高中数学拓展型课程中学生创造性学习的实践与思考

1、高中数学拓展型课程中学生创造性学习的实践与思考袁伦焘一、为什么要开设应用数学课程21世纪是充满了各种各样挑战和竞争的世纪。传统高中数学教学已经在许多方面不能适应教育的竞争。主要表现在：学生主体地位缺失，质疑精神匮乏。学生学习热情低下，惧学、厌学。不少学生存在投机取巧心理，求实心理淡漠，阻碍创造精神的形成。学生课外阅读与实践量少质次，缺乏创造思维素材。教师队伍匠气重。高中数学教学对应用重视不够，将数学问题的源头和应用都弃之不顾，只“烧中段”，使数学无头无尾。由于信息技术的迅猛发展，学生学习和思考的方法开始发生根本变革。知识将日益通过经验而不是被动的消化事实来获得。信息技术使数学的应用功能大大发挥

2、出来了。特别是产生了大量的专业应用软件，形成了一种强有力的数学技术。在这样的意义下确实可以说，高技术本质上是一种数学技术。中学生究竟为什么要学数学？是不是仅仅为了通过高考？答案是否定的。一方面，数学是高考的必考科目，要想考上理想的大学，就必须有好的数学成绩；但另一方面，高中学生今天所学的数学知识将来会应用到他们所从事的实际工作中去，这才是学习数学的重要目的。由于当前高中数学教学忽视培养学生在实际中用数学的能力，因此对学生进行应用数学能力的培养，可以较好的弥补这一缺陷。可能有人会担心，由于学校正常教学计划安排得非常紧张，再对学生开设拓展型课程应用数学，一会加重学生负担，二会干扰学生高考。其实，这

3、种担心大可不必。首先，因为应用数学贴近实际生活，有较强的趣味性，学生容易通过实践活动而激发起学习数学的兴趣，有利于学好数学。其次，随着数学学科高考命题的改革，数学应用问题越来越多地出现在高考试卷中。由于大多数高中学生平时缺少对解决实际问题的训练，因此普遍失分很多。所以，培养学生的应用数学能力，有利于学生在高考中解答应用型题目，这就是“磨刀不误砍柴工”。基于以上认识，在高中数学领域开设拓展型课程应用数学也就非常必要了。二、怎样开展应用数学教学活动在应用数学课程教学活动中，我们首先培养学生对周围所发生的事情的敏感性，及时发现一些有意义的实际问题；其次是能将这些实际问题归结为数学问题；然后利用适当的

4、数学工具来建立数学模型；最后通过数学模型的求解来解决实际问题。下面，我们通过应用数学课程的一个实例，来说明学生创造性学习的情况。费峥峰同学反映，交大昂立公司声誉日隆，其产品家喻户晓，值得我们关注。顾建国、蒋明、王文杰等同学也有同感。时值1999年秋，费峥峰建议对该公司1999年的销售额作一次预测，大家都认为很有吸引力。费、顾、蒋、王四位同学分别去收集了该公司过去历年来的销售额数据。年份199019911992199319941995199619971998销售额（万元）102020080001200013000110002000064000要对今后的情况进行预测，通常采用的数学方法是曲线拟合。

5、为了使用合适的曲线，同学们以年份为横坐标，销售额为纵坐标。横坐标x=1表示1990年，纵坐标单元为亿元。这样，就在所建立的平面直角坐标系中画出相应的9个点。 到底用什么曲线来拟合呢？大家看着散点图的趋势而议论纷纷。经过争议，意思逐渐集中在使用指数函数y=aebx 和幂函数 y=axb 上面。以费、顾、蒋、王四位同学为主分为两组，分别建立数学模型，并求得了解。利用指数函数拟合的同学，求得y10=4395.01134 (百万元)，相关系数1 =0.9085。利用幂函数拟合的同学，求得y10=894.9525 （百万元），相关系数2 =0.95295。因为21，所以大家一致取用幂函数拟合的结果，即预

