随机样本及抽样分布

1、第第6.16.2节节 数理统计学中的基本概念数理统计学中的基本概念 数理统计的任务数理统计的任务: 观察现象观察现象,收集资料收集资料,创创 建方法建方法,分析推断。分析推断。 统计推断统计推断: 伴随着一定概率的推测。其特伴随着一定概率的推测。其特点是点是:由由“部分部分”推断推断“整体整体”。 总体总体:研究对象的全体研究对象的全体( (整体整体) )。个体个体:每一个研究对象每一个研究对象。实际上是对总体的。实际上是对总体的一次观察。一次观察。无限总体无限总体第六章第六章 随机样本及抽样分布随机样本及抽样分布 样本样本: 由部分个体构成的集合。经常说由部分个体构成的集合。经常说,来来自自

2、(或取自或取自 )某总体的样本。某总体的样本。样本具有二重性样本具有二重性: 在抽样前在抽样前,它是随机向量它是随机向量,在抽样后在抽样后,它是数值向量它是数值向量(随机向量的取值随机向量的取值)。样本选择方式样本选择方式:(1)有放回抽样有放回抽样.(2)无放回抽样无放回抽样特别特别,样本容量样本容量总体数量时总体数量时, 无放回抽样可无放回抽样可近似看作有放回抽样近似看作有放回抽样.简单随机样本简单随机样本(s.r.s): 具有两个特点的样本具有两个特点的样本: 代表代表性性(组成样本的每个个体与总体同分布组成样本的每个个体与总体同分布), 独立性独立性 (组组成样本的个体间相互独立成样本

3、的个体间相互独立)。 样本容量样本容量: 样本中所含个体的个数。样本中所含个体的个数。如如, ,检验一批灯泡的质量检验一批灯泡的质量, ,从中选择从中选择100100只只, ,则则总体总体: :这批灯泡这批灯泡( (有限总体有限总体) )个体个体: :这批灯泡中的每一只这批灯泡中的每一只 样本样本: :抽取的抽取的100100只灯泡只灯泡( (简单随机样本简单随机样本) )样本容量样本容量: :100100样本观测值样本观测值: : x x1 1,x,x2 2,x,x100100定义定义: :设设X X为一随机变量为一随机变量, ,其分布函数为其分布函数为F(x),XF(x),X1 1,X,X

4、2 2,X,Xn n是是一组一组独立且与独立且与X X同分布同分布的随机变量的随机变量, ,称称X X为为总体总体;(X;(X1 1,X,X2 2,X,Xn n) )为来自总体为来自总体X(X(或分布函数或分布函数F(x)F(x)的的简单随机样本简单随机样本;n;n为为样本容样本容量量在依次观测中在依次观测中, ,样本的具体观测值样本的具体观测值x x1 1,x,x2 2,x,xn n称为称为样本值样本值X XX X1 1,X,X2 2,X,X100100100100样本值样本值注意注意: :样本是一组独立同总体分布相同的随机变量样本是一组独立同总体分布相同的随机变量. .总体总体选择个体选择

5、个体样本样本观测样本观测样本样本观察值样本观察值( (数据数据) )数据处理数据处理样本有关结论样本有关结论统计的一般步骤统计的一般步骤: :推断总体性质推断总体性质 统计量统计量为了集中简单随机样本所带来的总体信息为了集中简单随机样本所带来的总体信息, ,考考虑样本的函数虑样本的函数, ,且不含任何未知参数且不含任何未知参数, ,这样的这样的“不含不含未知未知参数的样本的函数参数的样本的函数”称为统计量。称为统计量。 是来自总体是来自总体例例6.2.1 设设nXXX,21),(2N 未知未知,则则( )不是统计量。不是统计量。的的s.r.s,其中其中已知已知,n2122221n1i2Xn1n

6、1i2in1n1i2in1n1iin1.XXX26XX5)(4)X(X3)(X2X1i 统计量统计量 定义定义: :设设X X1 1,X,X2 2,X,Xn n是来自总体是来自总体X X的一个样的一个样本本,g(X,g(X1 1,X,X2 2,X,Xn n) )是是n n维随机变量的函数维随机变量的函数, ,若若g g中除中除样本的函数外不含任何未知参数样本的函数外不含任何未知参数, ,则称则称g(Xg(X1 1,X,X2 2,X,Xn n) )为为统计量统计量. .统计量的分布称为统计量的分布称为抽样分布抽样分布. 样本均值样本均值 常用统计量常用统计量: 样本方差样本方差 样本标准差样本标

