2013年全国初中数学联合竞赛试题及详细解答(含一试二试)

1、2013年全国初中数学联合竞赛试题、选择题(本题满分第一试42分，每小题7分)1.计算4.3272 ,41 24应()(A) 221 (B) 1(C)展 (D) 22.满足等式m2 m 22 m1的所有实数m的和为(A) 3(B) 4(C) 5(D) 63.已知AB是圆O的直径,C为圆。上一点， CAB15°, ACB的平分线交圆 。于点D,若CD 百，则AB=(A) 2(B)褥 (C) 2&(D) 324.不定万程3x 7xy 2x5y 170的全部正整数角(x,y)的组数为(A) 1(B) 2(C) 3(D) 45矩形ABCD的边长 AD=3AF分别与DE, DB交于点，

2、AB=2 ,E为AB的中点,M, N,则 MN=()F在线段BC上，且BF: FC=1: 2,(A)迤(B)妪14© 91(D)11v528286.设n为正整数，若不超过 所有“好数”之和为(A) 33(B) 34n的正整数中质数的个数等于合个数，则称 n为 )(C) 2013(D) 2014“好数”，那么,二、填空题(本题满分 28分，每小题7分)1 .已知实数 x, y,z满足 x y 4, z 1 xy 2y 9,则 x 2y 3z 3 一2 .将一个正万体的表面都染成红色，再切割成n (n 2)个相同的小正万体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目

3、相同，则n=3 .在 VABC 中，A 60°, C 75°, AB 10 , D, E, F 分别在 AB , BC , CA 上，贝U VDEF 的周长最小值为4 .如果实数x, y, z满足x2 y2 z2xy yz zx 8,用A表示x y,|y z，z x 的最大值，则A的最大值为第二试（A）2一、（本题满分20分）已知实数a,b,c,d满足2a2 3c2 2b2 3d2 ad bc 6,求a2 b2 c2 d2 的值。二、（本题满分25分）已知点C在以AB为直径的圆。上，过点B、C作圆O的切线，交一，.9PB ,于点P,连AC ,若OP -AC ,求的值。2 A

4、C、（本题满分25分）已知t是一元二次方程x2 x 10的一个根，若正整数a,b,m使得等式at m bt m31m成立，求ab的值。（本题满分20分）已知t第二试（B）1 ,若正整数a,b,m使得等式 at m bt m 17m成立，求ab的值。二、（本题满分25分）在 ABC中，AB>AC , O、AB-AC=2OI 。求证：（1） OI / BC;I分别是 ABC的外心和内心，且满足AOCS AOB2SAOI °三、（本题满分25分）若正数a, b, c满足,222b c a2bc22,2cab2ca22a b2ab3,b2求代数式2c2bc22c a2cab22. 22

5、a b c2ab的值。2013年全国初中数学联合竞赛试题解析说明：第一试，选择题和填空题只设 7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准 规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评 卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数第一试一、选择题(本题满分 42分，每小题7分)1 .计算 “3 2 41 24/2 B B)(A)展 1 (B) 1 (C) 22(D) 2m2 m 22.满足等式2 m1的所有实数m的和为(A)(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6当2-加=1即阳=1时，满足所给等式工当2加=7即m=3时，(2 =满足所给等式事当2一

6、加,土1即泄注1且阳丈3时，由已知等式可得：脚,一曜一2 = 0且2-冽学0,解得阳二 -1.因此,满足等式Q 布尸7=1的所书实数所的和为1 + 3 +(1) = 3.3.已知AB是圆。的直径，C为圆。上一点，CAB 15°, ACB的平分线交圆 。于点D,若 CD 73 ,则 AB= (A)(A) 2(B)亚 (C) 272(D) 3连接。C,作QM1CD 丁点M,则可得NOCMh 450 15° = 30，所以CM= - OC,所以 dE = 2OC = 224.不定万程3x 7xy 2x5y 17 0的全部正整数解(x,y)的组数为(B)(A) 1(B) 2(C)

7、3(D) 4由31+7盯-2工_57_1 了 = 0得y=士上梦二.又马y为正整数，所以1之1，¥之1，从而 7工一5可得一39+2工十17之715*所以3/+54£22,所以只可能工=1第# = 2当常=1时，可再y = 8：当工=2时*可得，=1 +因此.不定方程3d+ 7划-2工-5»-17 = 0的全部正整数解(HJ)有两组：1I，8)和(2, 1),5矩形ABCD的边长 AD=3 , AB=2 , E为AB的中点，F在线段 BC上，且BF : FC=1 : 2, AF分别与DE, DB交于点 M, N,则MN= (C)(A)迤(B)迤©逋(D)

