高等数学上册第六版课后习题答案_图文

1、习题111 设A( 5(5 B10 3 写出AB AB AB及A(AB的表达式 解 AB( 3(5 AB10 5 AB( 10(5 A(AB10 5 2 设A、B是任意两个集合 证明对偶律 (ABCAC BC 证明 因为x(ABCxAB xA或xB xAC或xBC xAC BC 所以 (ABCAC BC 3 设映射f X Y AX BX 证明(1f(ABf(Af(B (2f(ABf(Af(B 证明 因为yf(ABxAB 使f(xy(因为xA或xB yf(A或yf(Byf(Af(B 所以 f(ABf(Af(B (2因为yf(ABxAB 使f(xy(因为xA且xB yf(A且yf(B y f(Af

2、(B所以 f(ABf(Af(B 4 设映射f XY 若存在一个映射g YX 使 其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射 即对于每一个xX 有IX xx 对于每一个yY 有IY yy 证明 f是双射 且g是f的逆映射 gf 1 证明 因为对于任意的yY 有xg(yX 且f(xfg(yIy yy 即Y中任意元素都是X中某元素的像 所以f为X到Y的满射 又因为对于任意的x1x2 必有f(x1f(x2 否则若f(x1f(x2g f(x1gf(x2 x1x2 因此f既是单射 又是满射 即f是双射 对于映射g YX 因为对每个yY 有g(yxX 且满足f(xfg(yIy yy 按逆映射的定义 g是f的逆映

3、射 5 设映射f XY AX 证明 (1f 1(f(AA (2当f是单射时 有f 1(f(AA 证明 (1因为xA f(xyf(A f 1(yxf 1(f(A 所以 f 1(f(AA (2由(1知f 1(f(AA 另一方面 对于任意的xf 1(f(A存在yf(A 使f 1(yxf(xy 因为yf(A且f是单射 所以xA 这就证明了f 1(f(AA 因此f 1(f(AA 6 求下列函数的自然定义域 (1解 由3x20得 函数的定义域为 (2解 由1x20得x1 函数的定义域为( 1(1 1(1 (3解 由x0且1x20得函数的定义域D1 0(0 1(4解 由4x20得 |x|2 函数的定义域为(

4、2 2 (5解 由x0得函数的定义D0 (6 ytan(x1解 由(k0 1 2 得函数的定义域为(k0 1 2 (7 yarcsin(x3 解 由|x3|1得函数的定义域D2 4 (8 解 由3x0且x0得函数的定义域D( 0(0 3 (9 yln(x1 解 由x10得函数的定义域D(1 (10 解 由x0得函数的定义域D( 0(0 7 下列各题中 函数f(x和g(x是否相同？为什么？(1f(xlg x2 g(x2lg x(2 f(xx g(x (3 (4f(x1 g(xsec2xtan2x 解 (1不同 因为定义域不同 (2不同 因为对应法则不同 x0时 g(xx (3相同 因为定义域、对

5、应法则均相相同 (4不同 因为定义域不同 8 设 求 (2 并作出函数y(x的图形 解 9 试证下列函数在指定区间内的单调性 (1 ( 1 (2yxln x (0 证明 (1对于任意的x1 x2( 1 有1x10 1x20 因为当x1x2时 所以函数在区间( 1内是单调增加的 (2对于任意的x1 x2(0 当x1x2时 有 所以函数yxln x在区间(0 内是单调增加的 10 设 f(x为定义在(l l内的奇函数 若f(x在(0 l内单调增加 证明f(x在(l 0内也单调增加 证明 对于x1 x2(l 0且x1x2 有x1 x2(0 l且x1x2 因为f(x在(0 l内单调增加且为奇函数 所以

6、f(x2f(x1 f(x2f(x1 f(x2f(x1 这就证明了对于x1 x2(l 0 有f(x1 f(x2 所以f(x在(l 0内也单调增加11 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(l l上的 证明 (1两个偶函数的和是偶函数 两个奇函数的和是奇函数(2两个偶函数的乘积是偶函数 两个奇函数的乘积是偶函数 偶函数与奇函数的乘积是奇函数 证明 (1设F(xf(xg(x 如果f(x和g(x都是偶函数 则F(xf(xg(xf(xg(xF(x 所以F(x为偶函数 即两个偶函数的和是偶函数 如果f(x和g(x都是奇函数 则F(xf(xg(xf(xg(xF(x 所以F(x为奇函数 即两个奇函数的和是奇函

7、数 (2设F(xf(xg(x 如果f(x和g(x都是偶函数 则F(xf(xg(xf(xg(xF(x 所以F(x为偶函数 即两个偶函数的积是偶函数 如果f(x和g(x都是奇函数 则F(xf(xg(xf(xg(xf(xg(xF(x 所以F(x为偶函数 即两个奇函数的积是偶函数 如果f(x是偶函数 而g(x是奇函数 则F(xf(xg(xf(xg(xf(xg(xF(x 所以F(x为奇函数 即偶函数与奇函数的积是奇函数 12 下列函数中哪些是偶函数 哪些是奇函数 哪些既非奇函数又非偶函数？(1yx2(1x2 (2y3x2x3(3 (4yx(x1(x1(5ysin xcos x1(6解 (1因为f(x(x

