广州中考数学锐角三角函数综合题

1、广州中考数学 锐角三角函数 综合题一、锐角三角函数1.如图，某无人机于空中 A处探测到目标B、D的俯角分别是30 >60，此时无人机的飞 行高度AC为60m ,随后无人机从 A处继续水平飞行30 J3 m到达A'处.（1）求A、B之间的距离（2）求从无人机 A'上看目标D的俯角的正切值.【答案】（1） 120米；（2） R3.5(1)(2)解直角三角形即可得到结论；过A'作A'E BC交BC的延长线于CEAA' 30 £,在 RABC中，求得E,连接A'D ,于是得到 A'E AC 60, DC=Y3AC=20j3 ,然后

2、根据三角函数的定义即可得到结论.【详解】解：（1）由题意得： /ABD=30, /ADC=60,在 RtABC 中，AC=60m,60AB= 1 =120 (m)sin30 一2(2)过A'作A'E BC交BC的延长线于E,连接A'D ,则 A' E AC 60, CE AA' 30 币,在 RtA ABC 中,AC=60m, / ADC=60 ,DC= - AC=20、33DE=50,3tan/AA'D= tan/ A'DC型=与二DE 50-3 5答：从无人机 A'上看目标D的俯角的正切值是 2M.5B DC E【点睛】本题考

3、查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键2.如图，海上观察哨所 B位于观察哨所 A正北方向，距离为 25海里.在某时刻，哨所 A 与哨所B同时发现一走私船，其位置 C位于哨所A北偏东53。的方向上，位于哨所 B南偏 东37°的方向上.(1)求观察哨所 A与走私船所在的位置 C的距离；(2)若观察哨所 A发现走私船从 C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76。的方向前去拦截.求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截.(结果保留根号)(参考数据：sin37 = cos53° 产cos37 =sin53 ° 去，tan3

4、7 ° 空2tan76 ° 户jt不聚【答案】(1)观察哨所 A与走私船所在的位置 C的距离为15海里；(2)当缉私艇以每 小时6折海里的速度行驶时，恰好在 D处成功拦截.【解析】【分析】(1)先根据三角形内角和定理求出 /ACB= 90°,再解RtABC,利用正弦函数定义得出AC即可;(2)过点 C作CMLAB于点 M,易知，D、C、M在一条直线上.解 RtAAMC,求出 CM、AM.解RtAAMD中，求出DM、AD,得出CD.设缉私艇的速度为 x海里/小时，根 据走私船行驶CD所用的时间等于缉私艇行驶 AD所用的时间列出方程，解方程即可.【详解】(1)在 4A

5、BC 中， ACB 180 B BAC 180 37 5390 .AC3 一在 RtVABC 中，sinB ,所以 AC AB sin37 25 15 (海里). AB5答：观察哨所 A与走私船所在的位置 C的距离为15海里.(2)过点C作CM AB,垂足为M ,由题意易知， D、C、M在一条直线上.4_在 RtVACM 中，CM AC sin CAM 15 12,八八3AM AC cos CAM 15 9.5在 RtA ADM 中，tanDAM冷所以 MD AM tan76 36.所以 AD AM 2 MD 2. 92 3 629 1 7, CD MD MC 24 .设缉私艇的速度为v海里/

6、小时，则有24 9g 解得v 6J17.16 v经检验，v 6后是原方程的解.答：当缉私艇以每小时 6为7海里的速度行驶时，恰好在 D处成功拦截.【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形 的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想.3.已知RtABC中，AB是。的弦，斜边 AC交。于点D,且AD=DC,延长CB交。O 于点E.CE的长？请说(1)图1的A、B、C D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段 明理由；(2)如图2,过点E作。的切线，交AC的延长线于点F. 若CF=CD时，求sin/CAB的值； 若CF=aCD(a>0

7、)时，试猜想sin/CAB的值.(用含a的代数式表示，直接写出结果)【答案】(1) AE=CE (2)3 ；。+2 .【解析】试题分析：(1)连接AE、DE,如图1,根据圆周角定理可得 /ADE=/ ABE=90 ,由于AD=DC,根据垂直平分线的性质可得AE=CE(2)连接AE、ED,如图2,由/ABE=90可得AE是。的直径，根据切线的性质可得 /AEF=90 从而可证到AD&4AEF,然后运用相似三角形的性质可得4fc，2=AD?AF.当CF=CD时，可得力户=3仃"，从而有EC=AE=?CD,在DEC中运用三角函数可得DC (3sin/CED="飞，根据圆周

