2020-2021中考数学平行四边形培优易错难题练习(含答案)

1、2020-2021中考数学平行四边形 培优易错难题练习(含答案)一、平行四边形1 .已知：在菱形 ABCD中，E, F是BD上的两点，且 AE/ CF.【解析】【分析】由菱形的性质可得 AB/ CD, AB= CD, /ADF=/CDF,由SAS'可证 ADF CDF,可得 AF= CF,由ABECDF,可得AE= CF,由平行四边形的判定和菱形的判定可得四边形 AECF是菱形.【详解】证明：二.四边形ABCD是菱形 . AB / CD, AB= CD, ZADF= / CDF . AB=CD, /ADF=/CDF, DF= DF .ADFACDF (SAS.AF=CF,1. AB/

2、CD, AE/ CF/ ABE= / CDF, / AEF= / CFE/ AEB= / CFD, / ABE= / CDF, AB= CD .ABEACDF (AAS) .AE=CF,且 AE/ CF 四边形AECF是平行四边形又 AF= CF, 四边形AECF是菱形【点睛】本题主要考查菱形的判定定理，首先要判定其为平行四边形，这是菱形判定的基本判定.2.已知：如图，在平行四边形 ABCD中，。为对角线BD的中点，过点 O的直线EF分别交AD, BC于E, F两点，连结BE, DF.(1)求证：ADO三BOF.(2)当/ DOE等于多少度时，四边形 BFDE为菱形？请说明理由. DOEABO

3、FEBFD是平行四边进而利用垂直平分线的性质得出试题解析士ED 口"EODGC(3)在(2)中E是BC的中点【解析】试题分析/DOE=90°时，四边形BFED为菱形，理由见解析(ASA)；(2)首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形 DO三 BOF (ASA ；2)当/DOE=90时，四边形 BFDE为菱形1)证明见解析BO=DO, / EDB=Z FBQ 在AEOD和AFOB中 DOEABOF, ，OE=OF,1)利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出BE=ED即可得出答案O为对角线BD的中点，试猜想AE与GC有怎样白关系(直接写出结论即可)；

4、(2)将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点 E落在BC边上，如图2,连接AE和CG.你认为(1)中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.OB=OD,四边形EBFD是平行四边形EOD=90 ； EF± BD,四边形 BFDE为菱形3.如图1,已知正方形 ABCD的边CD在正方形 DEFG的边DE上，连接AE= CG, AE± GC； (2)成立，证明见解析；(3) , 2BC= 2,则C, F两点间的距离为1) .在？ABCD 中【分析】由于四边形 ABCD/2、/3互余，所以/ 1、(1)观察图形，AE、CG的位置关系可能是垂直，下面着手证明.D

5、EFG都是正方形，易证得 ADECDG,则/1=/2,由于 /3互余，由此可得 AE± GC.(2)题(1)的结论仍然成立，参照(1)题的解题方法，可证 ADECDG,得7 5=Z4,由于/4、/ 7互余，而/5、/6互余，那么/6= /7；由图知Z AEB= Z CEHU 90-Z 6,即 /7+/CEk 90°,由此得证.(3)如图3中，作CMLDG于G, GNXCDT N, CH, FG于H,则四边形 CMGH是矩 形，可得CM=GH, CH= GM.想办法求出 CH, HF,再利用勾股定理即可解决问题.【详解】(1)AE= CG, AE± GC;在正方形A

6、BCD与正方形DEFG中，AD= DC, / ADE= / CDG= 90 °,DE= DG,2 .ADEACDG(SAS)3 .AE, CG, Z1 = Z24 / 2+Z 3=90 °,/ 1 + Z 3=90 °, ./AHG= 180 - (Z1 + Z 3)=180 - 90 = 90 °, AEXGC.(2)答：成立；证明：延长AE和GC相交于点H,口在正方形ABCD和正方形DEFG中，AD= DC, DE= DG, / ADC= / DCB= / B= / BAD= / EDG= 90 °,/ 1 = Z 2 = 90/ 3;2

