2020初中数学中考专题复习——图形变换旋转综合题专项训练A(附答案详解)

1、2020初中数学中考专题复习图形变换旋转综合题专项训练A （附答案详解）1 .如图，在矩形ABCD中，AB=3, BC=4, P是对角线AC上的动点，连接DP,将直线DP绕点P顺时针旋转使NDPG=NDAC,且过D作DGLPG,连接CG,则CG最小值为（32C.25D.36252 .等边 ABC的边长为6,点O是三边垂直平分线的交点，ZFOG=120% NFOG的 两边OF, OG分别交AB, BC与点D, E, NFOG绕点O顺时针旋转时，下列四个结 论正确的是（ ）OD=OE：S、ode=S“de；Sdbe=F 也；4BDE的周长最小值为9. 8A.1个B2个C. 3个D. 4 4、3 .

2、如图，ADEF是由AA3C绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是A. （1, 1）B. （2, 0）C. （0， I）D. （3, 1）4 .如图，在平面直角坐标系xO），中，有一个等腰直角三角形AO& NO4B=90。，直角 边AO在x轴上，且AO=1.将Rt/iAOB绕原点。顺时针旋转90。得到等腰直角三角形 AQ&,且AQ=2AO,再将RtA AQ9绕原点O顺时针旋转90。得到等腰三角形A?。4, 且4。= 24。依此规律，得到等腰直角三角形4017。&017.则点a0I7的坐标（ ）A. (22017, _ 22017) B.(2?0 叱 - 22016) C.(220% 22017) D

3、.(22 09 22。3)5 .如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE,将 BCE绕点C顺时针方向旋转90。得到DCF,连接EF,若NBEC=65。，则NEFD的度数是（）A. 15B. 20C. 25D. 306 .如图，8x8方格纸上的两条对称轴EF, MN相交于中心点O,对三角形ABC分别作 下列变换：以点o为中心逆时针方向旋转180。：先以A为中心顺时针方向旋转90。，再向右平移4格，向上平移4格；先以直线MN为对称轴作轴对称图形，再向上平移4格，再以点A的对应点为中心 顺时针方向旋转90。.其中，能将三角形ABC变换成三角形PQR的是（）A.B.C.D.7 .如图，已知

4、矩形ABC。，AB=4, BC=6,点M为矩形内一点，点E为3c边上任意 一点，则MA+MD+ME的最小值为（）A. 3+2应B. 4+36C. 2+2而 D. 108 .如图，在平面直角坐标系中，aABC的顶点A在第一象限，点B, C的坐标分别为（2, 1）, （6, 1）, NBAC=90。，AB=AC9 直线 A3 交 y 轴于点 P,若aABC 与9C关于点P成中心对称，则点4的坐标为（）A. ( -4, -5)B. ( -5, -4)C. ( -3, -4)D. ( -4, -3)9 .如图， ACD和 AEB都是等腰直角三角形，tCAD = ZEAB=90，四边形ABCD是平行四边

5、形，下列结论中错误的是（）A. ACE以点A为旋转中心，逆时针方向旋转90 后与ADB重合B. ACB以点A为旋转中心，顺时针方向旋转270 后与DAC重合C.沿AE所在直线折叠后， ACE与 ADE重合D.沿AD所在直线折卷后，ADB与ADE重合10 .如图，将 ABC绕点C按逆时针方向旋转得ABC,且A，点在AB上，AB交CB于点D,若NBCB，=a,则NCAB的度数为（）A. 180。-aB. 900-aC. 1800-a D. 900 +-a22211 .如图，将平行四边形A3CQ绕点。逆时针旋转150、得到平行四边形。EFG,这时点C、E、G恰好在同一直线上，延长AO交CG于点,若A

