高三数学4几种常见几何体的性质试题

1、4.几种常见几何体的性质4.1正方体【例1】棱长为1的正方体AC1中，(1)证明：B1D 平面ACD1 ；(2)证明：平面ACD"/平面ACB；(3)求平面ACD1与平面AC1B的的距离.【解析】(1)连接BD ,由RB 平面ABCD , AC 平面ABCD ,所以BB AC ,又BDAC ,所以AC 平面B1BD，由0D 平面0BD ,所以BD同理BD CD1，故BD 平面ACD1 ；(2)由(1)证B1D平面ACD1 ,同理B1D 平面A1C1B ,所以平面 ACD1 /平面A1C1B ;(3)设B1D与平面ACD1、平面AC1B分别交于H,G,则H,G必是正 ACD1、正 A1

2、C1B的中心,运用等积法可求 D到平面ACD1的距离、B1到平面AC1B的距离均为盘，因为B1D J3 ,平面3ACD1与平面 AC1B的的距离为 HG【评注】棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，(1)共顶点的三条棱作为侧棱构成的直三棱锥中，顶点在 底面的射影恰为正方体相应对角线的一个三等分点；(2)共顶点的三条棱作为侧棱构成的直三棱锥的高为-31 3a ,其体积是正方体体积的 -a3.36【变式】正方体是考查空间点、直线、平面位置关系的非常 重要的几何模型.正方体AC1中，EF是AC、AD的公垂线，M是BB的中点，证明：(1) EF/D1B；(2) EF/面AC1M.【解析】(1)

3、如图，只要证明 EF 面AC1DQ1B 面ACQ即可;(2)如图，只要证明 DiB面ACiMD1B/OM面AC1M即可；4.2三棱锥底面三角形的外心.【例2】三棱锥A BCD中，点。为点A在平面BCD内的射影，若AB AC AD ,求证：点O是【解析】连结OB,OC,OD,. AO 平面 BCD ,且 AB AC AD ,Rt ABO Rt ACO Rt ADO , OB OC OD, 故点。是底面三角形的外心.【评注】四面体A BCD中，(1)若各组对棱都相互垂直，则点A在平面BCD内的射影是底面三角形的垂心；(2)若三条侧棱两两垂直，则点A在平面BCD内的射影是底面三角形的垂心；(3)若三

4、条侧棱都相等，则点 A在平面BCD内的射影是底面三角形的外心；(4)若三条侧棱与底面所成的角都相等，则点A在平面BCD内的射影是底面三角形的外心;(5)若三个侧面的斜高都相等，则点A在平面BCD内的射影是底面三角形的内心；(6)若三个侧面与底面所成的角都相等，则点A在平面BCD内的射影是底面三角形的内心.【变式1】正三棱锥的概念.卜面是关于三棱锥的四个命题： 面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. 面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥. 棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正

5、三棱锥.其中，真命题的编号是 .(写出所有真命题的编号)【解析】底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.可推出底面中心等于是棱锥顶点在底面的射影，所以是正确的；显然不对，比如三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等的情况，侧面都是等腰三角形的三棱锥，但不是正三棱锥；底面是等边三角形，侧面的面积都相等，说明顶点到底面三边的距离(斜高)相等，根据射影长的关系，可以得到顶点在底面的射影(垂足)到底面三边所在直线的距离也相等，由于在底面所在的平面内，到底面三边所在直线的距离相等的点有4个:内心(本题的中心)1个、旁心3个，因此不能保证三棱锥是正三棱锥；侧棱与底面所成的角相等，且M侧

6、面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.是正确的.故答案：【变式2正四面体的性质.关于棱长为a的正四面体，有以下的命题：66正四面体的图为h 出a ；正四面体的外接球的半径为R 2a ；346正四面体的内切球的半径为 r -a12;正四面体的外接球的半径是其内切球的半径的3倍;正四面体的相邻两个表面所成的角为正确的序号是【解析】设正四面体的高为 AH , H是BCD的重心,连接DH并延长交于 BC于M ,外接球的球心为O必在AH上，根据对称性， O也是内切球的球心，则OA,r OH ,相邻两个表面所成的角为1 _ 1AMH ,则由重心定理可知，MH -MD MA,33所以1 Q - co

7、s 一 ,正确;3在RtAMH 中，MA a,MH ma ,所以 AH26正确;在RtOMH 中，OM OA R,MH -a,OH6AH R a R,由勾股定理可求3R旦,4正确； 正确，答案为4.3直三棱锥【例3】在平面几何里，有勾股定理：“设 ABC的两边AB、AC互相垂直，则：AB2 AC2 BC2；若 ABC的两边AB、AC与斜边成角分别为cos2cos21 拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可得到正确的结论：“设三棱锥A BCD中，三个侧面 ABC、ACD、ABD两两相互垂直，则：则:棱锥A BCD中，个侧面与底面的成角分别为【解析】过点A作

8、AEBC 于 E,连结 DE ,则：BC DE ,1 八 2 一S BCD- BCDE4AB2- 2_ 2_2AC AE DA4 AB2DA24AC2DA2122BC2 AE24S2ABCS2ACDS2ABD 2故 S ABCS ACDS ABDS BCD :AB同理，易知：若三棱锥 A BCD中，三个侧面与底面的成角分别为、，则:_222222 c、cos cos cos 1 (或 sin sin sin 2). 1【评注】侧棱分别为a,b,c的直三棱锥的底面必是锐角三角形，其体积为-abc o6【变式】直角三角形中射影定理的推广.在平面几何中，直角三角形有射影定理：“设 ABC的两边AB、

9、AC互相垂直，AH BC于H ,则：AB2=BH BC。” 类比到空间，可得到正确的结论：“设三棱锥P ABC中，三个侧面PAR PBC、PAC两两相互垂直，则:【解析】侧面积是它在底面投影的面积与底面积的等比中项，即S BCP S BCoS BCA .4.4 四直角三棱锥例 4 AB 的 Rt ABC 中，PA 平面ABC,AMPB 于 M , AN(1)证明:BC 平面PAC ;PB 平面AMN ;平面PBC 平面AMN ；(4)若PA AB 4, BPC ,求截面 AMN的面积的最大ABPM解析：(1)因为PA 平面ABC，则PA BC ,又BC AC ,所以BC 平面PAC .(2)由

10、 BC 平面 PAC，则 BC AN ,又 AN PC ,所以 AN 平面 PBC , AN PB ,又PB AM ,所以PB 平面AMN .(3)因为PB 平面AMN , PB 平面PBC,所以 平面PBC 平面AMN ；(4)由(1)知BC 平面 PAC , BC平面PBC ,所以平面PCB 平面PAC因为平面PCBI平面PAC PC , AN PC ,所以AN 平面PBC ,又MN 平面PBC ,所以AN MN ;又. PB 平面 AMN, MN 平面 AMN，.- PB MN,所以 MN 2 J2tan , AN 2衣,1 tan2c 1S MN AN 4tan2v1 tan24Jtan21 tan22 ,当且仅当 tan火时，取得2等号，故截面 AMN的面积的最大值为 2.【评注】三棱锥P ABC的每一个面都是直角三角形，称之为四直角三棱锥，A PB C AMN；P BC APCA; dpB an MN ； cos PBC cos PBAcos ABC.【变式】四直角三棱锥，蕴涵着棱锥的所有要素，是研究棱锥的特征几何体.已知:BA