7、.ADEACDG(SAS)，AE=CG, Z5=Z4；又: / 5+76=90°, / 4+Z 7=180° - / DCE= 180 - 90° =90°,/ 6= / 7,又/6+/AEB= 90°, /AEB=/CEH,3 / CEH+Z 7 = 90 °,/ EHC= 90 ；4 AEXGC.(3)如图3中，作CMLDG于G, GN± CD于N, CH± FG于H,则四边形 CMGH是矩形，可 得 CM=GH, CH= GM.5 . BE=CE= 1 , AB=CD=2,.AE= DE= C"DG

8、= FG=亚,6 . DE=DG, /DCE=/GND, Z EDC= Z DGN,.DCEGND(AAS)7 .GCD= 2,. Sdcg= 1 ?CD?NG= 1 ?DG?CM,22.2X2=石？CM,八 44.5.-.CM =GH=5c c 3.5MG=ch= 7CGcm =， 55.FH=FG- FG=-，5 CF=痴 2 CH 2 = J()2 (35 )2 =亚 55故答案为日【点睛】 本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形 等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题.4. (1)(问题发现)如图1,在RtA ABC中，A

9、B= AC= 2, Z BAC= 90°,点D为BC的中点，以 CD为一边作正方形CDEF点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为（2）（拓展研究）在（1）的条件下，如果正方形 CDEF绕点C旋转，连接BE, CE, AF,线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图 2的情形给出证明；（3）（问题发现）当正方形CDEF旋转到B, E, F三点共线时候，直接写出线段 AF的长.【答案】（1） BE=72AF； （2）无变化；（3） AF的长为 向 T 或V3+1.【解析】试题分析：（1）先利用等腰直角三角形的性质得出AD=J2 ,再得出BE=AB=2,即可得出结论；（2）先利用

10、三角函数得出 CA叵,同理得出CF叵,夹角相等即可得出 CB 2CE 2 ACQ4BCE进而得出结论；（3）分两种情况计算，当点E在线段BF上时，如图2,先利用勾股定理求出EF=CF=AD=T2 , bf=J6,即可得出BE=J6 - J2 ,借助（2）得出的结论，当点 E在线 段BF的延长线上，同前一种情况一样即可得出结论.试题解析：（1）在 RtA ABC 中，AB=AC=2,根据勾股定理得，BC=J2 AB=2亚，点 D 为 BC 的中点，.,.AD=-BC=72，2四边形CDEF是正方形，AF=EF=AD=/2 , BE=AB=2, .BE=V2AF,故答案为BE=、2AF；(2)无变

11、化；如图 2,在 RtAABC中，AB=AC=2,/ ABC=Z ACB=45sin/ ABC=CA CB 2 '在正方形 CDEF中，/ FEC=1 / FED=45 ；2在 RtCEF中，sinZ FEC=CF 及，CE 2.CF CACE CB ? / FCE=/ ACB=45/ FCE- / ACE=Z ACB- / ACE,. / FCA=Z ECBBE CB一.ACFABCE-=42 -1- be=>/2 AF,AF CA线段BE与AF的数量关系无变化； （3）当点E在线段AF上时，如图2,由（1）知，CF=EF=CD=/2，在 RtBCF 中，CF=y2，BC=2夜

12、，根据勾股定理得，BF=76 ,BE=BF EF=V6 -由（2）知，BE=2AF, .AF=V3 -1,sinZ ABC=CA _2, CB 2 'CACB，当点E在线段BF的延长线上时，如图 3,在 RtA ABC 中，AB=AC=2, ，/ ABC=Z ACB=45 ,在正方形 CDEF中，/ FEC=1 / FED=45 ,°2在 RtCEF中，sin/FEC=CL 返 .CFCE 2 ' CE / FCE=/ ACB=45/ FCB+/ ACB=Z FCB+/ FCE/ FCA=/ ECBBE CB 一一.ACFABCE =亚，1- BE=J2 AF,AF

