动态数学软件GeoGebra使用教程

1、 GeoGebra 使用入门数字式的坐标平面系统GeoGebra 使用入门1 目录 安装 . 3 基本概念 . 5 跨系统、跨平台 . 5 使用者接口. 5 输出. 6 重要的网络资源 . 7 基础操作 . 81- 新点、交点、中心点 . 82- 直线、线段、向量 . 103- 垂直线、并行线、角平分线、切线、轨迹 . 134- 多边形、正多边形 . 205- 圆形、扇形、圆弧 . 226- 角、斜率. 267- 对称、平移、旋转 . 288- 数值滑杆、文字 . 349- 对象的属性设定 . 37 进阶操作范例 . 381- 直线方程式、函数 . 382- 动态文字处理、代数式定义处理：if

2、 语法的应用 . 393- 参数曲面(Curve) . 414- 序列物件(Sequence) . 425- 自订工具列管理 . 45 附录：以代数式建立对象之指令速查表 . 472GeoGebra 使用入门安装Windows 接口下的安装请先到 GeoGebra 的网站：http:/www.GeoG/cms/( 若要阅读中文画面，请将下拉式选单切换到 Chinese。)这画面中包含大部分的资源，如Help、中文讨论区等。从WebStart画面中进行安装，可以保证安装到目前最新的版本，而下载页面，则列出目 前最稳定的版本。本说明建议读者可以WebStart方式进行安装，点选启用

3、 GeoGebra这个连结，画面会导向到WebStart页面，步骤如下页：GeoGebra 使用入门3按下GeoGebra WebStart按钮后，因为 GeoGebra 是在Java环境下执行的软件，若您的计算机没有安装Java环境，则画面会自动导向到Java安 装网页，若您的计算机没有Java环境，且浏览器没有导向到Java安装网页， 您可以自行输入网址： 详细的安装说明。结束Java的安装后，若您是以GeoGebra WebStart按钮进行安装，则 会自动进行 GeoGebra 的安装，若浏览器没有自动进行安装，则您可以考虑切换到下载页面下载 GeoGebra 的各系统版本进行安装。4

4、GeoGebra 使用入门基本概念跨系统、跨平台GeoGebra 是一个在Java虚拟机器环境上执行的解析几何作图程序，可以 说是一个数字式的平面直角坐标系统。所以用 GeoGebra 做出来的动态图文件，可以 轻易的在不同操作系统，如 Windows、Linux、FreeBSD、Mac 等不同的操作系统上 执行。或可以在不同执行平台，如 Microsoft IE、Mozilla Firefox 等不同的网 际网络浏览器上，完整而无碍的执行。使用者接口GeoGebra 使用入门5我们大概可以把 GeoGebra 这样的动态几何软件，想成一个数字式的坐标平面作图程序。这样的程序里，包含了两个主要

5、区域，即代数区、几何区。 几何区负责显示对象，如点、线、角、函数图形、方程式图形、参数曲面图形、轨迹、文字、布尔值等，可以让使用者以直觉的方式操作与体验。 代数区负责列出对象的数学式型态的定义，都是一般数学课本中所熟悉的描述形式。例如点是以P(2,3)、直线方程式以L：2x3y5的形态将其 显示。对于每一个对象，可以用鼠标在几何区的移动功能下选取或代数区中 直接选取，之后可以按鼠标右键点选出它的属性窗口，进行此对象各个属性的调 整编辑，如名称、定义、样式、大小、装饰、显示条件、显示型式、在几何区的 显示状态等，接口简单易懂，极易操作。另外此区将对象分成自变对象、应 变对象两类，例如直线可能就是

6、两个点的应变对象。而不管是自变对象或应变 对象皆可以被归类于辅助对象，并可在菜单中设定是否在代数区中显示出 来。对象的建立方式，可以用直觉的几何方式或精确的代数定义方式来建立。几 何建立方式，为先选取上方功能按钮后，在窗口上方列右侧即会出现其使用方式 说明，使用者依照其规范操作即可，所以原则就是先选功能，再依规则操作。代数建立 方式则为在下方输入列，直接以指令方 式输入，例如建立一个点为 A=(3,2)，其余对象的输入语法，可以查阅菜单中的说明，或先以几何 方式建立后，在其属性窗口中，查阅其定义也可以，这是比较简易的方法。对于 已经制作完成的 ggb 档，也可以在播放按钮区调整每个对象播放的顺

