列（行）的元素都是两个元素和 ， nnnjnj2n1nn2j2j22221n1j1j11211acbaaacbaaacbaa)()()(例如则此行列式等于两个行列式之和则此行列式等于两个行列式之和 .性质性质 5 把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另把行列式的某行（列）的各元素

13、同一倍数后加到另nnnjnjni1nn2j2j2i221n1j1j1i111aakaaaaakaaaaakaaannnjni1nn2j2i221n1j1i111aaaaaaaaaaaa一行（列）的对应元素上去，一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变行列式的值不变.性质性质 6,nnn2n12n22121n2111aaaaaaaaa,aaaaaaaaaDnn2n1nn22221n11211 设设行列式行列式 DT 称为行列式称为行列式 D 的转置行列式的转置行列式.记记那么那么DDT 222cbacba1111例例222cc1bb1aa1= TD,bbbbbbbbbDnn2n1nn22221n

14、112111 设行列式设行列式 D = det (aij ) 互换第互换第 i , j ( i j ) 两行两行,得行列式得行列式 性质性质 2 的证明的证明33332222dcbadcbadcba11112例例33332222dcba1111dcbadcba 其中，当其中，当 k i , j 时时, bkp = akp ;当当 k = i , j 时，时，bip = ajp, bjp = aip , nji1nji1npjpipp1t1bbbbpppp1D )()(其中其中, 1i j n 是自然排列是自然排列,)()()()(11ppppppppnji1nij1tt 所以所以nij1nij

15、1npjpipp1t1aaaappppD1 )()(nji1nji1npipjpp1taaaapppp1 )()(nij1nji1npjpipp1taaaapppp1 )()(于是于是= D333231232221131211aaakakakaaaa 333231232221131211aaaaaaaaak，若若例例121013201D 4121013402 则则D21210132012)()( 例例 3333231232221131211aaaaaakakaka 333231232221131211kakakaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaak132141

16、131132010131 r2 - r1 例例5=422510211= 0 例例6 例例725422251021142251021125205102115021011343212101D 解解 r2 - r1, r3 - 3r1 , r4 - r1 例例 8 计算行列式计算行列式7120641022202101D r22 r3 + r2 , r4 - 2r293005300111021012 71206410111021012 r4( -3 ) , r3r4 r4+3r353003100111021016 40003100111021016 24 dc3b6a10cb3a6ba3adc2b3a

17、4cb2a3ba2adcbacbabaadcbaD cb3a6ba3a0cb2a3ba2a0cbabaa0dcbaD ba3a00ba2a00cbabaa0dcba 例例 9 计算行列式计算行列式 解解 从第从第 4 行开始，后行减前行得，行开始，后行减前行得，2334rrrr a000ba2a00cbabaa0dcba 34rr4a 例例 10 计算行列式计算行列式axxxxaxxxxaxx3ax3ax3ax3aD axxxxaxxxxaxxxxaD 解解 各行都加到第一行，各行都加到第一行，axxxxaxxxxax1111x3a)(xa0000 xa0000 xa01111x3a)( 3x

18、ax3a 各行都减第一行的各行都减第一行的 x 倍倍第一行提取公因子第一行提取公因子( a+3x ) 6 行列式按行（列）展开 在 n 阶行列式 det ( aij ) 中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列 Aij = ( 1 ) i+j Mij 记成 Mij , 称为元素 aij 的余子式. 称它为元素 aij 的代数余子式. 划去, 剩下的( n 1 )2 个元素按原来的排法构成的 n 1 阶行列式, 记记 例1 三阶行列式 323231232221131211aaaaaaaaa中元素中元素 a23 的余子式为的余子式为3231121123aaaaM 元素元素 a23 的代数余

19、子式为的代数余子式为23233223MM1A )( 例2 四阶行列式 103032x115201101 中元素中元素 x 的代数余子式为的代数余子式为1001501111A2332 )(= 5ji0AaAaAanjnij2i2j1i1 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元 或或ji0AaAaAajnin2j2i1j1i 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应.n,2,1iAaAaAaDinin2i2i1i1i 或或.n,2,1jAaAaAaDnjnjj2j2j1j1 的代数余子式乘积之和，