8、21(x2x2(1x2f(x 所以f(x是偶函数 (2由f(x3(x2(x33x2x3可见f(x既非奇函数又非偶函数 (3因为 所以f(x是偶函数 (4因为f(x(x(x1(x1x(x1(x1f(x 所以f(x是奇函数 (5由f(xsin(xcos(x1sin xcos x1可见f(x既非奇函数又非偶函数 (6因为 所以f(x是偶函数 13 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数 指出其周期 (1ycos(x2解 是周期函数 周期为l2 (2ycos 4x解 是周期函数 周期为(3y1sin x解 是周期函数 周期为l2(4yxcos x解 不是周期函数(5ysin2x解 是周期函数 周期为

9、l14 求下列函数的反函数 (1 解 由得xy31 所以的反函数为yx31(2解 由得 所以的反函数为(3(adbc0 解 由得 所以的反函数为(4 y2sin3x 解 由y2sin 3x得 所以y2sin3x的反函数为(5 y1ln(x2 解 由y1ln(x2得xey12 所以y1ln(x2的反函数为yex12(6 解 由得 所以的反函数为15 设函数f(x在数集X上有定义 试证 函数f(x在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界 证明 先证必要性 设函数f(x在X上有界 则存在正数M 使|f(x|M 即Mf(xM 这就证明了f(x在X上有下界M和上界M 再证充分性 设函数f(x在

10、X上有下界K1和上界K2 即K1f(x K2 取Mmax|K1| |K2| 则 M K1f(x K2M 即 |f(x|M 这就证明了f(x在X上有界 16 在下列各题中 求由所给函数复合而成的函数 并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值 (1 yu2 usin x 解 ysin2x (2 ysin u u2x 解 ysin2x (3 u1x2 x11 x2 2解 (4 yeu ux2 x1 0 x21解 (5 yu2 uex x11 x21解 ye2x y1e21e2 y2e2(1e217 设f(x的定义域D0 1 求下列各函数的定义域 (1 f(x2 解 由0x21得|x|1 所

11、以函数f(x2的定义域为1 1(2 f(sinx 解 由0sin x1得2nx(2n1 (n0 1 2 所以函数f(sin x的定义域为2n (2n1 (n0 1 2 (3 f(xa(a>0 解 由0xa1得ax1a 所以函数f(xa的定义域为a 1a(4 f(xaf(xa(a0 解 由0xa1且0xa1得 当时 ax1a 当时 无解 因此当时函数的定义域为a 1a 当时函数无意义18 设 g(xex 求fg(x和gf(x 并作出这两个函数的图形 解 即 即 19 已知水渠的横断面为等腰梯形 斜角40(图137 当过水断面ABCD的面积为定值S0时 求湿周L(LABBCCD与水深h之间的

12、函数关系式 并指明其定义域 图137解 又从得 所以 自变量h的取值范围应由不等式组h0 确定 定义域为 20 收敛音机每台售价为90元 成本为60元 厂方为鼓励销售商大量采购 决定凡是订购量超过100台以上的 每多订购1台 售价就降低1分 但最低价为每台75元 (1将每台的实际售价p表示为订购量x的函数 (2将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数 (3某一商行订购了1000台 厂方可获利润多少？解 (1当0x100时 p90 令001(x01009075 得x01600 因此当x1600时 p75 当100x1600时 p90(x100001910 01x 综合上述结果得到 (2 (3 P3

13、110000011000221000(元 习题121 观察一般项xn如下的数列xn的变化趋势 写出它们的极限 (1 解 当n时 0 (2解 当n时 0 (3解 当n时 2 (4 解 当n时 0 (5 xnn(1n 解 当n时 xnn(1n没有极限2 设数列xn的一般项 问? 求出N 使当nN时 xn与其极限之差的绝对值小于正数 当 0001时 求出数N解 0 要使|x n0| 只要 也就是 取 则nN 有|xn0| 当 0001时 10003 根据数列极限的定义证明(1分析 要使 只须 即 证明 因为0 当nN时 有 所以 (2分析 要使 只须 即 证明 因为0 当nN时 有 所以 (3 分析

14、 要使 只须 证明 因为0 当nN时 有 所以 (4分析 要使|099 91| 只须 即 证明 因为0 当nN时 有|099 91| 所以 4 证明 并举例说明 如果数列|xn|有极限 但数列xn未必有极限 证明 因为 所以0 NN 当nN时 有 从而|un|a|una| 这就证明了 数列|xn|有极限 但数列xn未必有极限 例如 但不存在 5 设数列xn有界 又 证明 证明 因为数列xn有界 所以存在M 使nZ 有|xn|M 又 所以0 NN 当nN时 有 从而当nN时 有 所以6 对于数列xn 若x2k1a(k x2k a(k 证明 xna(n 证明 因为x2k1a(k x2k a(k 所

