大一高等数学公式(精华整理的)

1、高等数学公式1 导数公式：(tgx)sec2 x(arcsin x)11x2( ctgx)csc2x(arccos x)1(secx)secx tgx1 x2(cscx)cscx ctgx(arctgx )1( ax )a x ln a1 x21(arcctgx )1(log a x)1x2x ln a2 基本积分表：tgxdxln cos xCdx2tgx Ccos2 xsec xdxctgxdxln sin xCdx2secxdxln secxtgxCsin2 xcsc xdxctgxCcsc xdxln csc xctgxCsecx tgxdxsecxCdx1xcscx ctgxdxcs

2、cxCa2x2a arctgaCaxdxaxCdx1xaln aCx2a2lnshxdxchxC2axadxx21 ln axCchxdxshxCa22aaxdxarcsin xCdxln( xx2a2 )Ca2x2ax2a22sin n xdx2cosn xdxn1I nI n200nx2a2 dxxx2a 2a2ln( xx2a2 )C22x2a2dxxx2a2a2ln xx2a2C22a2x2 dxxa2x2a2arcsin xC22a3 三角函数的有理式积分：sin x2u， cos x1u2，u tg x， dx2du1u 21u221 u 24 一些初等函数：exe x双曲正弦 :

3、 shx5两个重要极限：lim sin x1双曲余弦 : chx2exe x2x 0xlim (11)xe 2.718281828459045.x xxshxeearshxln( xx2）1archxln( xx21)arthx1 ln 1x2 1xxx6 三角函数公式：·诱导公式：函数sincostgctg角 A-sin cos -tg -ctg 90°-cos sin ctg tg 90°+cos -sin -ctg -tg 180°-sin -cos -tg -ctg180°+-sin -cos tg ctg 270°-cos

4、-sin ctg tg 270°+-cos sin -ctg -tg 360°-sin cos -tg -ctg 360°+sin cos tg ctg 7·和差角公式：8·和差化积公式：sin()sincoscossinsinsin2 sincoscos()coscossinsin22sinsin2 cossintg ()tgtg1 tgtg22coscos2 coscosctgctg1ctg ()22ctgctgcoscos2sinsin229·倍角公式：sin 22 sincoscos22 cos2112 sin2cos2sin

5、2sin 33sin4sin3ctg 2ctg 21cos34 cos33 cos2ctg3tgtg 3tg32tg1 3tg 2tg 21tg 210·半角公式：sin1coscos1cos2222tg1cos1cossinctg1cos1cossin1cossin1cos1cossin1cos2211·正弦定理：abc222212·余弦定理：cab 2ab cosCsin Asin Bsin CR13·反三角函数性质：arcsinxarccosxarctgxarcctgx2214 高阶导数公式莱布尼兹（ Leibniz）公式：n(uv) ( n)Cn

6、ku (n k ) v(k )k 0u ( n) vnu( n 1) vn( n 1) u( n 2 ) vn(n 1) (n k 1) u (n k )v( k )uv (n)2!k!15 中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f (b)f ( a)f ()(ba)柯西中值定理：f (b)f (a)f ()F (b)F (a)F ()当 F( x)x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。16 曲率：弧微分公式： ds1y 2 dx, 其中 ytg平均曲率：K.: 从 M 点到 M 点，切线斜率的倾角变化量；sM 点的曲率： Klimdy.sds2s 03(1 y)直线： K0;半径为 a的圆

7、： K1 .a17 定积分的近似计算：bba ( y0 y1矩形法： f ( x)yn 1 )anbba 1 ( y0梯形法： f ( x)yn )y1yn 1an2bb a( y0抛物线法： f ( x)yn )2( y2y4yn 2 ) 4( y1 y3a3n18 定积分应用相关公式：功： W F s水压力： FpA引力： Fkm1m2, k为引力系数r 2b函数的平均值： y1f ( x) dxb a a1b均方根：a af 2 (t )dtb19 空间解析几何和向量代数：s： M M 弧长。yn 1 )空间 点的距离：d M 1M 2( x2x1 )2( y2 y1 )2(z2z1)2

8、2向量在轴上的投影：Pr juABAB cos ,是与 轴的夹角。ABuPr ju ( a1a2 ) Pr j a1 Pr j a2a b ab cosaxbxaybyazbz ,是一个数量 ,两向量之间的夹角：cosaxbxaybyazbzax 2a y2az2bx 2by 2bz2ijkc a baxayaz , ca例：线速度：vwr .b sin .bxbybzaxa yaz向量的混合积：b ) cbxbybzabc cos ,为锐角时， abc (acxcycz代表平行六面体的体积。平面的方程：1、点法式： A( xx0 )B( yy0 )C ( z z0 ) 0，其中 n A,B,