6、测交大昂立公司在1999年的销售额将达到89495万元。 这一预测是否准确呢？大家带着这个悬念直到2000年春，才了解到该公司1999年实际的销售额是80000万元。这一结果虽然低于我们的预测值，但大家感到基本上还是吻合的，所以我们所建立的数学模型基本上还是成功的。但教师此刻适时地把问题引向深入：请大家做市场调查，进一步分析，为什么我们的预测值会高出实际值9495万元呢？ 经过一段时间，大家把意见汇总起来，分析原因可能有以下三条。首先，大多数人认为，保健品市场的竞争日趋激烈，这种激烈的竞争会导致该公司销售额增幅的下降。其次，一部分人认为，交大昂立公司在1999年销售昂立一号的同时，不断地推出昂

7、立多邦等新产品，而新产品的替代效应会使老产品的销售额增幅下降较大，从而引起总销售额增幅下降。再次，少数人认为，该公司销售额从1997年的20000万元到1998年的64000万元，其增长幅度过大，这一增幅可能本身就具有一种偶然性。经过计算，若1998年的销售额是60000万元的话，则我们的新的预测值将与实际值更加接近。因此，这少数同学认为，预测值的偏高是由于1998年的数据异常波动所引起的，而1999年的实际值已对1998年的数据异常波动作出了一种修正。教师表示，大家分析的三条原因都很有深度，综合起来就很全面了。 最后，教师指出，模型也要适应不同时期的情况。任何一种产品，如果在其他条件变化不大

8、的前提下，其市场销售量将会出现趋向饱和的情况。于是可以看作它有一个最大销售量。一般情况下，在产品推出初期，其销售量的增加会越来越快，而一旦拐点出现后，其销售量的增加将越来越慢。通常，按阻滞增长模型的理论可知，拐点位置的销售量将是最大销售量的一半。因此，要预测中长期的销售额情况，可待拐点出现后，用阻滞增长模型更为恰当。 至此，对交大昂立公司销售额预测这一实际问题，应该说已经得到了较为圆满的答案。同学们通过解决这一实际问题，锻炼了创造性学习的能力。三、在应用数学教学活动中取得的成果在开设拓展型课程应用数学的几年来，我们不但为高等院校输送了一批又一批既懂得数学理论又会实际应用的复合型人才，而且还取得

9、了丰硕的科研成果。 费峥峰同学的论文售后服务方面的数学问题，获得了1999年市应用数学竞赛优秀论文奖。在产品销售竞争日益激烈的情况下，售后服务的优劣对产品销售起了非常重要的作用。但售后服务越完善，将使厂商的利润越少，而厂商为保持一定的利润，就会使产品的价格上升，这一点又是不利于产品的销售的。该生根据实际生活中收集到的数据，解决了如何确定一个售后服务方案以及产品的合理定价问题，并在保证售后服务优质和保持厂商有一定利润的条件下，确定了折旧费的范围。其结果对厂商在进行成本核算和利润预测时都有一定的帮助。 顾建国同学的论文商业保险与数学，获1999年市应用数学竞赛论文奖。为了适应社会发展的需要，保险公

10、司不断推出新的险种，但在新的险种推出之前，必须对该险种的盈利情况进行预测。该生通过一个具体的保险实例，计算了保险公司赢利情况和理赔情况。对保险公司推出新险种和消费者选择投保险种都有一定的借鉴作用。 马驰鸣同学的论文我国上网人数统计与分析，获2000年市应用数学竞赛优秀论文奖。由于计算机网络的快速发展和我国上网人数的急剧增加，因此有关网络方面的论题即成为热门话题。该生根据收集来的数据，采用了三种曲线拟合，并对不同拟合方式进行比较，预测了我国上网人数递增情况和与之相关的计算机产业，电信产业增长情况，还将其模型应用于人口预测和地震预测。 赵奇炜同学的论文pvc材料的强度问题，获2000年市应用数学竞

11、赛论文奖。在塑料制品生产过程中，适量地加入一些碳酸钙，不但可以减少聚氯乙烯（pvc）用量从而降低成本，还可以增加pvc材料的强度。若碳酸钙用量过多，虽然降低了成本，但pvc材料的强度也降低了。究竟加入多少碳酸钙效果最佳呢？该生了解到这个问题后，即收集实验数据，然后计算出碳酸钙用料的最佳值，此时成本最省，产品质量最佳。有关厂商采用了这个成果，使生产成本价低了4%-5.2%。 何斌同学的论文驾驶员专用眼镜镜片镀膜问题，通过对实验数据的处理，找到了当镜片透过率最高时，镀膜电流的最佳值。该生并指出这个模型还可以解决灯泡的反射率问题。 张臻渊同学的论文首乌合剂在治疗慢性支气管炎中的疗效，通过对四种不同类