15、以0 K1 当2k12K11时 有| x2k1a| K2 当2k2K2时 有|x2ka| 取Nmax2K11 2K2 只要nN 就有|xna| 因此xna (n习题131 根据函数极限的定义证明 (1 分析 因为|(3x18|3x9|3|x3| 所以要使|(3x18| 只须 证明 因为0 当0|x3|时 有|(3x18| 所以 (2 分析 因为|(5x212|5x10|5|x2| 所以要使|(5x212| 只须 证明 因为 0 当0|x2|时 有|(5x212| 所以 (3 分析 因为 所以要使 只须 证明 因为 0 当0|x(2|时 有 所以 (4 分析 因为 所以要使 只须 证明 因为 0

16、 当时 有 所以 2 根据函数极限的定义证明 (1 分析 因为 所以要使 只须 即 证明 因为 0 当|x|X时 有 所以 (2 分析 因为 所以要使 只须 即 证明 因为0 当xX时 有 所以 3 当x2时 yx24 问等于多少 使当|x2|<时 |y4|<0001？解 由于当x2时 |x2|0 故可设|x2|1 即1x3 要使|x24|x2|x2|5|x2|0001 只要 取00002 则当0|x2|时 就有|x24|0 001 4 当x时 问X等于多少 使当|x|X时 |y1|001?解 要使 只要 故 5 证明函数f(x|x|当x0时极限为零 证明 因为|f(x0|x|0|

17、x|x0| 所以要使|f(x0| 只须|x| 因为对0 使当0|x0| 时有|f(x0|x|0| 所以大致可分为（1）普通违例：如带球走步、两次运球、脚踢球或以拳击球。（2）跳球违例、（3）跳球时的违例：除了跳球球员以外的人被可在跳球者触到球之前进入中央跳球区。 x 0 时的左右极限 并说明它们在）基本规则二： 24秒钟规则 -进攻球队在场上控球时必须在24秒钟内投篮出手(NBA,CBA,CUBA,WNBA. 秒,全美大学体育联合会比赛中为35秒. 存在 - (对方的半场. 5秒钟规则 -持球后,球员必须在5秒钟之内掷界外球出手.FIBA规则规定罚球也必须在5秒钟内出手(NBA规则中为10秒.

18、 3秒钟规则 -分为进攻3秒和防守3秒。进攻秒：进攻方球员不得滞留于x秒以上；防守3秒：当某防守方球员对位的进攻方球员不在3秒区或者3秒区边缘、且彻底摆脱防守球员时，防守方球员不得滞留禁区3秒以上。 侵人犯规 -与对方发生身体接触而产生的犯规行为. 技术犯规 -队员或教练员因表现恶劣而被判犯规,比如与裁判发生争执等情况. 取消比赛资格的犯规 -球员做出的不体现运动员精神的犯规动作, 球员应立即被罚出场外. 证明5次犯规 -无论是侵人犯规,还是技术犯规,一名球员犯规共所以次必须离开球场,不得再进行比赛. 违例 -既不属于侵人犯规0 使当xX1-球员带球或球本身触及界线或蚧线以外区域,即属球出界.

19、在球触线或线外区域之前,球在空中不算出界. 干扰球 -投篮的球向篮下落时,双方队员都不得触球.当球在球篮里的时候,防守队员不得触球. 被紧密盯防的选手 -被防守队员紧密盯防的球员必须在5秒钟之内传球, 使当规则中无此规定. 球回后场 -球队如已将球从后场移至前场,该球队球员便不能再将球移过中线,运回后场. 篮球基本技巧 1.持球 使用五根手指持球，并将手指向内紧缩。在球落下的一刻使用手掌接住。 2.躯干盘球 将球放在腰际盘旋，这个动作的关键在于脸面朝前，同时眼睛不要看着球，然后做顺时钟、逆时钟的盘球练习。 3.颈部盘球 将球沿着颈部环绕练习，这个练习同样脸面朝前，颈部切忌不可移动，并且做正、反

20、时针方向的交替练习。 4.单脚盘球 两脚分开并且重心放低，持球在单脚一侧做盘球练习。眼睛不要看球，并利用左、右脚做正、反时针方向的交替练习。 5.跨下前后抛球 两脚分开同时重心放低。将球从前方轻抛到后方，两手迅速由后方接住球，并将球轻抛回前方，如此反覆记时练习，试试看叁十秒内能完成几次。 6.膝部盘球 两脚稍微靠拢同时身体重心放低 ，将球沿着两膝做盘球练习。眼睛不要看球，并按正、反时针方向交替练习。 7.跨下自行盘球 这是单脚盘球的应用，将球沿着双脚在跨下做8字形的盘球，同时眼睛不要看着球，并按正、反时针方向交替练习。 篮球术语 (1扣篮：运动员用单手或双手持球，跳起在空中自上而下直接将球扣进