6、D = 2, ZA = 75 则 HG=.12 .如图，在平而直角坐标系xOy中，aABC可以看作是经过若干次图形的变化（平移、旋转、轴对称）得到的，写出一种由DEF得到A8C的过程.13 .如图，在Rt/kABC中，NC=90。，CB=2, CA=4,线段A。由线段A3绕点A逆 时针方向旋转90。得到，EFG由ABC沿C3方向平移得到，当直线EE恰好经过点 。时，CG的长等于.14 .如图，在 Rt/iABC 中，NA8C=90。，N8AC=30。，8。=2,点。是 AC边的中点, E是直线BC上一动点，将线段绕点。逆时针旋转90。得到线段。F,连接4F、EF, 在点E的运动过程中线段AF的

7、最小值为.15 .如图，E、F分别为正方形A8CO的边A3、AO上的点，且AE=AF,连接EE将 AE尸绕点A逆时针旋转45。，使E落在J, F常住F、,联接8&并延长交。匕于点G,如果 AB=2，AE=L 则。G=.16 .如图，将48C的边A8绕着点A顺时针旋转（。 。90）得到A,边AC 绕着点A逆时针旋转A（0v#90）得到47,联结8C.当a + = 90时，我们称ABC是八48。的“双旋三角形如果等边八48。的边长为a,那么它的“双旋三角形”的面积是 (用含a的代数式表示).17 .如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0, 2),点P是x轴上一动点，将线段AP绕点A逆时针旋转90。

8、，得到线段AQ,当点P从点(-3, 0)运动到点(1, 0)时， 点Q运动的路径长为,18 .如图，正方形0ABe的边长为2,以。为圆心，EF为直径的半圆经过点A,连接 AE, CF相交于点尸，将正方形OA3C从OA与。厂重合的位置开始，绕着点。逆时针 旋转90。，交点P运动的路径长是.19 .如图，将矩形A8CD绕点A按逆时针方向旋转一定角度后，8c的对应边8 c交CD边于点、G,如果当A8=8G时量得AO = 7, CG=4,联结56,、CC，那么CC而720 .如图，8。为正方形A8CD的对角线，BE平分/DBC ,交DC与点、E,将 8CE绕点C按顺时针旋转90。得到 DCF.若CE=

9、3cm,则BF=cm.21 .如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中NC=90。, ZB=ZE=30.（1）如图2,固定 ABC,使 DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上 时，填空：线段DE与AC的位置关系是 ；设4BDC的面积为S1, AEC的面积为S2,求证：S1=S2图IB图2（2）当仆DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了aBDC和 AEC中BC、CE边上的高,请你证明小明的猜想.22 . （12分）如图1,在等边 ABC中，点D, E分别在边AB, AC上，AD=AE,连 接BE, CD,点M、

10、N、P分别是BE、CD、BC的中点.（1）观察猜想：图1中，aPMN的形状是；（2）探究证明：把4ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，aPNIN的形状是否 发生改变？并说明理由；（3 ）拓展延伸：把 ADE绕点A在平而内自由旋转，若AD=1, AB=3,请直接写出 PMN的周长的最大值.AA23 .如图，已知BADgZEBC, ZBAD=ZBCE=90t ZABD=ZBEC=30t 点 M 为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N.(1)如图1,当A, B, E三点在同一直线上时，判断AC与CN数量关系为：(2)将图1中4BCE绕点B逆时针旋转到图2位置时，(1)中的结论是否仍

11、成立？若 成立，试证明之，若不成立，请说明理由：(3 )将图1中4 BCE绕点B逆时针旋转一周，旋转过程中 CAN能否为等腰直角三 角形？若能，直接写出旋转角度：若不能，说明理由.24.问题背景：如图1,在RtAABC中，ZC = 90% AE = 10, BE = 6,四边形CDE尸是正方形，求图中阴影部分的面积.图1(1)发现：如图2,小芳发现，只要将AADE绕点E逆时针旋转一定的角度到达ADE,就能将阴影部分转化到一个三角形里，从而轻松解答.根据小芳的发现，可求出图1中阴影部分的面积为:(直接写出答案)图2（2）应用：如图3,在四边形A8CO中，AD = CD, ZADC = ZABC