13、CA由（1）知，CF=EF=CD=/2 ,在 RtBCF中，CF=72，BC=272，根据勾股定理得，bf=J6,be=bf+ef=/6 +J2 ,由（2）知，BE=0AF,，AF=J3+1.+1.即：当正方形CDEF旋转到B, E, F三点共线时候，线段 AF的长为J3 T或J35.如图所示，矩形 ABCD中，点E在CB的延长线上，使 CE= AC,连接AE,点F是AE的 中点，连接BF、DF,求证：BFXDF.【解析】【分析】延长BF,交DA的延长线于点 M,连接BD,进而求证 AFMEFB,彳# AM=BE, FB=FM,即可求得BC+BE=AD+AM,进而求得BD=BM,根据等腰三角形

14、三线合一的性质即 可求证BF± DF.【详解】延长BF,交DA的延长线于点 M,连接BD.四边形 ABCD是矩形，MD/BC, . . / AMF=/EBF, / E=/MAF ,又 FA=FE .AFMAEFB,，AM=BE, FB=FM.矩形 ABCD中，AC=BD, AD=BC, . . BC+BE=AD+AM ,即 CE=MD. CE=AC, .1. AC=CE= BD =DM . FB=FM ,BF± DF.【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和对应边相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，本题中求证 DB=DM是解题的关键.6.菱形ABCD中、/BAD=

15、 120°,点O为射线CA上的动点，作射线 OM与直线BC相交于 点E,将射线OM绕点O逆时针旋转60。，得到射线ON,射线ON与直线CD相交于点F.(1)如图，点。与点A重合时，点E, F分别在线段BC, CD上，请直接写出 CE, CF, CA三条段段之间的数量关系；(2)如图，点O在CA的延长线上，且 OA= - AC, E, F分别在线段BC的延长线和线3段CD的延长线上，请写出 CE, CF, CA三条线段之间的数量关系，并说明理由；(3)点O在线段AC上，若AB= 6, B0= 2",当CF= 1时，请直接写出 BE的长.4.【答案】(1) CA=CE+CF (

16、2) CF-CEjAC. (3) BE 的值为 3 或 5 或 1.3【解析】【分析】(1)如图 中，结论：ca=ce+cf只要证明ADF04ACE (SAS即可解决问题；4(2)结论：CF-CEAC.如图中，如图作 OG/ AD交CF于G,则AOGC是等边二角3形.只要证明 FO8 4EOC (ASAO即可解决问题；(3)分四种情形画出图形分别求解即可解决问题【详解】.ABC, AACD都是等边三角形, Z DAC=Z EAF=60 , °/ DAF=Z CAE, . CA=AD, / D=Z ACE=60,° .ADFAACE (SAS , .df=ce . ce+cf

17、=cf+df=cd=a c.CA=CE+CF_4(2)结论：CF-CE-AC.理由：如图 中，如图作 OG/ AD交CF于G,则4OGC是等边三角形. / GOC=Z FOE=60 ;/ FOG=Z EOC .OG=OC, /OGF=/ACE=120,° .FOGAEOC (ASA), .CE=FG . OC=OG, CA=CQ.OA=DG, . CF-EC=CF-FG=CG=CD+DG=A1HAe= AC, 3)作 Bhl±AC于 H. . AB=6, AH=CH=3, .BH=3 技如图-1中，当点O在线段AH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时.oh=OB2 BH

18、2 =1,.-.OC=3+1=4,由（1）可知：CO=CE+CF,. OC=4, CF=1,.CE=3,BE=6-3=3.如图-2中，当点O在线段AH上，点F在线段DC的延长线上，点 E在线段BC上时.CE=4+1=5,CE=1ESHCE=2+1=3,BE=3.BE=6-1=5.如图-4中E在线段BC上时OC=CH-OH=3-1=2 CF=1同法可证：OC=CE+CF可知：CE-CF=OC同法可知：CE-CF=OCO在线段CH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时O在线段CH上，点F在线段DC的延长线上【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关 键

19、是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题， 属于中考压轴题.7.如图，已知矩形 ABCD中，E是AD上一点，F是AB上的一点，EF± EC,且EF= EC. (1)求证：4AE图 DCE(2)若DE= 4cm,矩形ABCD的周长为32cm,求AE的长.(2) 6cm.【解析】分析：(1)根据EF± CE,求证/AEF=/ ECD.再利用AAS即可求证AAEFADCE(2)利用全等三角形的性质，对应边相等，再根据矩形ABCD的周长为32cm,即可求得AE的长.详解：(1)证明：EF± CE,/ FEC=90, ° / AE