8、角定理可得 /CAB=/ DEC即可求出sin/CAB的值；当CF=aCD(a>0)时，同 即可解决问题.试题解析：(1) AE=CE理由：连接 AE、DE,如图 1, . /ABC=90, . . / ABE=90, . . / ADE=/ ABE=90 , / AD=DC- .AE=CE(2)连接 AE、ED,如图2, ,/ABE=90,AE是。的直径，: EF是。OO的切线,AE AD -Z AEF=90,° Z ADE=Z AEF=90 , °又/ DAE=/ EAFAADEAAEF, ：.：.=AD?AF. 当 CF=CD时，AD=DC=CF AF=3DC,

9、 =DC?3DC=" , .-.AE=- DC, EC=AEDC OC 0.EC=3DC, .1.sinZ CAB=sinZ CED=( =PDC=; 当 CF=aCD(a>0)时，sinZCAB=a + 2 ._ _ _ 一 一 _ AH2_ DC2 . CF=aCD AD=DC, . . AF=AD+DC+CF=(a+2) CD, .=DC? (a+2) DC= (a+2), . AE='C + 2DC, EC=AEEC=*" + 2DC,DC D。 . + ? .sin / CAB=sin/ CED="=+.图:图3考点：1.圆的综合题；2.探

10、究型；3.存在型.的图象与正比例函数 y 2x的图象相交于，yk ， 八4.如图，反比例函数 y k 0xA(1,a),B两点，点C在第四象限，CA/y轴， ABC 90(1)求k的值及点B的坐标；(2)求tanC的值.【答案】(1) k 2, B 1, 2 ；(2)2.【解析】【分析】(1)先根据点A在直线y=2x上，求得点A的坐标，再根据点 A在反比例函数ky - k 0的图象上，利用待定系数法求得k的值，再根据点 A、B关于原点对称即可x求得点B的坐标；(2)作BHI± AC于H,设AC交X轴于点D,根据 ABC 90 , BHC 90 ,可得C ABH ,再由已知可得AOD

11、ABH ,从而得 C AOD ,求出tanC即可.【详解】(1) ,一点A(1, a)在y 2x上， a=2, A(1, 2),k 1.-把A(1, 2)代入y 一得k 2,x k . 反比例函数y - k 0的图象与正比例函数 y 2x的图象交于 a, b两点， x A B两点关于原点。中心对称，B 1, 2 ；(2)作BHI± AC于H,设AC交x轴于点D,ABC 90 , BHC 90 , C ABH ,. CA/ y 轴，BH / x轴，AOD ABH , . C AOD ,AD 2 tanC tan AOD2 .OD 1【点睛】本题考查了反比例与一次函数综合问题，涉及到待定

12、系数法、中心对称、三角函数等知识，熟练掌握和应用相关知识是解题的关键，（2）小题求出/C=/AOD是关键.5.如图，PB为。的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA,垂足为C,交。于点A, 连接PA AO.并延长AO交。于点E,与PB的延长线交于点 D.（1）求证：PA是。的切线;(2)若0C 2,且OC=4,求PA的长和tan D的值.【答案】（1）证明见解析；（2） PA =3", tan D=12试题分析：（1）连接OB,先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB然后证明4PA必PBO,进而可得/PBO=/ PAO,然后根据切 线的性质可

13、得 / PBO=90 ,进而可得：/PAO=90,进而可证：PA是。的切线；0C 2 （2）连接BE,由*。 且OC=4,可求AC, OA的值，然后根据射影定理可求 PC的值，从而可求 OP的值，然后根据勾股定理可求 AP的值.试题解析：（1）连接OB,则OA=OB,.OPXAB,，AC=BC.OP是AB的垂直平分线，PA=PBPA = PRPO - PO在 APAO 和 PBO 中，.°A =, .-.APACAPBO ( SSS/ PBO=Z PAO, PB=PA PB为。的切线，B 为切点，/ PBO=90 / PAO=90 即 PAI OA,.PA是。O的切线;(2)连接BE