12、型的病人服药后有效性的反馈信息，利用简洁的百分比计算及频率分布直方图显示，得出了首乌合剂对治疗痰浊阻塞性慢性支气管炎最有效的结论，从而节省了药物的使用量。而这一结果与通常在研究药物有效性问题上采用的非常繁琐的多组平均Ridit值分析法所得到的结果是一致的。该生建议将他的这种方法用于判断其他药物的疗效上，以减少病人的痛苦并避免药物的无谓浪费。 马剑鸣同学的论文私人购车问题探究，预测私人购车将在十年内完全普及，并对银行开展个人贷款业务具有参考意义。该生提出此模型还可用于私人购房等大款项的个人消费。 常海铭同学的论文酸奶饮品中的乳酸发酵问题，获2001年市应用数学竞赛二等奖。酸奶的酸度提升与菌种增殖

13、速度成正比。当温度过低时，乳酸菌繁殖缓慢，耗时长，效率低；当温度过高时，、菌种生长也会被抑制，效率也低，并且设备成本耗用高。如何确定最佳温度，使得达到同样酸度而耗时耗工都最少呢？该生发现某企业在生产中遇到这个问题，即去收集实验数据。经过用两种方法计算，求得最佳温度值。该生把结果反馈给某企业，经过生产检验，此方案可缩短生产时间，增效1%-2%，降低设备成本0.8%左右。该生指出，此模型还可运用于食品工业中香料、色素等添加剂问题和乳性饮品中蛋白质固形物回收问题。 任云霞同学的论文煤燃烧掺水量问题获2001年市应用数学竞赛三等奖。人工加煤一般控制掺水量的一定比例。掺水可使煤在炉膛中燃烧时间延长，但掺

14、水过多又会影响着火和增加排烟热损失。究竟掺水多少比例最节约煤资源呢？该生在了解到每天烧锅炉的某企业存在这个问题时，马上前去收集数据，经过计算，得出一个掺水比例最佳值，此时可达到锅炉最大压力值，而相对用煤量最小。经过生产检验，节约用煤量约1%-1.5%。 沈叶舟、骆晨婷、张力同学的论文关于铜版纸的平滑度和印刷光泽度问题，在较为经济的前提下，有效地提高铜版纸的质量。目前进口铜版纸几乎垄断了整个市场，本地铜版纸厂家濒临倒闭。原因纵然有很多，而质量和成本是最为重要的。三位同学深入某厂收集原始数据，发现纸张与染料的总重量（定量），影响着铜版纸的平滑度和印刷光泽度。经过建立数学模型和求解，得到了一个定量的

15、最佳值，与某厂原来使用的定量值相比较，节省原料0.8%，更重要的是提高了铜版纸的总体质量。 上述科研成果的取得，均得到了应用数学课程老师的指导和帮助，充分体现了学生创造性学习的巨大力量。四、今后设想在今后开展高中数学拓展型课程应用数学时，我们有如下设想： 1.结合学生实际水平，分层次逐步推进。学生对应用数学对学生有一个逐步学习和适应的过程。教师在设计应用数学活动时，特别应考虑学生的实际能力和水平，起始点要低，形式应有利于更多的学生能参与。教师可以有意识的介绍数学知识的应用背景，且逐步扩展到让学生用已有的数学知识解释一些实际事实，描述一些实际现象，模仿地解决一些比较确定的应用性问题，最后发展到能独立地发现、提出一些实际问题，并能用应用数学的方法解决或部分解决它。 2.结合正常教学的教材内容 应用数学与现行数学教材应有机结合，而不要形成两套系统。教师应把握应用数学与正常教学数学知识的切入点，引导学生在学中用、在用中学。 3.突出应用数学的学习实践性 应用数学课程的目的不是仅仅为了给学生拓展一些课外数学知识，也不是为了解决一些具体问题，而是要培养学生的应用意识，创造性学习能力。因此我们切不可把应用数学课程又变成教师讲课，学生答题的老套路，而应该重过程、重参与、更多的突出实践性和活动性。 4.高中数学教师要适应拓展型课程应用数学的教学 应用数学的教学不仅对刚走出大学校门的师范生