江苏省扬州市2013届高三数学3月月考试题

1、江苏省扬州中学数学阶段练习试卷 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1已知集合，则_ 2如果复数的实部与虚部互为相反数,则= .3一组数据，的平均数是，则这组数据的方差是_4的值为 5对某种电子元件使用寿命跟踪调查，抽取容量为1000的样本，其频率分布直方图如图所示，根据此图可知这批样本中电子元件的寿命在300500小时的数量是_个6已知，若是的充分条件，则实数a的取值范围是 7. 正四面体ABCD中，AO平面BCD，垂足为，设是线段上一点，且是直角，则的值为 .8将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为，则方程有实根的概率为 9.若数列的通项公式，记，试通过计算、的值，推

2、测出 10在ABC中,角A,B,C的对边分别a,b,c,若.则直线被圆所截得的弦长为 11.若正数满足，则的最大值为 .12如图，已知椭圆的左、右准线分别为，且分别交轴于两点，从上一点发出一条光线经过椭圆的左焦点被轴反射后与交于点，若，且，则椭圆的离心率等于 13已知函数，下列命题正确的是 。（写出所有正确命题的序号）是奇函数； 对定义域内任意x，<1恒成立； 当 时，取得极小值； ； 当x>0时，若方程|=k有且仅有两个不同的实数解·cos=sin。14. 已知连续个正整数总和为，且这些数中后个数的平方和与前个数的平方和之差为若，则的值为 二、解答题：（本大题共6小题,

3、共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 15（本小题满分14分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角C的大小；（2）求的最大值D CB AE P（第16题图）目16(本小题满分14分)如图，在四棱锥中，为的中点求证：（1）平面；（2）平面17（本小题满分15分）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数）的图象，且点M到边OA距离为（1）当时，求直路所

4、在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？18. （本小题满分15分）给定椭圆C：，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”已知椭圆C的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；（2）若点是椭圆C的“准圆”与轴正半轴的交点，是椭圆C上的两相异点，且轴，求的取值范围；（3）在椭圆C的“准圆”上任取一点，过点作直线，使得与椭圆C都只有一个交点，试判断是否垂直？并说明理由19（本题满分16分）已知有穷数列共有项（整数），首项，设该数列的前项和为，且其中常数高.考.资.源.网求的通项公式；高.考.资.源.网若，数列

5、满足求证：；高.考.资.源.网若中数列满足不等式：，求的最大值20（本小题满分16分）已知，且直线与曲线相切（1）若对内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，求最大的正整数，使得对（是自然对数的底数）内的任意个实数都有成立；（3）求证： 考试号_ 学号_ 班级_ 姓名_ 密封线内不要答题附加题1已知矩阵A，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为1，属于特征值1的一个特征向量为2求矩阵A，并写出A的逆矩阵2已知圆的极坐标方程为：将极坐标方程化为普通方程；若点P(x，y)在该圆上，求xy的最大值和最小值3.在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，焦点F的坐标为（1，0）。（1）求

6、抛物线C的标准方程；（2）设M、N是抛物线C的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之积为，直线MO、NO与抛物线的交点分别为点A、B，求证：动直线AB恒过一个定点。4.已知集合，其中，表示的所有不同值的个数（1）已知集合，分别求，；（3）求的最小值江苏省扬州中学数学阶段练习试卷答案 3.91 21 3.2 4 5650 6 7. 1 8 9 10 11. 12 13 14515.解：（1）sinAcosA2sinB即2sin(A)2sinB，则sin(A)sinB因为0A，Bp，又ab进而AB，所以ApB，故AB，C（2）由正弦定理及（）得sinAsin(A)sinAcosA2sin(A)当A时，

7、取最大值216证明：（1）取中点，连结，为中点，FPEABCD（第16题图）且=且，且=四边形为平行四边形 平面，平面，平面.（2），平面平面， ，为的中点，平面. 17.（1）（2），过切点M的切线即，令得，故切线与AB交于点；令，得，又在递减，所以故切线与OC交于点。地块OABC在切线右上部分区域为直角梯形，面积，等号，。18.解：（1）由题意知，且，可得，故椭圆C的方程为，其“准圆”方程为 （2）由题意，可设，则有，又A点坐标为，故，故, 又，故， 所以的取值范围是 （3）设，则当时，则其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有当时，设过且与椭圆有一个公共点的直线的斜率为，则的方程为，代入

8、椭圆方程可得，即，由， 可得，其中， 设的斜率分别为，则是上述方程的两个根，故，即综上可知，对于椭圆上的任意点，都有.资.源. 19解： 两式相减得 当时 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 则，数列的通项公式为把数列的通项公式代入数列的通项公式，可得 数列单调递增，且则原不等式左边即为由 可得因此整数的最大值为7。20.解：（1）设点为直线与曲线的切点，则有 （*）， （*）由（*）、（*）两式，解得， 由整理，得，要使不等式恒成立，必须恒成立 设，当时，则是增函数，是增函数， 因此，实数的取值范围是 （2）当时，在上是增函数，在上的最大值为要对内的任意个实数都有成立，必须使得不等式左边

9、的最大值小于或等于右边的最小值，当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值，解得因此，的最大值为 （3）证明：当时，根据（1）的推导有，时，即 令，得， 化简得， 附加题答案1解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为1可得， 6，即cd6；由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为2，可得 ，即3c2d2，解得即A， A的逆矩阵是2； 圆的参数方程为 所以，那么xy最大值为6，最小值为2 3.(1)设抛物线的标准方程为，则，所以抛物线方程为（2）抛物线C的准线方程为，设，其中，直线MO的方程：，将与联立解得A点坐标。同理可得B点坐标，则直线AB的方程为：整理得，故直线AB恒过定点（1,0）。4. 解：（1）由246，268，2810，4610，4812，6814，得l(P)5 由246，2810，21618，4812，41620，81624，得l(Q)6 （3）不妨设a1a2a3an，可得a1a2a1a3a1ana2ana3anan1an，故aiaj (1ijn)中至少有2n3个不同的数，即l(A)2n3 事实上，设a1，a2，a3，an成等