2020-2021中考数学平行四边形综合练习题含详细答案

1、2020-2021中考数学平行四边形综合练习题含详细答案一、平行四边形1 .已知，在矩形 ABCD中，AB=a, BC=b,动点M从点A出发沿边AD向点D运动.图1部图3(1)如图1,当b=2a,点M运动到边AD的中点时，请证明 / BMC=90 ;(2)如图2,当b>2a时，点M在运动的过程中，是否存在 / BMC=90 ,若存在，请给与 证明；若不存在，请说明理由；(3)如图3,当bv 2a时，(2)中的结论是否仍然成立？请说明理由.【答案】(1)见解析；(2)存在，理由见解析；(3)不成立.理由如下见解析 .【解析】试题分析：(1)由b=2a,点M是AD的中点，可得 AB=AM=M

2、D=DC=a,又由四边形 ABCD是矩形，即可求得 ZAMB=Z DMC=45 ,则可求得/ BMC=90 ;(2)由Z BMC=90 ,易证得ABMsDMC,设AM=x,根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程：x2-bx+a2=0,由b>2a, a> 0, b>0,即可判定即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意；(3)由(2),当bv2a, a>0, b>0,判定方程x2-bx+a2=0的根的情况，即可求得答 案.试题解析：(1) .b=2a,点M是AD的中点，.AB=AM=MD=DC=a,又在矩形 ABCD 中，/ A=Z D=90 ,/

3、 AMB=Z DMC=45 ；/ BMC=90 :(2)存在，理由：若Z BMC=90 ,则 / AMB+/ DMC=90 ,又 Z AMB+Z ABM=90 ,/ ABM=Z DMC,又 : / A=/ D=90 ,.ABMADMC, am AB"CD DM 'x a设 AM=x,则 ，a b x整理得：x2-bx+a2=0,. b>2a, a>0, b>0, =b2 - 4a2>0,，方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意，.当 b>2a 时，存在 /BMC=90； (3)不成立.理由：若/BMC=90 ,由(2)可知 x2-bx

4、+a2=0,. b<2a, a>0, b>0, =b2 - 4a2 v 0,.方程没有实数根，当bv 2a时，不存在/BMC=90 ；即(2)中的结论不成立.考点：1、相似三角形的判定与性质；2、根的判别式；3、矩形的性质2.如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A, B的坐标分别为(4, 0),(4, 3),动点M, N分别从O, B同时出发.以每秒1个单位的速度运动.其中，点 M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动.过点 M作MPLOA,交AC于P,连接 NP,已知动点运动了 x秒.(1) P点的坐标为多少(用含 x的代数式表示)；(2)试求4NPC面积S

5、的表达式，并求出面积 S的最大值及相应的x值；(3)当x为何值时，4NPC是一个等腰三角形？简要说明理由.3【答案】(1) P点坐标为(x, 3-x).4(2) S的最大值为-,此时x=2.c 416128(3) x=,或 x=,或 x=-.395【解析】试题分析：(1)求P点的坐标，也就是求 OM和PM的长，已知了 OM的长为x,关键是 求出PM的长，方法不唯一， 可通过PM/ OC得出的对应成比例线段来求； 也可延长 MP交BC于Q,先在直角三角形 CPQ中根据CQ的长和/ACB的正切值求出 PQ的长，然后根据 PM=AB-PQ来求出PM的长.得出 OM和PM的长，即可求出 P点的坐标.(

6、2)可按(1) 中的方法经求出 PQ的长，而CN的长可根据CN=BC- BN来求得，因此 根据三角形的面积计算公式即可得出S, x的函数关系式.(3)本题要分类讨论： 当CP=CN时，可在直角三角形 CPQ中，用CQ的长即x和/ABC的余弦值求出 CP的表 达式，然后联立 CN的表达式即可求出 x的值；当CP=PN时，那么CQ=QN,先在直角三角形 CPQ中求出CQ的长，然后根据 QN=CN-CQ求出QN的表达式，根据题设的等量条件即可得出x的值.当CN=PN时，先求出QP和QN的长，然后在直角三角形 PNQ中，用勾股定理求出 PN 的长，联立CN的表达式即可求出 x的值.试题解析：(1)过点

