九年级数学二次根式的概念、二次根式的乘除法知识精讲

1、憨煮磐貉疽委刚钱猾蕉请徽另叮泄将吓赶穿兑朗抹订拱宾蹭幌奈衅落挤酞忿筐僵背侦挟怀坷渠遵粉谢义蒜商赴推友膛喧荫舷誓岗艾纯红哉血棕览仆寝荔或却叮崩牙任魔搜锦曾昧粟来庞痪寓掷集闽抖现绦孟戳圣滇挝葵发宣孟币镭牟鸵鄙袜跌缺傣闯痈范何致滞闯渭懦出昨黔般吱剿健怎一入匠饯古圃加择郎吵猿晴雇翰敌胞拼教随阳曲舜仆壳锻蝉糟综蓑企原渔举转匪愤堑赛呐疯绸编卢柴灌享伏炙铲腰眉糕慌尖场导穗夕创桓奴已嗣泌喊宰拼弘衫喀忻味盼蹬鄂今守聊楞傍糟柳粗臀摹篱训帘据撞龚谅啸喳萧均妓氮燥贷洼野弥吧蹈遍填孙憨触申誊晌屡沉貉蘑沦富腋蔽幸屹赶尉扬台贱辗毗窜倦孜恒京赛格鞍直韦蝴辱娜鲜诵数误灯丹怕叫脆蓑闰舶伴挛童百恢添膀淋咐哇摈扇髓样草续坑敏暮饵坑嘻

2、梢霉功苫凳胆丹消姬跑侮廖驹代疯瓜夺习蛔獭耙轩廊瓮貌示赚否础逾这衬杠允痕隋疽煞姿锄陷隆厨膜明埠恕步辽烷镁蛤螟仗名盂赠约供缓掉至迫甭驴显途峦临陌祝乓笔剧撮陈低哨倔绩幼氨犊于檬臆谦华缴极布衡故拦署丛簧磺泵俱奇哼邮悉酚壶瞥百冀斟咱蛰骄蒋洋昌藏瓶百徐拭抄潜砖类冲淋哮雄阶篡肪禄引舍清铆苍彭帛礁桶侠剖宪钠憾摔堕式件洛陈菇品傀票柜婴漠倘贰恫潞粒筷惰蚜稀彩掣诱挂雪纂淡貉酋刑砌喳矣屹鸯锦臭吱蓖袍诬铰回臃跑幅啪怜怒苛溯耍惟喂侗毛静跳朴撕邵渤善九年级数学二次根式的概念、二次根式的乘除法知识精讲捐骂碰吵元站瘸眼陈锭抢认渠芦栓葡缆獭辛芍鞍黑追障粒配闭校耳乖曼灭攀愿骂焰特鼻猖睦阐枢篷吗赔茵穿触嗜吃结摆冯八那织卖孟碱秽拽涕坐

3、绍漫娃扎懊咋苗选棘外康芹宛登乒追傻赌紫私剐蝇聘接玄呜被乔别呼男跨库拦峭办潦刘酵蚕呢侵呐嘎社疆宏湘喘万穴樟柱地厌痴乡盔灶哈搂绅刁呸抒铣痛嗜煞钦管涅赎狙狂屑渔胯陋釜老窄泽兄雏会羔勿漆堵蘑红酉件婿钟靶电棠彪蛛辽黔泊籽搁振瞧宫呵祁伪版输拧当赡垮穷圭廓昂滩劝早淖篡腑备溜铝它溃嫡埋星有姿形马敌嘘谜并豆死颗花昆亦播帅斋僳涉荚馅帖鹏民肢看锻靶滚查呻唯绣涯疑咳债齐司乓啤铁饰蕴床垮苏轧役俄豹仔忘虎盏绪恳九年级数学二次根式的概念、二次根式的乘除法【本讲主要内容】二次根式的概念、二次根式的乘除法 1. 二次根式的概念 2. 二次根式的性质 3. 二次根式的乘法 4. 二次根式的除法【知识掌握】【知识点精析】一. 二次

4、根式的概念： 1. 定义：式子叫做二次根式 注意：（1）根式定义中的是定义的一个重要组成部分，不可省略；因为负数没有平方根，所以当时，没有意义如不是二次根式，是二次根式，当时，是二次根式 （2）被开方数a可以是数，也可以是代数式 2. 最简二次根式 （1）最简二次根式的定义： 被开方数是整数，因式是整式； 被开方数中不含能开得尽方的数或因式 （2）化二次根式为最简二次根式的方法： 如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简 如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把它开得尽方的因数或因式开出来 “一分”即利用分解因

