动态数学软件GeoGebra使用教程

1、 .wd.GeoGebra使用入门数字式的坐标平面系统GeoGebra使用入门1目录安装.3根本概念.5跨系统、跨平台.5使用者接口.5输出.6重要的网络资源.7根底操作.81-新点、交点、中心点.82-直线、线段、向量.103-垂直线、并行线、角平分线、切线、轨迹.134-多边形、正多边形.205-圆形、扇形、圆弧.226-角、斜率.267-对称、平移、旋转.288-数值滑杆、文字.349-对象的属性设定.37进阶操作范例.381-直线方程式、函数.382-动态文字处理、代数式定义处理：if语法的应用.393-参数曲面(Curve).414-序列物件(Sequence).425-自订工具列管

2、理.45附录：以代数式建立对象之指令速查表.472GeoGebra使用入门安装Windows接口下的安装请先到GeoGebra的网站： :/GeoG/cms/(假设要阅读中文画面，请将下拉式选单切换到Chinese。)这画面中包含大局部的资源，如Help、中文讨论区等。从WebStart画面中进展安装，可以保证安装到目前最新的版本，而下载页面，那么列出目前最稳定的版本。本说明建议读者可以WebStart方式进展安装，点选启用GeoGebra这个连结，画面会导向到WebStart页面，步骤如下页：GeoGebra使用入门3按下GeoGebraWebStart按钮后，因为GeoGe

3、bra是在Java环境下执行的软件，假设您的计算机没有安装Java环境，那么画面会自动导向到Java安装网页，假设您的计算机没有Java环境，且浏览器没有导向到Java安装网页，您可以自行输入 :/java /zh_TW/，来进展在线安装，该网站上有详细的安装说明。完毕Java的安装后，假设您是以GeoGebraWebStart按钮进展安装，那么会自动进展GeoGebra的安装，假设浏览器没有自动进展安装，那么您可以考虑切换到下载页面下载GeoGebra的各系统版本进展安装。4GeoGebra使用入门根本概念跨系统、跨平台GeoGebra是一个在Java虚拟机器环境上执行的解析几何作图程序，可

4、以说是一个数字式的平面直角坐标系统。所以用GeoGebra做出来的动态图文件，可以轻易的在不同操作系统，如Windows、Linux、FreeBSD、Mac等不同的操作系统上执行。或可以在不同执行平台，如MicrosoftIE、MozillaFirefox等不同的网际网络浏览器上，完整而无碍的执行。使用者接口GeoGebra使用入门5我们大概可以把GeoGebra这样的动态几何软件，想成一个数字式的坐标平面作图程序。这样的程序里，包含了两个主要区域，即代数区、几何区。几何区负责显示对象，如点、线、角、函数图形、方程式图形、参数曲面图形、轨迹、文字、布尔值等，可以让使用者以直觉的方式操作与体验。

5、代数区负责列出对象的数学式型态的定义，都是一般数学课本中所熟悉的描述形式。例如点是以P(2,3)、直线方程式以L：2x3y5的形态将其显示。对于每一个对象，可以用鼠标在几何区的移动功能下选取或代数区中直接选取，之后可以按鼠标右键点选出它的属性窗口，进展此对象各个属性的调整编辑，如名称、定义、样式、大小、装饰、显示条件、显示型式、在几何区的显示状态等，接口简单易懂，极易操作。另外此区将对象分成自变对象、应变对象两类，例如直线可能就是两个点的应变对象。而不管是自变对象或应变对象皆可以被归类于辅助对象，并可在菜单中设定是否在代数区中显示出来。对象的建立方式，可以用直觉的几何方式或准确的代数定义方式来

6、建立。几何建立方式，为先选取上方功能按钮后，在窗口上方列右侧即会出现其使用方式说明，使用者依照其标准操作即可，所以原那么就是先选功能，再依规那么操作。代数建立方式那么为在下方输入列，直接以指令方式输入，例如建立一个点为A=(3,2)，其余对象的输入语法，可以查阅菜单中的说明，或先以几何方式建立后，在其属性窗口中，查阅其定义也可以，这是比拟简易的方法。对于已经制作完成的ggb档，也可以在播放按钮区调整每个对象播放的顺序。输出制作完成的档案，将以.ggb的扩展名储存，此外也可以用图档、网页等形态另外汇出。或将ggb文件直接内嵌于动态网页中，并在网页浏览器中直接操作。另外GeoGebra也支持LAT