21、篮圈。 x0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等(3卡位：进攻人运用脚步动作把防守者挡住自己身后，这种步法叫卡位。 先证明必要性 设f(xA(x(10盖帽：进攻人投篮出手时，防守人设法在空中将球打掉的动作。 (11则>0 0 使当0<|x个防守人失掉正确防守位置时，另1防守人及时补占其正确防守位 置。 (12协防：协助同伴防守。 有|f(xA|< 因此当x0(18策应：进攻队在前场或全场通过中间队员组织的接应和转移球的战术配合，造成空切、绕切以及掩护等进攻机会。 x0<x(20突分：持球进攻队员突破后传球配合。 时都有(21传切：持球进攻队员利用传

22、球后立即空切，准务接球进攻。 (22|< 这说明f(x近的另1防守队员立即放弃自己的对手，去防持球突破的进攻者。 (23换防：防止队员交换防守。 再证明充分性设 f ( x 0名进攻队员，封堵其传球路线。 (26挤过：两名进攻队员进行掩护配合时，防地被掩护者的队员向其对后靠近，在0A 则(28挡拆:1>0 使当x0赛事情况 2008-02-17 13:06:33 阅读109 评论 有| f(xA< 2 控球后卫（PG0 控球后卫（ 有| f(x 得分后卫（SG 取min得分后卫经常要做的有两件事，第一是有很好的空档来投外线，因此他的外线准头和稳定性一定要好，要不然队友千辛万苦

23、挡出个好机会，却又投不进去的话，对全队的士气和信心打击颇大。第二则是要在小小的缝隙中找出空档来投外线，所以他出手的速度要快。一个好的得分后卫总不能企望每次都有这么好的空档，应该能在很短的时间内找机会出手，而命中率也要有一定的水准，如此的话，才能让敌方的防守有所顾忌，必须拉开防守圈，而更利于队友在禁区内的攻势。 2 则当0<|xx小前锋（SF） 小前锋（Small Forward）乃是球队中最重要的得分者。对小前锋最根本的要求就是要能得分，而且是较远距离的得分。小前锋一接到球，第一个想到的就是要如何把球往篮框里塞。他可能会抓篮板，但并不必要；他可能很会传球，但也不必要；他可能弹跳很好，但仍

24、不必要；他可能防守极佳，但还是不必要。小前锋的基本工作，就是得分、得分、再得分。 0< 大前锋（PF） 大前锋（Power Forward）在队上担任的任务几乎都是以苦工为主，要抢篮板、防守、卡位都少不了他，但是要投篮、得分，他却经常是最后一个。所以说，大前锋可以算是篮球场上最不起眼的角色了。 大前锋的首要工作便是抓篮板球。大前锋通常都是队上篮板抢得最多的人，他在禁区卡位，与中锋配合，往往要挑起全队的篮板重任。而在进攻时，他又常常帮队友挡人，然后在队友出手后设法挤进去抓篮板，做第二波的进攻。 即f(A ( x C ） 中锋（Center）顾名思义乃是一个球队的中心人物。他多数的时间是要待

25、在禁区里卖劳力、卖身材的，他在攻在守，都是球队的枢纽，故名之为中锋。 中锋要做哪些工作呢？首先，他既然是在禁区里面混饭吃，那么篮板球是绝对不可或缺的。再来，禁区又是各队的兵家必争之地，当然不能让对手轻易攻到这里面来，所以阻攻、盖火锅的能力也少不得。而在进攻时，中锋经常有机会站在靠近罚球线的禁区内（此乃整个进攻场的中心位置）接球，此时他也应具备不错的导球能力，将球往较适当的角落送试给出x时函数极限的局部有界性的定理 并加以证明 解 x时函数极限的局部有界性的定理 如果f(x当x时的极限存在 则存在X0及M0 使当|x|X时 |f(x|M 证明 设f(xA(x 则对于 1 X0 当|x|X时 有|

26、f(xA| 1 所以|f(x|f(xAA|f(xA|A|1|A| 这就是说存在X0及M0 使当|x|X时 |f(x|M 其中M1|A| 习题141 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之 解 不一定 例如 当x0时 (x2x (x3x都是无穷小 但 不是无穷小 2 根据定义证明 (1当x3时为无穷小; (2当x0时为无穷小 证明 (1当x3时 因为0 当0|x3|时 有 所以当x3时为无穷小 (2当x0时 因为0 当0|x0|时 有 所以当x0时为无穷小 3 根据定义证明 函数为当x0时的无穷大 问x应满足什么条件 能使|y|104？证明 分析 要使|y|M 只须 即 证明 因为M0 使当