20、F+/ DEC=90而 / ECD+Z DEC=90 , / AEF=Z ECD在 RtAEF和 RtDEC 中，/ FAE=Z EDC=90 ； / AEF土 ECD EF=EC.AEFADCE(2)解：AAEFADCEAE=CDAD=AE+4.矩形ABCD的周长为32cm,2 (AE+AE+4 =32.解得，AE=6 (cm).答：AE的长为6cm.点睛：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和矩形的性质等知识点的理解和掌 握，难易程度适中，是一道很典型的题目.8.如图，在正方形 ABCD中，点G在对角线 BD上(不与点 B, D重合)，GE1 DC于点E, GF± BC于点F

21、,连结AG.(1)写出线段AG, GE, GF长度之间的数量关系，并说明理由；(2)若正方形 ABCD的边长为1, /AGF=105,求线段BG【答案】(1) AGJgW+gF2 (2) 3g&6【解析】 试题分析：(1)结论：AG2=GE2+GF2.只要证明GA=GG四边形EGF比矩形，推出GE=CF在RtGFC中，利用勾股定理即可证明；(2)作BN± AG于N,在BN上截取一点 M,使得 AM=BM ,设AN=x,易证 AM=BM=2x,MN=Jx,在 RABN 中，根据 AB2=AN2+BN2,可得 1=x2+ (2x+gx) 2,解得x="一心,推出BN=*

22、+W ,再根据bG=BN cos30即可解决问题. 44试题解析：(1)结论：AG2=GE2+GF2.理由：连接CG.四边形ABCD是正方形, .A、C关于对角线BD对称, 点G在BD上,.GA=GC,. GE± DC于点 E, GF± BC于点 F,/ GEC=Z ECFh CFG=90 ,四边形EGFC是矩形,.CF=GE在 RtA GFC中, CG?=gF2+CF?, ag2=gF2+gE?.(2)作BN± AG于N,在BN上截取一点 M,使得AM=BM ,设AN=x. / AGF=105 ,° / FBG=Z FGB=Z ABG=45 ,

23、6;/ AGB=60 ； ZGBN=30 ,° / ABM=Z MAB=15 ;/ AMN=30 °,.AM=BM=2x, MN=gx,在 RtA ABN 中， AB2=AN2+BN2,1- 1=x2+ (2x+右 x) 2,解得x=-.BN="'43、勾股定理，4、直角三角形30度的性考点：1、正方形的性质，2、矩形的判定和性质, 质9.问题探究(1)如图，已知正方形 ABCD的边长为4点M和N分别是边BC CD上两点，且BM = CN,连接AM和BN,交于点P.猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论.(2)如图，已知正方形 ABCD的边长为4 .点M

24、和N分别从点R C同时出发，以相同 的速度沿BG CD方向向终点C和D运动.连接AM和BN,交于点P,求4APB周长的最 大值； 问题解决(3)如图，AC为边长为2石 的菱形ABCD的对角线，Z ABC= 60°.点M和N分别从 点B、C同时出发，以相同的速度沿 BC、CA向终点C和A运动.连接AM和BN,交于点 P.求4APB周长的最大值.【答案】(1) AMXBN,证明见解析；(2) 4APB周长的最大值4+4 J2 ; (3) 4PAB的 周长最大值=2 3 +4.【解析】试题分析：根据全等三角形的判定SAS证明ABM0BCN,即可证得 AMXBN;(2)如图，以AB为斜边向外

25、作等腰直角 AEB, / AEB=90 ,作EFL PA于E,作EG, PB于G,连接EP,证明PA+PB=2EF求出EF的最大值即可；(3)如图，延长DA到K,使得AK=AB,则4ABK是等边三角形，连接 PK,取PH=PR证明PA+PB=PK求出PK的最大值即可 试题解析：（1）结论：AMXBN.理由：如图中，蚤工四边形ABCD是正方形，AB=BC, / ABM= / BCN=90 ；1 .BM=CN,2 .ABMABCNI,3 / BAM=/ CBN,4 / CBN+Z ABN=90 ；5 / ABN+Z BAM=90 ；/ APB=90 ； .AM LBN.(2)如图中，以AB为斜边向

