人教版初中数学八年级下册《第18章平行四边形：18.1平行四边形》同步练习卷2020.2

1、第3页（共59页）人教新版八年级下学期18.1平行四边形2020年同步练习卷一.选择题（共10小题）1 .如图，D是4ABC内一点，BDCD, E、F、G、H分别是边 AB、BD、CD、AC的中点.若AD=10, BD=8, CD=6,则四边形 EFGH的周长是（）A . 24B. 20C. 12D. 102 .如图，在 ABC中，BC = 6, E, F分别是 AB, AC的中点，动点 P在射线 EF上，BP交CE于点D, /CBP的平分线交 CE于点Q,当CQ=1CE时，EP+BP的值为（）3BCA. 6B. 9C. 12D. 183 .如图，在四边形 ABCD中，P是对角线BD的中点，E

2、, F分别是AB, CD的中点，AD= BC, / PEF=18 ,则/ PFE 的度数是（）A. 9B. 18C. 27D, 364 .如图所示，在 ABC中，AB=AC, D, E分别是AB, AC的中点，F, G为BC上的点, 连接 DG、EF,若 AB=5cm, BC=8cm, FG = 4cm,则 HFG 的面积为（）2C. 2cm5.如图，四边形 ABCD 中，AB/CD, AB=5, DC = 11, AD 与 BC 的和是 12,点 E、F、BGA . 8B. 9G分别是BD、AC、DC的中点，则 EFG的周长是C. 10D. 126.如图，在四边形 ABCD中，AD = BC

3、, E、F、G分别是 AB、CD、AC的中点,若/ DAC7.如图，AD、BE分别是 ABC的中线和角平分线,C.72D. 36ADXBE, AD = BE=4, F为CE的中点，连接DF ,则AF的长等于（A . 2B. 3C.8 .如图， ABC的周长为32,点D、E都在边BC上，/ ABC的平分线垂直于AE,垂足)为Q, / ACB的平分线垂直于 AD,垂足为P,若BC=12,则PQ的长为（A. 3B. 4C. 5D. 69 .如图，四边形 ABCD 中，Z ADC =90 , AE=BE, BF = CF,连接 EF, AD = 3, CD=1,A .B.C.D. 2V104210 .

4、如图，在 ABC中，AD是角平分线， AE是中线，CFAD于点F, AC = 5, AB=13,则EF的长为（）A.图 B.号 C. 3 D- 4.填空题（共4小题）11 .如图，在 ABC 中，/ C=90 , E, F 分别是 AC, BC 上的点，AE=16, BF=12,点P, Q, D分别是AF, BE, AB的中点，则 PQ的长为.12 .如图，在 ABC 中，AB=8, AC = 6, AM 平分/ BAC, CM LAM 于点 M, N 为 BC 的中点，连结MN,则MN的长为.13 .如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点,AD=BC

5、,且/A+/ABC=90 ,贝U/ PEF =.14 .如图，在四边形 ABCD中，/ ADC+Z BCD=220 , E、F分别是 AC、BD的中点，P是AB边上的中点，则/ EPF=。.15 .如图，？ABCD中，/ A=45 , / ABD = 90 ,点F为平行四边形外一点，连接 CF、BF,且 BFXCF 于点 F.(1)如图1,若S?ABCD=nf, CF=5,求BF的长度；(2)如图2,延长BF、DC交于点E,过点D作DGLDF交FC的延长线于点 G,若C 为DE的中点，求证： CG = CF + EF.BE于点G,且CF = CE,连接EF.(1)若 CD = 5, DF =3

6、,求 BC 的长度；(2)如图2,若CM平分/ DCF交BE于点 M, CNXBE于点N,求证：CM + EF=J三NE.17.如图，在平行四边形 ABCD中，对角线 AC、BD相交于点 O, BD=2BC, E、F、G分 别是OC、OD、AB的中点.求证：(1) BEX AC;(2) EG = EF.18 .如图，？ABCD的对角线AC、BD相交于点O,ABXAC,AB=3,BC=5,点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位的速度向终点 D运动.连结PO并延长交BC于点Q.设点P的运动时间为t秒.(1)求BQ的长，(用含t的代数式表示)(2)当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值(3)当点O在