9、C, M 0 ( x0 , y0 , z0 )2、一般方程： AxByCzD03、截距世方程： xyz1abc平面外任意一点到该平空间直线的方程： xx0m二次曲面：面的距离： dAx0 By 0Cz0 DA2B2C 2y y0z z0t ,其中 s m, n, p;npxx0mt参数方程： yy0ntzz0pt1、椭球面： x2y 2a2b22、抛物面： x2y 22 p2q3、双曲面：单叶双曲面： x2y2a2b 2双叶双曲面： x2y2a2b 2z2c21z（, p,q同号）z21c 2z2（马鞍面）c2120 多元函数微分法及应用全微分： dzz dxz dyduu dxu dyu d

10、zxyxyz全微分的近似计算：z dz f x (x, y)xf y ( x, y)y多元复合函数的求导法：zf u(t), v(t )dzzuzvdtutvtzf u( x, y), v( x, y)zzuzvxuxvxuv(x, y)当，时，u( x, y) vduuudydvvvdxydxdyxxy隐函数的求导公式：隐函数F ( x, y)，dyFx ，d2 yFxFxdy0dxFydx2()()x Fyy Fydx隐函数， zFx ，zFyF ( x, y, z) 0xFzyFzF ( x, y,u,v) 0(F,G)FFFuFv隐函数方程组：JuvG ( x, y,u,v)0(u,

11、v)GGGuGvuvu1(F,G)v1 (F ,G)xJ( x, v)xJ(u, x)u1(F,G)v1(F ,G)yJ( y, v)yJ(u, y)微分法在几何上的应用：x(t), y0 , z0 )处的切线方程： x x0yy0z z0空间曲线y(t)在点 M (x0z(t)(t0 )(t0 )(t 0 )在点 M处的法平面方程：(t 0 )( xx0 )(t 0 )( yy0 )(t0 )( zz0 )若空间曲线方程为：F ( x, y, z) 0,则切向量 T FyFzFxFxG y, Fz,G ( x, y, z) 0G z GzG x G x曲面 F ( x, y, z) 0上一点

12、 M ( x0 , y0 , z0 )，则：1、过此点的法向量：n Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy (x0 , y0 , z0 ), Fz (x0 , y0 , z0 )2、过此点的切平面方程： Fx ( x0 , y0 , z0 )( xx0 )Fy ( x0 , y0 , z0 )( yy0 )3、过此点的法线方程：x x0y y0zz0Fx (x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )Fz ( x0 , y0 , z0 )0FyG yFz (x0 , y0 , z0 )( zz0 )0方向导数与梯度：函数 zf (x, y)在一点 p( x, y

13、)沿任一方向 l 的方向导数为： ffcosf sinlxy其中为 x轴到方向 l的转角。函数 zf (x, y)在一点 p( x, y)的梯度： gradf ( x, y)f ifjxy它与方向导数的关系是 ： fgrad f ( x, y) e，其中 ecosisinj ，为 l方向上的l单位向量。f 是 gradf ( x, y)在 l 上的投影。l多元函数的极值及其求法：设f x ( x0 , y0 )，令：f xx ( x0 , y0 ) A, f xy ( x0, y0 ) B, f yy (x0 , y0 ) Cf y ( x0 , y0 ) 0ACB2时， A0, ( x0,

14、y0 )为极大值0, y0 )为极小值2A 0, ( x0则：ACB时，无极 值0ACB2时不确定0 ,重积分及其应用：f (x, y)dxdyf ( r cos, r sin)rdrdDD22曲面 z f (x, y)的面积 A1zzxdxdyDyM xx( x, y)dM yy( x, y)d平面薄片的重心：D,yDx( x, y)dM(x, y) dMDD平面薄片的转动惯量： 对于 x轴 I xy 2(x, y)d,对于 y轴 I yx2( x, y) dDD平面薄片（位于xoy平面）对 z轴上质点 M (0,0,a),(a0)的引力： F Fx , Fy , Fz，其中：Fxf( x,

15、 y)xdFyf( x, y) ydFzfa(x, y) xd3，3，3D ( x2y 2a2 ) 2D ( x2y2a2 ) 2D (x 2y 2a 2 ) 2柱面坐标和球面坐标：xr cos柱面坐标： yr sin,f ( x, y, z) dxdydzF ( r, z)rdrddz,zz其中： F (r , z)f (r cos , r sin, z)xr sincos球面坐标： yr sinsin ，dvrdr sinddrr 2 sindrddzr cos) r 2 sin2r ( , )r 2 sinf ( x, y, z)dxdydzF (r ,drddddF ( r , ,dr

16、000重心：x1x dv,y1ydv,z1，其中MxdvMMz dvM转动惯量：I x( y22，I y(x22，I z( x2y2) dvz) dvz) dv曲线积分：第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：设 f ( x, y)在 L上连续， L的参数方程为： x(t),(t),则：y(t)f ( x, y) dsf (t),(t)2 (t )2 (t )dt()特殊情况：xtLy(t)第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：设 的参数方程为x(t )，则：Ly(t )P( x, y)dxQ( x, y)dy P(t ),(t )(t)Q(t),(t )(t ) dtL两类曲线积分之间的关 系：P