14、,OC 2. '且 OC=4,，AC=6,AB=12,在RtACO中，由勾股定理得：AO*M尸用=八"3, .AE=2OA=4"，OB=OA=2/T?,在 RtAPO 中，AC，OP, ，AC2=OCPC,解彳导:PC=9, . OP=PC+OC=13在RtAPO中，由勾股定理得： AP=.=3.BE DE DE I16JTJ二= de - n易证 DEB 5A 所以丽丽川中里解得F 一,36gPA 5AD = 20A + DE = -tan£)=-=则5 ，在 RIA4DP 中， AD 12.考点：1.切线的判定与性质；2.相似三角形的判定与性质；3.解

15、直角三角形.6.如图，湿地景区岸边有三个观景台兑、E、C.已知 = 14W米，7C = 1000米，百点位于以点的南偏西6S7*方向，C点位于且点的南偏东！56一方向.求且3c的面积；(2)景区规划在线段BC的中点D处修建一个湖心亭，并修建观景栈道.试求为、力间的距离.(结果精确到米)(参考数据：加,酬双之“。.硼，即617公。刈，8对丁书0.49 , sin66.1°0.1, cosdfl.L°«0.41,:一二 |二)【答案】(1) 560000 (2) 565.6【解析】试题分析：（1）过点C作CE_艮4交比且的延长线于点E ,然后根据直角三角形的内角 和求

16、出/ CAE,再根据正弦的性质求出 CE的长，从而得到 4ABC的面积；（2）连接，过点口作OF_ A3 ,垂足为 产点，则DF « CE .然后根据中点的性质和余 弦值求出BE、AE的长，再根据勾股定理求解即可 .试题解析：过点C作国.以交m1的延长线于点X ,在MlAMC 中，/04£=1制、6口一7匚66、532所以CE=/而53.2吗1000式£二烦米.所以 £但-1-AH- CE - :m 1400x SOD = 5（50000 （平方米）. 22（2）连接皿,过点口作口产且3 ,垂足为F点，则CE .因为口是品1中点，所以。尸二=米，且F为期

17、中点，至二/田苣5320%6。口米，所以 BE = 十 AE = L4QQ 60Q = 20-00 米.所以HF = ：BF-_4£ = 4M米，由勾股定理得，.打二JjFjQF：=/好400: =1领6=5隈6米.答：幺、D间的距离为元5.6米.（办“联图考点：解直角三角形7.如图，抛物线y= - x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上 且横坐标为3.（1）求 tan/DBC 的值；/DBP=45,求点P的坐标.（2）点P为抛物线上一点，且【答案】（1） tan / DBC；-> 66(2) P (-二，四)A ”【解析】试题分析：(1)连接CD,

18、过点D作DE，BC于点E.利用抛物线解析式可以求得点A、B、C、D的坐标，则可得 CD/AB, OB=OC,所以/ BCO之BCD=Z ABC=45°.由直角三角形的性质、勾股定理和图中相关线段间的关系可得BC=4J2，BE=BC- De£Z2 .由此可知 ,DE 3tan / DBC=二一；(2)过点P作PHx轴于点F,由/ DBP=45及/ ABC=45可得/ PBF=/DBC,利用(1)中的结果得到：tan/PBF.设P (x, - x2+3x+4),则利用锐角三角函数定义推知一上一筑+4 3-66=,通过斛方程求得点 P的坐标为( -,)4 -x 55 25试题解析

19、：(1)令 y=0,贝U- x2+3x+4=- (x+1) (x-4) =0,解得 Xi= - 1 , x2=4 .A (T, 0) , B (4, 0).当 x=3 时，y= - 32+3 x 3+4=4.D (3, 4).如图，连接CD,过点D作DE± BC于点E.- C (0, 4),.CD/AB,/ BCD=Z ABC=45 .°在直角 OBC中，-，OC=OB=4, .BC=4,'_ .在直角CDE中，CD=3.3母CE=ED=BE=BC- DE=-,/iDE 3 tan Z DBC=一；BE 5(2)过点P作PHx轴于点F. / CBF=/ DBP=45

20、 ,/ PBF=Z DBC,，一3 . tan Z PBF._储3J. 5设 P (x, - x2+3x+4),贝u =-4-x5解得 xi= - ? x2=4 （舍去），-66-P（- T , ）.二3、三角函数考点：1、二次函数；2、勾股定理;8.如图，已知正方形6M加：在直角坐标系中，点分别在*轴、丁轴的正半轴上，点 。在坐标原点.等腰直角三角板口叼的直角顶点8在原点，e、H分别在。人”上，且°A = 0? = 2-将三角板OFF绕。点逆时针旋转至"EiFi的位置，连结OF, AEV（1）求证：&。晒三占“加卜若三角板绕q点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使