7、线段AP的垂直平分线上时，直接写出t的值.19 .如图，在平行四边形 ABCD中，ABWBC, AC是对角线，AE是/ BAD的平分线，交边DC的延长线于点F .(1)证明：CE=CF;(2)若/ B = 60 , BC=2AB,写出图中长度等于 2CF的所有线段.20 .如图，在平行四边形 ABCD中，/ C=60 ,过点 D作DELBC交BC于点E,且DE= AD, F为DC上一点，且 AD = FD,连接AF与DE交于点G.(1)求证：GF = GD=CE.(2)过点 A 作 AHLAD,且 AH = CE,求证：AB = DG+AH .21.在平行四边形 ABCD中，对角线 AC、BD

8、交于点O,若AB=BC,过点A作BC的垂线第15页(共59页)交BC于点E,交BD于点M, / ABC 60 .(1)若 ME = 3, BE = 4,求 EC 的长度.(2)如图，延长 CE至点G;使得EC=GE;过点G作GF垂直于AB的延长线于点 H, 交AE的延长线于点F,过点P分别作 PEL AC、 PFXBD,垂足分另1J 为 E、F, PE=PF.(1)如图，若/ EPF =60 , EO=1,求 PF 的长；(2)若点P是AD的中点，点 F是DO的中点，BF = BC+3-4,求BC的长.23 .已知：如图，在平行四边形 ABCD中，/ BAD的平分线交BC于点E,过点D作AE的

9、垂线交AE于点G,交AB延长线于点F,连接EF, ED(1)求证：EF = ED;(2)若/ ABC = 60 , AD = 6, CE=2,求 EF 的长.24 .如图，？ABCD的对角线 AC、BD相交于点 O, AC = BC.(1)如图1,过点B作BELAC于点E,若AC=8, BE = 5时，求OE的长度；(2)如图2,若/ BDC = 45 ,过点C作CFLCD交BD于点F,过点B作BG，BC且BG=BC,连接 AG、DG ,求证：AG = 2OF.3C图225 .已知如图，点 C、D 在线段 AF 上，AD = CD = CF, Z ABC=Z DEF = 90 , AB / E

10、F .(1)若 BC=2, AB=2/,求 BD 的长；(2)求证：四边形 BCED是平行四边形.26 .如图，AD是 ABC边BC上的中线，AE / BC, BE交AD于点F , F是BE的中点，连结CE.求证：四边形 ADCE是平行四边形.3 D C27 .如图，在四边形 ABCD中，AD/ BC, AC与BD交于点E,点E是BD的中点，延长CD至IJ点F ,使DF = CD ,连接AF ,(1)求证：AE=CE;(2)求证：四边形 ABDF是平行四边形；(3)若AB = 2, AF = 4, /F=30 ,则四边形 ABCF的面积为 .28 .如图，平行四边形 ABCD中，对角线 AC、

11、BD相交于点 O, AD DB,点E、F、G分别是AO、BO、DC的中点，连接 EF、DE、EG、GF.(1)求证：四边形 DEFG是平行四边形;(2)求证：EG=EF.29 .如图，在平行四边形 ABCD中，E为AD上一点，连接 EB并延长到点F,使BF = BE, 连接EC并延长到点 M,使CM=EC,连接FM, N为FM的中点，连接 AF、DN(1)求证：四边形 AFND为平行四边形;(2)在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中长度为FM的一半的所有线段.求EF的长.31.已知：如图，在四边形 ABCD中，AD=BC, P为对角线BD的中点,30 .已知PA、PB分别与。相切于A、B,

12、连接OP.(1)如图1 , AB交OP与点C, D为PB的中点，求证： CD / PA, CD=PA;2(2)如图2, OP交圆O与点E, EFPB于点F,若PA= 4后，圆。的半径为 2月,M为AB的中点,N为DC的中点.求证：/ PMN=/PNM.32.如图，点O是 ABC内一点，连接OB、OC,线段AB、OB、OC、AC的中点分别为 D、E、 F、 G.(1)判断四边形 DEFG的形状，并说明理由；(2)若M为EF的中点，OM=2, / OBC和/ OCB互余，求线段 BC的长.33 .如图，DE为 ABC的中位线，点 F为DE上一点，且/ AFB = 90 ,若 AB=6, BC =8

