高等数学公式(费了好大的劲)￥网络参考资料￥

1、思想有多远我们就能走多远高等数学公式导数公式：(tgx)'=secx(ctgx)'=-csc2x(secx)'=secxtgx(cscx)'=-cscxctgx(ax)'=axlna(logax)'=1xlna2(arcsinx)'=-x2(arccosx)'=-x21(arctgx)'=1+x2(arcctgx)'=-1+x2tgxdx=-lncosx+Cctgxdx=lnsinx+Csecxdx=lnsecx+tgx+Ccscxdx=lncscx-ctgx+Cdx1x=arctg+Ca2+x2aadx1x-a=

2、lnx2-a22ax+a+Cdx1a+x=a2-x22alna-x+Cdxx=arcsin+Ca2-x2a2ndx2=seccos2xxdx=tgx+Cdx2=cscsin2xxdx=-ctgx+Csecxtgxdx=secx+Ccscxctgxdx=-cscx+Caxadx=lna+Cxshxdx=chx+Cchxdx=shx+Cdxx2±a2=ln(x+x2±a2)+C2In=sinxdx=cosnxdx=n-1In-2nx2a22x+adx=x+a+ln(x+x2+a2)+C22x2a2222x-adx=x-a-lnx+x2-a2+C22xa2x2222a-xdx=a

3、-x+arcsin+C22a22思想有多远我们就能走多远基本积分表：三角函数的有理式积分：2u1-u2x2dusinx=，cosx=，u=tg，dx=21+u21+u21+u2一些初等函数： 两个重要极限：ex-e-x双曲正弦:shx=2ex+e-x双曲余弦:chx=shxex-e-x双曲正切:thx=xchxe+e-xarshx=ln(x+x2+1）archx=±ln(x+x2-1)11+xarthx=ln21-x三角函数公式： ·诱导公式：limsinx=1x0x1·和差角公式： ·和差化积公式：sin(±)=sincos±cos

4、sincos(±)=coscos sinsintg(±)=tg±tg1 tgtgctgctg 1ctg(±)=ctg±ctgsin+sin=2sin+22+-sin-sin=2cossin22+-cos+cos=2coscos22+-cos-cos=2sinsin22cos-思想有多远我们就能走多远思想有多远我们就能走多远·倍角公式：sin2=2sincoscos2=2cos2-1=1-2sin2=cos2-sin2ctg2-1ctg2=2ctg2tgtg2=1-tg2·半角公式： sin3=3sin-4sin3cos3=4

5、cos3-3cos3tg-tg3tg3=1-3tg2sintg2=±=±-cos+coscos=±2221-cos1-cossin1+cos1+cossin=ctg=±=1+cossin1+cos21-cossin1-cos2·正弦定理：abc=2R ·余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC sinAsinBsinC·反三角函数性质：arcsinx=2-arccosxarctgx=2-arcctgx高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式： (uv)(n)k(n-k)(k)=Cnuvk=0n=u(n)v+nu(n-1)

6、v'+n(n-1)(n-2)n(n-1) (n-k+1)(n-k)(k)uv''+ +uv+ +uv(n)2!k!中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f(b)-f(a)=f'()(b-a)f(b)-f(a)f'()=F(b)-F(a)F'()曲率： 当F(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。思想有多远我们就能走多远弧微分公式：ds=+y'2dx,其中y'=tg平均曲率：K=:从M点到M'点，切线斜率的倾角变化量；s：MM'弧长。sy''dM点的曲率：K=lim=. 23s0sds(1+y

7、')直线：K=0;1半径为a的圆：K=.a定积分的近似计算：b矩形法：f(x)abb-a(y0+y1+ +yn-1)nb-a1(y0+yn)+y1+ +yn-1n2b-a(y0+yn)+2(y2+y4+ +yn-2)+4(y1+y3+ +yn-1)3n 梯形法：f(x)ab抛物线法：f(x)a定积分应用相关公式：功：W=Fs水压力：F=pAm1m2,k为引力系数 2rb1函数的平均值：y=f(x)dxb-aa引力：F=k12f(t)dtb-aa空间解析几何和向量代数： b思想有多远我们就能走多远空间2点的距离：d=M1M2=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2向量在轴上

8、的投影：PrjuAB=cos,是AB与u轴的夹角。Prju(a1+a2)=Prja1+Prja2 ab=abcos=axbx+ayby+azbz,是一个数量,两向量之间的夹角：cos=i c=ab=axbxjaybykaxbx+ayby+azbzax+ay+azbx+by+bz222222 az,c=absin.例：线速度：v=wr.bzaybycyazcz bz=abccos,为锐角时， ax 向量的混合积：abc=(ab)c=bxcx代表平行六面体的体积。平面的方程：1、点法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0，其中n=A,B,C,M0(x0,y0,z0)2、一般方程：A