12、= 90NAOC = NABC = 90。于点E，若四边形A8CO的面积为16,试求出。石的长:（3）拓展：如图4,在四边形A3OC中，ZB + ZC = 180, DB = DC, ZBDC = nO,以。为顶点作NE。尸为60角，角的两边分别交A3, AC于E，F 两点，连接E/，请直接写出线段g，CF ,麻之间的数量关系.图425.如图，半圆。的直径A8 = 2,将半圆。绕点3顺时针旋转45。得到半圆O,半圆。与A3交于点P.机（1）求AP的长：（2）求图中阴影部分的而积.（结果保留江）26.综合与探究问题情境：（1）如图1,两块等腰直角三角板 ABC用亿ECD如图所示摆放，其中ZACB

13、=ZDCE=90,点 F, H, G 分别是线段 DE, AE, BD 的中点，A, C, D 和 B,C, E分别共线，则FH和FG的数量关系是,位置关系是.合作探究：（2）如图2,若将图1中的 DEC绕着点C顺时针旋转至A, C, E在一条直线上，其 余条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由.（3 ）如图3,若将图1中的 DEC绕着点C顺时针旋转一个锐角，那么（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由.27.如图，菱形ABC。的顶点A,。在直线/上，ZBAD=60,以点A为旋转中心将菱 形ABCD顺时针旋转。(0。30。)，得到菱形4

14、*。, 交对角线AC于点W, CD 交直线/于点N,连接当MNBD时,解答下列问题：(1)求证：2 ABM边 AADN；(2)求a的大小.28 .如图，在 4ABC 中，NACB = 90 ,点 P 为 AABC 内一点，连接 PA, PB, PC, 求PA+PB+PC的最小值，小华的解题思路，以点A为旋转中心，将MPB顺时针旋转 60得到AAMN，那么就将求PA+PB+PC的值转化为求PM+MN+PC的值，连接CN, 当点P，M落在CN上时，此题可解.(1)请判断AAPM的形状，并说明理由；(2)请你参考小华的解题思路，证明PA+PB+PC=PM+MN+PC：(3)当 4c = 8C = 2

15、,求 PA+PB+PC 的最小值.29 . (1)如图(a)所示，点。是正方形ABC。内的一点，把绕点3顺时针方 向旋转，使点A与点。重合，点P的对应点是Q.若24 = 3, PB = 2历，PC = 5, 求N8QC的度数.(2)如图(b)所示，点。是等边三角形48c内的一点，若P4 = 12, PB = 5,PC = 13, 求N8P4的度数.30 .如图所示，在RtZA3C 中，ZC = 90 , AC = 1, BC = JJ，点。为内一点，连接A。、BO、CO,且NAOC = /CO8 = 3OA = 120 （1）以点3为旋转中心，将.AOB绕点3顺时针方向旋转60。，得到“。右（

16、得到A、。的对应点分别为点A、O），按要求画图（保留作图痕迹）.（2）在（1）的条件下，求NA2C的度数及OA + O8 + OC的值.参考答案1. D【解析】【分析】如图，作DH_LAC于H,连接HG延长HG交CD于F,作HEJ_CD于H.证明 ADPADHG, 推出NDHG=NDAP=定值，推出点G在射线HF上运动，推出当CG_LHE时，CG的值最 小，想办法求出CG即可.【详解】如图，作DH_LAC于H,连接HG延长HG交CD于F,作HELCD于H.VDGPGt DH1AC, ，NDGP=NDHA,VZDPG = ZDAH,AAADHAPDG, AD _ DH而一砺ZADH = ZPDG

17、,，NADP=NHDG,AAADPADHG,NDHG=NDAP=定值， 点G在射线HF上运动， 当CG_LHE时,CG的值最小, .四边形ABCD是矩形，NADC=90。，AZADH+ZHDF=90tVZDAH+ZADH=90t:.ZHDF= ZDAH= NDHF, ，FD = FH,VZFCH+ZCDH=90% ZFHC+ZFHD=90%AZFHC = ZFCH. FH = FC = DF=3,在 RS ADC 中，VZADC=90% AD=4, CD = 3,，AC=6+对=5,DH =ADDC_U AC T/Q：CH=m ,DH CH _36 itn,CD 25VZCFG=ZHFE, Z