21、得|0层"，若存在，请 求出此时卜点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，E】3 p或曲（L.凸）.【解析】（1）证明：.,四边形"八"。为正方形，. = "%三角板"EF是等腰直角三角形，.“锵=叫又三角板。尸F绕。点逆时针旋转至叫尸1的位置时，上力叫="8. & OAE A OCFV (2)存在.-产。二|，过点I1与SE平行的直线有且只有一条，并与 OF垂直，又当三角板REF绕。点逆时针旋转一周时，则点在以。为圆心，以“正为半径的圆上,5分，过点产与。垂直的直线必是圆门的切线，又点。是圆门外一

22、点，过点q与圆q相切的直线有 且只有2条，不妨设为仃'|和。心，此时，打点分别在加点和万点，满足CE叫，5"叫7分当切点的在第二象限时，点 自在第一象限，在直角三角形gq中。=七%=2, 门Fl 1coszLCOFi = =-f一%二6。，"叫二附，点呵的横坐标为：阳= 2m60l, 点巴的纵坐标为：* = "刖 =、" ，点用的坐标为口，9分当切点叫在第一象限时，点在第四象限， 同理可求：点心的坐标为(L - 回综上所述，三角板OEF绕。点逆时针旋转一周，存在两个位置，使得"KN”此时点耳的坐标为""二 %&quo

23、t;)或“。. 一 '13). 11 分(1)根据旋转的性质找到相等的线段，根据SAS定理证明；(2)由于AOEF是等腰RtA ,若OE/ CF,那么CF必与OF垂直；在旋转过程中，E、F的轨迹是以。为圆心，OE(或OF)长为半径的圆，若 CF± OF,那么CF必为。的切线，且 切点为F;可过C作。的切线，那么这两个切点都符合F点的要求，因此对应的 E点也有两个；在 RtOFC 中，OF=2, OC=OA=4 可证得 / FCO=30 ,即 / EOC=30,已知了 OE 的长，通过解直角三角形，不难得到E点的坐标，由此得解.9.如图以4ABC的一边AB为直径作OO,。与BC

24、边的交点D恰好为BC的中点，过点D作。的切线交AC边于点F.(1)求证：DF± AC;(2)若 / ABC=30 ,求 tan / BCO的值.【答案】（1）证明见解析；（2） tan / BCO=Y3 .试题分析：（1）连接OD,根据三角形的中位线定理可求出OD/AC,根据切线的性质可证明DE，OD,进而得证.（2）过。作OF, BD,根据等腰三角形的性质及三角函数的定义用OB表示出OF、CF的长，根据三角函数的定义求解.试题解析：证明：连接OD.DE 为。的切线，OD，DE.O为AB中点，口为BC的中点.ODll ACDEXAC（2）过。作 OFLBD,则 BF=FD在 RtBF

25、O 中，Z ABC=30.OF=-OB, BF=OB 22.BD=DC, BF=FD.FC=3BF=3-3OB2在 RtOFC 中,OF tan / BCO= FC1-OB 2-B2点睛：此题主要考查了三角形中位线定理及切线的性质与判定、三角函数的定义等知识点，有一定的综合性，根据已知得出键.OF=1OB, BF= OB, FC=3BF=33 OB 是解题关 22210.如图，抛物线 y=ax2+bx+c经过点 A (-2, 0)、B (4, 0)、C (0, 3)三点.图圉(1)试求抛物线的解析式；(2)点P是y轴上的一个动点，连接 PA,试求5PA+4PC的最小值；(3)如图，若直线l经过

26、点T ( - 4, 0) , Q为直线l上的动点，当以 A、B、Q为顶点 所作的直角三角形有且仅有三个时，试求直线l的解析式.3 23_.一 .【答案】(1) y x x 3； (2) 5PA+4PC的最小值为18; (3)直线l的解析式 84、，3 一 ,、3 一为 y x 3或 y -x 3.44【解析】 【分析】(1)设出交点式，代入 C点计算即可(2)连接AC、BC,过点A作AE，BC于点E,过PCPD4点P作PD)± BC于点D,易证CD/COB,得到比例式，得到PD=- PC,所BCOB5以 5PA+4PC= 5 (PA+4PC) = 5 ( PA+PD ,当点 A、P、