7、EX数学式标示语言。6GeoGebra使用入门根底操作1.新点、交点、中心点范例图8GeoGebra使用入门各编辑区方法列表方法物件几何建立代数建立范例新点点选新点，再以鼠标点出位 置。A=(3,2)交点点选交点，再以鼠标点出两 个对象后建立。A=Intersecta, b 直线 a、b 的交点。中心点点选中心点，再以鼠标点出 两个点后建立，或点出一线段。C=MidpointA, B 点 A、B 之中点。 C=Midpoints 线段 s 之中点。辅助说明以几何操作方式建立新点，仅需先选择工具按钮中的新点，然后直接在几何显示作图区中之适当位置按下鼠标左键，即完成新点建立。假设以代数式建立，那么

8、使用一般在平面坐标上点的表示法，键入A=3,2这样的指令，即完成一个名为A且坐标为3,2的点。以几何操作方式建立交点的方式比拟多元，但凡两对象间有交点者，皆可以在选择交点功能按钮后，连续点选出二个对象来完成操作。而假设以代数式建立，原那么是以A=Intersect对象1,对象2，这样的指令来完成。而其中的对象1、对象2，可以是直线、圆锥曲线、函数等对象。而有些交点会出现二个，系统会分别以1、2在下标标示表示之，例如两个相割圆的交点有二个，那么上述指令会产生两点A1、A2。以几何操作方式建立中点，需先选择工具按钮中的中心点后，再点选两点或一线段对象，即完成中心点建立。代数式那么以M=midpoi

9、nt点,点或M=midpoint线段s这样的指令来建立。GeoGebra使用入门92.直线、线段、向量范例图10GeoGebra使用入门各编辑区方法列表方法物件几何建立代数建立范例建立时最好包含自订对象名称直线点选直线，以鼠标点出两点 后建立。L=lineA,B线段点选线段，以鼠标点出两点 后建立，或点出起点，再指定长 度。a=segmentA,B射线点选射线，以鼠标点出两点。b=RayA,B起点 A 通过 B 点的射线。c=RayA,v起点 A 且方向为 v 向量方向射线。向量点选向量，以鼠标点出 两点，或一点及一向量。u=VectorE,F从点 E 到点 F 的向量。a=VectorA点

10、A 的位置向量(原点到 A 点的向量)辅助说明以几何操作方式建立直线，仅需先选择工具按钮中的直线(过两点)按钮，然后直接在几何显示作图区中之两个适当位置，分别按下鼠标左键，即完成二个新点及过此二点之直线。或可以鼠标选取二个点后，建立通过此二点之直线。而假设以代数式建立，那么键入L=Line点对象1,点对象2这样的指令，即完成一个名为L且通过此二点对象之直线。GeoGebra使用入门11以几何操作方式建立线段，需先选择工具按钮中的线段(过两点)按钮，其余程序与直线之建立大致一样，差异只是结果显示为一个以两个点对象为端点之线段。以几何操作方式建立射线，需先选择工具按钮中的射线(过两点)按钮，其余与

11、直线之建立大致一样，差异只是结果显示为一个以点对象1为起点，指向点对象2之射线。或者可以选择一个点对象与一个向量对象，建立出射线对象。以几何操作方式建立向量，需先选择工具按钮中的向量(过两点)按钮，其余与直线之建立大致一样，差异只是结果显示为一个以点对象1为起点，指向点物件2之向量。或者可以只选择一个点对象来建立出该点对象之位置向量。12GeoGebra使用入门3.垂直线、并行线、角平分线、切线、轨迹垂直线、并行线范例图GeoGebra使用入门13各编辑区方法列表方法物件几何建立代数建立范例建立时最好包含自订对象名称垂直线点选垂直线，以鼠标点出已 知一点及一直线或是一向量后建 立。L=Perp

12、endicularC,a通过点 C 且垂直于 a 的直线。 L=PerpendicularC,u通过点 C 且垂直于向量 u 的直线。并行线点选并行线，以鼠标点出已 知一点及一直线后建立。L=lineC,a通过 C 点且平行于 a 直线的直线。辅助说明以几何操作方式建立垂直线，需先选择工具按钮中的垂直线按钮，然后在几何显示作图区中，点选一直线及一点后，那么建立通过此点且垂直于该直线之垂线。或可点选一直线及一向量后，那么建立通过此点且垂直于该向量之垂线。而假设以代数式建立，那么键入L=PerpendicularC,u，C为点对象，u为直线对象向量对象，这样的指令，即完成一个名为L且通过C且垂直于