8、泉71428281答】g .人-g , FNBNBF 1br“1JV 1方易知所以= = =所以硒=不乂 N = ：HF.ANNDAD 334延氏OE,CB交丁点G,则MMDsAFMG,所以当普工2，所以月时=：产W =彳人尸rAf FG 44,因此 A/7V = AF-月M-FN =&F ：j4FAF = 从F =2+ B广二，742 S 2o2b6.设n为正整数，若不超过 n的正整数中质数的个数等于合个数，则称 n为“好数”，那么, 所有“好数”之和为(B)(A) 33(B) 34(C) 2013(D) 2014内为】既不是质数也不是合数，所以“好虹一定是奇数，设不超过灯的正整数中

9、质数的个数为4,合数的个数为"，当"S15时，列表如FC只考虑融为奇敷的情况；.一一n13579111315023445660012456B显然.It 9- lb 13是好数.因为= 当用之16时，在/ = 15的基础匕 每增加两个数，其中必有一个为偶数.当然是合数.也就是说，埔加的合敕的个数不会少于增加的质数的个数t所以一定书r”,-小三2,故当收之】6时，用不可能是“好数”.因此，所有"好数”之和为1+9+11 + 13=34.二、填空题(本题满分 28分，每小题7分)1 .已知实数 x, y, z满足 x y 4, z 1 xy 2y 9,则 x 2y 3z

10、 4由i + y= 4 得r=4 - y,代入 | / + I仁孙+ 2y 9 得| 工+1= 6y_ 9 = -(y-3)2，所以 w = -1,y = 3 . jr= 1 > AKffU x + 2j + 3z = 4 .2 .将一个正方体的表面都染成红色，再切割成n3(n 2)个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n= 8只有一个面染红色的小正方体的总数为尸个，任何面均不是红色的小正方体的总数为5-2-个，由题意知65 = 2产=5 = 2)3,解得k = s3 .在 VABC 中， A 60o, C 75o, AB 10 , D

11、, E, F 分别在 AB , BC , CA 上，则 VDEF的周长最小值为 _5、.6_作点E关于月B, /C的对称点尸，。，连接HE, AP. AQ，DP, 町户Q,则/户/。=【20工 且乂F = AQ=AE、作MH工BC于前H.那么，£»£产的周氏i = l>e+dfef = pd+df-f>pq=ap = ae>45ah ,HUXH = 10cosZ/? = 10cos450 = 5>/2 ,所以八,谓且仅当点£与点F,正合,且尸,。，尸,Q四点共线时取得等号.4 .如果实数x, y, z满足x2 y2 z2xy yz

12、 zx 8,用A表示x y,|y z, z x 的 最大值，则A的最大值为由已知邺式得（耳_,y +（产/1+Q_#y =16.不妨设工一y|,则平时取律A2 (x-y)2 =(y-z) + (-x)2 玉2(沙一胃)工十 (工一幻'二"16 (工一y)。= 2(16 K),4诟4屈所以H的最大值为畔，当I工用=-，|7一工用工刘二 JJ第二试（A）、（本题满分220分）已知实数a, b, c, d满足2a3c22b23d22ad bc 6,求d2的值。解：设m a2b2, n c2 d2,贝U 2m 3n 2a22b23 c23d212.因为2m 3n222m 3n24mn

13、 24mn ,即 12224mn ,所以mn 6又因为mnb2d2b2acbdad2bcad2bc可得mn6.即符合条件的实数a, b,c,da ,2, b 1,c ,d 32、3八一就是一组。二、（本题满分25分）已知点C在以AB为直径的圆。上，过点B、C作圆。的切线，交9PB于点P,连AC ,若OP 9 AC ,求的值。2AC解：连OC,因为PC, PB为圆。的切线，所以/ POC=/POB又因为 OA=OC所以/ OCA=/ OAC又因为/ COBW OCA廿 OAC 所以 2 / POB=2/ OAC 所以/ POB=Z OAC 所以 OP/ AC=又/ POB=/ OAC 所以 VB

14、AC : VPOB ,所以ACOB一 9又 OP -AC , 2AB=2r , OB=r （r为圆O的半径）ABoOP，代入可求得OP=3r,AC= 2 r.在RtVPOB中，由勾股定理可求得 PB JOP2 OB2 2 J2r。所以 PB2J13,2 oAC 2 r I30的一个根，若正整数a,b,m使得、（本题满分25分）已知t是一元二次方程x2 x 1等式at m bt m31m成立，求ab的值。解：因为t是一元二次方程x2 x 10的一个根，显然t是无理数，且t2 1 t。等式 at m bt m31m 即 abt2 m a b t m2即 ab 1 t2ma b t m 31m,即