13、,求EF的长.34 .如图，在 ABC中，AE平分/ BAC, BEXAE于点E,点F是BC的中点.(1)如图1, BE的延长线与 AC边相交于点 D,求证：EF= (AC-AB);(2)如图2,请直接写出线段 AB、AC、EF的数量关系.35.如图，在四边形 ABCD中,AB=CD, M、N、P 分别是AD、BC、BD的中点，求证:PM= PN.S NC36 .如图，在边长为 4的等边 ABC中，D、E分别为AB、BC的中点，EFLAC于点F,G为EF的中点，连接DG.(1)求EF的长.(2)求DG的长.37 .如图，已知 ABC中，AC=BC,点D、E、F分别是线段 AC、BC、AD的中点

14、，BF、ED的延长线交于点 G ,连接GC.(1)求证：AB=GD;(2)当 CG=EG 时，且 AB=2,求 CE .38 .如图，在4ABC中，AB = AC,点D, E分别是边 AB, AC的中点，连接DE、BE,点F,G, H分别为BE, DE, BC的中点.(1)求证：FG = FH;(2)若/ A = 90 ,求证：FGXFH ;(3)若/ A = 80 ,求/ GFH的度数.39 .已知：如图，在四边形 ABCD中，对角线 AC、BD相交于O,且AC = BD, E、F分别OG=OH .是AB、CD的中点，E、F分别交BD、AC于点G、H .求证:40 .如图， ABC中，AD是

15、中线，AE是角平分线，CFXAE于F, AB=10, AC = 6,求DF的长.第31页（共59页）人教新版八年级下学期18.1平行四边形2020年同步练习卷参考答案与试题解析一.选择题（共10小题）1 .如图，D是4ABC内一点，BDCD, E、F、G、H分别是边 AB、BD、CD、AC的中点.若AD=10, BD=8, CD=6,则四边形 EFGH的周长是（）A . 24B. 20C. 12D. 10【分析】利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出 eh = fg=Ibc, ef = gh =Aad,然后代入数据进行计算即可得22解.【解答】

16、解： BDXCD, BD = 8, CD=6,BC= VeD2CD2=Vs2+62= 10，, E、F、G、H 分别是 AB、AC、CD、BD 的中点， eh= fg=-BC, EF= GH=yAD,，四边形 EFGH 的周长=EH + GH + FG+EF =AD+BC,又 AD = 10,，四边形 EFGH的周长=10+10=20,故选：B.【点评】 本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行 于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键.2 .如图，在 ABC中，BC = 6, E, F分别是 AB, AC的中点，动点 P在射线 EF上，BP 交CE于点D, /CB

17、P的平分线交 CE于点Q,当CQ=CE时，EP+BP的值为（）C. 12D. 18【分析】延长BQ交射线EF于M,根据三角形的中位线平行于第三边可得EF / BC,根据两直线平行，内错角相等可得/M = /CBM,再根据角平分线的定义可得/PBM = ZCBM,从而得到/ M = /PBM,根据等角对等边可得 BP = PM,求出EP+BP=EM,再根 据CQ=J_CE求出EQ = 2CQ,然后根据 MEQ和4BCQ相似，利用相似三角形对应边 成比例列式求解即可.【解答】解：如图，延长 BQ交射线EF于M,.E、F分别是AB、AC的中点，EF / BC, ./ M = Z CBM , BQ是/

18、 CBP的平分线， ./ PBM = / CBM , ./ M = Z PBM ,BP= PM , .EP+BP= EP+PM=EM, ，CQ=CE,3EQ= 2CQ,由 EF / BC 得， MEQs BCQ,里图:2,BC CQ.EM=2BC=2X6=12,即 EP+BP= 12.故选：C.【点评】 本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长 BQ构造出相似三角形，求出EP + BP=EM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点.3.如图，在四边形 ABCD中，P是对角线BD的中点，E, F分别是AB, CD的中点，AD = BC, / PE