7、P作PQ± BC于点Q,有题意可得：PQ/AB,.CQPCBA,OPABQC BCQP 3- =一x 4解得：QP= x,.PM=3- -x,由题意可知，CP点坐标为(x,(0, 3) , M (x, 0) , N (4-x, 3),33 一 x).4(2)设NPC的面积为S,3NC边上的高为二工，其中，在 ANPC 中，NC=4-x,0< xW4133s S=-r (4 x)x= 14S(-x2 +4x)3 .，S的取大值为,此时x=2.(3)延长MP交CB于Q,则有PQ, BC.若NP=CR-. PQ± BC, NQ=CQ=x.1 3x=4,LL:? 若 CP=C

8、N 贝U CN=4 x, PQ=x, CP; x, 4- x=- x,4416x=一;9 若 CN=NP,贝U CN=4-x.,. PQ=：x, NQ=42x,.在 RtPNQ 中，PN2=NQ2+PQ2,(4x)2= (4 - 2x) 2+(1x) 2,128. x=5"1283.操作与证明：如图1,把一个含45°角的直角三角板 ECF和一个正方形 ABCD摆放在一 起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点 C重合，点E、F分别在正方形的边 CR CD上, 连接AF.取AF中点 M, EF的中点N,连接 MD、MN.(1)连接AE,求证：4AEF是等腰三角形；猜想与发现：(2

9、)在(1)的条件下，请判断 MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论.结论1: DM、MN的数量关系是二结论2: DM、MN的位置关系是拓展与探究：(3)如图2,将图1中的直角三角板 ECF绕点C顺时针旋转180°,其他条件不变，则 (2)中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由.D【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析. 【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF继而证明出 ABE0ADF,得到AE=AF从而证明出 4AEF是等腰三角形；（2） DM、MN的数量关 系是相等，利用直角三角形斜

10、边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角 相等即可得出结论；（3）成立，连接 AE,交MD于点G,标记出各个角，首先证明出1 1MN/AE, MN=*AE,利用三角形全等证出 AE=AF,而DM=，AF,从而得到 DM, MN数量相 等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关 系得到/DMN=/DGE=90,从而得到 DM、MN的位置关系是垂直.试题解析：（1）二.四边形 ABCD是正方形，AB=AD=BC=CD / B=/ ADF=90 , = CEF 是等腰直角三

11、角形， /C=90, .-.CE=CF - BC- CE=C> CF,即 BE=DF .ABEAADF,AE=AFAAEF是等腰三角形；（2） DM、MN的数量关系是相等， DM、MN的位置关系是垂直；二,在RtADF中DM是斜边 AF的中线，AF=2DM, / MN是4AEF的中位线，AE=2MN, -. AE=AF, . . DM=MN ; -/ DMF=/ DAF+/ ADM ,AM=MD , / FMN=Z FAE / DAF=Z BAE,/ ADM= / DAF=Z BAE, . / DMN=/FMN+/DMF=/DAF+/BAE+/FAE之 BAD=90. DM,MN ; （

12、3） （2）中的两个结论还成立，连接 AE,交MD于点G,二点M为AF的中点，点N为EF的中点，II .MN/AE, MN=r'AE,由已知得， AB=AD=BC=CD / B=/ADF, CE=CF 又. BC+CE=CD+C F 即 BE=DF /. AABEAADF, ，AE=AF,在 RtADF 中，点 M 为 AF 的 111中点，DM=AF,DM=MN , / AABE AADF, ，/1 = /2, -. AB/ DF, ，/1 = /3,同理可证：Z2=Z4, .l. Z3=Z4, 1 DM=AM , ，/MAD=/5,Z DGE=Z 5+Z 4=Z MAD+ Z 3=