20、即的代数余子式乘积之和，即素的代数余子式乘积之和等于零素的代数余子式乘积之和等于零. 即即 定理定理 3推论推论 引理引理 在行列式在行列式 D 中，如果它的第中，如果它的第 i 行中除行中除 aij 外其余元素外其余元素都为都为0, 即即 D = aij Aijnnnj1nijn1j111aaa0a0aaaD那么那么nn2n1nn2222111aaaaaa00aD 证明证明 先证先证 aij 位于第位于第 1 行，第行，第 1 列的情形，即列的情形，即由行列式的定义，得由行列式的定义，得 n21n21npp2p1ppptaaaD1 )( n2n2npp2ppt11aaa1 )( n211n2

21、1n2n2npp2p11pppptnpp211pp1taaaaaa11 )()(1111Ma 1111Aa 再证一般情形，设 nnnj1nijn1j111aaa0a0aaaD用互换相邻两行和相邻两列，把用互换相邻两行和相邻两列，把 aij 调到左上角，得行列式调到左上角，得行列式aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaann1jn1jn1nnjn1i1j1i1j1i11ij1in1i1j1i1j1i11ij1in11j11j111j1ij10000D ,利用前面的结果，得利用前面的结果，得ijij1MaD 于是于是1ji11j1iDDD11)()()()( 所以引理成立所以引理成立.ijjii

22、jMa1)( ijijAa .n,2,1iAaAaAaDinin2i2i1i1i 定理定理 3 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应 证证 因为因为 或或n21jAaAaAaDnjnjj2j2j1j1, nn2n1nin2i1in11211aaaa000a000aaaaD 的代数余子式乘积之和，即的代数余子式乘积之和，即椐引理，就得到椐引理，就得到nn2n1ninn11211nn2n1n2in11211nn2n1n1in11211aaaa00aaaaaa0a0aaaaaa00aaaa .n,2,1iAaAaAaDinin2i2i1i1i 类似

23、地可得类似地可得.n,2,1jAaAaAaDnjnjj2j2j1j1 例例 3 计算四阶行列式计算四阶行列式 x00yx00yx1xD114)( 解解 按第按第 1 列展开，有列展开，有x00yyx000yx000yxD4 yx00yx00y1y14 )(44yx 例例 4 计算四阶行列式计算四阶行列式 ba000baba0baba1baD114)(解解 按第按第 1 行展开，有行展开，有ba00ba0baba00baba0ba00baD4 00bababa0baba01ba41 )(对等式右端的两个对等式右端的两个 3 阶行列式都按第阶行列式都按第 3 行展开，得行展开，得babababab

24、abaD22 )()(224ba2 5021011321014321D 解 c3 - c1 c4 - 2c1 例例 5 计算四阶行列式计算四阶行列式 71264122211D12 7126411112 712641111121D 第第1 行提取行提取 2，第，第 2 行提取行提取 1按第按第 2 行展开得行展开得7121641300012221D 93532 9353112D11 40532D 按第按第 1 行展开行展开 r2 + r1= 249325310012D c2 - c1 ，c3 - c1 例例 6 证明范德蒙（证明范德蒙（Vandermonde ） 行列式行列式证证 用数学归纳法用

25、数学归纳法. 12212xxxx11D nij1jixx)(1nn1n21n1n21nxxxxxx111D 所以当所以当 n=2 时（时（*）式成立）式成立. 假设对于假设对于 n 1 阶范德蒙阶范德蒙 ri x1ri -1 , i = n , n 1 , 2 ,有有因为因为 对对 n 阶范德蒙行列式做运算阶范德蒙行列式做运算 行列式等式成立行列式等式成立. )()()()(1n2nn132n3122n21nn1331221n1312nxxxxxxxxx0 xxxxxxxxx0 xxxxxx01111D 按第按第 1 列展开后，各列提取公因子列展开后，各列提取公因子( xi - x1 ) 得得