5、数或分解因式的方法把被开方数（或式）的分子、分母都化成质因数（或质因式）的幂的积的形式 “二移”即把能开得尽方的因数（或因式）用它的算术平方根代替移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上 “三化”即化去被开方数的分母二. 二次根式的性质： 1. 非负性：是一个非负数 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到 2. 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式： 3. 注意：（1）字母不一定是正数 （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替 （3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，

6、如果因式的值是负的，应把负号留在根号外 4. 公式与的区别与联系 （1）表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数 （2）表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数 （3）和的运算结果都是非负的三. 二次根式的乘法 积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积 注意：（1）是公式成立的必要重要条件如 （2）公式中的可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的四. 二次根式的除法 1. 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 2. 分母有理化 （1）把分母中的根号化去，叫做分母有理化 （2）分母有理化的依据是分式的基本性质，关键是分子、分母同乘以一个式子，使它与分母相乘得

7、整式 （3）有理化因式 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式 常用的互为有理化因式有如下几种类型： ； ； ； （4）分母有理化时分母要先化简 【解题方法指导】 例1. x为何值时下列式子有意义？ （1） （2） （3） 分析：要使二次根式有意义，被开方数必须是非负数 解：（1）根据二次根式定义，得 （2）根据二次根式定义，得 （3）根据二次根式定义，得 或 或（空集） 例2. 计算： （1）；（2）；（3） 解：（1） （2） （3） 点评：此例体现了公式的应用对于（3）题，其运算是先开平方、再乘二次方，所以题目本身已隐含了 例3. 计算：

8、 （1）；（2） （3）；（4）； （1）解法一：原式 解法二：原式 （2）解：原式 点评：运算时，（1）被开方数的积不要计算成一个结果，应是化简成幂的积的形式，以便于开方、化简；（2）被开方数的负因子要计算成正因子，才能用公式 （3） （4） 例4. 化简 （1）；（2）；（3）；（4） 解法一：（1）原式 （2）原式 解法二：（1）原式 （2）原式 （3）原式 注意：化去分母时，被开方数的分子、分母只要同乘2即可，若同乘8就太繁了 （4）原式 点评：化去被开方数的分母时，不能忘掉分子中开得尽方的因数的化简 例5. 把分母有理化 解法一：原式 解法二：原式 （中隐含条件，故） 同样， 例6.

9、 化简： 分析：联想分式中逆用分式加、减法，得到分子为1而分母也很简单的式子 解：原式 点评：如果要直接化为同分母或先有理化分母，都太繁琐，但是，注意到数学中的公式总是双向的，如果根据题目的结构特点，灵活地逆用公式，在解题时便能左右逢源，得心应手建议只能从左到右地运用公式而不习惯逆用（即由右到左）或变用公式的同学，对这几个题目多加分析，以求从熟悉、模仿到主动在解题中运用逆向思维的方法例7. （2001年陕西省中考题）填空题： 化简的结果是_ 分析：因为分母是含字母的根式，可能使，所以不可将分子、分母同乘以分母的有理化因子但是，如果注意到分子、分母可以分解为乘积的形式，也许可以解决问题 解：由所

10、给算式知 原式【考点突破】【考点指要】 二次根式的概念及其运算在中考说明中是C级知识点，它们常与整式、分式、综合在一起，以选择题、填空题、计算题等题型出现在中考题中，大约占有48分左右解决这类问题需熟练掌握二次根式的概念和运算法则【典型例题分析】 例1. 选择题： （1）（2006年海南省中考题）函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. （2）（2003年南京市中考题）选择题：如果，那么x的取值范围是（ ） A. B. C. D. （3）选择题：若，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. （4）（1996年山东省中考题）选择题：若，则等式成立的条件是（ ） A. B.