18、CGF=ZHEF=90, CF=HF,AACGFAHEF (AAS),36 ACG = HE= ,25.CG的最小值为四, 25故选D.【点睛】本题考查旋转变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解 直角三角形等知识，解题的关犍是学会添加常用辅助线，构造相似三角形核或全等三角形解 决问题，属于中考选择题中的压轴题.2. B【解析】【分析】连接OB、OC,如图，利用等边三角形的性质得NABO=NOBC=NOCB=30。，再证明 ZBOD=ZCOE,于是可判断 BODTZkCOE,所以BD=CE, OD=OE,则可对进行判断: 利用 S.bod = S“在得到四边形ODB

19、E的面积=-SMBC = 3x/3，则可对进行判断：作OHLDE,如图，则DH=EH,计算出臬。以二二利用臬“注而积随0E的变化而 4变化和四边形ODBE的面积为定值可对进行判断：由于 BDE的周长=BC+DE=4+DE=4+/OE,根据垂线段最短，当OELBC时，0E最小，aBDE的周长最小，计算出此时OE的长则可对进行判断【详解】解：连接OB、OC,如图， ABC为等边三角形，AZABC=ZACB=60, .点。是 ABC的中心，OB=OC, OB、OC 分别平分NABC 和NACB,:.ZABO=ZOBC=ZOCB=30AZBOC=120, RPZBOE+ZCOE=120.而NDOE=1

20、20。，RPZBOE+ZBOD=120AZBOD=ZCOE,在仆BOD和aCOE中ZBOD = ZCOEBO = CO4OBD = ZOCE BOD2 乌COE,ABD=CE, OD=OE,所以正确： c = c Lb（）D - USCOE 正x6=3jl ,所以错误:3 4四边形ODBE的面积=S,obc = SMBC作 OHJ_DE,如图，则 DH=EH, VZDOE=120S :.ZODE=ZOEH=30,. OH = -OE, HE = 0E22DE = s/3OESA()I), =-OE-y/3OE = OE22 24即Sa ode随OE的变化而变化，而四边形ODBE的面积为定值，S

21、qde，S、bde所以错误；VBD=CE,.,.BDE 的周长=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=4+DE=6+7JOE,当 OE_LBC 时，0E最小，ABDE的周长最小,此时OE=JJ，. BDE周长的最小值=6+3=9,所以正确.故选：B.【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等：对应点与旋转中心所连线段的夹角 等于旋转角：旋转前、后的图形全等.也考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性 质.3. C【解析】【分析】根据旋转的性质及直角坐标系的特点即可作图找到旋转中心.【详解】如图，连接AD.BE,分别作其垂直平分线，其交点即为旋转中心，即为(0, 1)

22、, 故选C.【点睛】此题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟知旋转中心的特点.4. A【解析】.,将R3 AOB绕原点0顺时针旋转90。得到等腰直角三角形AQBi,且AQ=2AO, A山 i=OAi,再将R3 AQBi绕原点O顺时针旋转90。得到等腰三角形A2OB2,且A?O=2AQ, A2B2=A2O.,依此规律，每 4 次循环一周，Bi (2, -2), B2 ( - 4, -4), B3 (-8, 8), B4 (16, 16),V 20174=504.!,，点B2017与Bi同在第四象限，V - 4= - 22 , 8=23, 16=2力工点 B2W (22017, -22017),故选

23、A.【点睛】本题考查了点的坐标变化规律，得出B点坐标变化规律是解题关键.5. B【解析】【分析】利用旋转的性质得CE=CF, ZECF=ZBCD=90, ZDFC=ZBEC=650,则利用等腰直角三 角形的性质得NCFE=45。，然后计算NDFC与NCFE的差即可.【详解】解：BCE绕点C顺时针方向旋转90。得到 DCF, .CE=CF, ZECF=ZBCD=90, ZDFC=ZBEC=65,ZCFE=45,，ZEFD=65-45=20.故选：B.【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等：对应点与旋转中心所连线段的夹角 等于旋转角：旋转前、后的图形全等.6. C【解析】【分析】