26、2nn2n32n2n321n1312nxxxxxx111xxxxxxD )()(椐归纳法假设，可得椐归纳法假设，可得归纳法完成归纳法完成.1n1n1312nDxxxxxxD )()()()()( nij2ji1n1312nxxxxxxxxD nij1jixx)(ji0AaAaAanjnij2i2j1i1 推论推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元 或或ji0AaAaAajnin2j2i1j1i 元素的代数余子式乘积之和等于零元素的代数余子式乘积之和等于零. 即即例例7 计算计算 行列式行列式323232cccbbbaaa222cc1b

27、b1aa1abc bcacababc 解解323232cccbbbaaa 先以先以 3 阶行列式为例，例如为了证得阶行列式为例，例如为了证得333231232221131211aaaaaaaaaD 3332312322213332311aaaaaaaaaD 0AaAaAa133312321131 因为因为就就得得到到分分别别换换成成将将上上式式中中的的333231131211a,a,aa,a,a,0aaaaaaaaaD3332312322213332311 所以所以.0AaAaAa133312321131 又又131312121111AaAaAa 133312321131AaAaAa 设行列式

28、设行列式 D = det (aij ) ，nn1nin1iin1in1111aaaaaaaaD.0D1 所所以以jnin2j2i1j1i1AaAaAaD 0AaAaAajnin2j2i1j1i 因为行列式因为行列式 D1中第中第 i 行与第行与第 j 行元素对应相同，行元素对应相同，把行列式把行列式 D1 按第按第 j 行展开，有行展开，有类似地，也可以证明另一个式子类似地，也可以证明另一个式子.所以所以jiji 行行第第行行第第推论的证明推论的证明取行列式取行列式 7 Cramer 法则法则 1bxaxaxabxaxaxabxaxaxannnn22n11n2nn22221211nn12121

29、11 0aaaaaaaaaDnn2n1nn22221n11211 设线性方程组设线性方程组 定理定理4 （Cramer 法则法则 ）若线性方程组（若线性方程组（1）的系数行列式不）的系数行列式不即即等于零，等于零，其中其中.n,2,1jaabaaaabaaaabaaDnn1j,nn1j,n1nn21j,221j,221n11j,111j,111j 2,DDx,DDx,DDxnn2211 则方程组有唯一解则方程组有唯一解n,2,1ibDDaDDaDDainin22i11i n,2 ,1iaabaabaabnn1nnn1111in1ii 证证 先证（先证（2）是（）是（1）的解，即要证明）的解，即

30、要证明 为此看为此看 n+1 阶行列式阶行列式第第1行展开，注意到，其第一行中行展开，注意到，其第一行中 aij 的代数余子式为的代数余子式为首先，因为第首先，因为第 1 行与第行与第 i+1 行相同行相同,所以它的值为零所以它的值为零. 再把它按再把它按nin11iiDaDaDb0 nn1jn1jn1nnn21j21j2212n11j11j11111j1aaaabaaaabaaaab1 ,)()(n,2 ,1ibDDaDDaDDainin22i11i DDx,DDx,DDxnn2211 故有故有 因而因而 即即是线性方程组（是线性方程组（1）解）解.jj1j2jDD11 )()( 3 个恒等

31、式个恒等式333323213123232221211313212111bcacacabcacacabcacaca A12 , A22 , An2 分别乘以上的分别乘以上的 3 个等式得个等式得323332332323213231222322232222212221121312132121211211AbcAacAacAaAbcAacAacAaAbcAacAacAa 323222121332332223121323232222212121323122211211AbAbAbcAaAaAacAaAaAacAaAaAa )()()(相加相加,得得 设设 x1= c1 , x2= c2 , x3= c