7、序。输出制作完成的档案，将以.ggb的扩展名储存，此外也可以用图档、网页等 形态另外汇出。或将 ggb 文件直接内嵌于动态网页中，并在网页浏览器中直接操作。 另外 GeoGebra 也支持 LATEX 数学式标示语言。6GeoGebra 使用入门基础操作1. 新点、交点、中心点范例图8GeoGebra 使用入门各编辑区方法列表方法物件几何建立代数建立范例新点点选新点，再以鼠标点出位 置。A=(3,2)交点点选交点，再以鼠标点出两 个对象后建立。A=Intersecta, b 直线 a、b 的交点。中心点点选中心点，再以鼠标点出 两个点后建立，或点出一线段。C=MidpointA, B 点 A、

8、B 之中点。 C=Midpoints 线段 s 之中点。辅助说明以几何操作方式建立新点，仅需先选择工具按钮中的新点，然后直接在 几何显示作图区中之适当位置按下鼠标左键，即完成新点建立。若以代数式建立， 则使用一般在平面坐标上点的表示法，键入 A=（3,2）这样的指令，即完成一个名为 A 且坐标为（3,2）的点。 以几何操作方式建立交点的方式比较多元，凡是两对象间有交点者，皆可以在选择交点功能按钮后，连续点选出二个对象来完成操作。而若以代数式建 立，原则是以 A=Intersect对象1,对象2，这样的指令来完成。而其中的对象1、 对象2，可以是直线、圆锥曲线、函数等对象。而有些交点会出现二个，

9、系统会分 别以1、2在下标标示表示之，例如两个相割圆的交点有二个，则上述指令会产生 两点 A1、A2。以几何操作方式建立中点，需先选择工具按钮中的中心点后，再点选两点或一线段对象，即完成中心点建立。代数式则以 M=midpoint 点 , 点 或 M=midpoint线段s 这样的指令来建立。GeoGebra 使用入门92. 直线、线段、向量范例图10GeoGebra 使用入门各编辑区方法列表方法物件几何建立代数建立范例（建立时最好包含自订对象名称）直线点选直线，以鼠标点出两点 后建立。L=lineA,B线段点选线段，以鼠标点出两点 后建立，或点出起点，再指定长 度。a=segmentA,B射

10、线点选射线，以鼠标点出两点。b=RayA,B起点 A 通过 B 点的射线。c=RayA,v起点 A 且方向为 v 向量方向射线。向量点选向量，以鼠标点出已知 两点，或一点及一向量。u=VectorE,F从点 E 到点 F 的向量。a=VectorA点 A 的位置向量(原点到 A 点的向量)辅助说明以几何操作方式建立直线，仅需先选择工具按钮中的直线(过两点)按钮， 然后直接在几何显示作图区中之两个适当位置，分别按下鼠标左键，即完成二个 新点及过此二点之直线。或可以鼠标选取二个已知点后，建立通过此二点之直线。 而若以代数式建立，则键入 L=Line点对象1,点对象2 这样的指令，即完成一个 名为

11、L 且通过此二点对象之直线。GeoGebra 使用入门11以几何操作方式建立线段，需先选择工具按钮中的线段(过两点)按钮，其余程序与直线之建立大致相同，差别只是结果显示为一个以两个点对象为端点 之线段。以几何操作方式建立射线，需先选择工具按钮中的射线(过两点)按钮， 其余与直线之建立大致相同，差别只是结果显示为一个以点对象 1 为起点，指向 点对象 2 之射线。或者可以选择一个点对象与一个向量对象，建立出射线对象。 以几何操作方式建立向量，需先选择工具按钮中的向量(过两点)按钮， 其余与直线之建立大致相同，差别只是结果显示为一个以点对象 1 为起点，指向点物件 2 之向量。或者可以只选择一个点