19、F=18 ,则/ PFE 的度数是（）A. 9B. 18C. 27D, 36【分析】根据中位线定理和已知，易证明 EPF是等腰三角形，根据等腰三角形的性质 即可得到结论.【解答】解：二.在四边形 ABCD中，P是对角线BD的中点，E, F分别是AB, CD的中 点，FP, PE分别是 CDB与 DAB的中位线，pf = Abc pe =A1AD,22 AD= BC,PF= PE,故4 EPF是等腰三角形. . / PEF = 18 , ./ PEF = Z PFE = 18 .故选：B.【点评】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质，解题时要善于根据已知信 息，确定应用的知识. .如图所

20、示，在 ABC中，AB=AC, D, E分别是AB, AC的中点，F, G为BC上的点,连接 DG、EF,若 AB=5cm, BC=8cm, FG = 4cm,则 HFG 的面积为（）A . 1cm2B . 1.5cm2C. 2cm2D. 3cm2【分析】根据题意，易得FG = DE,从而证得 DEHGFH,再进一步求 HFG的高, 进一步求出阴影部分的面积.【解答】解：连接，作AKLBC于K. AB= AC,BK= CK =BGX 8=4,BC =2在 RtAABK 中，AK=AB2-BK2 =V52-4V3,D、E分别是AB, AC的中点,.DE是中位线，即平分三角形的高且DE = 8+2

21、=4,DE =BC=FG,DEHA GFH , H 也是 DG , EF 的中点, . HFG的高是AK-2= 1.5-2 = 0.75, 21- S 阴影=4X 0.75 + 2= 1.5.【点评】本题的关键是利用中位线的性质，求得阴影部分三角形的高，再利用三角形的面积公式计算.5.如图，四边形 ABCD 中，AB/CD, AB=5, DC = 11, AD 与 BC 的和是 12,点 E、F、G分别是BD、AC、DC的中点，则 EFG的周长是（）B. 9C. 10D. 12【分析】延长EF交BC于点H,可知EF, FH , FG、EG分别为 BDC、AABC BDC和AACD的中位线，由三

22、角形中位线定理结合条件可求得EF+FG + EG,可求得答案.【解答】解：连接AE,并延长交CD于K, AB/ CD, ./ BAE=/DKE , /ABD = /EDK, 点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点.BE=DE,ZBAE=ZDXE在 AEB 和 KED 中，ZABE=ZKDE ,BE=DEAEBAKED (AAS), .DK = AB, AE = EK, EF 为AACK 的中位线，EF =CK = (DC - DK)=(DC - AB),222 EG为ABCD的中位线，EG = yBC,又FG为AACD的中位线，EG+GF =(AD+BC),FG = AD, AD+BC= 1

23、2, AB=5, DC = 11,即 DC - AB=6,EG+GF=6, FE=3,故选：B. . EFG 的周长是 6+3 = 9.【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第 三边的一半.6.如图，在四边形 ABCD中，AD = BC, E、F、G分别是 AB、CD、AC的中点，若/ DAC【分析】根据三角形中位线定理得到D. 36FG/AD, FG=AD, GE/BC, GE=BC,根据22等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可.FG / AD, FG =A-AD,2【解答】解：F、G分别是CD、AC的中点, ./ FGC = Z DAC= 15 ,

24、E、G分别是AB、AC的中点,.GE/ BC, GE = ./EGC=180 /ACB = 93 , ./ EGF= 108 AD= BC,.GF= GE,feg = X （180 -108 ） = 36 ,2故选：D.【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.7.如图，AD、BE分别是 ABC的中线和角平分线， ADXBE, AD = BE=4, F为CE的中点，连接DF ,则AF的长等于（）A. 2B. 3C.正D. 2月【分析】根据三角形中位线定理求出 DF,根据勾股定理计算，得到答案.【解答】解：,F为CE的中点，D为BC的

25、中点，DF = -1BE=2, DF / BE, ./ ADF = 90 , ,AF = AD2+DF2=;/42+22：=胞故选：D.【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，三角形的中位线平行于第三边, 且等于第三边的一半.8.如图， ABC的周长为32,点D、E都在边BC上，/ ABC的平分线垂直于 AE,垂足为Q, / ACB的平分线垂直于 AD,垂足为P,若BC=12,则PQ的长为（）AA. 3B. 4C. 5D. 6【分析】首先判断 BAE、ACAD是等腰三角形，从而得出BA=BE, CA = CD,由4ABC 的周长为32,及BC = 12,可得DE=8,利用中位线定理可求