32、3 是线性方程组（是线性方程组（1）的解）的解,于是有于是有 类似的可得类似的可得,DDc11 .DDc33 .323222121333312322113111AbAbAbabaabaaba 于是于是,22DDc 也就是也就是.DDc22 ,0AaAaAaDAaAaAa0AaAaAa323322231213323222221212323122211211 由于由于 例例1 用用 Cramer 法则解线性方程组法则解线性方程组232130221444324214324321xxxxxxxxxxxxx141320310112204141D 解解 因为因为61320311112004111D2 41

33、220310110204141D3 42320110102201141D4 所以所以.72x,72x,73x,715x4321 301322310112204141D1 0 x1xx0 xx1x0 xxx1321321321)()()( 30 xaxaxa0 xaxaxa0 xaxaxannn22n11nnn2222121nn1212111 定理定理 5 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组的系数行列式的系数行列式 D0 ，那么它只有零解，那么它只有零解.下述齐次方程组有非零解下述齐次方程组有非零解？,取取何何值值时时例例 2 解解 根据定理根据定理 5 ，若此齐次线性方程组有非零解，则其系，

34、若此齐次线性方程组有非零解，则其系 23111111111D)(,.时时或或当当经经验验证证可可知知，得得由由03030D321 所述方程组确有非零解所述方程组确有非零解.行列式必为行列式必为 0 .而而 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算1 矩阵矩阵 mn2m1mn22221n11211aaaaaaaaaA),(ija也也可可以以记记成成行矩阵（行向量行矩阵（行向量)，列矩阵（列向量列矩阵（列向量)，n 阶矩阵阶矩阵( n 阶方阵阶方阵). 定义定义 1 由由 mn 个数个数 aij (i = 1,2,m; j = 1,2,n )实矩阵实矩阵nmija )(.等等或或nmA 称为称为mn

35、 矩阵矩阵.排成的排成的 m 行行n 列数表列数表, 记成记成 例例1 （价格矩阵）四种商品在三家商店中，单位量的售价（价格矩阵）四种商品在三家商店中，单位量的售价 191581819139152111717这里的行表示商店，列表示商品这里的行表示商店，列表示商品ai j 表示每生产一万元第表示每生产一万元第 j 类产品需要消耗的第类产品需要消耗的第 10.030.020.020.010.035.050.040.025.0aaaaaaaaaA333231232221131211a23 = 0.20 就表示每生产一万元就表示每生产一万元 第第 3 类产品需要消耗掉类产品需要消耗掉0.20万元万元

36、 例例2 （投入（投入产出矩阵）设某地区有产出矩阵）设某地区有3个经济部门，假定每个个经济部门，假定每个（以某种货币单位计）可以用以下矩阵表示：（以某种货币单位计）可以用以下矩阵表示：部门只生产一类产品，每个部门生产的产品与消耗的商品都用部门只生产一类产品，每个部门生产的产品与消耗的商品都用货币来表示货币来表示, i 类产品的价值类产品的价值的第的第 2 类产品的价值类产品的价值例（通路矩阵）甲省两个城市例（通路矩阵）甲省两个城市 s1 , s2 与乙省三个城市与乙省三个城市 t1 , t2 , s1s2t1t2t341322每条线上的数字表示连接该两每条线上的数字表示连接该两 220314s

37、1s2t1 t2 t3同型矩阵同型矩阵. 矩阵矩阵A与与B相等相等, 记成记成 A = B. 零矩阵零矩阵,记成记成 0 .城市的不同通路的总数以由此得到城市的不同通路的总数以由此得到的通路信息，可用矩阵表示为：的通路信息，可用矩阵表示为：t3 的交通连接情况如下图所示，的交通连接情况如下图所示，2 矩阵的运算矩阵的运算一一 矩阵的加法矩阵的加法 定义定义 2 设设A =(aij ) , B =(bij ) 都是都是 mn 矩阵矩阵, 矩阵矩阵 A 与与B 的和的和 mnmn2m2m1m1mn2n222222121n1n112121111bababababababababaBA例例 1 112