13、u直线或向量对象之垂线。以几何操作方式建立并行线，需先选择工具按钮中的并行线按钮，然后在几何显示作图区中，点选一直线及一点，建立通过此点且平行于该直线之平行线。而假设以代数式建立，那么键入L=Line点对象,直线对象这样的指令，即完成一个名为L且通过此点且平行于该直线之并行线。14GeoGebra使用入门中垂线、角平分线范例图各编辑区方法列表方法物件几何建立代数建立范例建立时最好包含自订对象名称中垂线点选中垂线，以鼠标点出 两点，或一线段。L=LineBisectorA,B 线段 AB 的中垂线 L=LineBisectorss 线段的中垂线角平分线点选角平分线，以鼠标点出已 知三点，或二直线

14、。注意在点的选 取顺序，是以有向角的观念，以逆 时针方向顺序选取之。L=AngularBisectorA,B,C以 B 为顶点的角 ABC 的角平分线 L=AngularBisectorg,h直线 g 和 h 的角平分线GeoGebra使用入门15辅助说明以几何操作方式建立中垂线，需先选择工具按钮中的中垂线按钮，然后在几何显示作图区中，以鼠标点出两点，或一线段后，那么建立通过此二点之线段之中垂线，或线段之中垂线。而假设以代数式建立，那么键入L=LineBisector点对象1,点对象2或L=LineBisector线段对象这样的指令，即完成一个名为L且通过此二点或该线段之中垂线。以几何操作方式

15、建立角平分线，需先选择工具按钮中的角平分线按钮，然后在几何显示作图区中，以鼠标点出三点，或二直线。注意在点的选取顺序，是以有向角的观念，以逆时针方向顺序选取之后，那么建立此三点所构成角之角平分线，或二直线所构成角之角平分线。而假设以代数式建立，那么键入L=AngularBisector点对象1,点对象2,点对象3这样的指令，即完成一个名为L且通过以此三点所构成角且以点物件2为顶点之角平分线。或键入L=AngularBisector直线1,直线2这样的指令，即完成一个名为L且以二直线为边之角平分线。16GeoGebra使用入门切线、轨迹范例图各编辑区方法列表方法物件几何建立代数建立范例建立时最好

16、包含自订对象名称切线点选切线，以鼠标点出一点 及一函数。(函数做法见进阶 操作范例，或参看右方代数式说 明)f(x) 在点 A 时的切线注意 f 为一函数，其中点 A 的 x 坐标 值当然必须为 f 函数之定义域中的 元素。例如，可透过以下代数式建立 一函数，及此函数上某一点之切线。 f(x)=3x2+1A=pointfGeoGebra使用入门17L=tangentA,f轨迹点选轨迹，以鼠标点出一已 知点，及其相关点各一。这个功 能在外表上，就是点选两个点。 但是要注意的是这二个点的关系 为何，可详参右方的代数式说明。L_1=LocusB,A 依据在某对象上之一点 A 所控制的 点 B 的轨迹

17、线。注意 B 应定义为 A 的相关表达式，且 A 应为某对象上的一点。例如，可透过以下一连串代数式，定 义出在 A 所在对象上方 3 单位的轨迹 图形。f(x)=3x2+1A=pointf B=A+(0,3) L_1=locusB,A即可做出 L_1 为 f 向上平移 3 单位的拋物线图形。辅助说明以几何操作方式建立切线，需先选择工具按钮中的切线按钮，然后在几何显示作图区中，以鼠标点出一点及一函数(函数做法见进阶操作范例，或参看以下说明)。注意f为一函数，其中点A的x坐标值当然必须为f函数之定义域中的元素。例如，可透过以下代数式建立一函数，及在其上某一点之切线：f(x)=3x2+1、A=poi

18、ntf、L=tangentA,f。那么建立出函数f在点A之切线L。以几何操作方式建立轨迹，需先选择工具按钮中的轨迹按钮，然后在几何显示作图区中，以鼠标点出一点，及其相关点各一。这个功能在外表上，就是点选两个点，但是要注意的是这二个点的关系为何。在代数式中下指令L_1=LocusB,A，意指依据在某对象上之一点A所控制的点B的轨迹线。注意B应定义为A的相关表达式，且A应为某对象上的一点。例如，可透过以下一连串18GeoGebra使用入门代数式，定义在A所在对象上方3单位的轨迹图形，f(x)=3x2+1、A=pointf、B=A+(0,3)、L_1=locusB,A，可做出L_1为f向上平移3单位

19、的拋物线图形注：像L_1这样的标记，底线后的第一个字符为下标。4.多边形、正多边形GeoGebra使用入门19范例图各编辑区方法列表方法物件几何建立代数建立范例建立时最好包含自订对象名称多边形点选多边形，以鼠标点出假设 干点后建立。Poly1=PolygonA,B,C,. 由给定点 A、B、C 所围成的多边形20GeoGebra使用入门正多边形点选正多边形，以鼠标点出两点及输入一数值n后建立。Poly1=PolygonA,B,n,n3包括点A、B的正n边形，注意用此方法建立时，假设n值本身又是由一滑杆，或其它对象控制之值，那么各边及顶点是以动态出现的现象呈现。辅助说明以几何操作方式建立多边形，