26、出PQ .【解答】 解：BQ平分/ ABC, BQXAE, ./ ABQ=Z EBQ, . /ABQ+/BAQ = 90 , Z EBQ+Z BEQ=90 , ./ BAQ=Z BEQ, .AB=BE,同理：CA=CD,点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），PQ是4ADE的中位线， BE+CD = AB+AC=32 BC=32 12=20,DE= BE+CD - BC = 8,PQ = AdE = 4.2故选：B.【点评】 本题考查了三角形的中位线定理和等腰三角形的性质和判定，解答本题的关键是判断出 BAE、ACAD是等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定PQ是 ADE的中位线.9.如图，

27、四边形 ABCD 中，/ADC=90 , AE=BE, BF = CF,连接 EF, AD = 3, CD=1,则EF的长为（）A .B.C.D. 2V1042【分析】连接AC,根据勾股定理得到 AC = /32 + 12=Vw,由三角形的中位线的性质定理即可得到结论.【解答】解：连接AC,/ADC=90 , AD=3, CD = 1,AC =,手十2=0j, AE= BE, BF=CF,EF = -AC =2故选：B.【点评】本题考查了勾股定理，三角形中位线定理，正确的作出辅助线是解题的关键.10.如图，在 ABC中，AD是角平分线， AE是中线，CFLAD于点F, AC = 5, AB=1

28、3,则EF的长为（A. B. C. 3D. 454【分析】 首先证明 AGFA ACF,则AG=AC = 4, GF = CF,证明EF是 BCG的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解.【解答】解：延长CF交AB于G,如图所示：AD是4ABC的角平分线， ./ GAF = Z CAF, /GAF-/C虹在4AGF和4ACF中，研寸F,AFG=NAFC=9OAGFA ACF （ASA）,-.AG= AC=5, GF=CF,则 BG = AB-AG = 13- 5 = 8.又 AE是ABC的中线，BE=CE,EF是 BCG的中位线，EF = J-BG=4.2故选：D.【点评】本题考查了全等三角形

29、的判定以及三角形的中位线定理，正确证明GF = CF是关键.二.填空题（共4小题）11.如图，在 ABC 中，/ C=90 , E, F 分别是 AC, BC 上的点，AE=16, BF=12,点P, Q, D分别是AF, BE, AB的中点，则 PQ的长为 10【分析】根据三角形中位线定理得到PD=_BF = 6, PD / BF, DQ=AE=8, DQ /AE,22证明/ PDQ = 90。，根据勾股定理计算，得到答案.【解答】解：二点P, D分别是AF, AB的中点，PD = -1bf=6, PD / BF, ./ ADP = Z ABC,同理，DQ=_!aE = 8, DQ/AE,

30、2 ./ BDQ = Z BAC, ./PDQ=180 - (/ ADP+/BDQ) =180 - (/ ABC+/BAC) =180 - (180 / C) = 90 ,由勾股定理得，PQ = J p 0 2 十口 q 2 =，2 +8 2 =10,故答案为：10.【点评】 本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于 第三边的一半是解题的关键.12 .如图，在 ABC 中，AB=8, AC = 6, AM 平分/ BAC, CM LAM 于点 M, N 为 BC 的中点，连结MN,则MN的长为 1【分析】延长CM交AB于H,证明 AMHA AMC ,根据全等三角形的

31、性质得到 AH =AC=6, CM = MH,根据三角形中位线定理解答.【解答】 解：延长CM交AB于H ,在 AMH和4AMC中，irZMAH=ZMAC，AM二AM,. AMHAAMC (ASA)，AH=AC=6, CM = MH ,.BH= AB-AH=2,. CM = MH , CN = BN,MN = BH= 1,故答案为：1.B NC【点评】 本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.13 .如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点,AD=BC,且/A+/ABC=90 ,贝U/ PEF

32、 = 45.A E B【分析】 根据三角形中位线定理得到 PE=AD, /PEB=/A, PF*BC, / DPF = /22DBC,得到PE=PF, /EPF=90 ,根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案.【解答】 解：AE = EB, DP=PB,PE = -AD, / PEB = Z A,2 DF= FC, DP = PB,PF = -BC, /DPF=/DBC, AD= BC,PE=PF, . / A+Z ABC = 90 ,EPF = / PEB + Z ABD + Z DPF = / A+Z ABD + Z DBC = 90 , ./ PEF = / PFE = 4