12、对象来建立出该点对象之位置向量。12GeoGebra 使用入门3. 垂直线、并行线、角平分线、切线、轨迹垂直线、并行线范例图GeoGebra 使用入门13各编辑区方法列表方法物件几何建立代数建立范例（建立时最好包含自订对象名称）垂直线点选垂直线，以鼠标点出已 知一点及一直线或是一向量后建 立。L=PerpendicularC,a通过点 C 且垂直于 a 的直线。 L=PerpendicularC,u通过点 C 且垂直于向量 u 的直线。并行线点选并行线，以鼠标点出已 知一点及一已知直线后建立。L=lineC,a通过 C 点且平行于 a 直线的直线。辅助说明以几何操作方式建立垂直线，需先选择工具

13、按钮中的垂直线按钮，然后 在几何显示作图区中，点选一直线及一点后，则建立通过此点且垂直于该直线之 垂线。或可点选一直线及一向量后，则建立通过此点且垂直于该向量之垂线。而 若以代数式建立，则键入 L=PerpendicularC,u， C 为点对象， u 为直线对象向 量对象，这样的指令，即完成一个名为 L 且通过 C 且垂直于u直线或向量对象之垂 线。以几何操作方式建立并行线，需先选择工具按钮中的并行线按钮，然后 在几何显示作图区中，点选一直线及一点，建立通过此点且平行于该直线之平行 线。而若以代数式建立，则键入 L= Line点对象,直线对象这样的指令，即完成 一个名为 L 且通过此点且平行

14、于该直线之并行线。14GeoGebra 使用入门中垂线、角平分线范例图各编辑区方法列表方法物件几何建立代数建立范例（建立时最好包含自订对象名称）中垂线点选中垂线，以鼠标点出已知 两点，或一已知线段。L=LineBisectorA,B 线段 AB 的中垂线 L=LineBisectorss 线段的中垂线角平分线点选角平分线，以鼠标点出已 知三点，或二直线。注意在点的选 取顺序，是以有向角的观念，以逆 时针方向顺序选取之。L=AngularBisectorA,B,C以 B 为顶点的角 ABC 的角平分线 L=AngularBisectorg,h直线 g 和 h 的角平分线GeoGebra 使用入门

15、15辅助说明以几何操作方式建立中垂线，需先选择工具按钮中的中垂线按钮，然后 在几何显示作图区中，以鼠标点出已知两点，或一已知线段后，则建立通过此二点之线段之中垂线，或已知线段之中垂线。而若以代数式建立，则键 入 L=LineBisector点对象1,点对象2 或 L=LineBisector线段对象 这样的指令， 即完成一个名为 L 且通过此二点或该线段之中垂线。以几何操作方式建立角平分线，需先选择工具按钮中的角平分线按钮，然后在几何显示作图区中，以鼠标点出已知三点，或二直线。注意在点的选取顺 序，是以有向角的观念，以逆时针方向顺序选取之后，则建立此三点所构成角之角平分线，或二直线所构成角之角

16、平分线。而若以代数式建立，则键 入 L=AngularBisector点对象1,点对象2,点对象3 这样的指令，即完成一个名为L且通过以此三点所构成角且以点物件2为顶 点之角平分线。或 键 入 L=AngularBisector直线1,直线2 这样的指令，即完成一个名为 L 且以二直线为 边之角平分线。16GeoGebra 使用入门切线、轨迹范例图各编辑区方法列表方法物件几何建立代数建立范例（建立时最好包含自订对象名称）切线点选切线，以鼠标点出一点 及一已知函数。(函数做法见进阶 操作范例，或参看右方代数式说 明)f(x) 在点 A 时的切线注意 f 为一函数，其中点 A 的 x 坐标 值当然

17、必须为 f 函数之定义域中的 元素。例如，可透过下列代数式建立 一函数，及此函数上某一点之切线。 f(x)=3x2+1A=pointfGeoGebra 使用入门17L=tangentA,f轨迹点选轨迹，以鼠标点出一已 知点，及其相关点各一。这个功 能在表面上，就是点选两个点。 但是要注意的是这二个点的关系 为何，可详参右方的代数式说明。L_1=LocusB,A 依据在某对象上之一点 A 所控制的 点 B 的轨迹线。注意 B 应定义为 A 的相关表达式，且 A 应为某对象上的一点。例如，可透过下列一连串代数式，定 义出在 A 所在对象上方 3 单位的轨迹 图形。f(x)=3x2+1A=point