13、90 ,° / MN / AE, . . / DMN= / DGE=90 . DM，MN .所 以（2）中的两个结论还成立.考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.三角形中位线定理；4.旋转的性质.4.如图，在菱形 ABCD中，AB=4, ZBAD=120°, AAEF为正三角形，E、F在菱形的边 BC, CD 上.(1)证明：BE=CF(2)当点E, F分别在边BC, CD上移动时(4AEF保持为正三角形)，请探究四边形 AECF的面积是否发生变化？若不变,求出这个定值；如果变化，求出其最大值.(3)在(2)的情况下，请探究 CEF的面积是否发生变化？若不

14、变，求出这个定值；如试题分析：(1)先求证AB=AC,进而求证 ABC ACD为等边三角形，得 / 4=60°,AC=AB进而求证 ABEACF,即可求得 BE=CF(2)根据AB®4ACF可得Saabe=Sacf,故卞|据S四边形AECf=SkX AEC+Sa ACF=Sa AEC+Sa ABE=Sa ABC 即可解题；(3)当正三角形 AEF的边AE与BC垂直时，边 AE最短.4AEF的面积会随着 AE的变化 而变化，且当 AE最短时，正三角形 AEF的面积会最小，又根据 Sace尸S四边形aecfSxaef,则 CEF的面积就会最大.试题解析：(1)证明：连接AC,

15、/ 1 + / 2=60 ； Z3+Z 2=60 ；：. / 1 = 7 3, / BAD=120 ,°/ ABC=Z ADC=60 ° 四边形ABCD是菱形，AB=BC=CD=AD .ABG 4ACD为等边三角形/ 4=60 ； AC=AB, 在 4ABE和 4ACF 中，rzi=Z3AB=AC ,ZABC=Z 4 .ABEMCF. (ASA) .BE=CF(2)解：由(1)得ABEACF,则 Sa abe=Sa acf.故 S 四边形 aecf=Saec+Sa ac尸Sa aec+Sa abe=Saabc, 是定值.作AHBC于H点，贝U BH=2,S 四边形 AECF

16、=S ABC=，=.=46；(3)解：由 垂线段最短”可知，当正三角形 AEF的边AE与BC垂直时，边 AE最短.故4AEF的面积会随着 AE的变化而变化，且当AE最短时,正三角形AEF的面积会最小，又Sacef=S四边形aecf- Saaef,则ZCEF的面积就会最大.由(2)得，Sacef=S四边形 AECF SaAEF点睛：本题考查了菱形每一条对角线平分一组对角的性质，考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，考查了三角形面积的计算，本题中求证ABEACF是解题的关键.5.如图，正方形 ABCD的边长为8, E为BC上一定点，BE= 6, F为AB上一动点，把【分析】B'

17、;处，当4AFB恰好为直角三角形时，B'D的长为？分两种情况分析：如图 1,当/AB' F=9时，此时A、B'、E三点共线，过点 B'作B 肚AB, B' CAD,由三角形的面积法则可求得B' M=2.4再由勾股定理可求得 B' N=3.2在 RtCB N中，由勾股定理得，B' D=b N2+DN 2 = J3.22 5.62 ；如图 2,当/AFB =90。 时，由题意可知此时四边形EBFB是正方形，AF=2,过点B作B'皿AD,则四边形 AFB N为矩形，在RtACBf N中，由勾股定理得，B' D=B N2+

18、DN2=J22 22 ； 【详解】如图1,当/ AB' F=90寸，此时 A、B'、E三点共线，/ B=90 ； -AE=v/aB2_BE2 = /8262=10,. B' E=BE=6 . AB' =4. B' F=BFAF+BF=AB=8在 RtAAB 冲，/AB' F=90 由勾股定理得，AF2=FB2+AB2, .AF=5, BF=3,过点B作B'mAB, B' CAD,由三角形的面积法则可求得B' M=2.4再由勾股定理可求得B' N=3.2AN=B ' M=2.4/. DN=AD-AN=8-2.