26、外作等腰直角三角形4AEB, /AEB=90,E, EE EG± PB于 G,连接 EP.EF± PA于IS / EFP=/ FPG=Z G=90 ； 四边形EFPG是矩形，/ FEG=Z AEB=90 ；/ AEF=Z BEG, EA=EB / EFA之 G=90 ； .AEFABEG, .EF=EG AF=BG, 四边形EFPG是正方形，PA+PB=PF+AF+PG BG=2PF=2EF1. EF< AE .EF 的最大值=AE=2/2, .APB周长的最大值=4+4匹.(3)如图中，延长DA到K,使得AK=AB,则4ABK是等边三角形，连接 PK,取PH=PB,

27、. AB=BC, /ABM=/BCN, BM=CN, .ABMABCN,/ BAM=Z CBN,/ A PN=Z BAM+ / ABP=Z CBN+Z ABN=60 ,°/ APB=120 ,° / AKB=60 ,° / AKB+Z APB=180 ,° A、K、B、P四点共圆，/ BPH=Z KAB=60 ； PH=PB, .PBH是等边三角形，/ KBA=Z HBP, BH=BP,，/KBH=/ ABP, .BK=BA, .KBHAABP,HK=AP,PA+PB=KH+PH=PKPK的值最大时， APB的周长最大， 当PK是4ABK外接圆的直径时，

28、PK的值最大，最大值为 4, .PAB的周长最大值=2旧+4.10.在矩形纸片ABCD中，AB=6, BC=8,现将纸片折叠，使点 D与点B重合，折痕为EF, 连接DF.(1)说明4BEF是等腰三角形；(2)求折痕EF的长.15【答案】(1)见解析；(2).【解析】【分析】(1)根据折叠得出 /DEF=/BEF根据矩形的性质得出 AD/ BC,求出/ DEF=/BFE,求出ZBEF=Z BFE即可；(2)过E作EMLBC于M,则四边形 ABME是矩形，根据矩形的性质得出EM=AB=6,AE=BM,根据折叠得出 DE=BE,根据勾股定理求出 DE、在RtEMF中，由勾股定理求出即 可.【详解】(

29、1)二.现将纸片折叠，使点 D与点B重合，折痕为 EF,，/DEF=/BEF.四边形 ABCD是矩形，AD/ BC, . . / DEF=/BFE . . / BEF=/BFE, . BE=BF,即 BEF 是等腰三角形；(2)过E作EMLBC于M,则四边形 ABME是矩形，所以 EM=AB=6, AE=BM .现将纸片折叠，使点 D与点B重合，折痕为 EF, DE=BE, DO=BO, BD± EF.25BE=DE=BF, AE=8 DE=8 4.四边形 ABCD是矩形，BC=8, .-.AD=BC=8, / BAD=90 ：在 RtMBE中,AE2+AB2=B，,即(8-BE)

30、2+62=BE2,解得:1251 7125 7 19彳q=BM, -FM=y-?=2.在RtEMF中，由勾股定理得：EF=1S+ 卬 ?与. 15故答案为：【点睛】本题考查了折叠的性质和矩形性质、勾股定理等知识点，能熟记折叠的性质是解答此题的关键.11.如图1,在长方形纸片 ABCD中，AB=mAD,其中m?1,将它沿EF折叠（点E. F分别在 边AB、CD上），使点B落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与CD相交于点P,连接EP设公M- n ,其中0<n?1.AD如M2ER3（1）如图2,当n=1（即M点与D点重合），求证：四边形 BEDF为菱形；1（2）如图3,当n 一（M为

31、AD的中点），m的值发生变化时，求证： EP=AE+DP 2BE CF 一（3）如图1,当m=2（即AB=2AD）, n的值发生变化时， 的值是否发生变化 标明理AM由.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）值不变，理由见解析.【解析】试题分析：（1）由条件可知，当 n=1 （即M点与D点重合），m=2时，AB=2AD,设AD=a,则AB=2a,由矩形的性质可以得出 AADEANDF,就可以得出 AE=NF, DE=DF在 RtA AED中，由勾股定理就可以表示出AE的值，再求出BE的值就可以得出结论.（2）延长 PM交EA延长线于 G,由条件可以得出 PDMGAM, EMP EM