38、310351321 )()(131521331201 261031记成记成 A + B, 规定为规定为 矩阵的加法运算满足规律矩阵的加法运算满足规律 2. ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( 结合律结合律) 3. A + 0 = A 4. 设设A = ( aij ) ,记记 A = ( aij ) , 规定规定 A B = A + ( B )二二 数与矩阵的乘法数与矩阵的乘法 定义定义 3 ，或或的的乘乘积积记记成成（与与矩矩阵阵数数 AAaAnmij ) 规定为规定为 mn2m1mn22221n11211aaaaaaaaaA 称称 A 为为 A 的负矩阵的负矩阵,

39、 1. A + B = B + A (交换律交换律) 易知易知 A + ( A ) = 0例例 2 若若,100311B,012531A 那么那么B BA 03615933A = A3,100311 ,112220 数乘矩阵的运算满足规律：数乘矩阵的运算满足规律：AA1)()(. BABA3 )(.AAA2 )(.,为为数数其其中中 A, B为矩阵为矩阵.三三 矩阵与矩阵的乘法矩阵与矩阵的乘法 定义定义4 设设 A = ( aij ) 是一个是一个 ms 矩阵矩阵, B = ( bij ) 是一个是一个 sn.,;,n21jm21ibababacjssij22ij11iji A 与与 B 的乘

40、积记成的乘积记成 AB， 即即 C = AB .规定规定 A 与与 B 的积为一个的积为一个 mn 矩阵矩阵 C = ( cij ) ，其中其中 A B = ABms sn mn 矩阵矩阵,列列行行jcbbbaaaiijsjj2j1is2i1i 例例 3 2014112103 1454312 例例 4 321321bbbaaa 332313322212312111bababababababababa 321bbb 321aaa332211ababab 例例 5 00111010, 0000 10100011 0020 例例 6 323122211211aaaaaa100010001 32312

41、2211211aaaaaa 1001aaaaaa323122211211一般来说，一般来说，AB BA , 若矩阵若矩阵 A、B 满足满足 AB = 0, n 阶矩阵阶矩阵 100010001En 称为称为单位矩阵单位矩阵.如果如果 A 为为 mn 矩阵，那么矩阵，那么AAEAEnm 即矩阵的乘法不满足交换律即矩阵的乘法不满足交换律.未必有未必有 A = 0 或或 B = 0 的结论的结论. 323122211211aaaaaa n 阶矩阵阶矩阵n21000000 称为对角矩阵称为对角矩阵.两个对角矩阵的和是对角矩阵，两个对角矩阵的和是对角矩阵，两个对角矩阵的积也是对角矩阵两个对角矩阵的积也是

42、对角矩阵.矩阵的乘法满足下述运算规律矩阵的乘法满足下述运算规律结结合合律律)()(.BCACAB1 ACABCBA2 )(.).()()(.BABAAB3 分分配配律律CABAACB )( )(CBAACAB 4321 31134321解解1 ACAB 11654 41125 15571解解2.,ACAB1201C2312B4321A7 求求如如果果例例 23124321 12014321 12012312 15571矩阵的幂矩阵的幂 A 是一个是一个n 阶矩阵阶矩阵, k 是一个正整数是一个正整数,规定规定个个kkAAAA 矩阵的幂满足规律矩阵的幂满足规律 .,lklklklkAAAAA 其

43、中其中 k , l 为正整数为正整数.对于两个对于两个 n 阶矩阵阶矩阵 A与与 B，一般说，一般说.)(kkkBAAB kn21000000 knk2k1000000 例例 8A2A 101020101A 92 求求已已知知例例, 1010201012101020101101020101A2A2AE2AA2A2)( 202040202 202040202 101000101 101020101 000000000 000000000 解一解一 解二解二 343433323213124243232221211414313212111bxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxa 例例