18、f B=A+(0,3) L_1=locusB,A即可做出 L_1 为 f 向上平移 3 单位的拋物线图形。辅助说明以几何操作方式建立切线，需先选择工具按钮中的切线按钮，然后在几 何显示作图区中，以鼠标点出一点及一已知函数(函数做法见进阶操作范例，或参 看以下说明)。注意 f 为一函数，其中点 A 的 x 坐标值当然必须为 f 函数之定义域 中的元素。例如，可透过下列代数式建立一函 数，及在其上某一点之切线： f(x)=3x2+1、 A=pointf 、 L=tangentA,f 。则建立出函数 f 在点 A 之切线 L。 以几何操作方式建立轨迹，需先选择工具按钮中的轨迹按钮，然后在几 何显示作

19、图区中，以鼠标点出一已知点，及其相关点各一。这个功能在表面上， 就是点选两个点，但是要注意的是这二个点的 关系为何。在代数式中下指令 L_1=LocusB,A，意指依据在某对象上之一点 A 所控制的点 B 的轨迹线。注意 B 应定义为 A 的相关表达式，且 A 应为某对象上的一点。例如，可透过下列一连串18GeoGebra 使用入门代数式，定义在 A 所在对象上方 3 单位的轨迹图形， f(x)=3x2+1、 A=pointf、B=A+(0,3)、 L_1=locusB,A，可做出 L_1为 f 向上平移 3 单位的拋物线图形（注： 像 L_1 这样的标记，底线后的第一个字符为下标）。4. 多

20、边形、正多边形GeoGebra 使用入门19范例图各编辑区方法列表方法物件几何建立代数建立范例（建立时最好包含自订对象名称）多边形点选多边形，以鼠标点出若 干点后建立。Poly1=PolygonA,B,C,. 由给定点 A、B、C 所围成的多边形20GeoGebra 使用入门正多边形点选正多边形，以鼠标点出两点及输入一数值 n 后建立。Poly1=PolygonA,B,n,n3包括点 A、B 的正 n 边形，注意用此 方法建立时，若 n 值本身又是由一滑 杆，或其它对象控制之值，则各边及 顶点是以动态出现的现象呈现。辅助说明以几何操作方式建立多边形，需先选择工具按钮中的多边形或正多边 形按钮，

21、然后在几何显示作图区中，以鼠标点出已知或实时新建的若干点，最 后再点选回第一个点之后建立。或点选正多边形，以鼠标点出已知两点及输 入一数值 n 后建立。注意此动作其实只是建立了此多边形之各顶点，然后顺便建 立了依附在这些点上的边及整个多边形的物件。5. 圆形、扇形、圆弧GeoGebra 使用入门21圆形范例图各编辑区方法列表方法物件几何建立代数建立范例（建立时最好包含自订对象名称）圆点选圆()，以鼠标点出已 知二点、或已知一点及输入一数 值为半径、或点出已知三点后建 立。c=CircleM,r圆心 M 且半径为 r 的圆。c=CircleM,s圆心 M 且半径为 s 的长度的圆，其中s 为一已

22、知线段。c=CircleM,A圆心 M 通过点 A 的圆。 c=CircleA,B,C 通过三点 A、B、C 的圆。22GeoGebra 使用入门辅助说明以几何操作方式建立圆，需先选择工具按钮中的圆()按钮，然后在几 何显示作图区中，以鼠标点出已知二点或实时新建的二点，或是点出已知三点及 或实时新建的三点，或是点出已知一点及输入一数值为半径，皆可建立一圆。相 关的代数式为输入 c=CircleM,r，则可建立圆心 M 且半径为 r 的圆，其中 r 为一 已知数值。c=CircleM,s，可建立圆心 M 且半径为 s 的长度的圆，其中 s 为一已 知线段。c=CircleM,A，可建立圆心 M

23、且通过点 A 的圆。c=CircleA,B,C，则 是可建立通过三点 A、B、C 的圆。扇形、圆弧范例图GeoGebra 使用入门23各编辑区方法列表扇形点选扇形()，以鼠标点出 三点(第一点为圆心)后建立，或 任意三点来建立一通过此三点的 扇形。c=CircularSectorM,A,B圆心为 M，起点为 A、终点为 B 的扇 形，注意 A、B 两点点选的顺序，是 采用逆时针方向的有向角观念。弧点选圆弧()，以鼠标点出 三点(第一点为圆心)后建立，或 任意三点来建立一通过此三点的 弧。c=CircularArcM,A,B圆心为 M，起点为 A、终点为 B 的圆 弧，注意 A、B 两点点选的顺