20、需先选择工具按钮中的多边形或正多边形按钮，然后在几何显示作图区中，以鼠标点出或实时新建的假设干点，最后再点选回第一个点之后建立。或点选正多边形，以鼠标点出两点及输入一数值n后建立。注意此动作其实只是建立了此多边形之各顶点，然后顺便建立了依附在这些点上的边及整个多边形的物件。5.圆形、扇形、圆弧GeoGebra使用入门21圆形范例图各编辑区方法列表方法物件几何建立代数建立范例建立时最好包含自订对象名称圆点选圆()，以鼠标点出已 知二点、或一点及输入一数 值为半径、或点出三点后建 立。c=CircleM,r圆心 M 且半径为 r 的圆。c=CircleM,s圆心 M 且半径为 s 的长度的圆，其中

21、s 为一线段。c=CircleM,A圆心 M 通过点 A 的圆。 c=CircleA,B,C 通过三点 A、B、C 的圆。22GeoGebra使用入门辅助说明以几何操作方式建立圆，需先选择工具按钮中的圆()按钮，然后在几何显示作图区中，以鼠标点出二点或实时新建的二点，或是点出三点及或实时新建的三点，或是点出一点及输入一数值为半径，皆可建立一圆。相关的代数式为输入c=CircleM,r，那么可建立圆心M且半径为r的圆，其中r为一数值。c=CircleM,s，可建立圆心M且半径为s的长度的圆，其中s为一已知线段。c=CircleM,A，可建立圆心M且通过点A的圆。c=CircleA,B,C，那么是

22、可建立通过三点A、B、C的圆。扇形、圆弧范例图GeoGebra使用入门23各编辑区方法列表扇形点选扇形()，以鼠标点出 三点(第一点为圆心)后建立，或 任意三点来建立一通过此三点的 扇形。c=CircularSectorM,A,B圆心为 M，起点为 A、终点为 B 的扇 形，注意 A、B 两点点选的顺序，是 采用逆时针方向的有向角观念。弧点选圆弧()，以鼠标点出 三点(第一点为圆心)后建立，或 任意三点来建立一通过此三点的 弧。c=CircularArcM,A,B圆心为 M，起点为 A、终点为 B 的圆 弧，注意 A、B 两点点选的顺序，是 采用逆时针方向的有向角观念。 c=Circumcir

23、cularArcA,B,C 依序通过 A、B、C 三点的圆弧。辅助说明以几何操作方式建立扇形，需先选择工具按钮中的扇形()按钮，然后在几何显示作图区中，以鼠标点出一点为圆心及圆上两个点或新建二点，又或者是直接点出任意三点，皆可以建立一扇形。相关的代数式输入为c=CircularSectorM,A,B，可建立圆心为M，起点为A，终点为B的扇形，注意A、B两点点选的顺序，是采用逆时针方向的有向角观念。弧的建立与扇形的建立方式大致一样，唯需注意通过三点A、B、C的圆弧，三点的点选顺序，是采用逆时针方向的有向角观念。24GeoGebra使用入门6.角、斜率GeoGebra使用入门25范例图各编辑区方法

24、列表方法物件几何建立代数建立范例建立时最好包含自订对象名称角点选测量角度，以鼠标点出已 知三点后建立。=AngleA,B,C以 B 为顶点，线段 BA 和线段 BC 为两 边的夹角，注意 A、C 二点的点选顺 序，是采用逆时针方向的有向角观 念。斜率点选斜率，以鼠标点出直m=slopeL26GeoGebra使用入门线后建立。而斜率，其虽然为一数值，但在几何区中会以一小直角三角形呈现其意像。直线L之斜率。辅助说明以几何操作方式建立角，需先选择工具按钮中的测量角度按钮，虽然其功能名为测量角度，但其为建立一角对象。然后在几何显示作图区中，以鼠标点出一点或新建一点A为起始点，及一点或新建点B为顶点，再

25、点出一点或新建一点C为末端点，那么可建立一角对象。注意通过A,B,C三点的角，三点的点选顺序，是采用逆时针方向的有向角观念。相关的代数式输入为c=AngleA,B,C，可建立起始点为A，末端点为C，顶点为B的角。以几何操作方式计算斜率，需先选择工具按钮中的斜率按钮，以鼠标点出直线后建立。而斜率其虽然为一数值，但在几何区中会以一小直角三角形呈现其意像。假设以代数式建立，那么键入m=slopeL，因其为一数值，终究不是一个图形，所以通常斜率数值在几何区中建议隐藏其图示。7.对称、平移、旋转GeoGebra使用入门27范例图对称各编辑区方法列表方法物件几何建立代数建立范例建立时最好包含自订对象名称点