15、m a b ab t2ab m 31m0.因为a,b,m是正整数，t是无理数，所以m a bab 0,a b 31 m,于是可得2ab m2 31m 0,ab 31m m .因此，a,b是关于x的一元二次方程 x22m 31 x 31m m0的两个整数根，该方程的判别式22m 314 31m m31 m 31 5m 0.又因为a,b是正整数，所以a b31 m 0,从而可得0315又因为判别式 是一个完全平方数，验证可知，只有 m 6符合要求。把m 6代入可得ab 31m m2 150.第二试（B）（本题满分20分）已知t J2 1 ,若正整数a,b,m使得等式 at m bt m 17m成立

16、，求ab的值。解：因为t 22 1 ,所以t2 3 2亚.等式 at m btm 17m 即 abt2m a b tm2 17m,即 ab 3 2>/2m a b 1 m2 17m ,整理得 m a b2ab 2 3abm a bm217m0于是可得a b 2 17 m2ab 17m m .因此，a,b是关于x的一元二次方程x2一， _2 一2(m 17)x 17m m 0的两个整数根,224 m 174 17m m4 17 m 17 2m0.0 ,从而可得0 mm 8符合要求，172又因为a,b,m是正整数，所以a b 2 17 m又因为判别式是一个完全平方数，验证可知，只有2把m 8

17、代入得ab 17m m 72。二、（本题满分 25分）在 ABC中，AB>AC , O、I 分别是 ABC的外心和内心，且满足 AB-AC=2OI。求证：（1） OI / BC;（2）S AOC S AOB 2s AOI。证明（1）作 OM LBC于 M IN LBC于 No设 BC=a , AC=b , AB=C。易求得 cm= a, cn= - a b c ,所以 mn=cm-cn= _ c b =oi , 222又MN恰好是两条平行线 OM , IN之间的垂线段， 所以OI也是两条平行线 OM , IN之间的垂线段，由 则所以OI / MN(1)知 OMNI所以OI / BQ是矩形

18、，连接BICI,设OM=IN= r (即为ABC的内切圆半径）SVAOCSV AIBSVBOISVCOISVAICSV,r OI1b1-c2SV22AIBAOI .25分）若正数a,b,c满足2Svaoi2SVAOISVCOISVAICSVAOBSVAOI2SVAOISV AOI1-OI2SVBOI1-OI21r AC21 AB r2三、（本题满分.222b c a2bc22. 2cab2cab22ab3,b2求代数式2c2bc22c a2cab22, 22a b c2ab的值。解：由于a,b,c具有轮换对称性，不妨设c.(1)0,c0,从而得:b22 c2bc2bc1,22. 2cab2ca

19、b22ca1,222aba2ab2ab1,b2 c2 所以b一-b2b22bc2ca2ab3 ,与已知条件矛盾。b,0b a ,从而可得:b2 c22bc2bc1,22,2cab2ca2cab21,2ab2ab1,2.22aba2ab22a b c12ab1,222 222,2 2所以bcacab2bc2ca2ab3 ,与已知条件矛盾。综合(1) (2)可知：一定有cab.于是可得,222b c a2bc2 c 1-22a b2ca1,2,22a b c2ab所以b22bc22, 22, 22c a b a b c , 1.2ca2ab怎样才能学好数学一、把握好课堂的每一分钟如今的小学数学教师

20、，都比较重视课堂教学的效益，所以，老师最期盼的事情就是：学生能够专心听讲，眼睛时刻盯在老师身上， 或者盯在黑板上。这里为什么要强调 "丁” ？因为“盯” 与“看”的意思有很大不同。看，是指使视线接触人或物。盯，在百度百科中的解释是：注 视，集中视力看着，不放松。由此可见，“看”只是指学生的眼睛接触到了人和物，究竟有没用用心地看，则说不准。而“盯”的意思是指学生用心的看，并且在看的过程中持续地思 考。作为小学数学老师，我们往往都会有这样的感觉：在上课时，全班有99%学生的学生都是看老师、看黑板，但是，他们的学习效果却会相差很大，其原因实际上就是“盯”与“看” 的区别。有的学生只是看老师讲，但没有用心地看，不动脑筋，那样的听课效果肯定很差。而有的学生是用心地看老师讲解，并且在看的过程中还用心思考，所以成绩就好。因此，我觉得，只要学生能够把握好课堂的每一分钟，把老师讲解的知识点都能吸收和消化，那么，他的成绩一定会很好。相反，如果课堂上不用心听讲，指望课后再去弥补