9、x+By+Cz+D=0xyz3+=1abc平面外任意一点到该平面的距离：d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2x=x0+mtx-xy-y0z-z0 0=t,其中s=m,n,p;参数方程：y=y0+ntmnpz=z+pt0二次曲面：x2y2z212+2+2=1abcx2y22+=z（,p,q同号）2p2q3、双曲面：x2y2z22+2-2=1abcx2y2z22-2+2=（马鞍面）1abc多元函数微分法及应用思想有多远我们就能走多远全微分：dz=zzuuudx+dydu=dx+dy+dzxyxyz全微分的近似计算：zdz=fx(x,y)x+fy(x,y)y多元复合函数的求导法：dzzuz

10、vz=fu(t),v(t)=+dtutvtzzuzvz=fu(x,y),v(x,y)=+xuxvx当u=u(x,y)，v=v(x,y)时，du=uuvvdx+dydv=dx+dyxyxy隐函数的求导公式：FxFFdydyd2y隐函数F(x,y)=0=-2=(-x)(-x)dxFyxFyyFydxdxFyFxzz隐函数F(x,y,z)=0=-=-xFzyFzFF(x,y,u,v)=0(F,G)u隐函数方程组：J=G(u,v)G(x,y,u,v)=0uu1(F,G)v1(F,G)=-=-xJ(x,v)xJ(u,x)u1(F,G)v1(F,G)=-=-yJ(y,v)yJ(u,y)微分法在几何上的应用

11、： Fv=FuGGuvFvGvx=(t)x-xy-y0z-z0空间曲线y=(t)在点M(x0,y0,z0)0=''(t0)(t0)'(t0)z=(t)在点M处的法平面方程：'(t0)(x-x0)+'(t0)(y-y0)+'(t0)(z-z0)=0 FyFzFzFxFxF(x,y,z)=0若空间曲线方程为：,则切向量T=,GGGxGGG(x,y,z)=0yzzx曲面F(x,y,z)=0上一点M(x0,y0,z0)，则：1、过此点的法向量：n=Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)x-x0y-y0z-z03=Fx

12、(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)方向导数与梯度： FyGy2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=0思想有多远我们就能走多远fff函数z=f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l=cos+sinlxy其中为x轴到方向l的转角。函数z=f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)=f f i+jxyf它与方向导数的关系是=gradf(x,y)e，其中e=cosi+sinj，为l方向上的l单位向量。f是gradf(x,y)在l上的投影。l多元函数的极

13、值及其求法：设fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0，令：fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=CA<0,(x0,y0)为极大值2AC-B>0时，A>0,(x0,y0)为极小值2则：AC-B<0时，无极值AC-B2=0时,不确定重积分及其应用：f(x,y)dxdy=f(rcos,rsin)rdrdDD'曲面z=f(x,y)的面积A=Dzz1+ + dxdy xy22=Mx=Mx(x,y)dD(x,y)dDD,=MyM=y(x,y)dD(x,y)dDD平面薄片的转动惯量：对于x轴Ix=y2(x,y)d,对于y轴Iy=x2(x

14、,y)d平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a>0)的引力：F=Fx,Fy,Fz，其中：Fx=fD(x,y)xd(x+y+a)2222Fy=f3D(x,y)yd(x+y+a)2222Fz=-fa3D(x,y)xd(x+y+a)22322柱面坐标和球面坐标：思想有多远我们就能走多远x=rcos柱面坐标：f(x,y,z)dxdydz=F(r,z)rdrddz,y=rsin,z=z其中：F(r,z)=f(rcos,rsin,z)x=rsincos2球面坐标：y=rsinsin，dv=rdrsinddr=rsindrddz=rcos2r(,)f(x,y,z)dxdydz=F

15、(r,)r2sindrdd=ddF(r,)r2sindr重心：=1Mxdv,=1Mydv,=1Mzdv，其中M=dv转动惯量：Ix=(y2+z2)dv，Iy=(x2+z2)dv，Iz=(x2+y2)dv曲线积分：第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：x=(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：,(t),则：y=(t)Lx=t22''f(x,y)ds=f(t),(t)(t)+(t)dt(<)特殊情况：y=(t)思想有多远我们就能走多远第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：x=(t)设L的参数方程为，则：y=(t)P(x,y)dx+Q(x,y)dy=P(t),(t)

16、9;(t)+Q(t),(t)'(t)dtL两类曲线积分之间的关系：Pdx+Qdy=(Pcos+Qcos)ds，其中和分别为LLL上积分起止点处切向量的方向角。格林公式：(DQPQP-)dxdy=Pdx+Qdy格林公式：(-)dxdy=Pdx+QdyxyxyLDLQP1当P=-y,Q=x-=2时，得到D的面积：A=dxdy=xdy-ydxxy2LD·平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且减去对此奇点的积分，注意方向相反！·二元函数的全微分求积：在QP时，Pdx+Qdy才是二元函数u(x,y)的