19、4=5.6,在 RtACB N中，由勾股定理得，B' d=/bn2+DN2 = J3.22 5.62 =2 屈；5如图2,当/ AFB =9叫，由题意可知此时四边形EBFB是正方形，AF=2,过点 B作 B'NAD,则四边形 AFB N为矩形，. . AN=B F=6 B' N=AF=2 . . DN=AD-AN=2, 在 RtCB N中，由勾股定理得，B' D=b N2+DN 2 = y2 2"2 =2J2 ；4 综上，可得B' D的长为点5或2a5 1【点睛】本题主要考查正方形的性质与判定，矩形有性质判定、勾股定理、折叠的性质等，能正确 地

20、画出图形并能分类讨论是解题的关键.6 .阅读下列材料：我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫这 个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形.如正方形就是和谐四边形.结合阅读材A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形(2)命题： 和谐四边形一定是轴对称图形”是 命题(填 真”或 假”).ABCD(3)如图，等腰 RtABD中，/BAD= 90°.若点C为平面上一点，AC为凸四边形 的和谐线，且 AB=BC,请求出/ ABC的度数.【答案】(1) C ; (2) /ABC的度数为60°或90°或150°.【解析】

21、试题分析：(1)根据菱形的性质和和谐四边形定义，直接得出结论 (2)根据和谐四边形定义，分 AD=CD, AD=AC, AC=DC讨论即可.(1)根据和谐四边形定义，平行四边形，矩形，等腰梯形的对角线不能把四边形分成两个 等腰三角形，菱形的一条对角线能把四边形分成两个等腰三角形够.故选 C.(2) .等腰 RtABD 中，/BAD=90, .AB=AD.AC为凸四边形 ABCD的和谐线，且 AB=BC分三种情况讨论：若AD=CD,如图1,则凸四边形 ABCD是正方形，/ ABC=90 ;若AD=AC,如图2,贝U AB=AC=BC ABC是等边三角形， / ABC=60 ；若AC=DQ如图3,

22、则可求Z ABC=150.图1图2C03考点：1.新定义；2.菱形的性质；3.正方形的判定和性质； 4.等边三角形的判定和性 质；5.分类思想的应用.7.已知 AOB 90，点C是 AOB的角平分线OP上的任意一点，现有一个直角 MCN绕点C旋转，两直角边CM , CN分别与直线OA, OB相交于点D ,点E.即图2周3(1)如图1,若CD OA,猜想线段OD , OE, OC之间的数量关系，并说明理由.(2)如图2,若点D在射线OA上，且CD与OA不垂直，则(1)中的数量关系是否仍 成立？如成立，请说明理由；如不成立，请写出线段 OD , OE , OC之间的数量关系， 并加以证明.(3)如

23、图3,若点D在射线OA的反向延长线上，且 OD 2, OE 8 ,请直接写出线段 CE的长度.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3） 734 【解析】 【分析】（1）先证四边形 ODCE为矩形，再证矩形 ODCE为正方形，由正方形性质可得；（2）过点C作CG OA于点G , CH OB于点H ,证四边形OGCH为正方形,再证CGD CHE（ASA）,可得；（3）根据 CGD CHE （ASA）,可得 OE OD OH OG .2OC.【详解】 解：（1） AOB 90 , MCN 90 , CD OA,四边形ODCE为矩形. .OP是 AOB的角平分线， DOC EOC 45 , :.