27、D在同一直线上时，5PA+4PC= 5 5(PA+PD = 5AE最小，利用等面积法求出AE=18,即最小值为18 ( 3)取AB中点F,5以F为圆心、FA的长为半径画圆，当/BAQ= 90°或/ ABQ=90°时，即AQ或BQ垂直x轴， 所以只要直线l不垂直x轴则一定找到两个满足的点Q使/ BAQ= 90°或/ ABQ= 90°,即/ AQB= 90时，只有一个满足条件的点 Q, 直线l与。F相切于点Q时，满足/ AQB= 90 °的点Q只有一个；此时，连接 FQ,过点Q作QGi±x轴于点G,利用cos/QFT求出 QG,分出情况Q

28、在x轴上方和x轴下方时，分别代入直接 l得到解析式即可【详解】解：(1) .抛物线与x轴交点为A ( - 2, 0)、B (4, 0). . y = a (x+2) ( x 4)把点C (0, 3)代入得：-8a=33 a=-8.抛物线解析式为 y=- 3 (x+2) (x- 4) =- -x2+-x+3 884(2)连接 AC BC,过点A作AE± BC于点E,过点P作PD±BC于点D/ CDP= / COB= 90 ° / DC/ OCB.,.CDFACOBPC PD BC OB,. B (4, 0) , C (0, 3) OB=4, OC= 3, BC= .

29、 OB2 OC2 =54 - PD= - PC5,-.5PA+4PC=5 (PA+4PC) = 5 ( PA+PD 5 当点 A、P、D在同一直线上时， 5PA+4PC= 5 (PA+PD = 5AE最小 .A (2, 0) , OCX AB, AE± BC .Sa abc= 1AB?OC= 1 BC?AE 22ABn OC 6 3 18 ae= BC55 -5AE= 18 5PA+4PC的最小值为18.(3)取AB中点F,以F为圆心、FA的长为半径画圆当/BAQ= 90°或/ABQ= 90°时，即 AQ或BQ垂直x轴，只要直线l不垂直x轴则一定找到两个满足的点Q

30、使/ BAQ= 90或/ ABQ= 90/ AQB= 90时，只有一个满足条件的点Q 当Q在。F上运动时(不与 A、B重合)，/AQB= 90 ° 直线l与。F相切于点Q时，满足/AQB= 90的点Q只有一个 此时，连接FQ,过点Q作QGi± x轴于点G / FQ仁 90 ° .F 为 A ( 2, 0)、B (4, 0)的中点.F (1, 0) , FQ= FA= 3,. T (-4, 0)FQ 3 . TF= 5, cos/ QFT=-TF 5FG 3 RtA FGQ 中 cos/ QFT= -'FQ 5_ 39FG= FQ= 55,94 “一2229

31、 2 12 xQ= 1 - QG= F FQFG J3551,55_4 12若点Q在x轴上方，则Q ( 一，一)5 5设直线l解析式为：y= kx+b4k b 04,12 解得:k b55，3 一直线 l： y x 3 4412右点Q在x轴下方，则Q (,)55，3，直线 l： y -x 343x 34Si综上所述，直线l的解析式为y 3x 3或y【点睛】本题是二次函数与圆的综合题，同时涉及到三角函数、勾股定理等知识点，综合度比较高，需要很强的综合能力，第三问能够找到满足条件的Q点是关键，同时不要忘记需要分情况讨论11.如图，AB是。的直径，PA PC与。分别相切于点 A, C, PC交AB的

32、延长线于点 D, D已PO交PO的延长线于点 E.(1)求证：/EPD=/ EDO；3 一 一一(2)若 PC=3 tan / PDA=，求 OE 的长.4【答案】(1)见解析；(2)直.2【解析】【分析】3.CD=2进而求得OE的长.(1)由切线的性质即可得证 .(2)连接OC,利用tan/PDA=,可求出43 OC=,再证明OE24DEP根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出2【详解】(1)证明：. PA, PC与。O分别相切于点 A, C,/ APO=Z CPO, PAL AO,-. DE± PO,/ PAO=Z E=90 ； / AOP=Z EOD,/ APO=Z EDO,/