27、0|x0|时 有 所以当x0时 函数是无穷大取M104 则 当时 |y|104 4 求下列极限并说明理由 (1; (2 解 (1因为 而当x 时是无穷小 所以 (2因为(x1 而当x0时x为无穷小 所以 5 根据函数极限或无穷大定义 填写下表f(xAf(xf(xf(xxx00 0 使当0|xx0|时 有恒|f(xA| xx0xx0x0 X0 使当|x|X时 有恒|f(x|Mxx解f(xAf(xf(xf(xxx00 0 使当0|xx0|时 有恒|f(xA| M0 0 使当0|xx0|时 有恒|f(x|MM0 0 使当0|xx0|时 有恒f(xMM0 0 使当0|xx0|时 有恒f(xMxx00

28、0 使当0xx0时 有恒|f(xA| M0 0 使当0xx0时 有恒|f(x|MM0 0 使当0xx0时 有恒f(xMM0 0 使当0xx0时 有恒f(xMxx00 0 使当0x0x时 有恒|f(xA| M0 0 使当0x0x时 有恒|f(x|MM0 0 使当0x0x时 有恒f(xMM0 0 使当0x0x时 有恒f(xMx0 X0 使当|x|X时 有恒|f(xA| 0 X0 使当|x|X时 有恒|f(x|M0 X0 使当|x|X时 有恒f(xM0 X0 使当|x|X时 有恒f(xMx0 X0 使当xX时 有恒|f(xA| 0 X0 使当xX时 有恒|f(x|M0 X0 使当xX时 有恒f(xM

29、0 X0 使当xX时 有恒f(xMx0 X0 使当xX时 有恒|f(xA| 0 X0 使当xX时 有恒|f(x|M0 X0 使当xX时 有恒f(xM0 X0 使当xX时 有恒f(xM6 函数yxcos x在( 内是否有界？这个函数是否为当x 时的无穷大？为什么？解 函数yxcos x在( 内无界这是因为M0 在( 内总能找到这样的x 使得|y(x|M 例如y(2k2k cos2k2k (k0 1 2 当k充分大时 就有| y(2k|M 当x 时 函数yxcos x不是无穷大 这是因为M0 找不到这样一个时刻N 使对一切大于N的x 都有|y(x|M 例如(k0 1 2 对任何大的N 当k充分大时

30、 总有 但|y(x|0M 7 证明 函数在区间(0 1上无界 但这函数不是当x0+时的无穷大 证明 函数在区间(0 1上无界 这是因为M0 在(0 1中总可以找到点xk 使y(xkM 例如当(k0 1 2 时 有 当k充分大时 y(xkM当x0+ 时 函数不是无穷大 这是因为M0 对所有的0 总可以找到这样的点xk 使0xk 但y(xkM 例如可取(k0 1 2 当k充分大时 xk 但y(xk2ksin2k0M 习题151 计算下列极限 (1 解 (2解 (3解 (4解 (5解 (6解 (7解 (8解 (分子次数低于分母次数 极限为零 或 (9解 (10解 (11解 (12解 (13解 (分子

31、与分母的次数相同 极限为最高次项系数之比 或 (14解 2 计算下列极限 (1解 因为 所以 (2解 (因为分子次数高于分母次数 (3 解 (因为分子次数高于分母次数 3 计算下列极限 (1解 (当x0时 x2是无穷小 而是有界变量 (2解 (当x时 是无穷小 而arctan x是有界变量 4 证明本节定理3中的(2习题161 计算下列极限 (1 解 (2解 (3解 (4解 (5解 或 (6(x为不等于零的常数解 2 计算下列极限 (1解 (2解 (3解 (4(k为正整数解 3 根据函数极限的定义 证明极限存在的准则I 证明 仅对xx0的情形加以证明 设为任一给定的正数 由于 故由定义知 对0

32、 存在10 使得当0|xx0|1时 恒有|g(xA| 即Ag(xA 由于 故由定义知 对0 存在20 使得当0|xx0|2时 恒有|h(xA| 即Ah(xA 取min1 2 则当0|xx0|时 Ag(xA与Ah(xA同时成立 又因为g(xf(xh(x 所以 Af(xA 即 |f(xA|因此 证明 仅对xx0的情形加以证明 因为 所以对任一给定的0 存在0 使得当0|xx0|时 恒有|g(xA|及|h(xA|即 Ag(xA及Ah(xA又因为 g(xf(xh(x 所以 Af(xA 即 |f(xA|因此4 利用极限存在准则证明 (1证明 因为 而 且 由极限存在准则I (2证明 因为 而 所以 (3