24、OD CD , ，矩形ODCE为正方形， oc T2Od, oc V2oe. OD OE 2OC.（2）如图，过点 C作CG OA于点G, CH OB于点H , OP平分 AOB, AOB 90 , ，四边形OGCH为正方形, 由（1）得：OG OH V2OC， 在CGD和CHE中，CGD CHE 90 CG CH,DCG ECHCGD CHE （ASA）,GD HE , OD OE . 2OC . （3）OG OH V2OC， CGD CHE （ASA）, . GD HE . . OD GD OG, OE OH EH ,OE OD OH OG 痴C，OC 3.2，CE 、34, ce的长度为

25、J34.8.现有一张矩形纸片 ABCD (如图)，其中 AB=4cm, BC= 6cm,点E是BC的中点.将纸 片沿直线AE折叠，点B落在四边形 AECD内，记为点B；过E作EF垂直B'C,交BC于F.(1)求AE、EF的位置关系；25【解析】【分析】(1)由折线法及点 E是BC的中点，可证得 ABEC是等腰三角形，再有条件证明/AEF=90即可得到AE± EF;(2)连接 BB',通过折叠，可知 / EBB JEB' B由E是BC的中点，可得 EB' =E C/ECB'上EB',C从而可证 ABB'的直角三角形，在 RtA A

26、OB和RtBOE中，可将 OB, BB ' 的长求出，在 RtBB' C中，根据勾股定理可将 B'的勺值求出.【详解】(1)由折线法及点 E是BC的中点，.EB=EB = EC, /AEB-/AEB；.B'EC是等腰三角形，又 ; EF± B C.EF为/ B'EC的角平分线，即 /B'EF=/FEC/ AEF= 180 - ( /AEB+/CEF = 90 ；即/ AEF= 90 °,即 AE± EF；(2)连接BB交AE于点O,由折线法及点 E是BC的中点，.EB=EB'= EC, / EBB'=

27、 / EBB, / ECB= / EB'C；又 BBC三内角之和为180°,/ BBC= 90 - 点B是点B关于直线AE的对称点， AE垂直平分BB'在 RtAOB 和 RtBOE中，BO2= AB2 - AO2= BE? - ( AE AO) 2将 AB=4cm, be= 3cm , ae= 5cm,16 " AO = cm5.BO= ab2AO2 =12一 cm,5一一 24 BB = 2BO= cm,5在 RtBBC 中,BC= BC2BB由题意可知四边形 OEFB是矩形,. LL E 121 EF= OB =, 5.1 71 18 122 .SAB

28、EC= - B C EF22 5510825【点睛】考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理勾股定理的和矩形的性质综合运用.关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大 小不变，只是位置变化.9.点P是矩形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点(点 P不与点A, C重合)，分别 过点A, C向直线BP作垂线，垂足分别为点 E, F,点O为AC的中点.C DC 75C(1)如图1,当点P与点O重合时，请你判断 OE与OF的数量关系;(2)当点P运动到如图2所示位置时，请你在图 2中补全图形并通过证明判断(1)中的 结论是否仍然成立；(3)若点P在射线OA上

29、运动，恰好使得 /OEF= 30°时，猜想此时线段 CF, AE, OE之间 有怎样的数量关系，直接写出结论不必证明.【答案】(1) OE= OF.理由见解析；(2)补全图形如图所示见解析，OE= OF仍然成立；(3) CF= OE+AE或 CF= OE- AE.【解析】【分析】(1)根据矩形的性质以及垂线，即可判定AOE COF(AAS),得出OE=OF；(2)先延长EO交CF于点G,通过判定 AOE COG(ASA),得出OG=OE,再根据1 一Rt EFG 中，OF EG,即可得到 OE=OF； 2(3)根据点P在射线OA上运动，需要分两种情况进行讨论：当点P在线段OA上时，当

30、点P在线段OA延长线上时，分别根据全等三角形的性质以及线段的和差关系进行推导计 算即可.【详解】(1) OE=OF.理由如下： 如图1.四边形ABCD是矩形，OA=OC.AE BP, CF BP , AEO CFO 90 .AEO CFO.在 AOE 和 COF 中， AOE COF , AOE COF (AAS) , . . oe=of； OA OC(2)补全图形如图2, OE=OF仍然成立.证明如下： 延长EO交CF于点G. AE BP, CF BP , AE/CF, EAO GCO.又点O为AC的中点，AO=CO.EAO GCO在 AOE 和 COG 中， AO CO ,， AOE CO