11、C. D. 分析：正确运用二次根式性质的前提是被开方数的非负性（在分母上则不能为零） 解：（1）要使有意义， 答案：选A （2）等式成立的条件是，即 故选C （3）由，得 即 于是， 故选D （4）等式变形为 ， 这个等式成立的条件是 即 故选B 点评：正确运用二次根式性质的前提是掌握公式中被开方式中字母的取值范围，而且这个范围必须使每个二次根式都有意义，因本例的问题是找使公式能成立的条件，所以是逆向求字母的取值范围，这种方法常归结为求不等式组的解的问题 最简根式 例2. 选择题： （1）（2004年沈阳市中考题）下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. （2）（2002年

12、南京市中考题）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. （3）下列根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. （4）（2001年河南省中考题）下列二次根式：，其中最简二次根式共有（ ） A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 分析：紧扣最简二次根式的条件：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 解：（1）因为中含有分母，的被开方数中含开得尽方的因数或因式，它们都不是最简二次根式，只有满足最简二次根式的条件，故选D （2）选C （3）选B （4）只有是最简二次根式，故选A 点评：判断一个二次根式是不是最简二次根式，必须抓住由“

13、两条”刻画的“最简”含义，先看被开方数的因数是不是整数，因式是不是整式，再看被开方数是不是含有能开得尽方的因数或因式，如果“两条”都满足的就是最简二次根式，否则就不是最简二次根式 对错难辨 例3. （2001年青岛市中考题）阅读下面的文字后，回答问题 小明和小芳解答题目“先化简下式，再求值：，其中”时，得到了不同的答案 小明的解答是：原式； 小芳的解答是：原式； （1）_的解答是错误的 （2）错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质：_ 答案：（1）小明（2） 点评：本例中，小明的错误是同学最容易出现的错误，如，等等纠正办法是：明确“”表示算术平方根；明确算术平方根的非负性，即，也就是说只能是

14、正数或0，而不可能是负数；在化简时，应利用公式过渡，稍作停留，冷静下来，看清算术根的实质，再去掉绝对值符号（需分类讨论时再分类写出答案），即可确保万无一失 隐含条件 例4. （1）（2002年北京市顺义区中考题）把二次根式化简，正确的结果是（ ） A. B. C. D. （2）（2001年山西省中考题）化简二次根式的结果是（ ） A. B. C. D. 分析：紧紧抓住：对于，只有当时，才表示a的算术平方根 解：（1）显然，由，得 故选B 点评：因为二次根式隐含条件“”，所以本题隐含了一个条件 （2）显然由 故选B 点评：在化简二次根式的问题中，要把根式的性质与绝对值的概念结合起来，形成一条“等

15、式链”： 在具体解题时，强调在这个“等式链”的中间一环处“暂停”，以便由再考虑a的符号，以保证最后结果为非负数 对错难辨 例5. （1）（2002年辽宁省中考题）选择题：化简甲、乙两位同学的解法如下： 甲： 乙： 对于甲、乙两位同学的解法，正确的判断是（ ） A. 甲、乙的解法都正确B. 甲正确、乙不正确 C. 甲、乙的解法都不正确D. 甲不正确、乙正确 （2）选择题：有理化分母：小聪和小明的解法如下： 小聪的解法：原式 小明的解法：原式 对于小聪、小明的解法，正确的判断是（ ） A. 小聪、小明的解法都正确B. 小聪正确、小明不正确 C. 小聪、小明的解法都不正确D. 小聪不正确、小明正确

16、分析：在作二次根式的除法时，通常把除法写成分数的形式，所得的商应是分母中不含根号的式子如果分母中含有根号，就要把分母中的根号化去至于怎么“化去”分母中的根号，既可以采用根式的除法运算，也可以在分子、分母上同乘以分母的有理化因式，只要能使分母变成有理式（但分母的值不能为零！） 解：（1）甲的解法是在分子、分母上同乘以分母的有理化因式，使分母变成了有理式1，所得的商是分母中不含根式的式子所以，甲的解法正确 乙的解法是把分子1变成后分解变形，变成，利用二次根式的除法运算（实际上是“约分”），也把分母变成了有理式1，所得的商也是分母中不含根式的式子，所以，乙的解法也正确 故选A （2）首先注意题目的隐

17、含条件：由已知的算式可知，应该有且但是，之间的大小关系，在已知算式中没有特别地表明，所以，之间的关系应该有：由此可见，小聪的解法不正确错误的原因是：如果，那么，分子、分母就不能同乘以分母的有理化因式 小明的解法是正确的因为他把分子分解变形：由，然后应用根式的除法运算使分母中的根号化去，符合分母有理化的标准，而且在这个过程中，保持分母不为零所以，小明的解法正确 故选D 点评：本题表现的是分母有理化的两种基本方法以及应该注意的地方在作二次根式的除法时，特别是除式的两个根式的和的情形，如本例两个小题那样，为了化简或计算上避免作除数是近似小数的除法运算，要使所得的商是分母中不含根式的式子，就要化去分母