26、对称点选点对称，以鼠标点出 一点、或直线或多边 形，及其对称点后建立出该 点、直线或多边形的点对称图形。C=MirrorA,B以 B 为对称点，做出点 A 的对应点 C L=Mirrorg,B以 B 为对称中心，作直线 g 之线对称 图形 LP=Mirrorp,B以 B 为对称中心，将多边形 p 作对称。线对称同上，但对称中心改为直线。同上，但对称中心改为对称轴。28GeoGebra使用入门辅助说明以几何操作方式建立对称对象，需先选择工具按钮中的线对称或点对称按钮，然后在几何显示作图区中，以鼠标点出点或直线或多边形，及其对称轴(点)后建立出该点、直线或多边形的线(点)对称图形。相关的代数式输入

27、为，对称对象名称A'=Mirror原对象A,线对象或点对象，可建立以线对象或点对象为对称中心，相对于原对象的新对称对象。平移范例图GeoGebra使用入门29各编辑区方法列表方法物件几何建立代数建立范例建立时最好包含自订对象名称平移点选平移，以鼠标点出物 件，如点、线、多边形等及一向 量后建立。A'= TranslateA,v 以向量 v 平移点 A a'= Translatea,v 以向量 v 平移直线 apoly'= Translatepoly,v以向量 v 平移多边形 poly辅助说明以几何操作方式建立平移对象，需先选择工具按钮中的平移按钮，然后在几何显示

28、作图区中，以鼠标点出点或直线或多边形，及其平移向量后，建立出该点、直线或多边形的平移图形。相关的代数式输入为平移后对象名称A'=Translate原对象A,向量v，可建立将原对象以向量v为基准，所建立的新平移后对象。30GeoGebra使用入门旋转范例图GeoGebra使用入门31各编辑区方法列表方法物件几何建立代数建立范例建立时最好包含自订对象名称旋转点选旋转，以鼠标点出 对象如点、线、多边形等，再 点选一旋转中心，并输入角度 建立旋转后的对象。A'= rotateA,B以 B 为旋转中心，将 A 旋转角度 a'= rotatea,B以 B 为旋转中心，将线段 a 旋

29、转角度 poly'= rotatepoly,B以 B 为旋转中心，将多边形 poly 旋转角度 辅助说明以几何操作方式建立旋转对象，需先选择工具按钮中的旋转按钮，然后在几何显示作图区中，以鼠标点出点或直线或多边形，及其旋转中心点，再输入一旋转角度后，建立出该点、直线或多边形之旋转后的图形。相关的代数式输入为，旋转后对象名称A'=rotate原对象A,旋转角度,旋转中心点B，可建立将原对象以旋转中心点B为基准，旋转角度后，所建立之新的旋转后对象。注意其旋转角度是以逆时针有向角度量的。32GeoGebra使用入门8.数值滑杆、文字GeoGebra使用入门33范例图各编辑区方法列表方

30、法 对象几何建立代数建立范例数值滑杆点选数值滑杆，设 定起始值、终值及增 量后建立。无法由代数式建立。文字点选插入文字，输 入文字后建立。点选插入文字后会出现一文字编辑视 窗，在其中可运用各式的代数对象，及以 类程序语法组成一文字字符串，并可选择是 否搭配 Latex 表示式来呈现。有关 Latex 表示式可参阅教学网页。网址为 ://tex/latex123/latex123.html34GeoGebra使用入门输入可能的输出结果"第一句，这是静态文字"这是静态文字"第二句，参用 A 点坐标 = " + AA 点坐标=

31、 (3.05, 2.54 )"第三句，参用线段 a = " + a + " cm "线段 a = 5.87 cm1.假设全句皆没有双引号，那么全句以纯字符串视之。2.与双引号一起运用时，可参加如ifexpression,"文字A","文字B"，这样的式子，增加其动态显示的效果，且字符串的连接以加号串接之。3.在文字输入窗口中，要使用Latex表示式，要点选Latex勾选框。GeoGebra使用入门35辅助说明以几何操作方式建立数值滑杆对象，需先选择工具按钮中的数值滑杆按钮，然后在几何显示作图区中任意位置点击后，会出