7、准差 样本样本k阶原点矩阶原点矩 样本样本k阶中心矩阶中心矩 n1iiXn1X n1i2i2)XX(1n1S n1i2i)XX(1n1S n1ikikXn1A n1ikik)XX(n1B(6) 顺序统计量与样本分布函数顺序统计量与样本分布函数设设X1,X2,Xn的观察值为的观察值为x1,x2,xn,从小到大排序得到从小到大排序得到:x(1),x(2),x(n),定义定义X(k)=x(k),由此得到的由此得到的(X(1),X(2),X(n)或它们的函数都称为顺序统计量或它们的函数都称为顺序统计量.显然显然X(1) X(2) X(n)且有且有X(1)=min (X(1),X(2),X(n), X(

8、n)=max(X(1),X(2),X(n)1) 样本中位数样本中位数 为偶数为奇数nXXnXMdnnn,21,122)21(2) 样本极差样本极差R= X(n)- X(1)样本分布函数样本分布函数(经验分布函数经验分布函数) )()1()()1(, 1)1, 2 , 1( , 0)(nkknxxnkxxxnkxxxF),(,)(xXPppnBxnFn 这这里里服服从从二二项项分分布布是是一一个个随随机机变变量量格里汶科定理格里汶科定理:设总体设总体X的分布是的分布是F(x),则下式成立则下式成立10)()(suplim xFxFPnxn第第6.3节节 抽样分布抽样分布一、样本均值的分布一、样本

9、均值的分布定理：定理：设设X1，X2,Xn是来自总体是来自总体N( , 2)的样本，的样本，X是样本均值，则有是样本均值，则有 n,NX2注：注：在大样本情况下，无论总体服从何种分布均有在大样本情况下，无论总体服从何种分布均有 n,NX2二、顺序统计量的分布二、顺序统计量的分布1、（、（X（1），X（2）X(n)）的概率密度函数为）的概率密度函数为 其其它它！, 0 xxx,xfnx,x,xgn21n1iin212、样本中位数的概率密度函数为、样本中位数的概率密度函数为 xfxF1xF12nn2nnxf12nn2nMd ！3、样本极差的概率密度函数为、样本极差的概率密度函数为 其其它它, 00

10、 x,dttftxftFtxF1nnxf02nR其中其中 xdttfxF )z(z z 1- 1-例例6.3.16.3.1 设设XN(0,1), XN(0,1), 分分别为别为0.95,0.975,0.75,0.95,0.975,0.75,求求X X关关于于 的的100 100 % %分位数分位数. .X X(x)(x) 三、标准正态分布及其三、标准正态分布及其100 100 % %分位数分位数定义定义: :设设XN(0,1),XN(0,1),对任意对任意00 1,1,若若PX= PX= , ,则称则称为标准正态分布的为标准正态分布的100 100 % % 分位数分位数, ,记为记为 z解解:

11、 : =0.95 =0.95时时, ,95. 0)z(95. 0 反查表得反查表得: : z z0.950.95=1.64=1.64类似可得类似可得: :z z0.9750.975=1.96, z=1.96, z0.750.75=0.69=0.69z z 分布及其性质分布及其性质21.1.定义定义: : 称称 n n 个相互独立同标准正态分布的随机变量个相互独立同标准正态分布的随机变量的平方和的平方和X X的分布为自由度为的分布为自由度为n n的的 分布分布, ,记作记作2)n(X2 (2 ) X1,X2,Xk独立独立,Xi (ni),(i=1,2,k),则则2)n.nn(Xk212k1ii

12、2.2.性质性质: : (1) X 1,X2,Xn独立独立,XiN(0,1),(i=1,2,n),则则 )n(X2n1i2i (3) X1,X2,Xn为来自总体为来自总体N( , 2)的简单随机样本的简单随机样本,则则 四、四、 nX2n1i2i （4） n2)n(D,n)n(E22 例例6.3.2 设设 是来自总体是来自总体 的的s.r.s,则则 服从服从( )分布。分布。nXXX,21),(2 N niXi12)( 例例6.3.3 设设 是取自总体是取自总体 N (0,4) 的的s.r.s, 当当a= , b= 时时, ).2(2 X243221)43()2(XXbXXaX 4321,XX

13、XX解解(1)(1)服从服从)n(2 (2)(2)由题意得由题意得 )1 ,0(N)X4X3(b)1 ,0(N)X2X(a4321 1)X4X3(bD1)X2X(aD4321a =1/20b=1/1003. 的密度曲线的密度曲线)(2nXf(x)n=1n=4n=10随着随着n n的增大的增大, ,密度曲线逐渐趋于平缓密度曲线逐渐趋于平缓, ,对称对称. .4. 分布的分布的100 %分位数分位数2 定义定义:设设 ,对于给定的对于给定的 (0 1),若若PX= ,则称则称为自由度为为自由度为n的的 分布的分布的100 %分位数分位数,记为记为)(2nX 2 )(2n Xf(x) 1)n(2 查