31、G(ASA) , . . OG=OE, AOE COG1 Rt EFG 中，OF EG, . OE=OF； 2(3) CF=OE+AE或 CF=OE-AE.证明如下： 如图2,当点P在线段OA上时. OEF 30 , EFG 90，.一 OGF 60 ,由(2)可得：OF=OG,OGF 是 等边三角形，FG=OF=OE,由(2)可得： AOE COG ,CG=AE.又 CF=GF+CG, CF=OE+AE;如图3,当点P在线段OA延长线上时.OEF 30 , EFG 90，.二 OGF 60 ,同理可得：OGF是等边三角形,FG=OF=OE,同理可得：AOE COG ,CG=AE.又 CF=G

32、F-CG,CF=OE-AE.本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定以及等边三角 形的性质和判定，解决问题的关键是构建全等三角形和证明三角形全等，利用矩形的对角 线互相平分得全等的边相等的条件，根据线段的和差关系使问题得以解决.10.如图，点E是正方形 ABCD的边AB上一点，连结 CE,过顶点C作CF, CE,交AD延 长线于F.求证：BE=DF.【答案】证明见解析.【解析】分析：根据正方形的性质，证出 BC=CD/B=/ CDF, /BCD=90,再由垂直的性质得到/ BCE=/ DCF,然后根据 “ ASA明 BC珞 BCE即可得到BE=DF详解：证明：CF&#

33、177;CE,/ ECF=90, °又 / BCG=90, / BCE-+Z ECD =/ DCF-+Z ECD / BCE玄 DCF, 在 BCE与4DCF中， / BCE玄 DCF, BC=CD / CDF=/ EBC.,.BCEABCE (ASA), .BE=DF.点睛：本题考查的是正方形的性质，熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答 此题的关键.11.如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线BD上一动点(P与B、D不重合)，/APE=90,°且点E在BC边上，AE交BD于点F.(1)求证： PA®4PCB；PE=PC；(2)在点P的运动过程中， 衰

34、的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，请说明理 由；(3)设DP=x,当x为何值时，AE/ PC,并判断此时四边形 PAFC的形状.【答案】(1)见解析；竺=理血打工；(3) x=、2-1;四边形PAFC是菱形.【解析】试题分析：(1)根据四边形 ABCD是正方形，得出 AB=BC /ABP=/ CBP ,再根据PB=PB 即可证出PA®4PCB, 根据 / PAB+/ PEB=180°, / PEC吆 PEB=180；得出 / PECh PCB 从而证出 PE=PC (2)根据 PA=PC PE=PC 得出 PA=PE 再根据 /APE=90,得出 / PAE4 PE

35、A=45 ,即可求AP出"；(3)先求出/CPE4 PEA=45 ,从而得出 /PCE，再求出/ BPC即可得出/ BPC=/ PCE从 而证出 BP=BC=1 x=2 1,再根据 AE/ PC,得出 /AFP=Z BPC=67.5,由PAg4PCB 得出Z BPA=/ BPC=67.5, PA=PC从而证出 AF=AP=PC得出答案.11试题解析：(1)二.四边形 ABCD是正方形，AB=BC, / ABP=/ CBP= / ABC=45 . PB=PB,APABAPCB ( SAS .由 PAg PCB可知，Z PAB=Z PCB, / ABE=/ APE=90°, .

36、 . / PAB+Z PEB=180°,又 / PEC吆 PEB=180 ,/ PECh PAB=Z PCB,. PE=PCAP(2)在点P的运动过程中，的值不改变.由 PA® PCB可知，PA=PC ,.PE=PCPA=PE又 / APE=90 ,竺修.PAE 是等腰直角三角形，/PAE土 PEA=45, ° .,.''= .1(3) AE/ PC,Z CPE=/ PEA=45 , 在 APEC 中，Z PCE=Z PEC= (180 45°) =67.5 : 在4PBC中，/BPC= (180° / CBP / PC日=(1