33、5 ,故答案为：45 .【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平 行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键.14.如图，在四边形 ABCD中，/ ADC+Z BCD=220 , E、F分别是 AC、BD的中点，P 是AB边上的中点，则/ EPF =40 .【分析】 依据四边形内角和即可得到/BAD+/ABC =140。，再根据三角形中位线定理即可得到/ BPF = /BAD, /APE = /ABC,进而得出/ APE+/ BPF = 140 ,即可得到/ EPF的度数.【解答】 解：二.四边形 ABCD中，Z ADC + Z BCD =220 , .Z

34、BAD+Z ABC=360 - 220 =140 , E、F分别是 AC、BD的中点，P是AB边上的中点，PE是 ABC的中位线，PF是 ABD的中位线，PE/ BC, PF / AD, ./ BPF = /BAD , /APE=/ABC, .Z APE+Z BPF = Z BAD + Z ABC = 140 , ./ EPF = 180 - 140 = 40 ,故答案为：40.【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.三.解答题（共26小题）15.如图，？ABCD中，/ A=45 , / ABD = 90 ,点F为平行四边形外一点，连接 CF、

35、 BF,且 BFXCF 于点 F.（1）如图 1,若 S?ABCD=ML, CF=5,求 BF 的长度；m（2）如图2,延长BF、DC交于点E,过点D作DGLDF交FC的延长线于点 G,若C为DE的中点，求证： CG = CF + EF.【分析】（1）根据平行四边形性质易证 ABD、 BCD是等腰直角三角形，利用平行四边形面积可求得 AB = BD = 1至2,再运用勾股定理即可求得 BF;2(2)在线段 CG上截取 CM=CF,连接DM ,构造 CDMACEF (SAS),再证明 DCGDBF (ASA),可得 DG = DF,进而可得/ GDM = /G = 45 , MG = DM =

36、EF,结论可证.【解答】解：（1）如图1, 四边形ABCD是平行四边形 .AB/CD, AB = CD, AD= BC ./ BDC = Z ABD =90 BD= DBABDA CDB . / A=45 .ABD、 BCD是等腰直角三角形 .BD=AB, AD=&AB.QoADnn 16gl. S?ABCD= ,2AB?BD =21372AB= BD =2BC= AD = 13 BFXCFBFC=90BF =V132-52 = 12 ；(2)如图2,在线段 CG上截取CM = CF,连接DM,.C为DE的中点，CD = CE在 CDM和CEF中fCD=CZDCM=ZECF lcM=CF.CD

37、MACEF (SAS)，DM = EF, Z DMC = Z EFC = 90DMG =90DG DFFDG = 90 =Z BDCGDC + Z EDF = / BDF+Z EDFGDC = Z BDF由(1)知： BCD是等腰直角三角形，BD=CD, Z CBD = Z BCD = 45 . / BDC+/BFC = 90 +90 =180DBF + Z DCF= 180 . / DCG + Z DCF = 180DCG = Z DBFDCGA DBF (ASA)DG = DF . DFG是等腰直角三角形G=45GDM =Z G=45MG = DMMG = EF .CG = CM+MG=C

38、F + EF .【点评】本题考查了平行四边形性质，全等三角形判定和性质，等腰直角三角形性质, 勾股定理，平行四边形面积，四边形内角和等，添加辅助线构造全等三角形，熟练掌握 全等三角形判定和性质是解题关键.16.如图1,在平行四边形 ABCD中，BE平分/ ABC交CD于点E, CFXAD于点F,交BE于点G,且CF = CE,连接EF.(1)若 CD = 5, DF =3,求 BC 的长度；(2)如图2,若CM平分/ DCF交BE于点 M, CNXBE于点N,求证：CM + EF=J NE.【分析】(1)由平行四边形性质和勾股定理即可求得结论；(2)由平行四边形性质可得/ ABC+Z BCD

