上海教育版高中数学一下52任意角的三角比教案

1、5.2(1) 任意角的三角比 上海市杨浦高级中学 方耀华一、教学内容分析通过平面直角坐标系定义了任意角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六个三角比，并利用与单位圆有关的线段，将前三个三角比的值分别用它们的几何形式表示出来；接着着重研究正弦、余弦、正切这三个三角比的条件和其在各个象限的符号；并根据三角比的定义，得出“终边重合的角的同一三角比的值相等”的结论及把此结论表示成为第一组诱导公式（公式一）二、教学目标设计(1) 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；(2) 了解余切、正割、余割的定义；掌

2、握正弦、余弦、正切等三角比对角的条件要求；(3) 体会同一角三角比的值，不因在其终边上取点的变化而变化，从而启示在研究问题时，要能在千变万化中，抓住事物的本质属性，不被表面现象所迷惑三、教学重点及难点重点：任意角的三角比的定义难点：用单位圆中的有向线段表示角的正弦、余弦、正切值四、教学流程设计实例引入概念辨析巩固练习总结提炼作业及反馈拓展与思考五、教学过程设计 一、情景引入回顾：在初中我们学习了锐角的三角比，它是在直角三角形的条件下，通过角的对边、邻边与斜边之间两两的比值来定义的.例如： 引入：前面我们对角的概念进行了扩充，并学习了弧度制，知道角的集合与实数集是一一对应的，在这个基础上，今天我

3、们研究任意角的三角比.把锐角置于平面直角坐标系中，锐角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限.易知在角的终边上，设它的坐标为，它与原点的距离，可发现作为锐角的三角比能用其终边上的点的坐标来定义，而这种定义方法可用于定义任意角的三角比.二、学习新课1、概念形成n 任意角的三角比定义设是一个任意角，在的终边上任取一点（除原点），则与原点的距离，比值叫做的正弦 记作： 比值叫做的余弦 记作： 比值叫做的正切 记作： 比值叫做的余切 记作： 比值叫做的正割 记作： 比值叫做的余割 记作： 提问：对于确定的角，这六个三角比值的大小与点在角终边上的位置是否有关？利用相似三角形的知识

4、，可以得出对于确定的角，这六个三角比值的大小与点在角的终边上的位置无关提问：根据这六个三角比的定义，是否对于任意的一个角，它的六个三角比都存在呢？(1) 当角的终边在纵轴上时，即时，终边上任意一点的横坐标都为0，所以、无意义；(2) 当角的终边在横轴上时，即时，终边上任意一点的纵坐标都为0，所以、无意义.从而有： 说明(1) 以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与轴的非负半轴重合.(2) 是角的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角是任意的.(3) 是个整体符号，不能认为是“”与“”的积，其余五个符号也是这样.(4) 三角比值只与角的大小

5、有关.(5) 任意角三角比的定义与锐角三角比的定义的联系与区别:任意角的三角比就包含了锐角三角比，实质上锐角三角比的定义与任意角的三角比的定义是一致的，锐角三角比是任意角三角比的一种特例. 所不同的是，锐角三角比是以边的比来定义的，任意角的三角比是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的. 为了便于记忆，我们可以利用两种三角比定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角比进行类比记忆.2、三角比的一种几何表示（一）单位圆和有向线段(1) 单位圆：半径等于单位长度1的圆叫做单位圆.(2) 有向线段（非严

6、格定义）：带有方向的线段叫做有向线段.设任意角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，设它与角的终边（当在第一、四象限角时）或其反向延长线（当为第二、三象限角时）相交于.规定：当与轴同向时为正值，当与轴反向时为负值； 当与轴同向时为正值，当与轴反向时为负值； 当与轴同向时为正值，当与轴反向时为负值；根据上面规定，则,利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，余弦线，正切线.如下图3图3由正弦、余弦、正切三角比的定义有这几条与单位圆有关的有向线段叫做角的正弦线、余弦线、正切线当角的终边在轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角的终边在轴

7、上时，余弦线变成一个点，正切线则不存在例1：已知角的终边经过点，求的六个三角函数值.答： 提问：若将改为，如何求的六个三角函数值呢？（注意：分和两种情况进行讨论）例2：求下列各角的六个三角比值(1) (2) (3) 答：(1) ,不存在，不存在(2) 不存在,，不存在，.(3) ,，.例3：作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线(1) (2) 如图，正弦线、余弦线、正切线分别为例4.求证：当为锐角时，证明：如右图，作单位圆，当时作出正弦线和正切 线，连， 三、巩固练习练习5.2（1）四、课堂小结（1）任意角的三角比的定义；（2）三角比的几何表示三角函数线；（3）掌握分类讨论的思想（主要对象限的讨论）；（4）掌握数形结合的思想（对三角函数线的理解及其应用）；五、课后作业练习册 P1517习题5.2 A组 1，2，3，9，10习题5.2 B组 1，4六、教学设计说明1、 由任意角的三角比的定义可知，若已知角终边上一点，便可求出其各三角比的值，或通过三角比的定义，可知其二求其一（2）必须讲清并强调这六个比值的大小都与点 在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关（3）教学中应注意，语言要准确严密 （4）教学中，应当引