37、80 45 67.5 ) =67.5 °.Z BPC=Z PCE=67.5, °，BP=BC=1, ，x=BD BPa'2 1. AE/ PC,/ AFP=Z BPC=67.5 ,由 PA® PCB可知，/ BPA=Z BPC=67.5, PA=PQ ，/AFP=/ BPA, .-.AF=AP=PC . .四边形 PAFC是菱形.考点：四边形综合题.12.如图，在菱形 ABCD中，AB=6, /ABC=60°, AHBC于点H.动点E从点B出发，沿 线段BC向点C以每秒2个单位长度的速度运动.过点 E作EF± AB,垂足为点F.点E出

38、发后，以EF为边向上作等边三角形 EFG设点E的运动时间为t秒，4EFG和4AHC的重 合部分面积为S.(1) CE= (含t的代数式表示).(2)求点G落在线段AC上时t的值.(3)当S>0时，求S与t之间的函数关系式.(4)点P在点E出发的同时从点 A出发沿A-H-A以每秒2<3个单位长度的速度作往复运动，当点E停止运动时，点 P随之停止运动，直接写出点P在4EFG内部时t的取值范32v3【答案】(1) 6-2t; (2) t=2; (3)当彳vtw时，S= " t2k®t-3*；当 2vtw时，S=-6533y/3312 t2+ ? t- ? ；(4)?&

39、lt;t< 5.【解析】试题分析：(1)由菱形的性质得出 BC=AB=6得出CE=BC-BE=6-2即可；(2)由菱形的性质和已知条件得出4ABC是等边三角形，得出 /ACB=60,由等边三角形的性质和三角函数得出 /GEF=60, GE=EF=BE?sin6 0、入，证出/ GEC=9 0,由三角函数求 I GE出CE=an6T=t,由be+ce=bC导出方程，解方程即可；31(3)分两种情况： 当，vtw对，S=AEFG的面积-4NFN的面积，即可得出结果；当2vtw的，由的结果容易得出结论；3(4)由题意得出t=N时，点p与h重合，E与H重合，得出点P在4EFG内部时，t的不 等式

40、，解不等式即可.试题解析：(1)根据题意得：BE=2t,四边形ABCD是菱形，BC=AB=6,.CE=BC-BE=6-21(2)点G落在线段AC上时，如图1所示： .四边形ABCD是菱形， .AB=BC, Z ABC=60 ,.ABC是等边三角形，Z ACB=60 , EFG是等边三角形，Z GEF=60, GE=EF=BE?sin60炉t,=.EFXAB,Z BEF=90-60 =30 ,Z GEB=90,Z GEC=90, GE y3t.c匚 tan60° - 7T . . CE= =t, BE+CE=BC .-2t+t=6 ,解得：t=2；3(3)分两种情况：当2tw汨寸，如图

41、2所示:SEFG的面积-A NFN的面积 ？ 户 x (，)2, X? x (- 3 +2' ) 2= ： t2+ t-31 ,2yp即 S= 3 t2+'t-3Xp;当2vt w时，如图3所示:65%必 29*同 33Vm即 S=- 4 t2+ " t- 士 ；(4) . AH=AB?sin603=67=3P , 3c.#=,3+2=,，t=2时，点P与H重合，E与H重合,.点P在4EFG内部时,(2t-3)-%< (昌 X(2t-3),12解得：r<t<即点P在4EFG内部时t的取值范围为:vtv12T考点：四边形综合题.,，3-、一,、，一13

42、.已知一次函数y=7X+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段 AB为直角边在第二象限内左等腰直角三角形ABCBAC=90,如图1所示.(1)填空：AB=, BC=.(2)将 ABC绕点B逆时针旋转，当AC与x轴平行时，则点 A的坐标是 当旋转角为90°时，得到BDE,如图2所示，求过B、D两点直线的函数关系式. 在的条件下，旋转过程中 AC扫过的图形的面积是多少？(3)将 ABC向右平移到B'配立置，点C为直线AB上的一点，请直接写出 4ABC扫 过的图形的面积.4【答案】(1) : 5; 5点；(2)(0, - 2);直线BD的解析式为y=- x+3;2$27耳S