39、= 180 ,再由CF，AD可得/ BCF = 90 ,再根据角平分线定义可得/EMH =/ BMC =45 ,由等腰三角形性质可得/CHE =90 ,由此可得 CMN和4EMH均为等腰直角三角形，即可证明结论.【解答】解：(1)如图1,连接BF,二四边形ABCD是平行四边形AB/ CD, AD / BC. CF1AD，/CFD=9。 BCF, 05=京卡=序手=4,BE 平分/ ABC .Z ABE=Z CBE / BEC=Z ABE .Z CBE=Z BECBC= CE,.CF= CEBC= CF = 4;(2)证明：如图2,延长CM交EF于H, - CE=CF, CM平分/ DCF ,

40、.CHIEF, EF = 2EH ./ CHE= 90 . AB/ CD .Z ABC+Z BCD = 180BCF = 90 .Z ABC+Z DCF = 90. BE 平分/ABC, CM 平分/ DCF .Z ABE =Z ABC, Z ECM= Z DCF22 / CEB=Z ABE Z BMC = Z CEB+/ ECM 君(Z ABC+Z DCF) = 45 .Z EMH =Z BMC =45,.CN1BE, .Z CNM = 90 =Z EHM ,CMN和EMH均为等腰直角三角形，cm=6mn, eh = emEF = |/2EMcm+ef =V2mn+V2em =/2 (EM+

41、MN) =6ne.【点评】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，等腰直角三角形判定和性质, 勾股定理，角平分线定义等，熟练掌握平行四边形性质和等腰直角三角形性质是解题关 键.17.如图，在平行四边形 ABCD中，对角线 AC、BD相交于点 O, BD=2BC, E、F、G分 别是OC、OD、AB的中点.求证：(1) BEX AC;(2) EG = EF.第33页（共59页）【分析】由平行四边形的性质可得 OB=BC,由等腰三角形的性质可得出BEXAC,由直角三角形的性质和三角形中位线定理可得到EG= EF .【解答】解：（1）二.四边形ABCD是平行四边形,BO =yBD,即 BD = 2

42、BO,又 BD = 2BC, .OB= BC,又点E是OC的中点, BEX AC;(2) 、F分别是OC、OD的中点,EF = -Lcd,2点G是RtAABE斜边AB上的中点， GE = -1aB,2又.平行四边形 ABCD中，AB=CD,eg= ef.第35页(共59页)【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识， 灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.18.如图，？ABCD的对角线 AC、BD相交于点 O, ABXAC, AB=3, BC=5,点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位的速度向终点D运

43、动.连结PO并延长交BC于点Q.设点P的运动时间为t秒.(1)求BQ的长，(用含t的代数式表示)(2)当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值(3)当点O在线段AP的垂直平分线上时，直接写出 t的值.【分析】(1)先证明 APOA CQO,可得出AP=CQ=t,则BQ即可用t表示；(2)由题意知AP/BQ,根据AP=BQ,列出方程即可得解；(3)如图，先求出 OA和OE的长，若O在线段AP的垂直平分线上，则 AE=/t，在RtAEO中，根据勾股定理得： AE2+OE2=AO2,列方程可得t的值.【解答】解：(1)二.四边形ABCD是平行四边形，.OA= OC, AD / BC,PAO=Z QC

44、O, . / AOP=Z COQ, .APO- CQO (ASA),AP=CQ = t,BC= 5,BQ= 5-t;(2) AP / BQ,当AP=BQ时，四边形 ABQP是平行四边形,即 t= 5- t,.当t为反秒时，四边形ABQP是平行四边形;2(3) t=-l-,如图，5B 0 F C ABC 中， AB=3, BC = 5,AC=Jsc2 re 2r51/=4,AO= CO = AC=2,2s轴匚皿版二AB?AC= BC?EF,，3X4=5X EF,即一尹，OE* . OE是AP的垂直平分线, . AE =2AP = t, /AEO=90 ,2由勾股定理得：AE2+OE 2= AO2

45、,，t=L或一曲（舍），55.当t = 理秒时，点o在线段ap的垂直平分线上.5【点评】 本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题.19.如图，在平行四边形 ABCD中，ABWBC, AC是对角线，AE是/ BAD的平分线，交边DC的延长线于点F .（1）证明：CE=CF;（2）若/ B = 60 , BC=2AB,写出图中长度等于 2CF的所有线段.【分析】（1）利用角平分线的性质结合平行四边形的性质得出/BAF = /F, /DAF = /CEF,进而得出答案；（2）利用等边三角形的判定方法得出ABE和4