32、现一数值滑杆设定窗口，其中要填入者，有起始值、终值、增量及数值角度选择钮。其余属性如大小颜色等，可随个人喜好设定，填妥后按确定，即建立一数值滑杆对象。此对象目前无法由代数式建立。注意数值滑杆内之起始值、终值、增量等，皆无法以变量设定，须以明确的数字设定之。这通常是给使用者控制各项数值大小的工具，以便能做出各种动态呈现的图形。以几何操作方式建立文字对象，需先选择工具按钮中的文字按钮，然后在几何显示作图区中任意位置点击后，会出现一文字编辑窗口，在其中可运用各式的代数式对象，及类程序语法组成一文字字符串，并可选择是否搭配Latex表示式来呈现(有关Latex表示式请参阅相关教学网页)。注意，假设全句

33、皆没有双引号，那么视为纯字符串。假设与双引号一起运用时，可参加如ifexpression,"文字A","文字B"，这样的式子，增加其动态显示的效果，且字符串的连接须以加号串接。在文字输入窗口中，要使用Latex表示式，记得一定要点选Latex勾选框，系统才会将字符串转译成正确的数学式，以增加可读性，这对阅读者来说，是一个很方便的界面。36GeoGebra使用入门9.对象的属性设定对于任何一个对象，都有其相对应的属性。这些属性大致包含有以下四类：1.一般：包含对象名称、对象的代数式定义、显示与否、名称或数值的显示方式、是否设定为辅助对象等。其中名称、代数式

34、定义这二项在造出对象时，大概就已经被使用者所指定好。例如圆c=circle(A,2)，其中c就是这个圆的名称，circle(A,2)是这个圆c的定义。其余关于显示与否、名称或数值的显示方式、是否设定为辅助对象等，那么可随使用者设定勾选。(如以下图一)2.颜色：顾名思义，此即为对象颜色的设定。(如以下图二)3.样式：包含线宽等级及填色的比例设定。(如以下图三)4.进阶：通常是伴随一个布尔变量或布尔表达式，去设定此对象要显示与否的条件，假设此条件被设定，那么在前面一般设定中显示对象与否的勾选框便自动失效。另外有随着不同对象会出现的不同属性，如代数式显示方式、数值滑杆设定、文字字号等，使用者可逐一实

35、验。(如以下图四)图一图二图三图四GeoGebra使用入门37进阶操作范例1.直线方程式、函数有些对象，无法由几何编辑接口建立，这时以代数式直接在GeoGebra下方输入列中建立，是一个很方便的方法。例如指定系数的直线方程式、或一些自订函数，如L:2x-5y=-2，其中L为此直线方程式的名称，注意以冒号区隔式子。其中系数与代数项x或y之间，须填入一空格，以代表不同的对象相乘，假设没有以空格隔开，系统会将其错认为另一代数变量对象。函数的建立，通常遵循一般常用的表示法，例如可在代数输入列中键入f(x)=x2+3x-1，其为一个二次拋物线函数，建立完成后，系统便直接将此函数在几何区中绘出。其中为次方

36、的连接符号，例如在本例中，x2就代表x的2次方。38GeoGebra使用入门2.动态文字处理、代数式定义处理：if语法的应用范例：四边形的种类在文字的呈现处理中，可以搭配一些控制语法如if表达，来强化其动态显示的效果，例如在上例中，除了点A为唯一自由点以外，其余三个顶点分别以z数值滑杆来决定四边形的长宽，用角度数值滑杆来决定A点倾斜的角度。其定义语法如下B=Ifz<3.5,(x(A)+zcos(),y(A)+zsin(),(x(A)+3.5cos(),y(A)+3.5sin()表示点B位置为距A点z单位，且倾斜角度的上方位置。当z值小于3.5时，AB长度随z值大小改变，假设z值大于3.5

37、，那么AB长度停留在3.5，不随z值大小而改变。C=Ifz<6,(x(B)+z,y(B),(x(B)+6,y(B)表示点C位置为距B点z单位的右方位置。当z值小于6时，BC长度随z值大小改变，假设z值大于6，那么AB长度停留在6，不随z值大小而改变。D=(x(A)+z,y(A)表示D点在点A的右边z单位远。GeoGebra使用入门39这样的设定，可以让二个数值滑杆就变化出正方形、长方形、菱形、梯形、平行四边形等不同的四边形类型。而在文字说明的呈现上，假设搭配if布尔值,真值的字符串,伪值时的字符串的语法，可显示出相对应的四边形类型名称。其中上图红框中的语法为"目前这个四边形是一

38、个"+(If90°,Ifz<3.5,"正四边形(即正方形)",Ifz>6,"梯形","矩形(即长方形)",Ifz<3.5,"菱形",Ifz<6,"平行四边形","梯形")+""如此便能造出动态的文字呈现效果。40GeoGebra使用入门3.参数曲面(Curve)这个范例是另一个比拟简单的连续参数曲面，在上图中，我们用了二个数值滑杆r、t，及一个角度数值滑杆、分别控制这个圆的半径，及画出多少角度的弧，t滑杆那么是为