33、数列 的极限存在 证明 (n1 2 3 先证明数列xn有界 当n1时 假定nk时xk2 则当nk1时 所以xn2(n1 2 3 即数列xn有界 再证明数列单调增 因为 而xn20 xn10 所以xn1xn0 即数列xn单调增 因为数列xn单调增加有上界 所以此数列是有极限的 (4 证明 当|x|1时 则有1x1|x|(1|x|n 1x1|x|(1|x|n 从而有 因为 根据夹逼准则 有 (5 证明 因为 所以 又因为 根据夹逼准则 有 习题 171 当x0时 2xx2 与x2x3相比 哪一个是高阶无穷小？ 解 因为 所以当x0时 x2x3是高阶无穷小 即x2x3o(2xx2 2 当x1时 无穷

34、小1x和(11x3 (2是否同阶？是否等价？解 (1因为 所以当x1时 1x和1x3是同阶的无穷小 但不是等价无穷小 (2因为 所以当x1时 1x和是同阶的无穷小 而且是等价无穷小 3 证明 当x0时 有 (1 arctan xx (2证明 (1因为(提示 令yarctan x 则当x0时 y0 所以当x0时 arctanxx (2因为 所以当x0时 4 利用等价无穷小的性质 求下列极限 (1(2(n m为正整数(3 (4 解 (1 (2 (3 (4因为(x0 (x0(x0所以 5 证明无穷小的等价关系具有下列性质 (1 (自反性(2 若 则(对称性 (3若 则(传递性证明 (1 所以 (2

35、若 则 从而 因此 (3 若 因此习题181 研究下列函数的连续性 并画出函数的图形 (1 解 已知多项式函数是连续函数 所以函数f(x在0 1和(1 2内是连续的 在x1处 因为f(11 并且 所以 从而函数f(x在x1处是连续的 综上所述，函数f(x在0 2上是连续函数 (2 解 只需考察函数在x1和x1处的连续性 在x1处 因为f(11 并且 所以函数在x1处间断 但右连续 在x1处 因为f(11 并且f(1 f(1 所以函数在x1处连续 综合上述讨论 函数在( 1和(1 内连续 在x1处间断 但右连续 2 下列函数在指出的点处间断 说明这些间断点属于哪一类 如果是可去间断点 则补充或改

36、变函数的定义使它连续 (1 x1 x2解 因为函数在xspan2和x1处无定义 所以x2和x1是函数的间断点 因为 所以x2是函数的第二类间断点 因为 所以x1是函数的第一类间断点 并且是可去间断点 在x1处 令y2 则函数在x1处成为连续的 (2 xk (k0 1 2 解 函数在点xk(kZ和(kZ处无定义 因而这些点都是函数的间断点 因(k0 故xk(k0是第二类间断点 因为 (kZ 所以x0和(kZ 是第一类间断点且是可去间断点 令y|x01 则函数在x0处成为连续的 令时 y0 则函数在处成为连续的 (3 x0 解 因为函数在x0处无定义 所以x0是函数的间断点 又因为不存在 所以x0

37、是函数的第二类间断点 (4 x 1解 因为 所以x1是函数的第一类不可去间断点 3 讨论函数的连续性数 学(理科解 (考试时间：2014年1月15日满分：100分(必考试卷50x1为函数的第一类不可去间断点 在分段点x1处一、选择题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 4 证明 若函数f(x在点x0连续且(x0A. 则存在x0的某一邻域U(x0 当xU(x0时 f(x0A.x>1 B.x<1 因为f(x在0连续 所以 由极限的局部保号性定理 存在2cos sin x，则f(U(x0时 f(x>0 这就是说cos 的某一邻

38、域U(xC.2sin cos U(x0时 4.x0，z2不能比较大小；虚数不能比较大小；z1，z2试分别举出具有以下性质的函数f(x的例子 (1x05.若a(1，2，b(2，1,1，a与b的夹角为60°，则的值为n 解|F在点x0 1 B.20 D.47.对于R上可导的任意函数f(x，若满足n 处是间断的A.f(3f(3<2且这些点是函数的无穷间断点B.f(3f(7>2f(2x在C.f(3f(32f(2 D.f(3(x|在R上处处连续 解 函数在R上处处不连续 但|f(x|1在R上处处连续 8.复数3f(x在R上处处有定义 但仅在一点连续 解 函数在R上处处有定义 它只在

39、9.用反证法证明命题：“若x，y>0，且xy>2，则，解 函数在( 内除点xax3外是连续的 所以函数f(x 在函数的间断点x2和x3处 2 设函数f(x与g(x在点x0连续 证明函数(xmaxf(x g(x (xminf(x g(x在点x0也连续 证明 已知 可以验证 因此 因为 (x0所以(x在点x0也连续 同理可证明(x在点x0也连续 3 求下列极限 (1 (2 (3 (4(5(6(7解 (1因为函数是初等函数 f(x在点x0有定义 所以 (2因为函数f(x(sin 2x3是初等函数 f(x在点有定义 所以 (3因为函数f(xln(2cos2x是初等函数 f(x在点有定义 所