32、G由全 等三角形的性质就可以得出结论 .（3）如图1,连接BM交EF于点Q,过点F作F。AB于点K,交BM于点O,通过证明 ABMsKFE 就可以得出 -EK- KF,即"BE一BK 型，由 AB=2AD=2BC, BK=CF AM AB AM ABBF CF1就可以得出BE CF的值是一为定值. AM2（1） .四边形 ABCD是矩形，AB=CD AD=BC, /A=/B=/ C=Z D=90 .1 . AB=mAD,且 n=2,，AB=2AD.3 / ADE+Z EDF=90 ,° / EDF+Z NDF=90ZADE=Z NDF.在 AADE 和 ANDF 中，/A=

33、/N, AD= ND, Z ADE= Z NDF,4 .ADEANDF （ASA） .AE=NF, DE=DF.,.FN=FC AE=FC5 AB=CD, AB-AE="CD-CF."，BE="DF."，BE=DERtA AED 中，由勾股定理，得 AE2 DE2 AD2,即 AE2 （2AD AE）2 AD2 ,.AE=3AD.4.BE=2AD-3AD=5 .44BEAE5 AD 43 AD 4(2)如图3,延长PM交EA延长线于 G,，/GAM=9°0 . . M 为 AD 的中点，AM=DM .四边形 ABCD是矩形，.l. AB=CD,

34、 AD=BQ Z A=Z B=Z C=Z D=90 ； AB/ CD./ GAM=Z PDM.在AGAM 和4PDM 中，Z GAM= Z PDM, AM=DM, /AMG=/DMP, .GAMAPDM (ASA) . ,- MG=MP.在 EMP 和 EMG 中，PM=GM, / PME= / GME, ME=ME, .EMPAEMG (SAS .，EG=EP .AG+AE=EP，PD+AE=EP 即 EP=AE+DPC(3)BE CFAM1一，值不变，理由如下:2如图1,连接BM交EF于点Q,过点F作FK± AB于点K,交BM于点O, EM=EB, / MEF=Z BEF,EF&

35、#177; MB,即/ FQO=90 .° 四边形 FKBC是矩形，KF=BC FC=KB. / FKB=90，/ KBO+Z KOB=90.° / QOF+Z QFO=90 ； Q QOF=Z KOB,. / KBO=Z OFQ. / A=Z EKF=90,° ABMs KFE.EK KF BE BK BC 一即.AM AB AM ABBE CF 1.2. AB=2AD=2BC, BK=CFAMBECF的值不变.3.全等三角形的判定和性质;4.勾股定理；5.相似三角12.已知一次函数yqx+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段 AB为直角边在 第二象限

36、内左等腰直角三角形ABC /BAC=90,如图1所示.(1)填空：AB=, BC=.(2)将 ABC绕点B逆时针旋转，当AC与x轴平行时，则点 A的坐标是 当旋转角为90°时，得到BDE,如图2所示，求过B、D两点直线的函数关系式. 在的条件下，旋转过程中 AC扫过的图形的面积是多少？(3)将 ABC向右平移到B'e置，点C为直线AB上的一点，请直接写出 4ABC扫 过的图形的面积.【答案】(1) : 5; 5无；(2)(0, - 2);直线BD的解析式为y=- x+3;25275S= 兀；(3) 4ABC扫过的面积为 .46【解析】试题分析：(1)根据坐标轴上的点的坐标特征

37、，结合一次函数的解析式求出A、B两点的坐标，利用勾股定理即可解答；(2)因为 B (0, 3),所以 OB=3,所以 AB=5,所以 AO=AB-BO=5-3=2,所以 A (0,- 2)； 过点C作CF,OA与点F,证明AOBCFA得到点C的坐标，求出直线 AC解析 式，根据AC/ BD,所以直线BD的解析式的k值与直线AC的解析式k值相同，设出解析 式，即可解答. 利用旋转的性质进而得出 A, B C对应点位置进而得出答案，再利用以BC为半径90。圆心角的扇形面积减去以 AB为半径90。圆心角的扇形面积求出答案；(3)利用平移的性质进而得出 ABC扫过的图形是平行四边形的面积.3试题解析：