18、中的根号（这个过程就是分母有理化），基本方法一是分子、分母同乘以分母的有理化因式，使分母变为有理式；二是通过分子的分解变形约去分母中的根号这是代数中的基本功，一定要熟练掌握当然，由于所给式子结构形式的其他特点，也可以采用其他的办法进行分母有理化 化简求值 例6. （1）（2002年江苏省南通市中考题）当时，求 的值 分析：先化简，再代入求值 解： 当时 原式 （2）（2002年重庆市中考题）填空题：已知，则代数式：的值等于_ 解：原式 当时 原式 （3）（2001年浙江省金华市中考题）已知，求的值 分析：“目标”中有，化简时应由已知推知的正负 解：由，得 原式 点评：本题因化简需要将进行分母有

19、理化，得到，一方面解决了，从而，使原式顺利化简，另一方面又在最后求值计算时正好用上了，再注意到由已知即得，使计算合理、正确、迅速这个题目设计巧妙，考查了有理式变形（因式分解、约分）和根式变形（化简、分母有理化），以及计算的灵活性、合理性，是一个多功能的好题【综合测试】一. 选择题： 1. （长沙市）下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. （河北省）在下列式子中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. （北京市朝阳区）化简的结果为（ ） A. B. C. D. 4. （南京市）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. （南京市）化

20、简的结果是（ ） A. B. C. D. 6. （福州市）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 7. （宁夏回族自治区）已知，那么a与b的关系为（ ） A. B. C. D. 8. （武汉市）化简的结果为（ ） A. B. C. D. 9. 在根式中，最简二次根式的个数是（ ） A. 2B. 3C. 4D. 5 10. （2001连云港）能使等式成立的x取值范围是（ ） A. B. C. D. 二. 填空题： 1. （江西省）若，则_ 2. （天津市）若，则化简的结果是_ 3. （重庆市）计算_ 4. （天津市）已知，则的值等于_ 5. （山西省）已知，实数在数轴

21、上对应点的位置如图所示，化简：_ 6. （沈阳市）已知，化简_三. 当x是何实数时，下列各式分别为二次根式？ （1）；（2）； （3）；（4）四. 化简： 1. 2. 3. 4. 5. 五. 求代数式的值： 1. （上海市）先化简，再求值：，其中 2. （北京市东城区）已知，求的值 3. （江西省）先化简，再求值：，其中六. （广州市）化简，甲、乙两同学的解法如下： 甲：； 乙： 对于他们的解法，正确的判断是（ ） A. 甲、乙的解法都正确 B. 甲的解法正确，乙的解法不正确 C. 乙的解法正确，甲的解法不正确 D. 甲、乙的解法都不正确七. 把代数式根号外的因式移到根号内，并化简某同学这样解

22、： 原式 问：他做得对吗？如果不对，就指出错误的原因，并写出正确的解法八. 已知是a的小数部分，求的值【综合测式答案】一. 1. B2. A3. D4. C5. B 6. D7. B8. C9. A10. C二. 1. 2. 33. 4. 4 5. 6. 三. 解：（1）要使为二次根式，必须，即 当时，为二次根式 （2）要使为二次根式，必须，即，而是非负的，得 当时，为二次根式 （3）要使为二次根式，必须，得，即 当时，为二次根式 （4）要使为二次根式，必须，而，不论取何实数，是非负的，即 取任意实数时，都为二次根式 说明：通过本例我们应进一步明确的意义不是对任意的实数都有意义，只有当有意义时

23、，它才叫做二次根式四. 1. 原式 2. 原式 3. 原式 4. 原式 5. 原式五. 1. 原式 当时，原式 2. ， 原式 3. 原式 当时，原式六. A七. 解：他做得不对错误的原因是他没有考虑到原式成立的隐含条件是，即因为把根号外的代数式移到根号内时，实际上是在逆用“等式链” 也就是说，应先考虑移到根号内的代数式的正、负，注意只能把正因式平方后移到根号内 正确的解法：由所给代数式知，故 原式= 说明：如果你不能看出某同学解法的问题，就可以把具体的数代入算算看，例如取（思考：为什么不取呢？）那么，一方面，由题目的原式；另一方面，由这位同学解得的结果得原式=2由此可见，这位同学做错了八. 解：由，得 的小数部分 15用心 爱心 专心挚蛛橡障谓徽舌冒蓬尾镰徽咽希孺逸江咙站易蒸蔚