14、表求查表求100 %分位数分位数:(1)若若PX= ,则则)(21n 例例6.3.4.设设X (10),PX1=0.025, PX2=0.05,求求1, 2.2 解解: )10(2975. 01 查表得查表得:483.201 )10(205. 02 查表得查表得:940. 32 五、五、t 分布及其性质分布及其性质1.1.定义定义 设随机变量设随机变量 , ,随机变量随机变量 Y Y 且它且它们互相独立们互相独立, ,则称随机变量则称随机变量的分布为自由度是的分布为自由度是 n n 的的t t 分布分布, ,记作记作)1 , 0(NX)n(2 ).(ntTnY/XT 可以证明可以证明t分布的概

15、率密度函数为分布的概率密度函数为)t( )nt1()2n(n2)1n() t (h21n2 特点特点: 关于关于y轴对称轴对称;随着自由度的逐渐增大随着自由度的逐渐增大,密度曲线逐渐接近于标准正态密度曲线密度曲线逐渐接近于标准正态密度曲线.2.t2.t分布的密度曲线分布的密度曲线: :Xf(x)3 3、t t分布的性质分布的性质2tn2e21)t (hlim （1） （2）)2n( 2nn)T(D,0)T(E （3） h(t)的图形关于的图形关于Y轴对称轴对称)n(t 4. t分布的分布的100%分位数分位数:Xf(x) 对于给定对于给定 (0 1), 若若Pt(n) = ,则称则称为为t分布

16、的分布的100%分位数分位数, 记为记为:)n(t 1-例例6.3.5. 设设tt(15),求求(1)=0.995 (2)=0.005的的100%分分位数位数;解解:(1)=t0.995(15), 查表得查表得 =2.9467(2)=t0.005(15), 查表得查表得 =-2.9467注注: )n(t)n(t1 例例6.3.6(974) 设随机变量设随机变量 X 和和 Y 相相互独立且都服从正态分布互独立且都服从正态分布 , 而而和和 分别是来自总体分别是来自总体 X 和和 Y 的的 s.r.s,则统则统计量计量 服从服从( )分布分布,参数为参数为( ).)9,0(N91,XX 91,YY

17、 292191YYXXU t t9 9解解:),1 , 0(NX91X91ii )1 ,0(N3Yi故故)9(91)3(2912912 iiiiYYY 与与 独立独立,YX所以所以 )9(9/tYXU 六、六、F 分布及其性质分布及其性质1.1.定义定义 设随机变量设随机变量 随机变量随机变量 且且它们相互独立它们相互独立, ,则称随机变量则称随机变量 的分布为自的分布为自由度是由度是 的的 F F 分布。记作分布。记作),n(U12 ),n(V22 21n/Vn/UF )n,n(21)n,n(FF21可以证明，可以证明，)n,n(F21的概率密度函数为的概率密度函数为 0y 0,0y , n

18、yn1)2n()2n(ynn2nn)y(2nn212112n2n212121112.F2.F分布的概率密度曲线分布的概率密度曲线3.性质性质:)n,n(FF1),n,n(FX)1(1221则则若若25n,10n21 5,1021 nnyO)(y 则则若若),n,n(FX)2(21)2n(2nn)F(E222 )4n(4n2nn4n2n2n)F(D222212122 4.F4.F分布的分布的100%分位数分位数Xf(x)设设F , 对于给定对于给定(01),若若PF=,则称则称为为F分布的分布的100%分位数分位数,记为记为:),(21nnF)n,n(F21 1)n,n(F21 5. 5. 10

19、0%分位数的计算分位数的计算(1)若若PF=,则则)n,n(F21 (2)若若PF=(比较小比较小),则则P1/F1/=1-,)n,n(FF21)n,n(F1121 故故)n,n(F1121 例例6.3.76.3.7 设设F FF(24,15),F(24,15),分别求满足分别求满足.025. 0FP)3(;95. 0FP)2(;025. 0FP)1( 的的解解 (1)=F0.975(24,15)=2.29(2) =F0.95(24,15)=2.70(3) 比较小比较小,P1/F1/=0.97544. 2)24,15(F1975. 0 所以所以=0.41 七、抽样分布基本定理七、抽样分布基本定

20、理1、设 是来自总体 的 s.r.s, 表示样本均值，则 nXXX,21),(2 NX),(NX2 )1 , 0(Nn/X 2、设、设XN(1,12),Y N(2,22),X,Y相互独立相互独立,从中从中分别抽取容量为分别抽取容量为n1,n2的样本的样本,样本均值分别记为样本均值分别记为Y,X)n,(NY),n,(NX22221211 ,)YX(E21 222121nnYDXD)YX(D )nn,(NYX22212121 ) 1 , 0(Nnn)()YX(22212121 3、定理、定理6.3.3设设X1，X2,Xn是来自总体是来自总体),(N2 的样本，的样本，2S,X分别是样本均值和样本方差，则有分别是样本均值和样本方差，则有)1n(S)1n(. 1222 相相互互独独立立与与2SX. 2注：由注：由)1n(2S)1n(D, 1nS)1n(E2222 可得可得 1