33、 EPD=Z EDO.(2)连接OC,PA=PC=33. tan / PDA=，4在 RtPAD 中，AD=4, PD= . PA2A5y =5, .CD=PD-PC=5-3=23. tan / PDA=,4在 RtOCD中，3oc=-，2:二 5OD=OC2 CD2 =3， / EPD=Z ODE, / OCP=/ E=90 ；.,.OEDADEP,PD PE DE=2DO DE OEDE=2OE,255在 RtOED 中，OE2+D=OD2,即 5OE2= _ =24.OE=r .2【点睛】本题考查了切线的性质；锐角三角函数；勾股定理和相似三角形的判定与性质，充分利用tan / PDA=3

34、 ,得线段的长是解题关键.412.已知AB是。的直径，弦 CD± AB于H,过CD延长线上一点 E作。的切线交AB的 延长线于F,切点为G,连接AG交CD于K.(1)如图1,求证：KE= GE；1(2)如图 2,连接 CABG,若/FGB=/ACH,求证：CA/ FE；3(3)如图3,在(2)的条件下，连接 CG交AB于点N,若sinE= - , AK= 可,求CN51的长.【答案】(1)证明见解析；(2) AEAD是等腰三角形.证明见解析；(3) 20 10.13【解析】试题分析：(1)连接 OG,则由已知易得 /OGE=Z AHK=90 ,由OG=OA可得/ AGO=/ OAG,

35、从而可 得/ KGE=/ AKH=Z EKG 这样即可得至ij KE=GE(2)设/FGB=x,由AB是直径可得 /AGB=90,从而可得 Z KGE=90- a,结合 GE=KE可得1 ,ZEKG=90- a,这样在 4GKE中可得/ E=2 a由/ FGB/ ACH可得/ ACH=20这样可得2/E=/ACH,由此即可得到 CA/ EF；(3)如下图2,作NP，AC于P,AH 3由(2)可知 /ACH=/ E,由此可得 sinE=sinZ ACH=设 AH=3a,可得 AC=5a,AC 5- C - CH 4, ,一八一一CH=4a,贝U tan Z CAH=由(2)中结论易得 / CAK

36、玄EGKN EKG之AKC,从而可AH 3AH_一得 CK=AC=5a 由此可得 HK=a, tan Z AKH= 3, AK=710 a,结合 AK=710 可得 a=1,HK贝 U AC=5;在四边形 BGKH 中，由 /BHK=/ BKG=90 ,可得 ZABG+Z HKG=18 0,结合ZAKH+Z GKG=180 ,° / ACG=Z ABG 可得 / ACG之 AKH,在 RtAPN 中，由 tanZ CAH=4 EN ,可设 PN=12b, AP=9b,由3 APtan/ACG=PN tan/AKH=3可得 CP=4b,由此可得 AC=AP+CP13b =5,贝U可得

37、b=,由 CP13此即可在RtA CPN中由勾股定理解出 CN的长.试题解析：(1)如图1,连接OG.EF切。于 G, OGXEF, / AGO+Z AGE=90 ； . CDXABT H,/ AHD=90 ；/ OAG=Z AKH=90 ；,.OA=OG,/ AGO=Z OAG,/ AGE=/AKH, / EKG4 AKH, / EKG4 AGE, KE=GE(2)设 / FGB=x ,. AB是直径，/ AGB=90 ；/ AGE = Z EKG=90 - %/ E=180 - / AGE- / EKG=2，一 1，一 / FGB= ZACH,2/ ACH=2 %/ ACH=Z E,2 .

38、CA/ FE.(3)作 NF)±AC于 P.3 / ACH=Z E, AH 3 >-sin Z E=sinZ ACH=-,设 AH=3a, AC=5a,AC 5CH 4贝"CH=JaC2CH 24a，tan / CAH= -AH 31. CA/ FE,/ cak=z age, / AGE=/AKH,/ CAK=Z AKH,AH,_ .AC=CK=5a HK=CK- CH=4a, tan / AKH=3, AK= JaH 2HK2 A0a， HK. AK= .10 ,.瓦a 乐, - a=1. AC=5, / BHD=Z AGB=90 ； / BHD+/ AGB=180

