切比雪夫插值节点

1、切比雪夫插值节点切比雪夫插值节点带导数条件的插值函数带导数条件的插值函数 分段插值函数分段插值函数二元函数插值简介二元函数插值简介数值分析 15 取插值结点取插值结点: ax0 x1xnb满足满足Ln(xk)=f(xk)的的 n 次多项式插值余项次多项式插值余项)()!1()()()()(1)1(xnfxLxfxRnnnnn )()()(101nnxxxxxxx 其中其中,选取选取: x0, x1 , xn , 使使min| )(|max1 xnbxa 结论结论: 切比雪夫多项式切比雪夫多项式Tn+1(x)的全部零点。的全部零点。拉格朗日插值余项拉格朗日插值余项2/18 n+1阶切比雪夫多项式

2、阶切比雪夫多项式: Tn+1=cos(n+1) cos = x 代入得代入得 Tn+1( x ) = cos(n+1) arccos x )1(2)12(cos( nkxk 即即2)12(arccos)1( kxn( k=0,1,n )取取 f(x)C1, 1, 令令 x = cos , 则有则有 1, 1 0, 将将g( ) = f(cos )展开成余弦级数展开成余弦级数 10cos21)(nnnaag 切比雪夫结点切比雪夫结点3/18211)(xxf 例例1. 函数函数取等距插值结点取等距插值结点: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 x-5, 5 1

3、1(x)=(x+5)(x+4)(x+3)(x+2)(x+1)x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(!11)()()(11)11(10 xfxLxfn 11(x) 4/18 -4.9491 -4.5482 -3.7787 -2.7032 -1.4087 0.0000 1.4087 2.7032 3.7787 4.5482 4.9491在在-5, 5区间上区间上,取取11个切比雪夫结点个切比雪夫结点)22)12(cos(5 kxk( k=10, 9, 8, , 1, 0 ) 11(x)=(x x0)(x x1)(x x2)(x x10)5/18 11(x) -5-4-3-2-101

4、2345-0.200.20.40.60.811.2-5-4-3-2-1012345-0.500.511.52插值函数插值函数L10(x)取取切比雪夫结点插值切比雪夫结点插值插值函数插值函数L10(x)取取等距结点插值等距结点插值6/18已知节点已知节点x0和和x1处的函数值及导数值处的函数值及导数值00)(yxf 11)(yxf 00)(mxf 11)(mxf 求三次插值函数求三次插值函数 H(x)= a0 + a1x + a2x2 + a3x3满足插值条件满足插值条件jjyxH)(jjmxH)(j = 0,1)三次三次Hermite插值问题插值问题xx0 x1H(x)y0y1H(x)m0m1

5、7/18例例2. 已知插值条件已知插值条件:求求3次插值函数次插值函数.332210)(xaxaxaaxH解解:设设得得 a0=0, a1=0, 列出方程组列出方程组03213232aaaa求解求解, 得得 a2 = 3 , a3 = 2所以所以,有有 H(x) = 3x2 2x3 = (3 2x)x2-0.4-0.200.20.40.60.811.21.41.6-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 x 0 1 H(x) 0 1 H(x) 0 08/18利用基函数表示利用基函数表示Hermite插值插值)()()()()(11001100 xmxmxyxyxH 20110100

6、)(21()(xxxxxxxxx 20100111)(21()(xxxxxxxxx .)()(201100 xxxxxxx 201011)()(xxxxxxx x0 x1 10 00 01 0 0)(0 x )(1x )(0 x )(1x x)(1x )(0 x x0 x1 00 10 0 0 0 1)(1x )(0 x x9/18210)4(3)(! 4)()()()(xxxxfxHxfxR 两点两点Hermite插值的误差估计式插值的误差估计式证明证明: 由插值条件知由插值条件知 R(x0)=R(x0)=0, R(x1)=R(x1)=0构造辅助函数构造辅助函数2120)()()()()(x

7、txtxCtHtftF 利用利用 f(x) H(x)=C(x)(x x0)2(x x1)22120)()()(xxxxxCxR 取取 x 异于异于 x0 和和 x1, 设设10/18反复应用反复应用Roll定理定理,得得F(4)(t)有一个零点设为有一个零点设为2120)()()()()(xtxtxCtHtftF 0) ! 4)()()()4()4( xCfF ! 4)()()4( fxC 210)4(2120)(! 4)()()()(xxxxfxxxxxCxR 显然显然,F(t)有三个零点有三个零点x0, x, x1,由由Roll定理知定理知,存存在在F(t)的两个零点的两个零点t0,t1满

8、足满足x0t0t1x1,而而x0和和x1也是也是F(x)的零点的零点,故故F(x)有四个相异零点有四个相异零点.11/18分段线性插值分段线性插值插值节点满足插值节点满足: x0 x1xn 已知已知yj=f (xj) ( j= 0,1,2,n)1111)( jjjjjjjjhyxxxxyxxxxxL( j= 0,1,n-1)xxj，xj+1时时, 线性插值函数线性插值函数12/18分段三次分段三次Hermite插值插值 取取 ax0 x1xnb,已知函数值和导数值已知函数值和导数值yj=f (xj), mj = f (xj) ( j= 0,1,2,n)当当 xxj，xj+1时时, 两点两点He

9、rmite插值插值1211211121112111)()()(21()(21()( jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjhmxxxxxxmxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxH( j= 0,1,2,n-1)15/18矩形区域上函数矩形区域上函数f(x, y)的双线性插值的双线性插值 x1 x2y2y1插值条件插值条件: P(x1, y1) = z1, P(x2, y1) = z2, P(x2, y2) = z3, P(x1, y2) = z4P(x, y) = ax + by + cxy + d l1(u，v)= (1 u)(1 v)l2(u，v)= u(1 v)l3

10、(u，v)= u vl4(u，v)= (1 u) v 121xxxxu 121yyyyv 其中其中P(x, y) = z1(1 u)(1 v)+ z2 u(1 v) + z3 u v + z4 (1 u)v 16/18u,v=meshgrid(0:0.1:1)；L1=(1-u).*(1-v);surf(u,v,L1)figureL2=u.*(1-v); surf(u,v,L2)figureL3=u.*v; surf(u,v,Lu3)figureL4=(1-u).*v; surf(u,v,L4)x=a sin cosy=a sin sinz = b cos 三角形区域三角形区域线性插值线性插值 插值条件插值条件: z1= P(x1, y1) z2 = P(x2, y2) z3 = P(x3, y3 )(x1, y1)(x3, y3)(x2, y2) 333222111zcbyaxzcbyaxzcbyax拉格朗日方法拉格朗日方法 P(x, y)=l1(x, y)z1+l2(x, y)z2+l3(x,y)z3P(x, y)=a x + b y + c(x，y) (x1，y1) (x2，y2) (x3，y3) l1(x, y) 1 0 0l2