24、序，是 采用逆时针方向的有向角观念。 c=CircumcircularArcA,B,C 依序通过 A、B、C 三点的圆弧。辅助说明以几何操作方式建立扇形，需先选择工具按钮中的扇形()按钮，然后 在几何显示作图区中，以鼠标点出已知一点为圆心及圆上两个已知点或新建二 点，又或者是直接点出任意三点，皆可以建立 一扇形。相关的代数式输入为 c=CircularSectorM,A,B，可建立圆心为 M ，起点为 A ，终点为 B 的扇形，注意 A、B 两点点选的顺序，是采用逆时针方向的有向角观念。弧的建立与扇形的建立方式大致相同，唯需注意通过三点 A、B、C 的圆弧， 三点的点选顺序，是采用逆时针方向的

25、有向角观念。24GeoGebra 使用入门6. 角、斜率GeoGebra 使用入门25范例图各编辑区方法列表方法物件几何建立代数建立范例（建立时最好包含自订对象名称）角点选测量角度，以鼠标点出已 知三点后建立。=AngleA,B,C以 B 为顶点，线段 BA 和线段 BC 为两 边的夹角，注意 A、C 二点的点选顺 序，是采用逆时针方向的有向角观 念。斜率点选斜率，以鼠标点出已知直m=slopeL26GeoGebra 使用入门线后建立。而斜率，其虽然为一数值，但在 几何区中会以一小直角三角形呈 现其意像。已知直线 L 之斜率。辅助说明以几何操作方式建立角，需先选择工具按钮中的测量角度按钮，虽然

26、其 功能名为测量角度，但其为建立一角对象。然后在几何显示作图区中，以鼠标点 出已知一点或新建一点 A 为起始点，及一已知点或新建点 B 为顶点，再点出已知 一点或新建一点 C 为末端点，则可建立一角对象。注意通过 A,B,C 三点的角，三点的点选顺序，是采用 逆时针方向 的有向角观念。相关的代数式输入为 c=AngleA,B,C，可建立起始点为 A，末端点为 C，顶点为 B 的角。 以几何操作方式计算斜率，需先选择工具按钮中的斜率按钮，以鼠标点出已知直线后建立。而斜率其虽然为一数值，但在几何区中会以一小直角三角形 呈现其意像。若以代数式建立，则键入 m=slopeL ，因其为一数值，终究不是一

27、 个图形，所以通常斜率数值在几何区中建议隐藏其图示。7. 对称、平移、旋转GeoGebra 使用入门27范例图对称各编辑区方法列表方法物件几何建立代数建立范例（建立时最好包含自订对象名称）点对称点选点对称，以鼠标点出已知 一点、或已知直线或已知多边 形，及其对称点后建立出该已知 点、直线或多边形的点对称图形。C=MirrorA,B以 B 为对称点，做出点 A 的对应点 C L=Mirrorg,B以 B 为对称中心，作直线 g 之线对称 图形 LP=Mirrorp,B以 B 为对称中心，将多边形 p 作对称。线对称同上，但对称中心改为直线。同上，但对称中心改为对称轴。28GeoGebra 使用入

28、门辅助说明以几何操作方式建立对称对象，需先选择工具按钮中的线对称或点对 称按钮，然后在几何显示作图区中，以鼠标点出已知点或已知直线或已知多边 形，及其对称轴(点)后建立出该已知点、直线或多边形的线(点)对称图形。相关 的代数式输入为，对称对象名称 A'=Mirror原对象A ,线对象或点对象，可建立 以线对象或点对象为对称中心，相对于原对象的新对称对象。平移范例图GeoGebra 使用入门29各编辑区方法列表方法物件几何建立代数建立范例（建立时最好包含自订对象名称）平移点选平移，以鼠标点出已知物 件，如点、线、多边形等及一向 量后建立。A'= TranslateA,v 以向量