24、根据题意逐个变换即可，看是否能和后面的图形重合.【详解】解：根据题意分析可得：都可以使 ABC变换成PQR.故选C.【点睛】本题主要考查图形的平移和旋转，关键在于先对点进行平移和旋转，再将点连成图形.7. B【解析】【分析】将 AND绕点A逆时针能转60。得到 AMDMD=MD,易得到 ADDIa AMM均为等 边三角形，推出AM=MM可得MA+MD+ME=DM+MM+ME.共时最短;由于点E也为动点， 可得当DEBC时最短，此时易求得DE=DG+GE的值【详解】将 AMD绕点A逆时针旋转60。得到 AM。，易得到 ADZT和 AMMl匀为 等边三角形，；.MA+MD+ME= D M+MM+M

25、E,.D1W、MW、ME共线时最短，由于点E也为动点，.当D E1BC时最短，此时易求得DE=DG+GE=4+3,.MA+MD+ME 的最小值为 4+3 .故选区【点睛】此题考查旋转的性质，解题关键在于利用旋转的性质求解8. A【解析】分析：先求得直线AB解析式为y=x-l,即可得出P (0, -1), 成中心对称，利用中点公式，即可得到点AT勺坐标.详解：二点B, C的坐标分别为(2, D, (6, 1), ZBAC=90二.ABC是等腰直角三角形，AA (4, 3),3=4k+b设直线AB解析式为丫=1,AB=AC,解得=1b=- 直线AB解析式为y=x-l,令 x=0,则 y=-l, P

26、 (0,-1),又丁点A与点A，关于点P成中心对称, 点P为AA，的中点，设 A(m, n),贝i竺二0, -=-1, 22.*.m=-4, n=-5,AA (-4, -5),故选A.点睛：本题考查了中心对称，等腰直角三角形的运用，利用待定系数法得出直线AB的解析式是解题的关键.9. B【解析】分析：本题通过观察全等三角形，找旋转中心，旋转角，逐一判断.详解：A.根据题意可知 AE=A8, AC=ADt ZEAC=ZBAD=35, EACBAD,旋转角NEA8=90。，正确；B.因为平行四边形是中心对称图形，要想使aACB和D4C重合，工ACB成该以对角线的交点为旋转中心，顺时针旋转180。，

27、即可与DAC重合，错误；C.根据题意可知NEAC=135。，ZEAD=3600 - ZEAC - ZCAD=i35Q, AE=AE,AC=AD. EAC=/EADf 正确；D.根据题意可知NO4O=135。，ZEAD=360Q - ABAD - ZBAE=135, AE=AB.AD=AD, EADABADt 正确.故选B.点睛：本题主要考查平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点.10. B【解析】【分析】根据旋转的性质可知：AC=AC, NA=NCA, NACW=N8C8=a,根据三角形的内角和 以及等腰三角形的性质即可求解.【详解】解：:将A8C绕点C按逆时针

28、方向旋转得AEC,，AC=AC, NA=NC4B, NAC4= N3CB=a,A=/68 =些二幺旦故选B.【点睛】 考查旋转的性质，三角形的内角和，掌握旋转前后对应线段相等，对应角相等是解题的关键.11. 3 + 26【解析】【分析】 证明 CDG是顶角为150。的等腰三角形，再证明DHJ_CG,解直角三角形求出DH即可解决问题.【详解】 解：由题意：ZADE=150, AD = DE=2, .ZEDH=30VAB/7CD, .ZCDH=ZA=75,VZCDG=150%AZCDH=ZGDH=75,；DC = DG,Z.DHXCG, .-.DH=DE*cos30= 73在CG上取一点k,使得D

29、K=GK,VZKDG=ZKGD = 15,AZDKH=15o4-15o=30,，DK=KG=2VJ, HK=3,，GH=3+2C，故答案为3+26.【点睛】本题考查旋转变换，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添 加常用辅助线，构造直角三角形进行求解.12 .先以点。为旋转中心，逆时针旋转90。，再将得到的三角形沿x轴翻折.【解析】【分析】根据旋转的性质，平移的性质即可得到由 DEF得到 ABC的过程.【详解】由题可得，由。石尸得到ABC的过程为：先以点O为旋转中心，逆时针旋转90。，再将得到的三角形沿x轴翻折.（答案不唯一） 故答案为：先以点。为旋转中心，逆时针旋转9