17、全微分，其中：xy(x,y)QP。注意奇点，如(0,0)，应xyu(x,y)=(x0,y0)P(x,y)dx+Q(x,y)dy，通常设x0=y0=0。曲面积分：22对面积的曲面积分：f(x,y,z)ds=fx,y,z(x,y)+z(x,y)+zxy(x,y)dxdyDxy对坐标的曲面积分：P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy，其中：R(x,y,z)dxdy=±Rx,y,z(x,y)dxdy，取曲面的上侧时取正号；DxyP(x,y,z)dydz=±Px(y,z),y,zdydz，取曲面的前侧时取正号；DyzQ(x,y,z)dzdx=&#

18、177;Qx,y(z,x),zdzdx，取曲面的右侧时取正号。Dzx两类曲面积分之间的关系：Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=(Pcos+Qcos+Rcos)ds高斯公式：思想有多远我们就能走多远(PQR+)dv=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=(Pcos+Qcos+Rcos)dsxyz高斯公式的物理意义通量与散度：PQR 散度：div=+,即：单位体积内所产生的流体质量，若div<0,则为消失.xyz 通量：Ands=Ands=(Pcos+Qcos+Rcos)ds，因此，高斯公式又可写成：divAdv=Ands斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：(RQPRQP-)dydz+(-

19、)dzdx+(-)dxdy=Pdx+Qdy+RdzyzzxxycosyQcoszRdydzdzdxdxdycos上式左端又可写成：=xyzxPQRPRQPRQP空间曲线积分与路径无=yzzxxyijk 旋度：rotA=xyzPQR 向量场A沿有向闭曲线Pdx+Qdy+Rdz=Atds常数项级数：1-qn等比数列：1+q+q+ +q=1-q(n+1)n 等差数列：1+2+3+ +n=2111调和级数：1+ +是发散的23n2n-1级数审敛法：思想有多远我们就能走多远1、正项级数的审敛法根植审敛法（柯西判别法）：<1时，级数收敛设：=limn，则>1时，级数发散n=1时，不确定2、比值

20、审敛法：<1时，级数收敛U设：=limn+1，则>1时，级数发散nUn=1时，不确定3、定义法：sn=u1+u2+ +un;limsn存在，则收敛；否则发散。n交错级数u1-u2+u3-u4+ (或-u1+u2-u3+ ,un>0)的审敛法莱布尼兹定理：unun+1如果交错级数满足，那么级数收敛且其和su1,其余项rn的绝对值rnun+1。limu=0nn绝对收敛与条件收敛：(1)u1+u2+ +un+ ，其中un为任意实数；(2)u1+u2+u3+ +un+如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。1(-1

21、)n调和级数：n发散，而n1级数：n2收敛；时发散1p级数：npp>1时收敛幂级数：思想有多远我们就能走多远1x<1时，收敛于1-x1+x+x2+x3+ +xn+ x1时，发散对于级数(3)a0+a1x+a2x2+ +anxn+ ，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全x<R时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使x>R时发散，其中R称为收敛半径。x=R时不定10时，R=求收敛半径的方法：设liman+1=，其中an，an+1是(3)=0时，R=+nan=+时，R=0函数展开成幂级数：f''(x0)f(n)(x0)2函数展开成泰勒级数：f(x)=f(x0)(x-x

22、0)+(x-x0)+ +(x-x0)n+ 2!n!f(n+1)()余项：Rn=(x-x0)n+1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn=0n(n+1)!f''(0)2f(n)(0)nx0=0时即为麦克劳林公式：f(x)=f(0)+f'(0)x+x+ +x+ 2!n!一些函数展开成幂级数：m(m-1)2m(m-1) (m-n+1)nx+ +x+ (-1<x<1)2!n! 2n-1x3x5xsinx=x-+- +(-1)n-1+ (-<x<+)3!5!(2n-1)!(1+x)m=1+mx+欧拉公式：eix+e-ixcosx=2eix=c

23、osx+isinx或 ix-ixsinx=e-e2三角级数：a0f(t)=A0+Ansin(nt+n)=+(ancosnx+bnsinnx)2n=1n=1其中，a0=aA0，an=Ansinn，bn=Ancosn，t=x。正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x sinnx,cosnx 任意两个不同项的乘积在-,上的积分0。傅立叶级数： 思想有多远我们就能走多远a0f(x)=+(ancosnx+bnsinnx)，周期=22n=11(n=0,1,2 )an=f(x)cosnxdx-其中b=1f(x)sinnxdx(n=1,2,3 )n-1121+2+2+ =8351112+2+2+ =224246正弦级数：an=0，bn=余弦级数：bn=0，an=11121+2+2+2+ =623411121-2+2-2+ =1223422f(x)sinnxdxn=1,2,3 f(x)=b0nsinnx是奇函数0f(x)cosnxdxn=0,1,2 f(x)=a0+ancosnx是偶函数2周期为2l的周期函数的傅立叶级数：思想有多远我们就能走多远a0nxnxf(x)=+(ancos+bnsin)，周期=2l2n=1lll1nxa=f(x)cosdx(n=0,1,2 )nll-l其中lb=1f(x)sinnxdx(n=1,2,3 )n