29、v 平移点 A a'= Translatea,v 以向量 v 平移直线 apoly'= Translatepoly,v以向量 v 平移多边形 poly辅助说明以几何操作方式建立平移对象，需先选择工具按钮中的平移按钮，然后 在几何显示作图区中，以鼠标点出已知点或已知直线或已知多边形，及其平移向 量后，建立出该已知点、直线或多边形的平移图形。相关的代数式输入为平移后 对象名称 A'= Translate 原对象A,向量v，可建立将原对象以向量 v 为基准，所 建立的新平移后对象。30GeoGebra 使用入门旋转范例图GeoGebra 使用入门31各编辑区方法列表方法物件几

30、何建立代数建立范例（建立时最好包含自订对象名称）旋转点选旋转，以鼠标点出已知 对象如点、线、多边形等，再 点选一旋转中心，并输入角度 建立旋转后的对象。A'= rotateA,B以 B 为旋转中心，将 A 旋转角度 a'= rotatea,B以 B 为旋转中心，将线段 a 旋转角度 poly'= rotatepoly,B以 B 为旋转中心，将多边形 poly 旋转角度 辅助说明以几何操作方式建立旋转对象，需先选择工具按钮中的旋转按钮，然后 在几何显示作图区中，以鼠标点出已知点或已知直线或已知多边形，及其旋转中 心点，再输入一旋转角度后，建立出该已知点、直线或多边形之旋转

31、后的图形。 相关的代数式输入为，旋转后对象名称 A'= rotate 原对象A,旋转角度,旋转中 心点 B ，可建立将原对象以旋转中心点 B 为基准，旋转角度后，所建立之新的 旋转后对象。注意其旋转角度是以逆时针有向角度量的。32GeoGebra 使用入门8. 数值滑杆、文字GeoGebra 使用入门33范例图各编辑区方法列表方法 对象几何建立代数建立范例数值滑杆点选数值滑杆，设 定起始值、终值及增 量后建立。无法由代数式建立。文字点选插入文字，输 入文字后建立。点选插入文字后会出现一文字编辑视 窗，在其中可运用各式的代数对象，及以 类程序语法组成一文字字符串，并可选择是 否搭配 La

32、tex 表示式来呈现。有关 Latex 表示式可参阅教学网页。网址为 /tex/latex123/latex123.html34GeoGebra 使用入门输入可能的输出结果"第一句，这是静态文字"这是静态文字"第二句，参用 A 点坐标 = " + AA 点坐标= (3.05, 2.54 )"第三句，参用线段 a = " + a + " cm "线段 a = 5.87 cm1. 若全句皆没有双引号，则全句以纯字符串视之。2. 与双引号一起运用时，可加入如 ifexpres

33、sion,"文字A","文字B"， 这样的式子，增加其动态显示的效果，且字符串的连接以加号串接之。3. 在文字输入窗口中，要使用 Latex 表示式，要点选 Latex 勾选框。GeoGebra 使用入门35辅助说明以几何操作方式建立数值滑杆对象，需先选择工具按钮中的数值滑杆按 钮，然后在几何显示作图区中任意位置点击后，会出现一数值滑杆设定窗口，其 中要填入者，有起始值、终值、增量及数值角度选择钮。其余属性如大小颜色等， 可随个人喜好设定，填妥后按确定，即建立一数值滑杆对象。此对象目前无法由 代数式建立。注意数值滑杆内之起始值、终值、增量等，皆无法以变量

34、设定，须 以明确的数字设定之。这通常是给使用者控制各项数值大小的工具，以便能做出 各种动态呈现的图形。以几何操作方式建立文字对象，需先选择工具按钮中的文字按钮，然后 在几何显示作图区中任意位置点击后，会出现一文字编辑窗口，在其中可运用各 式的代数式对象，及类程序语法组成一文字字符串，并可选择是否搭配 Latex 表示 式来呈现(有关 Latex 表示式请参阅相关教学网页)。注意，若全句皆没有双引号， 则视为纯字符串。若与双引号一起运用时，可加入如 ifexpression,"文字A","文字B"，这样的式子，增加其动态显示的效果，且字符串的连接须以加号串