30、0。，再将得到的三角形沿x轴翻折. 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，平移，对称，解题时需要注意：平移的距离等于对应点 连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的 大小.13 . 5【解析】【分析】连接月E,如图，利用勾股定理计算出48 = 2行，根据旋转的性质得到NBAO=90。，AD= AB=2小,根据平移的性质得到EFA& AE=CG, AE/CG,接着证明四边形ACGE为 矩形得到N4C=90。，然后证明Ria AQEsRs利用相似比求出AE,从而得到CG的长.【详解】解：连接AE,如图，在 RS ABC 中，45=&心4、=2,线段AD由线

31、段AB绕点A逆时针方向旋转90。得到，：.ZBAD=90Q, AD=AB=2 下,MEFG由 ABC沿CB方向平移得到，当直线房恰好经过点D时, :EFAB, AE=CG, AE/CG.而 NAC8=90。，四边形ACGE为矩形，A ZEAC=90,: FD/AB,：.乙4。七=90。，VZ1+Z2=9O, Z2+Z3=90%AZ1 = Z3,*. RtA ADEsRtA ACB,.9 = 即与=毡,解得AIAB AC 2754：.CG=5.【点睛】考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了等腰直角三角形的性质和正方

32、形的性质.也考查 了平移的性质.14. 6 + 1【解析】【分析】如图，作DMJBC于M, FJLDM于J交AB于N.首先说明点F在直线1上运动(直线1与直线AB之间的距离为 6+1),根据垂线段最短可知，当AF_L直线1时，AF的值最短,最小值为JJ+1.【详解】解：如图，作DMJ_BC于M, FJJ_DM于J交AB于N.B EC IIRS ABC 中，ZABC=90, ZBAC = 30, BC=2,，AC=2BC=4, AB=CBC=23VAD=DC. DMAB.I 厂，DM= _ AB=6 BM = CM=1, 2易证四边形BMJN是矩形，AJN=BM=hVZFDJ+ZEDM=90t

33、ZEDM+ZDEM = 90,，NFDJ=NDEM, V ZFJD=ZDME=90,.AFJDADME(AAS)t.FJ = DM=G，fn=fj+jn=i+5点F在直线1上运动(直线1与直线AB之间的距离为6 + 1),根据垂线段最短可知，当AFJ_直线1时，AF的值最短，最小值为：JT + 1,故答案为：JJ + 1.【点睛】本题考查旋转变换，解直角三角形，全等三角形的判定和性质垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.15. 上小【解析】 在RSAEF中，由勾股定理可得EF=JJ ,把 AEF绕点A逆时针旋转45。可得 AEFi,

34、可得 EE=EF= JI, NEiAM=45。，可得 AM=FiM= ,因 AB=2忘,可得 DM=I ,在RSDMR中，由勾股定理可得DF尸有，利用SAS证明 ABEigAADFi,根据全等 三角形的性质可得NE|BA=NADF,由此易证BG_LDF1,因EFiAB,根据平行线的性质 可得NEBA=NGEFi,所以NADF产NGEFi,即可证明 GEiRsaMDR,根据相似三角FM DE - rJs形的性质可得Tk =不U，即245 ,解得FiG=t ,所以收而=正5点睛：本题是正方形、旋转、全等三角形、相似三角形的综合题，解决本题的关键是根据已 知条件，正确画出图形；会综合运用正方形的性质