40、以 (4 (5(6 (74 求下列极限 (1(2 (3(4 (5 (6 解 (1 (2 (3 (4 (5 因为 所以 (6 5 设函数 应当如何选择数a 使得f(x成为在( 内的连续函数？ 解 要使函数f(x在( 内连续 只须f(x在x0处连续 即只须 因为 所以只须取a1 习题1101 证明方程x53x1至少有一个根介于1和2之间证明 设f(xx53x1 则f(x是闭区间1 2上的连续函数 因为f(13 f(225 f(1f(20 所以由零点定理 在(1 2内至少有一点(12 使f(0 即x 是方程x53x1的介于1和2之间的根 因此方程x53x1至少有一个根介于1和2之间 2 证明方程xa

41、sinxb 其中a0 b0 至少有一个正根 并且它不超过ab证明 设f(xasin xbx 则f(x是0 ab上的连续函数 f(0b f(aba sin (abb(abasin(ab10 若f(ab0 则说明xab就是方程xasinxb的一个不超过ab的根 若f(ab0 则f(0f(ab0 由零点定理 至少存在一点(0 ab 使f(0 这说明x 也是方程x=asinxb的一个不超过ab的根 总之 方程xasinxb至少有一个正根 并且它不超过ab 3 设函数f(x对于闭区间a b上的任意两点x、y 恒有|f(xf(y|L|xy| 其中L为正常数 且f(af(b0 证明 至少有一点(a b 使得

42、f(0 证明 设x0为(a b内任意一点 因为 所以 即 因此f(x在(a b内连续 同理可证f(x在点a处左连续 在点b处右连续 所以f(x在a b上连续因为f(x在a b上连续 且f(af(b0 由零点定理 至少有一点(a b 使得f(04 若f(x在a b上连续 ax1x2 xnb 则在x1 xn上至少有一点 使证明 显然f(x在x1 xn上也连续 设M和m分别是f(x在x1 xn上的最大值和最小值 因为xix1 xn(1 in 所以有mf(xiM 从而有 由介值定理推论 在x1 xn上至少有一点 使 5 证明 若f(x在( 内连续 且存在 则f(x必在( 内有界证明 令 则对于给定的0

43、 存在X0 只要|x|X 就有|f(xA| 即Af(xA 又由于f(x在闭区间X X上连续 根据有界性定理 存在M0 使|f(x|M xX X 取NmaxM |A| |A| 则|f(x|N x( 即f(x在( 内有界6 在什么条件下 (a b内的连续函数f(x为一致连续？总习题一1 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内 (1数列xn有界是数列xn收敛的_条件 数列xn收敛是数列xn有界的_的条件(2f(x在x0的某一去心邻域内有界是存在的_条件 存在是f(x在x0的某一去心邻域内有界的_条件 (3 f(x在x0的某一去心邻域内无界是的_条件 是f(x在x0的某一

44、去心邻域内无界的_条件 (4f(x当xx0时的右极限f(x0及左极限f(x0都存在且相等是存在的_条件解 (1 必要 充分 (2 必要 充分(3 必要 充分(4 充分必要 2 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论 设f(x2x3x2 则当x0时 有( (Af(x与x是等价无穷小 (Bf(x与x同阶但非等价无穷小 (Cf(x是比x高阶的无穷小 (Df(x是比x低阶的无穷小 解 因为(令2x1t 3x1u 所以f(x与x同阶但非等价无穷小 故应选B 3 设f(x的定义域是0 1 求下列函数的定义域 (1 f(ex (2 f(ln x (3 f(arctan x (4 f(cos x 解 (1

45、由0ex1得x0 即函数f(ex的定义域为( 0 (2 由0 ln x1得1xe 即函数f(ln x的定义域为1 e(3 由0 arctan x 1得0xtan 1 即函数f(arctan x的定义域为0 tan 1(4 由0 cos x1得(n0 1 2 即函数f(cos x的定义域为 (n0 1 2 4 设 求ff(x gg(x fg(x gf(x 解 因为f(x0 所以ff(xf(x 因为g(x0 所以gg(x0因为g(x0 所以fg(x0因为f(x0 所以gf(xf 2(x 5 利用ysin x的图形作出下列函数的图形 (1y|sin x| (2ysin|x| (3 6 把半径为R的一

46、圆形铁片 自中心处剪去中心角为的一扇形后围成一无底圆锥 试将这圆锥的体积表为的函数 解 设围成的圆锥的底半径为r 高为h 依题意有R(22r 圆锥的体积为 (02 7 根据函数极限的定义证明 证明 对于任意给定的0 要使 只需|x3| 取 当0|x3|时 就有|x3| 即 所以 8 求下列极限 (1 (2 (3 (4 (5(a0 b0 c0 (6 解 (1因为 所以 (2 (3 (4(提示 用等价无穷小换(5 因为 所以 提示 求极限过程中作了变换ax1t bx1u cx1v (6 因为 所以 9 设 要使f(x在( 内连续 应怎样选择数a?解 要使函数连续 必须使函数在x0处连续 因为f(0