39、了突显参数曲面的函数性格。即当作是L参数区面中的定义域的角度值，以计算出相对应的点坐标对象值，在本例中，A=L(t)，会随t值变化计算出在圆上的一个点坐标。其中红色的参数区面(圆弧)定义为：L=Curvercos(t),rsin(t),t,0,表示L为由半径为r，且角度为t的极坐标点(r,t)所构成的无限点集合。其中t是由0到的动态变量值。此图形可随着不同的终值(0<<2pi)之变化，绘出不同大小的圆弧。GeoGebra使用入门414.序列物件(Sequence)范例多边形内角和公式序列对象，对绘制离散形集合对象，是一个好用的代数定义方法。图中以正多边形为讲解范例，意图将正多边形内

40、角和公式，用内部三角形切割方式拼凑出来，图中我们用了二个数值滑杆r、n，分别去控制这个正多边形半径的大小，及正多边形的边数。一组控制观察角度的旋转对象、三个序列对象：n个顶点、n条边、n3条切割线，及一组静态文字，一组动态文字，除静态文字较简单外，其余对象之定义方法分别说明如下：42GeoGebra使用入门一、n数值滑杆为了方便学生观察各种多边形的内角切割情形，可定义一个名为n的数值滑杆，以控制多边形边数。二、r数值滑杆为了视觉效果是否清晰与观察单纯化的考虑，我们用正多边形为观察对象。定义一个名为r之数值滑杆，控制这个正多边形中心到顶点的长度，亦即此正多边形外接圆的半径。三、一组旋转控制对象是

41、为了要能从各种角度观察出此正多边形切割后的情形，所设计的一组对象。3.1一个基于圆心B，半径为1的应变控制圆c=circleB,1，其中B为一自变点对象。3.2一个在圆c上，圆心B的x坐标加一单位的观察角度基准点，应变对象CB(1,0)。3.3在圆c上建立一自由点D=pointc。虽然他被限制在圆c的圆周上游移，但其值并未被限制死，仍应视为一依附于圆c的自变对象。3.4建立一个应变角度对象=AngleC,B,D，以B为顶点，由基准点C转到D的有向角。四、建立此正多边形的动态切割图4.1一个自变自由点对象O，当作此正多边形的中心。4.2一组基于点O、半径r、观察角度，所动态产生的n个应变顶点对象

42、，可用序列集合对象，命名为Pset，定义为SequenceO+(rcos(+(i-1)360°/n),rsin(+(i-1)360°/n),i,1,n由于这局部比拟复杂，说明如下：我们希望建立的n数值滑杆在变动时，顶点数及相关位置也会跟着变动。例如当n变成5，那么图形就出现正五边形的五个顶点，可以让我们藉此做出正五边形及切割线。而这五个顶点我们将它视为一个对象。如此设计，使得不管n值滑到多少，这n个顶点都只算是一个对象，这样就可以很方便的控制它。而要达成这个目的，可以使用sequence。它包含4或5个参数，一是对象代数式定义，二是变动指标，三是起始值，四是终值，五是增量，

43、假设是第五个参数没写，那么内定为1。GeoGebra使用入门43例如：sequence(i,i+1),i,1,5，这个指令可以造出一个包含5个点的集合对象(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)(5,6)，如上页图中的点。假设将第一个参数改成线段对象，那么会造出一个包含5条线段的集合，指令可改成sequencesegment(i,i),(i,i+1),i,1,5，如上页图中的线段。在本文中，第一个参数是点的代数定义式，其中x坐标为rcos(+(i-1)360°/n)，y坐标为rsin(+(i-1)360°/n)。将这二个式子用小括号包起来，那么形成一个点。再加上原点O，表示

44、以O为圆心，r为半径，为起始的有向角度，依序每隔360°/n，在这个没显示出来的圆上，所画出的n个顶点。4.3切割线顶点AElementPset,1，表示Pset集合对象中的第一个元素。Element是撷取sequence集合对象中某个元素的指令。4.4正多边形的各边对象命名为slideset，定义如下：SequenceSegmentElementPset,Modi-1,n+1,ElementPset,Modi,n+1,i,1,n，表示依Pset集合对象中的点元素顺序，所依序画出正多边形的n个边。其中Modi,n，表示i除以n之后的余数。这样可以让我回抓一整圈的顶点，以便造出所有的边