35、、旋转的性质、勾股定理、全等三角形的 判定与性质、相似三角形的判定与性质解决问题.1 216. ci .4【解析】【分析】首先根据等边三角形、“双旋三角形的定义得出 4夕。是顶角为150。的等腰三角形，其中AB=AC=a.过C作CD于O,根据30。角所对的直角边等于斜边的一半得出CD=1aC=L/,然后根据S“bc= AB-CD即可求解.【详解】丁等边 ABC 的边长为“，：.AB=AC=h ZBAC=60.:将 ABC 的边 AB 绕着点 A 顺时针旋转 a（0Va90。）得到 AB ：.ABAB=a, /B，AB=a.:边AC绕着点A逆时针旋转0 （0。 . 田以90乃2& 局 EF 的长

36、=/2 兀.180c【解析】【分析】CC AC连接AC, AG, AC,由旋转可得，先证得AABBAACC得出，再利用等腰直角 BB AB三角形性质建立方程求出AB、AC的值，然后进而得出答案【详解】连接力CAG,AC,由旋转可得，易证CC9 ACSABBAACC；/. = / ABf = BG; AABG 是等腰直角三角形，设BB ABAB = AB = X,则 AG = x, DG = x-4, /. 72+(x-4)2 =(/Iv)2,解得 x = 5,/. AB = 5, AC = 5/74,/.CC _AC _斥同一五一_T【点睛】本题主要考查了图形旋转的性质以及三角形相似的性质的运

37、用，熟练掌握相关概念是解题关 键20. 6+372 -【解析】【分析】过点工作于点则 DEW为等腰直角三角形，根据角平分线以及等腰直角三角 形的性质即可得出OE的长度，再根据正方形以及旋转的性质，即可得出线段8E的长.【详解】如图所示，过点E作EMJ_BD于点M. .四边形ABCD为正方形， . ZBAC=45,ZBCD=90,.DEM为等腰直角三角形. BE 平分NDBC, EMBD, ECBC,.EM=EC=3, ,.DE=&EM=3后，BC=CD= 3yll+3.由旋转的性质可知：CF=CE=3,BF=BC+CF= 372 +3+3=6+ 3 近.故答案为6+3JL【点睛】过点E作EM1

38、BD于点M, plijA DEM为等腰直角三角形，根据角平分线以及等腰直角三 角形的性质即可得出DE的长度，再根据正方形以及旋转的性质，即可得出线段BF的长. 21. (1) DE/AC, S=S2.(2)答案见详解.【解析】【分析】（1）利用旋转可知C4 = C）,根据 = 30,得出AOC是等边三角形，所以ZEDC = /DCA ,证得。石AC,由图得知AOC和8DC同高，AOC和ACE同高，利用三角形面积公式，得到，=S? （2）由图形是旋转得到，利用A4S可以证明ACN0.QCM,所以AN = 0M,利用 三角形而积公式可以求证.【详解】(1)如图2中，由旋转可知：CA = CD,V

39、ZACB = 90, 4 = 30。，:.ACAD = 60 , AOC是等边三角形，:.ZDCA = 60 , ZEC) = 90, ZDEC = 30。， ZCDE = 60.:.NEDC = ZDCA ,:.DE/AC,*： AB = 2AC , AD = AC ,: AD = BD，S bdc = BD x sin 30 BC . S ADC = AD x sin 30 BC c = q &BDC _ u wc,DE/AC, c = q 26 Aoe - &ACE， C = Q, 3BDC -即：S=S-(2)如图3中，,. aDEC是由AA8c绕点C旋转得到, :.BC = CE,

40、AC = CD.,: ZACN + /BCN = 90, ZDCM + /BCN = 180。- ZDCE = 180 - 90 = 90 , :.ZACN = ZDCM ,在 AACN 和)CM 中，ZACN = ZDCMCE, PN/AD. PN=BD,从而得到PM=PM 22NMPN=60。，从而可判断 PA/N为等边三角形；（2）连接CE、BD,如图2,先利用旋转的定义，把 A3。绕点A逆时针旋转60。可得到CAE,则 BO=CE, ZABD=ZACE,与（1） 一样可得 PM=PN, NBPM=/BCE, /CPN=/CBD,则计算出N8PM+NCPN=120。，从而得到NMPN=6