35、接。 在文字输入窗口中，要使用 Latex 表示式，记得一定要点选 Latex 勾选框，系统 才会将字符串转译成正确的数学式，以增加可读性，这对阅读者来说，是一个很方 便的界面。36GeoGebra 使用入门9. 对象的属性设定对于任何一个对象，都有其相对应的属性。这些属性大致包含有以下四类：1.一般：包含对象名称、对象的代数式定义、显示与否、名称或数值的显示方式、 是否设定为辅助对象等。其中名称、代数式定义这二项在造出对象时，大概 就已经被使用者所指定好。例如圆 c=circle(A,2)，其中 c 就是这个圆的名称， circle(A,2)是这个圆 c 的定义。其余关于显示与否、名称或数值

36、的显示方式、 是否设定为辅助对象等，则可随使用者设定勾选。(如下图一)2.颜色：顾名思义，此即为对象颜色的设定。(如下图二)3.样式：包含线宽等级及填色的比例设定。(如下图三)4.进阶：通常是伴随一个布尔变量或布尔表达式，去设定此对象要显示与否的条 件，若此条件被设定，则在前面一般设定中显示对象与否的勾选框便自动失 效。另外有随着不同对象会出现的不同属性，如代数式显示方式、数值滑杆 设定、文字字号等，使用者可逐一实验。(如下图四)图一图二图三图四GeoGebra 使用入门37进阶操作范例1. 直线方程式、函数有些对象，无法由几何编辑接口建立，这时以代数式直接在 GeoGebra 下方输 入列中

37、建立，是一个很方便的方法。例如指定系数的直线方程式、或一些自订函 数，如 L:2x-5y=-2，其中 L 为此直线方程式的名称，注意以冒号区隔式子。其中 系数与代数项 x 或 y 之间，须填入一空格，以代表不同的对象相乘，若没有以空 格隔开，系统会将其错认为另一代数变量对象。函数的建立，通常遵循一般常用的表示法，例 如可在代数输入列中键入 f(x)=x2+3x-1，其为一个二次拋物线函数，建立完成后，系统便直接将此函数在 几何区中绘出。其中为次方的连接符号，例如在本例中，x2就代表 x 的 2 次 方。38GeoGebra 使用入门2. 动态文字处理、代数式定义处理：if 语法的应用范例：四边

38、形的种类在文字的呈现处理中，可以搭配一些控制语法如 if 叙述，来强化其动态显示 的效果，例如在上例中，除了点 A 为唯一自由点以外，其余三个顶点分别以 z 数 值滑杆来决定四边形的长宽，用 角度数值滑杆来决定 A 点倾斜的角度。其定义 语法如下B=Ifz < 3.5, (x(A) + z cos(), y(A) + z sin(), (x(A) + 3.5 cos(), y(A) + 3.5 sin()表示点 B 位置为距 A 点 z 单位，且倾斜角度的上方位置。当 z 值小于 3.5 时，AB 长度随 z 值大小改变，若 z 值大于 3.5，则 AB 长度停留在3.5，不随 z 值大

39、小而改变。C=Ifz < 6, (x(B) + z, y(B), (x(B) + 6, y(B)表示点 C 位置为距 B 点 z 单位的右方位置。当 z 值小于 6 时，BC 长度随 z 值大小改变，若 z 值大于 6，则 AB 长度停留在 6， 不随 z 值大小而改变。D=(x(A) + z, y(A)表示 D 点在点 A 的右边 z 单位远。GeoGebra 使用入门39这样的设定，可以让二个数值滑杆就变化出正方形、长方形、菱形、梯形、平行四边形等不同的四边形类型。而在文字说明的呈现上，若搭配 if布尔值,真 值的字符串,伪值时的字符串 的语法，可显示出相对应的四边形类型名称。其中上

40、图 红框中的语法为"目前这个四边形是一个 " + (If 90°, Ifz < 3.5, "正四边形(即正方形)", Ifz > 6, "梯形", "矩形(即长方形)", Ifz < 3.5, "菱形", Ifz < 6, " 平行四边形", "梯形") + ""如此便能造出动态的文字呈现效果。40GeoGebra 使用入门3. 参数曲面 (Curve)这个范例是另一个比较简单的连续参数曲面，在上图中，