44、10 已知线性方程组已知线性方程组如果记如果记, 343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA, 4321xxxxx 321bbbb那么上述线性方程组可记成那么上述线性方程组可记成.bAx 4321343332312423222114131211xxxxaaaaaaaaaaaaAx 4343332321314243232221211414313212111xaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxa于是于是四四 矩阵的转置矩阵的转置 定义定义 5 将矩阵将矩阵 A 的各行变成同序数的列得到的矩阵称为的各行变成同序数的列得到的矩阵称为 A , 321011A11

45、若若例例 TA则则 矩阵的转置满足下述运算规律矩阵的转置满足下述运算规律AA1TT )(.TTTBABA2 )(.TTAA3 )(.TAB4)(.记为记为 AT. 311201TTAB 的转置矩阵的转置矩阵, 解一解一 因为因为 2101321011AB 652120所以所以 622510ABT)( 解二解二 TTTABAB )( 3112012011 622510, 2101B321011A12已已知知例例.)(TAB求求 矩阵矩阵 A 称为对称矩阵，称为对称矩阵， 容易知道容易知道, A = ( aij )nn是对称矩阵的充要条件是是对称矩阵的充要条件是 例例 13如果如果 A 是一个是一

46、个 n 阶矩阵，那么，阶矩阵，那么，A+A是对称矩阵是对称矩阵i , j = 1,2 , ,n. 矩阵矩阵 A 称为反对称矩阵，称为反对称矩阵，如果如果 AT = A .如果如果 AT = A . 矩阵矩阵 A = ( aij )nn是反对称矩阵的充要条件是是反对称矩阵的充要条件是 aij = aji , 证证 因为因为TTTTTAAAA)()( AAT ,TAA A A是反对称矩阵是反对称矩阵所以所以A+A是对称矩阵是对称矩阵 aij = aji , i , j = 1,2 , , n. TTTTTAAAA)()( 因为因为AAT ),(TAA 所以所以A A是反对称矩阵是反对称矩阵 例例

47、14 设设 A 为为 mn 矩阵矩阵, .阶阶对对称称矩矩阵阵为为那那么么mAAT证证 由矩阵的乘法可知由矩阵的乘法可知 AA是是 m 阶的阶的.TTTTTAAAA)()( ,TAA 所以所以 AA是对称矩阵是对称矩阵.TTTXX2EH)( 1.证明证明 H 为对称矩阵为对称矩阵. 1. 证证 因为因为TTTXX2E)( ,HXX2ET 所以所以H 为对称矩阵为对称矩阵. 因为因为TTTXX2E)( 2.计算计算 H2 .,TTn21XX2EH1XXxxxX15 令令满满足足设设列列矩矩阵阵例例2T2XX2EH2)(. )(TTTXXXX4XX4E TTTXXXX4XX4E)( TTXX4XX

48、4E =E.方阵的行列式运算满足下述规律方阵的行列式运算满足下述规律 ， AA1T .AA2n .BAAB3 . 例例 16 设设 A 是是 n 阶矩阵，阶矩阵， nnn2n12n22121n2111AAAAAAAAAA称为矩阵称为矩阵A的伴随矩阵的伴随矩阵. .EAAAAA 式式 Aij 所构成的矩阵所构成的矩阵 五五 方阵的行列式方阵的行列式 定义定义6 由由 n 阶矩阵阶矩阵 A 的元素（按原来的位置）构成的行列式，的元素（按原来的位置）构成的行列式，.A记记作作称为方阵称为方阵 A 的行列式的行列式, 证明证明为为数数）阶阶矩矩阵阵，是是其其中中 nBA ,( 由行列式由行列式 |A|

49、 的各元素的代数余子的各元素的代数余子TTAA .A ，设设 333231232221131211aaaaaaaaaA1.， 332313322212312111TaaaaaaaaaA332313322212312111TaaaaaaaaaA 333231232221131211aaaaaaaaaA 那么那么332313322212312111TaaaaaaaaaA 于是于是3332312322211312113aaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaaA 333231232221131211aaaaaaaaaA 2. 设设 A 为为 3 阶矩阵阶矩阵, 333