41、0。,于是可判断 PMN为等边三角形.（3） AB - ADBDAB+AD （当且仅当点8、A、。共线时取等号）得到8。的最大值为4,则PN的最大值为2,然后可确定PMN的周长的最大值.详解：（1）如图1.ABC 为等边三角形，：.AB=AC, ZABC=ZXCB=60.9：AD=AE, ：.BD=CE.点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点，11:.PM/CE, PM=CE, PN/AD. PN= BD, 22:.PM=PN, NBPM=NBCA=6。, /CPN=NCBA=60。,，NMPN=60。，HWN为等边三角形；故答案为等边三角形：（2） PMN的形状不发生改变，仍然为等边三角形

42、.理由如下：连接C BD,如图2.9：AB=AC9 AE=AD9 N8AC=NOAE=60。，.把4 ABD绕点A逆时针旋转60。可得到 CAE,：.BD=CE. ZABD=ZACE9与（1） 一样可得 PMCE, PM=-CE9 PN/AD. PN=、BD, 22:.PM=PN, /BPM=/BCE, /CPN=/CBD,：.ZBPM+ ZCPN= Z CBD+ Z CBD= ZABC - ZABD+ ZACB+ ZACE=600+60= 120,，NMPN=60。，：.APMN为等边三角形.（3）PN=!b。，.当8。的值最大时，PN的值最大. 2,：AB - ADBDAB+AD （当且仅

43、当点8、A、。共线时取等号）8。的最大值为1+3=4, .,.PN的最大值为2,的周长的最大值为6.点睛：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等：对应点与旋转中心所 连线段的夹角等于旋转角：旋转前、后的图形全等.也考查了等边三角形的判定与性 质和三角形中位线性质.23. （1） AC=CN； （2）成立，证明见解析：（3） CAN能成为等腰直角三角形，此时旋转 角为60。.【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得NNEM=NADM,由中点的定义可得DM=EM,利用ASA可证 明ADMgaNEM,可得AD=NE,根据全等三角形的性质可得AD=BC, AB=CE,根据等 量代换的NE=

44、BC,由NBEC=30。，可得NNEC=NABC=120。，利用SAS可证明 ABCgaNEC,即可证明AC=NC,可得答案；（2）设旋转角为同（1）可证明MENgZiMDA,可得NE=BC,可利用a表示出NABC、 NDBE,根据平行线的性质可用a表示出NCEN,即可得出NABC=NCEN,利用SAS可证 明ABCgACEN,即可证明（1）中结论依然成立；（3）由 CAN为等腰直角三角形，AC=CN可得NCAN=90。，设旋转角为夕，可知旋转过程中NABC=120，+/，可得NABCT80。时，NCAN=90。，进而求出夕的度数即可.【详解】（1） AC与CN数量关系为：AC=CN.理由如下

45、：VABADABCE,，BC=AD, EC=AB,ENAD, ZDAB=90,AZMEN=ZMDA. ZBEN=90,V ZBEC=30, ZBCE=90,AZCEN=120, ZABC=120,.ZCEN=ZABC,M为DE的中点，.MD=ME,ZMEN = ZMDA 在aMEN 与aMDA 中，| ME = MD ,ZEMN = ZDMAAAMENAMDA (ASA),，EN=AD,AEN=BC.AB = EC在a ABC 与a CEN 中，, ZABC = ZCEN ,BC = ENAAABCACEN (SAS),AAC=CN.(2)结论仍然成立.理由如下：与(1)同理，可证明 MENg

46、ZkMDA,，EN=BC.设旋转角为明:.ZABC=1200+a,VZABD=30,AZDBE=150-a.VBD=BE,AZBED=ZBDE=- (1800-ZDBE) =15+-a, 22VEN/AD,A ZMEN=ZMDA=ZADB+ZBDE=60+ (15+-a) =75。+! a,22A ZCEN=ZCEB+ZBED+ZMEN=30+ (15+-a) + (75+ia) =120。+%22，/ABC=NCEN,AB = EC在 ABC 与仆 CEN 中，, ZABC = ZCEN ,BC = ENAAABCACEN (SAS),AAC=CN.(3)如图，设旋转角为夕，0图 1 中 NABC=120。,，旋转过程中，ZA