41、我们用了二个数值滑杆 r、t，及一个角度数值滑杆、分别控制这个圆的半径，及画出多少角度的 弧，t 滑杆则是为了突显参数曲面的函数性格。即当作是 L 参数区面中的定义域的 角度值，以计算出相对应的点坐标对象值，在本例中， A=L(t) ，会随 t 值变化计 算出在圆上的一个点坐标。其中红色的参数区面(圆弧)定义为：L=Curver cos(t), r sin(t), t, 0, 表示 L 为由半径为 r，且角度为 t 的极坐标点 (r,t) 所构成的无限点集合。 其中 t 是由 0 到 的动态变量值。此图形可随着不同的终值 ( 0 < < 2 pi ) 之变化，绘出不同大小的圆弧。G

42、eoGebra 使用入门414. 序列物件 (Sequence)范例 多边形内角和公式序列对象，对绘制离散形集合对象，是一个好用的代数定义方法。图中以正 多边形为讲解范例，意图将正多边形内角和公式，用内部三角形切割方式拼凑出 来，图中我们用了二个数值滑杆 r、n，分别去控制这个正多边形半径的大小，及 正多边形的边数。一组控制观察角度的旋转对象、三个序列对象：n 个顶点、n 条 边、n 3条切割线，及一组静态文字，一组动态文字，除静态文字较简单外，其 余对象之定义方法分别说明如下：42GeoGebra 使用入门一、n 数值滑杆为了方便学生观察各种多边形的内角切割情形，可定义一个名为 n 的数值滑

43、杆，以控制多边 形边数。二、r 数值滑杆 为了视觉效果是否清晰与观察单纯化的考虑，我们用正多边形为观察对象。定义一个名为 r 之数值滑杆，控制这个正多边形中心到顶点的长度，亦即此正多边形外接圆的半径。三、一组旋转控制对象是为了要能从各种角度观察出此正多边形切割后的情形，所设计的一组对象。3.1 一个基于圆心 B，半径为 1 的应变控制圆 c=circleB,1，其中 B 为一自变点对象。3.2 一个在圆 c 上，圆心 B 的 x 坐标加一单位的观察角度基准点，应变对象 CB(1,0)。3.3 在圆 c 上建立一自由点 D=pointc。虽然他被限制在圆 c 的圆周上游移，但其值并未被限 制死，

44、仍应视为一依附于圆 c 的自变对象。3.4 建立一个应变角度对象 =AngleC,B,D，以 B 为顶点，由基准点 C 转到 D 的有向角。四、建立此正多边形的动态切割图4.1 一个自变自由点对象 O，当作此正多边形的中心。4.2 一组基于点 O、半径 r、观察角度 ，所动态产生的 n 个应变顶点对象，可用序列集合对象， 命名为 Pset，定义为 SequenceO+(rcos(+(i-1)360°/n),r sin(+(i-1)360°/n),i,1,n 由于这部分比较复杂，说明如下：我们希望建立的 n 数值滑杆在变动时，顶点数及相关位置也会跟着变动。例如当 n 变成 5

45、，则图形就出现正五边形的五个顶点，可以让我们藉此做出正五边形及切割线。而这五 个顶点我们将它视为一个对象。如此设计，使得不管 n 值滑到多少，这 n 个顶点都只算是 一个对象，这样就可以很方便的控制它。而要达成这个目的，可以使用 sequence。它包含 4 或 5 个参数，一是对象代数式 定义，二是变动指标，三是起始值，四是终值，五是增量，若 是第五个参数没写，则内定为 1。GeoGebra 使用入门43例如：sequence(i,i+1),i,1,5，这个指令可以造出一个包含 5 个点的集合对象(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)(5,6)，如上页图中的点。若将第一个参数改成线段对象，则会 造出一个包含 5 条线段的集合，指令可改成 sequencesegment(i,i),(i,i+1),i,1,5， 如上页图中的线段。在本文中，第一个参数是点的代数定义式，其中 x 坐标为 rcos(+(i-1)360°/n)，y坐标为 r sin(+(i-1)360°/n)。将这二个式子用小括号包起来，则形成一个点。再加上原点 O，表示以 O 为圆心，r 为半径， 为起始的有向角度，依序每隔 360°/n，在这个没显 示出来的圆上，所画出的 n