46、AFD是等边三角形，再证明得出 ABE0FCE （ASA）,即可得出 AB=FC,进而可判定 ABFC为矩形，再利用矩形的性质可 得BC = AF,进而可得答案.【解答】（1）证明：如图（1）, AE是/ BAD的平分线， ./ BAF = / DAF ,.在平行四边形 ABCD中，AB/ DF , AD / BC,/ BAF = / F , / DAF = / CEF , ./ F = Z DAF = / CEF,，CE= FC;(2)解：DF = AD = AF = BC=2FC,理由：如图(2),B=60 , AD/BC, ./ BAD= 120 , . / BAF = Z DAF ,

47、./ BAF = 60 ,则 ABE是等边三角形，可得 AB=BE=AE, Z BEA=Z AFC = 60 , BC= 2AB,AE= BE= EC, .ABC是直角三角形，/ BAC=90 ,C ZABE=ZFCE在 ABE 和 FCE 中 BE=EC ,Zbea=ZcefABEAFCE (ASA),AB= FC,又 AB/ FC, 四边形ABFC是平行四边形， . / BAC=90 , 四边形ABFC是矩形. .AF=BC, AB=CF,BC= 2AB,.CB=2CF,.AF=2CF, 四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC, /D = /ABC = 60 ,AD= 2CF, . /

48、 AFC =60 , ./ DAF = 60 , . AFD是等边三角形，FD = AF,DF= 2FC.【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，得出 AB=FC是得出四边形 ABFC是平行四边形的关键.20.如图，在平行四边形 ABCD中，/ 0=60 ,过点 D作DELBC交BC于点E,且DE= AD, F为DC上一点，且 AD = FD,连接AF与DE交于点G.(1)求证：GF = GD=CE.(2)过点 A 作 AHLAD,且 AH = CE,求证：AB = DG+AH .【分析】(1)证出/ GFD = Z GDF,得出GF=G

49、D,再证明 ADGA DEC (ASA),得出GD = CE,即可得出结论；（2）根据全等三角形的性质得到/ADH = Z EDC, / H = / C, DH = DC ,根据平行四边形的性质得到 AB = CD, AB/CD,推出/ DFA=Z C,在 DH上截取 HM =AH,得2到/ HAM =/ HMA,求得/ DAM =-1-Z H,根据全等三角形的性质即可得到结论.【解答】（1）证明：二四边形 ABD是平行四边形， ./ BAD = / C= 60 , AD/BC, AB / CD, .Z ADC+Z C= 180 , /ADG = /DEC, ./ ADC= 120 , DEL

50、 BC,第39页(共59页)ADE = Z DEC =90 , ./ GDF = 30 , AD= FD, ./ DAF = Z GDF = 30 , BAF = / BAD - / DAF = 30 ,1. AB/ CD,/ GFD = / BAF = 30 =Z GDF , .GF= GD,fZAD(；=ZDEC在 ADG 和 ADEC 中，J AD=DE ,IZDAG=ZEDCADGA DEC (ASA),.GD=CE,.GF= GD=CE;(2)证明： AH LAD, DE BC, ./ DAH = Z DEC = 90 ,fAH=CE在 dah 与ADEC 中，,Iad=deDAHA

51、 DEC (SAS), ./ADH = / EDC, /H = /C, DH = DC , 四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD, AB / CD, ./ DAB = Z C, / DFA=Z BAF, AD= DF, ./ DAF = Z DFA, ./ DFA=Z C,2在DH上截取HM=AH,如图所示：/ HAM = / HMA , ./ H= 180 2/HAM , / MAD = 90 - Z HAM ,第41页（共59页） ./ DAM =AZ H, ./ MAD =Z GFD ,ZMAD=ZGKD AD 二 FDZADN=ZFDGADMAFDG (ASA),DM = DG , . AB=CD = DH = HM+DM , . AB=AH + DG.【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.21.在平行四边形 ABCD中，对角线AC、BD交于点O,若AB=BC,过点A作BC的垂线交BC于点E,交BD于点M, / ABC 60 .(1)若 ME = 3, BE = 4,求 EC 的长度.(2)如图，延长 C