43、= =兀；(3) 4ABC扫过的面积为 .46【解析】试题分析：(1)根据坐标轴上的点的坐标特征，结合一次函数的解析式求出A、B两点的坐标，利用勾股定理即可解答；(2)因为 B (0, 3),所以 OB=3,所以 AB=5,所以 AO=AB-BO=5-3=2,所以 A (0,-2)； 过点C作CF,OA与点F,证明AOBCFA得到点C的坐标，求出直线 AC解析 式，根据AC/ BD,所以直线BD的解析式的k值与直线AC的解析式k值相同，设出解析 式，即可解答. 利用旋转的性质进而得出 A, B, C对应点位置进而得出答案，再利用以BC为半径90。圆心角的扇形面积减去以 AB为半径90。圆心角的

44、扇形面积求出答案；(3)利用平移的性质进而得出 ABC扫过的图形是平行四边形的面积.3试题解析：(1)二一次函数yx+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，.A (-4, 0) , B (0, 3), .AO=4, BO=3,在 RtA AOB 中，AB=</。” +=苫 + *=5 ,等腰直角三角形 ABC, / BAC=90 ,°.OB=3,.AB=5,.AO=AB-BO=5-3=2, .A (0, -2).当在x轴上方时，点 A的坐标为(0, 8),如图2,过点C作CF, OA与点F, ABC为等腰直角三角形，/ BAC=90 ； AB=AC, / BAO+/ CAF=

45、90 ,° / OBA+Z BAO=90 ；/ CAF=Z OBA, 在4AOB和4CFA中，jLCAF =I " = ah .AOB0CFA (AAS); .OA=CF=4, OB=AF=3,.OF=7, CF=4,.C (-7, 4). A (-4, 0)设直线AC解析式为y=kx+b,If 4Ar + b = 0 7 k j- jh 4 将A与C坐标代入得：',T16解得：，'41 16则直线AC解析式为y= "x, 将ABC绕点B逆时针旋转，当旋转角为90时，得到BDE/ ABD=90 ,° / CAB=90 ；/ ABD=Z C

46、AB=90 ,° .AC/ BD,，设直线BD的解析式为y= x+bi,把B (0, 3)代入解析式的：bi=3,I 4，直线BD的解析式为y=设+3; 因为旋转过程中 AC扫过的图形是以 BC为半径90。圆心角的扇形面积减去以 AB为半径 90。圆心角的扇形面积，90 x X (5/2)2 90 x nx 52 25 yj所以可得：S= 3603604(3)将 ABC向右平移到B'他立置, ABC扫过的图形是一个平行四边形和三角形ABC,如图3:将C点的纵坐标代入一次函数3y=4x+3,求得C'的横坐标为4平行四边CAA C勺面积为(7.)125三角形ABC的面积为

47、X5X5= ABC扫过的面积为:AEG考点：几何变换综合题.14.如图，现有一张边长为 4的正方形纸片 ABCD,点P为正方形AD边上的一点(不与点 A、点D重合)，将正方形纸片折叠，使点 B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H, 折痕为EF,连接BP、BH.B(1)求证：/APB=/ BPH；(2)当点P在边AD上移动时，求证： 4PDH的周长是定值;(3)当BE+CF的长取最小彳直时，求 AP的长.【答案】(1)证明见解析.(2)证明见解析.(3) 2.【解析】试题分析：(1)根据翻折变换的性质得出 /PBC1 BPH,进而利用平行线的性质得出 ZAPB=Z PBC即可得出答案；(2)首先证明 ABPQBP,进而得出 BCHBQH,即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8(3)过 F作 FMXAB,垂足为 M,贝U FM=BC=AB, 证明 EFM BPA,设 AP=x,利用折 叠的性质和勾股定理的知识用x表示出BE和CF,结合二次函数的性质求出最值.试题解析：