17、dxQdy( P cosQ cos，其中 和 分别为)dsLL上积分起止点处切向量 的方向角。L格林公式：(QP) dxdy格林公式：(QP)dxdyPdxQdyxyPdx QdyxyDLDL当Py, Qx，即： QP时，得到D的面积：Adxdy1xdy ydxxy22 LD平面上曲线积分与路径 无关的条件：·、是一个单连通区域；1G、，Q( x, y)在 内具有一阶连续偏导数 ，且 Q P 。注意奇点，如，应2P( x, y)Gxy(0,0)减去对此奇点的积分，注意方向相反！·二元函数的全微分求积 ：在 Q P 时， Pdx Qdy才是二元函数 u( x, y)的全微分，

18、其中：x y( x, y)，通常设x0。u( x, y)P(x, y) dx Q(x, y) dyy0 0( x0 , y0 )曲面积分：对面积的曲面积分：f ( x, y, z)dsf x, y, z( x, y) 1 zx2 ( x, y) zy2 (x, y)dxdyDxy对坐标的曲面积分：P(x, y, z)dydz，其中：Q(x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdyR(x, y, z) dxdy，取曲面的上侧时取正 号；R x, y, z(x, y) dxdyD xyP(x, y, z) dydzP x( y, z), y, z dydz，取曲面的前侧时取正 号；D

19、yzQ(x, y, z)dzdxQ x, y(z, x), z dzdx，取曲面的右侧时取正 号。D zx两类曲面积分之间的关系： PdydzQdzdxRdxdy( P cosQ cosRcos ) ds高斯公式：PQR() dvPdydzQdzdxRdxdy( P cosQ cosR cos)dsxyz高斯公式的物理意义 通量与散度：散度： divPQR ,即：单位体积内所产生的流体质量，若 div0,则为消失 .xyz通量： An dsAnds(P cosQ cosR cos) ds，因此，高斯公式又可写成：div A dvAnds斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：( RQ )dydz

20、 ( PR)dzdx ( QP )dxdyPdxQdyRdzyzzxxydydzdzdx dxdycoscoscos上式左端又可写成：xyzxyzPQRPQR空间曲线积分与路径无 关的条件： RQ ， PR， QPyzzxxyijk旋度： rotAxyzPQR向量场 沿有向闭曲线的环流量：PdxQdyRdz A t dsA常数项级数：等比数列：q2qn 11q n1q1q等差数列：23n(n 1) n12调和级数：111 是发散的123n级数审敛法：1、正项级数的审敛法 根植审敛法（柯西判别法）：1时，级数收敛设：lim n un，则1时，级数发散n1时，不确定2、比值审敛法：lim U n1

21、时，级数收敛设：1 ，则1时，级数发散nU n1时，不确定3、定义法：sn u1u2un ;lim sn 存在，则收敛；否则发散。n交错级数 u1u2 u3u4(或 u1 u 2u3,un 0)的审敛法 莱布尼兹定理：如果交错级数满足unun 1 ，那么级数收敛且其和 su1 ,其余项 rn的绝对值 rn un 1。lim un 0n绝对收敛与条件收敛：(1)u1u2un，其中 un为任意实数；(2) u1u2u3un如果 (2)收敛，则 (1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果 (2)发散，而 (1)收敛，则称 (1)为条件收敛级数。n调和级数：1 发散，而( 1) 收敛；nn1级数：收敛；

22、1 时发散p级数：n pp1时收敛幂级数：x时，收敛于11 x x2x3x n11xx时，发散1对于级数 (3)a0a1 x a2 x2an xn，如果它不是仅在原点 收敛，也不是在全x时收敛R数轴上都收敛，则必存在R，使xR时发散，其中 R称为收敛半径。x时不定R时，10R求收敛半径的方法：设liman 1，其中，是的系数，则时，Rananan 1(3)0n时，R 0函数展开成幂级数：函数展开成泰勒级数：f ( x)f (x0 )( x x0 )f (x0 ) ( x x0 )2f (n ) ( x0 ) ( xx0 ) n2!n!f (n 1) ( )(x x0 )n 1, f (x)可以

23、展开成泰勒级数的充要条件是： lim Rn0余项： Rn(n 1)!nx0 0时即为麦克劳林公式：f ( x) f (0)f (0)x2f ( n) (0)nf (0) xx2!n!一些函数展开成幂级数：(1 x) m1mxm(m1)x 2m(m 1)( mn 1)xn( 1 x 1)x3x52!1) n 1x2n1n!sin x x(x)3!5!( 2n1)!欧拉公式：eixeeixcosx2cosx i sin x或eixesin x2ixix微分方程的相关概念：一阶微分方程： yf ( x, y)或P( x, y)dxQ(x, y)dy0可分离变量的微分方程 ：一阶微分方程可以化 为g( y)dy的形式，解法：f (x)dxg ( y) dyf ( x)dx得： G( y)F ( x) C称为隐式通解。齐次方程：一阶微分方 程可以写成 dy，即写成 y 的函数，解法：f (x, y)( x, y)xdx设uy ，则