45、。4.5基于切割顶点A的切割线，命名为Crosslide的对象，定义如下：SequenceSegmentA,ElementPset,i+2,i,1,n-3，表示以A为顶点，依序画出n-3条从A点到除了自己及其相邻顶点之外的各顶点联机段之切割线集合对象。五、动态说明文字由于参用到n数值滑杆，所以此段说明文字，也属于应变对象。其中的+号，是代表将前后字符串，串在一起的连接指令。呈现如下："以A为顶点，连到除自己及相邻两顶点以外的"+(n-3)+"个顶点"+"将此多边形切成"+(n-2)+"个三角形"+"可得此

46、正"+n+"边形内角和为180°×(n2)="+180+"×"+(n-2)+"="+(180(n-2)+"°"六、对象属性以能明显观察为准那么，调整各对象属性，如显示与否、颜色、大小等，以利观察与操作。44GeoGebra使用入门5.自订工具列管理当使用者设计了一个对象时，一般来说，可将此对象的成份，分析归类成自变对象及应变对象，以及一些中间过程参用到的辅助对象，这些辅助对象其本质也大概都是应变对象。假设此时使用者认为设计出的对象具有常用的价值，就可以将他包装成一个

47、新工具。此后再次使用到时，就会非常方便，不用再重新设计。本单元以绘制等腰直角三角形为例说明之。首先还是依照一般方式将等腰直角三角形先造出来，其代数定义式程序如下：1.A=(2,3)2.k=53.B=A+(k,0)4.C=B+(0,k)5.poly_1=PolygonA,B,C图(一)此时会在几何区造出一个等腰直角三角形，也会同时造出此三角形三边所成的三条线段a、b、c。仔细分析此三角形，可看出真正的自变对象为点A、数值k。而最后造出的对象为三角形poly_1，其余中间过程的应变对象有点B、C，三角形的三边a、b、c也可视为是中间过程的应变对象。接下来可点选菜单列的工具，新工具后，出现新工具编辑

48、窗口如图(一)。GeoGebra使用入门45此时需要设定三个局部，说明如下：1.输出对象：在下拉式选单中选取三角形poly1:多边形A,B,C2.点选输入对象，会自动出现此三角形所对应的输入对象，即其自变物件，如图(二)，此时选取点，并将之往上移，以控制新工具自变物件的输入顺序。图(二)3.在名称与图标的卷标页中，须设定工具名称，指令名称，与工具说明三项。其中工具名称为显示在功能表列上的文字，指令名称那么为代数式的定义字符，工具说明那么与工具名称一起出现在菜单列上，是一个提示使用者如何操作的功能说明，如图(三)。图(三)以上三部份皆设定完成后，按下完成，那么在功能按钮列的最右一格会出现此等腰三

49、角形的功能钮。使用者可以按此方式在一个档案中，造出多个工具。之后也可以在菜单列中的工具、工具管理中编辑各自订工具的名称指令与说明。接下来便可以一般几何方式，或代数方式直接运用此工具。例如输入DDR=S1G,5，那么会造出一名为DDR，且以点G为左下角顶点，腰长为5的等腰直角三角形。注意：以此方法所造出的工具，只能随原档案一同存盘，假设想在别的GeoGebra档案中使用此工具，必须将原檔另存成附檔名为ggt的档案，然后在想参用此工具的ggb档中开启此ggt档，这个开档动作并不会影响此ggb档的内容，但是会在功能按钮中出现汇入的新工具按钮。46GeoGebra使用入门附录：以代数式建立对象之指令速

50、查表类别物件代数式范例简易说明数值数a=5指定 a 变数值为 5点自由点A=(3,2)在坐标平面上建立点 A(3,2)交点A=Intersecta, b直线 a、b 的交点 A中点C=MidpointA, B点 A、B 之中点 CC=Midpoints线段 s 之中点 C线直线L=lineA,B通过 A、B 两点的直线线段a=segmentA,B通过 A、B 两点的线段射线a=RayA,B从点 A 通过点 B 的射线 a向量u=VectorA,B从点 A 通过点 B 的向量 uu=VectorA从原点通过点 A 的向量 u射线a=RayA, u从点 A 且方向为向量 u 的射线 a垂直线PerpendicularC,a通过点 C 且垂直于线 a 的直线PerpendicularC,u通过点 C 且垂直于向量 u 的直线并行线L=lineC,a通过 C 点且平行于线 a 的直线中垂线L=LineBisectorA,B点 A、B 间的中垂线L=LineBisectors线段 s 的中垂线角平分线L=AngularBisectorA,B,C以 B 为顶点之角 ABC 角平分线L=AngularBisectora,b直线 a 和 b 的角平分线切线f(x) = 3 x2+1A=pointf L=tangentA,f函数 f(x)函数 f(x