50、231232221131211aaaaaaaaaA .A3 那么那么于是于是,为为数数 先就先就 3 阶矩阵给出证明阶矩阵给出证明.证证 设设 333231232221131211332313322212312111333231232221131211bbbbbbbbbAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA于是有于是有13131212111111AaAaAab 23132212211112AaAaAab 33133212311113AaAaAab 13231222112121AaAaAab 23232222212122AaAaAab 0AaAaAab33233222312123 .,Ab0b

51、0b333231 因此因此 A000A000AAA同理可证，同理可证，.EAAA A = 0= 0= 0A .EA 证证 设设 A = ( a i j )nn , ),(ijbAA 记记 nn2n1nn22221n11211nnn2n12n22121n2111nn2n1nn22221n11211bbbbbbbbbAAAAAAAAAaaaaaaaaa也就是也就是于是有于是有 jnin2j2i1j1iijAaAaAab因此因此EAAA 同理可证，同理可证，.EAAA .时时当当时时当当ji0jiA3 逆矩阵逆矩阵 定义定义 7 设设 A 是是 n 阶矩阵，如果有阶矩阵，如果有 n 阶矩阵阶矩阵 B

52、 ，使，使 如果矩阵如果矩阵 A 是可逆的，则是可逆的，则 A 的逆矩阵是唯一的，记其为的逆矩阵是唯一的，记其为 A-1. 定理定理 1 若矩阵若矩阵 A 是可逆的，是可逆的， 证证 因为因为 A 可逆，可逆， .1EAA1 于于是是 定理定理 2 若若 |A|0，则则 A 可逆可逆, 且且 AA1A1.的的伴伴随随矩矩阵阵矩矩阵阵是是其其中中AA 则称则称 A 是可逆矩阵，是可逆矩阵，且称且称 B 为为 A 的逆矩阵的逆矩阵. AB = BA = E 即有即有 A-1 使使 A A-1= E . 所以所以 |A|0 .则则 |A|0 . 证证 由由2的的 例例 16 可知可知.EAAAAA

53、根据逆矩阵的定义，即有根据逆矩阵的定义，即有. AA1A1EAAA1AA1A 所以有所以有因为因为 |A|0 ， 设设 A 是是 n 阶矩阵，如果阶矩阵，如果|A|0 , 那么那么A称为非奇异矩阵称为非奇异矩阵. A 是可逆矩阵的充分必要条件是是可逆矩阵的充分必要条件是|A|0 A 是可逆矩阵的充分必要条件是是可逆矩阵的充分必要条件是A为非奇异的为非奇异的, 441431321A 例例1 判断下列矩阵判断下列矩阵, 111111111B是否为可逆矩阵？是否为可逆矩阵？ 推论推论 设设 A, B 都为都为 n 阶矩阵阶矩阵 , .1AB 且且EBB .存存在在因因而而1A 于是于是BAA1)(

54、）（ ABA1 EA1 .1A 则则 A 为可逆矩阵，为可逆矩阵，若若 AB = E（或（或 B A = E），），所以所以 |A|0 ， 解解 因为因为,01441431321A ,|0111111111B 所以所以A 为可逆矩阵，为可逆矩阵，B是不可逆矩阵是不可逆矩阵 证证 因为因为|A|B|=|AB|=|E|=1, 例例2 因为因为, 100110211021所以所以, 102110211. 102110211方阵的逆矩阵满足下述运算规律：方阵的逆矩阵满足下述运算规律：.AAAA1111 ）也也可可逆逆，且且（可可逆逆，则则若若.,.11A1AA0A2 ）也也可可逆逆，且且（则则可可逆逆