47、a 所以当a0时 f(x在x0处连续 因此选取a0时 f(x在( 内连续 10 设 求f(x的间断点 并说明间断点所属类形 解 因为函数f(x在x1处无定义 所以x1是函数的一个间断点 因为(提示 (提示 所以x1是函数的第二类间断点 又因为 所以x0也是函数的间断点 且为第一类间断点 11 证明 证明 因为 且 所以 12 证明方程sin xx10在开区间内至少有一个根 证明 设f(xsin xx1 则函数f(x在上连续 因为 所以由零点定理 在区间内至少存在一点 使f(0 这说明方程sin xx10在开区间内至少有一个根 13 如果存在直线L ykxb 使得当x(或x x时 曲线yf(x上

48、的动点M(x y到直线L的距离d(M L0 则称L为曲线yf(x的渐近线 当直线L的斜率k0时 称L为斜渐近线 (1证明 直线L ykxb为曲线yf(x的渐近线的充分必要条件是 (2求曲线的斜渐近线 证明 (1 仅就x的情况进行证明按渐近线的定义 ykxb是曲线yf(x的渐近线的充要条件是 必要性 设ykxb是曲线yf(x的渐近线 则 于是有 同时有 充分性 如果 则 因此ykxb是曲线yf(x的渐近线 (2因为 所以曲线的斜渐近线为y2x1 习题211 设物体绕定轴旋转 在时间间隔0 t内转过的角度为 从而转角是t的函数 (t 如果旋转是匀速的 那么称为该物体旋转的角速度 如果旋转是非匀速的

49、 应怎样确定该物体在时刻t0的角速度？解 在时间间隔t0 t0t内的平均角速度为 故t0时刻的角速度为 2 当物体的温度高于周围介质的温度时 物体就不断冷却 若物体的温度T与时间t的函数关系为TT(t 应怎样确定该物体在时刻t的冷却速度？解 物体在时间间隔t0 t0t内 温度的改变量为TT(ttT(t 平均冷却速度为 故物体在时刻t的冷却速度为 3 设某工厂生产x单位产品所花费的成本是f(x元 此函数f(x称为成本函数 成本函数f(x的导数f(x在经济学中称为边际成本 试说明边际成本f(x的实际意义 解 f(xxf(x表示当产量由x改变到xx时成本的改变量 表示当产量由x改变到xx时单位产量的

50、成本 表示当产量为x时单位产量的成本4 设f(x10x2 试按定义 求f (1 解 5 证明(cos xsin x 解 6 下列各题中均假定f (x0存在 按照导数定义观察下列极限 指出A表示什么 (1 解 (2 其中f(00 且f (0存在 解 (3 解 f (x0f (x02f (x0 7 求下列函数的导数 (1yx4 (2 (3yx1 6(4 (5(6(7 解 (1y(x44x414x3 (2 (3y(x1 616x1 6116x 0 6 (4 (5(6(78 已知物体的运动规律为st3(m 求这物体在t2秒(s时的速度 解v(s3t2 v|t212(米/秒 9 如果f(x为偶函数 且f

51、(0存在 证明f(00 证明 当f(x为偶函数时 f(xf(x 所以 从而有2f (00 即f (00 10 求曲线ysin x在具有下列横坐标的各点处切线的斜率 x 解 因为ycos x 所以斜率分别为 11 求曲线ycos x上点处的切线方程和法线方程式 解ysin x 故在点处 切线方程为 法线方程为 12 求曲线yex在点(0span1处的切线方程span 解yex y|x01 故在(0 1处的切线方程为y11(x0 即yx1 13 在抛物线yx2上取横坐标为x11及x23的两点 作过这两点的割线 问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？解 y2x 割线斜率为 令2x4 得x2 因此抛

52、物线yx2上点(2 4处的切线平行于这条割线 14 讨论下列函数在x0处的连续性与可导性劳务分包合同钢筋工工程分项甲方：|sin 项目部 (2 解 根据中华人民共和国劳动法、中华人民共和国建筑法建筑安装工程承包合同条例的原则，结合公司有关规定和本工程的具体情况，经公司决定，本工程 y(00 2 、工程地址：所以函数在x0处连续承包形式：本工程采取包工不包料的分包形式，（扎丝、扎钩和钢筋所需机械等材料工具由乙方自理）把钢筋分项工程承包给乙方。又因为 而y(0y(0 所以函数在x0处不可导 （7）因为 又y(00 所以函数在x（8） 对每次验筋时业主、监理、建筑主管部门及现场施工管理人员提出的质量问题及时整改，无正当理由乙方拒不整改，甲方有权采取整改措施直至更换劳务分承包方，责令乙方退场，并由乙方承担因此给甲方造成的全部损失（9） 所以函数在点x0处可导 4y（0（2）乙方现场管理人员必须具备良好的业务素质，良好的沟通能力，强有力的执行力。对乙方工人的管理符合项目部制定的