高一下册数学教案5.2两角和与差的余弦公式1沪教版

1、研卷知古今；藏书教子孙。5.4 (1)两角和与差的余弦公式上海市杨浦高级中学曹丽琼一、教学内容分析两角和与差的余弦是三角恒等式的起始课，是本章中一系列的三角恒等式的基础，因此对两角和与差的余弦公式的掌握必须扎实.两角和与差的余弦公式的推导是本节课的重点和难点.这一推导过程难度较大也比较复杂，教师可以通过设置问题情景，提出如何用两角的三角比表示两角差的余弦三 角比.在猜测公式和实例检验的过程中激发学生探求公式的兴趣，在具体的推导过程中，引导学生想到借助单位圆来研究任意角三角比的基本方法，运用数形结合完成推导.对学生在推导过程中出现的问题，例如任意角的准确表示等，教师需指出或以引导的方式 加以更正

2、.在得到公式之后，需要观察和总结公式的特点和规律，便于记忆.在练习时要注意公式的逆用和其它变式的求值及化简问题，应用所学的公式证明三角恒等式的练习在本节课中不宜太难.二、教学目标设计探求两角和与差的余弦公式的推导，经历公式推导的过程，并在此过程中，进一步 形成严密而准确的数学思维方法.初步掌握公式，并会应用它们解决一些简单的有关三角 的求值问题与证明问题；三、教学重点及难点两角和与差的余弦公式的推导；掌握和应用两角和与差的余弦公式 .四、教学流程设计五、教学过程设计一、讲授新课1、实例引入(1) cos603= l、cos45嗔空，而 15=60，45，那么等式 22cos15 = cos60

3、3 -COS45是否成立？ (2)对于任意角u、P , a _ P的余弦如何用 久和P的三角比来表示？说明(1) cos60-cos45*0 ,所以等式不成立(2)对学生所提出的猜想，用具体的数加以检验.通过检验发现cos(a - B)不能用简单的cos a - cosP或是cos a +cosP等来表示.从而明确余弦运算不满足分配律2、公式推导设a、P是两个任意角.在直角坐标系的单位圆中作出两角a、P ,射线OA、OB分别为其终边，与单位圆相交于 A、B两点，其坐标分别为 A(cosa,sina ) , B(cosP,sin P).将角的终边OA、OB都绕O旋转-P角，分别转到OA和OB的位

4、置，则A（cose - P）,sin（a - P） , B（1,0）.根据两点间距离公式，有| AB | = （cos 二 一 cos ：）2 （sin : 一 sin ： ）2 = 2 - 2（cos 二 cos : sin 二 sin ：）| AB |2 = cos（二-） -12 sin2（： - ） = 2-2cos（： 一 ：）因为AAOB绕O旋转P角得到 MOB所以| AB|=| AB|从而 cos（: - -） = cos*cos，4sin -：sin :也可以将角的终边 OA、OB都绕O旋转-口角，则同理可得B），所.cos(P -a) = cos C cos a +sin S

5、 sina , 一方面由诱导公式可知 cos(P u、= cos(a 所以得到cos(c( P) =coso(cosP +sina sin P .另一方面，由于a、P表示任意角，以用a替换P , P替换a公式仍成立.从而得到cos(a - P) = cosot cos P + sin ot sin这个公式叫做两角差的余弦公式，它对任意角a和P都成立.在两角差的余弦公式中，用-P代替P.可得到两角和的余弦公式：cos（:工F） =cos： cosP -sin 二 sin :.3、强调特征两角和与差的余弦公式在结构上的特征为：1、公式左边是复角的余弦，右边是单角的余弦之积以及正弦之积的和与差;2、

6、左右两边的加减号互异4、例题解析例1、利用两角和与差的余弦公式，求cos15*、cos75n的值.62斛：cos15 4、cos75 = 6 一 2说明可以选择不同的角及公式，例如，cos15=cos(600-45)、cos15=cos（4530 3 ; cos75 * = cos（12045口）、cos75,= cos（450 + 30口）例 2、化简：cos cos（605-） -sina sin（60 3-）1斛：cos： cos（60 - ： ） -sin ： sin（60 -：）=cos（：60 -：）=cos60 2说明两角差的余弦公式逆用.例 3、求 cos80 0cos50 0

7、+cos10 0cos40 0 的值.3解：原式=cos80 cos50 sin 80 sin 50 = cos30 =2说明公式变式训练.例 4 已知三角形 ABC,求证：cosC = sin Asin BcosAcosB说明cosC =cosm （A+B）三、巩固练习课本第54页练习5.4 (1) : 1/ (2) ; 2四、课堂小结(1)本节课使用数形结合的数学思想方法，借助单位圆推导了两角差的余弦公式.还通过变量替换的方法，得到了两角和的余弦公式.(2)能够应用所学公式进行求值运算和化简，以及简单三角恒等式证明.五、课后作业思考题：求证下列恒等式：(1) cos( -a) = sin

8、a ； (2) sin(-口)= cosot22课本第54页练习5.4 (1) 3; 4六、教学设计说明两角差的余弦公式的推导是这堂课的教学难点.一方面，这一推导本身比较复杂，需要学生对任意角有较好的理解.另一方面是来自于学生对待公式推导和证明的认识上.学生其实很清楚，从课本上所学的命题都是被证明过的，是真的.所以认为在课堂学习时，再证明一次并没有多大意义.他们会自觉地重视公式的应用，不自觉地忽视公式的推导.所以要做好证明教学是这堂课成功与否的关键，让学生在探寻、思考、构造的过程中将证 明变成真正有意义的学习活动.所以，在设计教学过程时，将公式的证明变形为开放式的探求.探求的起点是合理的 联想

9、：cosy -P)等于什么？ 一定是与 口、P角的三角比有关.学生很容易联想到乘法分 配律：m(a+b) = ma+mb ,于是猜测cos(口 - P) = cos - cos P .经过实例检验说明上 式只对个别角度成立，不具有一般性，从而与乘法分配律区分开.再猜测、再检验，从这样的过程中一方面培养学生逻辑思考的能力，激励学生探求公式的兴趣，另一方面，发现公式的形式不会太简单，于是转化思路，以求代猜.其基点便是任意角的概念：坐标中由旋转而形成.而研究任意角三角比需借助单位圆的力量.让学生ot 体会到数形结合这一数学思想的美妙.而在单位圆中作出角口、P时，很容易忽略了两角的任意性，将它们表示为：从而没能使接下去的证明涵盖到任意角.这里是教师训练学生逻辑思维和思维严密性 的发力点，教师可以通过提问的形式，引导学生自己发现这一问题，想办法补救，使得推 导严密准确，适用于任意角度.经历这样一个过程，不但使得学生对公式的任意性有了更 好的认识，对变量替换