55、，数数若若.)(111ABAB .)(.T11TTAAAA4 ）也也可可逆逆，且且（可可逆逆，则则若若.,.0A2 数数可可逆逆设设证证可可逆逆，所所以以A EAAAEA11 可可逆逆，所所以以 AB11A1A )且且（.111ABAB ）且且（EA1A1 )( 因为因为因为因为1111ABBAABAB )()(（3.设设A ,B 为同阶可逆矩阵为同阶可逆矩阵,则则 AB 也可逆，且也可逆，且3.设设A ,B 为同阶可逆矩阵为同阶可逆矩阵, 例例 3 求矩阵求矩阵 441431321A的逆矩阵的逆矩阵. 解解 由由1441431321A 知知 A 的逆矩阵的逆矩阵 A-1 存在存在.T1T1T

56、AAAA)()( EET 可可逆逆，所所以以TA.)()(T11TAA 且且4.设设A 为可逆矩阵为可逆矩阵,因为因为再由再由,)(44443111 1A1A0A322212 12111014411 21A1A31 AA1A1 121110144 11A,)(44432112 332313322212312111AAAAAAAAAA11A2A1A332313 得得 130231C441431321A, 例例 4 已知已知求矩阵求矩阵 X 满足满足 AX = C . 解解 由例由例3 知知 A-1存在，于是存在，于是得得 X = A-1C ，即，即,)(CAAXA11 121110144X 40

57、11131 130231 4 矩阵的分块法矩阵的分块法子块子块 用分块法计算矩阵用分块法计算矩阵 A 与与 B的乘积的乘积 , 左矩阵左矩阵 A 的列的分法与右的列的分法与右 .,AB111101021001B1011012100100001A1，求求设设例例 ， EA0E21 解解 把把 A，B 分块成分块成 1011012100100001A其运算规则与普通矩阵的运算规则类似其运算规则与普通矩阵的运算规则类似.矩阵矩阵 B 的行的分法一致的行的分法一致. 分块矩阵分块矩阵 分块法计算矩阵分块法计算矩阵 的乘积的乘积 2221112111BBBA0B 111101021001B. 22211

58、1BB0B则则 EA0EAB21 222111BB0B., 11B1101B2101B222111其中其中, 1121A21而而 1142110121011121BBA211121. 111142021001AB所以所以分块矩阵的转置分块矩阵的转置设分块矩阵设分块矩阵 sr1sr111AAAAA那么那么 TsrT1rT1sT11TAAAAA分块矩阵分块矩阵 s21AAAA其中其中 Ai 都是方阵，都是方阵，的的充充分分必必要要条条件件是是所所以以0A ,.,s21i0Ai ，,s21AAAA 因因为为s21iAi, 都都是是可可逆逆的的，因因此此，若若则则A是可逆矩阵，并有是可逆矩阵，并有称为

59、分块对角矩阵称为分块对角矩阵. 1s12111AAAA. 3201100051A1解解 用分块法用分块法.令令, 21A00AA., 3211A51A1211由由.1A120130005A2 ，求求设设例例 ., 1213A5A21其其中中可得可得 例例3 设设B 为为n 阶矩阵，若把按阶矩阵，若把按 B 列分块为列分块为 n21bbbB, 则则 TnT2T1TbbbB TBBTnnT22T11bbbbbb n21bbb, TnT2T1bbb于是于是 n21bbbA, BBT nTn2Tn1TnnT22T21T2nT12T11T1bbbbbbbbbbbbbbbbbb若若 A 也是也是 n 阶矩

60、阵阶矩阵,便有便有 n21AbAbAb, AB = TnT2T1bbb n21bbb 第三章第三章 矩阵的初等变换与矩阵的初等变换与 用消元法解线性方程组，用消元法解线性方程组， 1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换1. 互换两个方程；互换两个方程；2. 以非零数乘某个方程；以非零数乘某个方程； 3. 一个方程的倍数加到另一个方程一个方程的倍数加到另一个方程. 例例 1 解线性方程组解线性方程组 6x2x6x41x2xx1xxx2321321321 , 626412111112,21rr 3r21 对方程组用到三种变换：对方程组用到三种变换：21 线性方程组线性方程组 2, 5x5x53x3x31