39、 ,°在四边形 BGKH 中,/ BHD+Z HKG+Z AGB+Z ABG=360 , / ABG+Z HKG=180 ； / AKH+Z HKG=180 ,°/ AKH=Z ABG, / ACN=Z ABG,/ AKH=Z ACN, tanZ AKH=tanZ ACN=3, . npxact p,/ APN=Z CPN=90 ；PN 4在 RtAPN 中，tan Z CAH= 一，设 PN=12b,则 AP=9b,AP 3在 RtA CPN 中，tan / ACN=里=3CP '.CP=4b, .AC=AP+CP=13b .AC=5, .13b=5,5 b,13

40、20CN=VPNCP2 =4710 b=一Vi0 -1313.已知 RtAABC, / BAC= 90 °,点 D是 BC 中点，AD= AC, BC= 4 J3 ,过 A, D 两点作 OO,交AB于点E,(1)求弦AD的长；(2)如图1,当圆心 O在AB上且点 M是。上一动点，连接 DM交AB于点N,求当ON 等于多少时，三点 D、E、M组成的三角形是等腰三角形？(3)如图2,当圆心 O不在AB上且动圆。与DB相交于点 Q时，过 D作DHLAB (垂 足为H)并交。于点P,问：当。变动时DP- DQ的值变不变？若不变，请求出其值； 若变化，请说明理由.刻)I蚯【答案】(1) 2J

41、3(2)当ON等于1或J3 - 1时，三点D、E M组成的三角形是等腰三角形(3)不变，理由见解析【解析】【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到AD的长；(2)连DE、ME,易得当ED和EM为等腰三角形 EDM的两腰，根据垂径定理得推论得 OE± DM,易得到 4ADC为等边三角形，得 /CAD=60°,贝U / DAO=30° , / DON=6O ,然后 根据含30°的直角三角形三边的关系得DN=1AD=J3, on= DN=1 ；23当 MD=ME, DE 为底边，作 DHAE,由于 AD=2 J3 , / DAE=30 ,

42、得到 DH=J3 ,/ DEA=60 ； DE=2,于是 OE=DE=2 OH=1,又/M=/DAE=30, MD=ME,得到 / MDE=75 ,贝U / ADM=90 -75 =15°,可得到Z DNO=45 ；根据等腰直角三角形的性质得到NH=DH=J3,则ON=J3-1；(3)连AP、AQ, DP, AB,彳导AC/ DP,则/ PDB=/ C=6CT,再根据圆周角定理得/PAQ=/ PDB, /AQC=/ P,则/PAQ=6C,° Z CAQ=Z PAD,易证得AQ84APD,得到 DP=CQ 贝U DP-DQ=CQ-DQ=CD 而 4ADC 为等边三角形， CD

43、=AD=273 ,即可得到 DP-DQ 的 值.【详解】解：(1)Z BAC= 90。，点 D 是 BC 中点，BC= 4 J3 ,.AD=1BC= 273 ；2(2)连 DE、ME,如图， DM>DE, 当ED和EM为等腰三角形 EDM的两腰， OEXDM, 又 AD= AC,.ADC为等边三角形，/ CAD= 60 ；/ DAO= 30 ；/ DON= 60 °,1在 RtADN 中，DN= AD=百2 '在 RtODN 中，ON=2/3DN=13 ，当ON等于1时，三点D、E M组成的三角形是等腰三角形； 当MD=ME, DE为底边，如图3,作DHXAE,. AD

44、=2 73 , ZDAE= 30°,.DH= 73, /DEA= 60 °, DE= 2,.ODE为等边三角形，.OE=DE= 2, OH=1,. Z M = Z DAE= 30 ；而 MD=ME,/ MDE= 75 °,Z ADM =90 °- 75 = 15 °,/ DNO= 45 ； NDH为等腰直角三角形，,-.nh=dh= £,ON= £ T;综上所述，当ON等于1或J3 - 1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形；(3)当。O变动时DP-DQ的值不变，DP - DQ= 2近.理由如下： 连AP、AQ,如图2, / C= / CAD 60 ；而 DP，AB,.AC/ DP,/ PDB= Z C= 60 °,又 / PAQ= / PDB,/ PAQ= 60 ;Z CAQ= / PAD,1 . AC=AD, /AQC=/P,2 .AQCAAPD,.DP= CQ,3 .DP- DQ= CQ- DQ= C42近.【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理：平分弧的直径垂直