38、(1)二一次函数yx+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，.A (-4, 0) , B (0, 3), .AO=4, BO=3,在 RtA AOB 中，AB=""" + 乎=5 等腰直角三角形 ABC, / BAC=90 ,°.OB=3,.AB=5, .AO=AB-BO=5-3=2,.A (0, -2).当在x轴上方时，点A的坐标为(0, 8),过点C作CFLOA与点F, ABC为等腰直角三角形,Z BAC=90 , AB=AC,Z BAO+Z CAF=90 , Z OBA+Z BAO=90 ,Z CAF=Z OBA, 在AAOB和ACFA中，LCF

39、A=90°.CAF =» AC AB.AOBACFA(AAS); .OA=CF=4, OB=AF=3, .OF=7, CF=4, -C (-7, 4)- A (-4, 0)设直线AC解析式为y=kx+b, 将A与C坐标代入得:解得: 则直线AC解析式为y= 3x 3 ,将4ABC绕点B逆时针旋转，当旋转角为 90 W,得到ABDE,Z ABD=90 , Z CAB=90 ；Z ABD=Z CAB=90 ；.AC/ BD,:设直线BD的解析式为y= x+bi, 把B (0, 3)代入解析式的：bi=3,直线BD的解析式为y= 3x+3; 因为旋转过程中 AC扫过的图形是以 B

40、C为半径90°圆心角的扇形面积减去以AB为半径90。圆心角的扇形面积，- n360490 x x (5V)Z 90 x jtx 52 25所以可得：S=旺；(3)将 ABC向右平移到B'眄泣置， ABC扫过的图形是一个平行四边形和三角形ABC,将C点的纵坐标代入一次函数 y=4x+3,求得C'的横坐标为X,4平行四边CAA C勺面积为（7平）II 125三角形ABC的面积为5X5X5= ABC扫过的面积为:考点：几何变换综合题.13.如图，现有一张边长为 4的正方形纸片 ABCD,点P为正方形AD边上的一点（不与点 A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点 B落在P处，

41、点C落在G处，PG交DC于H, 折痕为EF,连接BP、BH.BC（1）求证：/APB=/ BPH;（2）当点P在边AD上移动时，求证：4PDH的周长是定值；（3）当BE+CF的长取最小彳直时，求 AP的长.【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析.（3） 2.【解析】试题分析：（1）根据翻折变换的性质得出 ZPBC=Z BPH,进而利用平行线的性质得出 ZAPB=Z PBC即可得出答案；（2）首先证明 ABPQBP,进而得出 BCHBQH,即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8（3）过 F作 FMXAB,垂足为 M,贝U FM=BC=AB, 证明 EFM BPA,设

42、 AP=x,利用折 叠的性质和勾股定理的知识用x表示出BE和CF,结合二次函数的性质求出最值.试题解析：（1）解：如图1, / EBP土 EPB.又 / EPH玄 EBC=90 , / EPH-Z EPB=Z EBC-Z EBP.即 / PBC之 BPH.又 AD/ BC,/ APB=Z PBC./ APB=Z BPH.(2)证明：如图2,过B作BQ±PH,垂足为Q.由(1)知 / APB=/ BPH,又 / A=Z BQP=90 , BP=BP在4ABP和4QBP中，lapb = luph£4 = 9T吁" .ABPAQBP (AAS), .AP=QP AB=B

43、Q, 又 AB=BC,BC=BQ.又/C=/ BQH=90 , BH=BH, 在 BCHABQH 中，RC = HQ .BCHABQH (SAS , .CH=QH. PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8 .PDH的周长是定值.(3)解：如图3,过F作FMLAB,垂足为 M,贝U FM=BC=AB又 EF为折痕,EF± BP. / EFM+Z MEF=Z ABP+Z BEF=90, / EFM=Z ABP.又 : / A=/ EMF=90 , 在 EFM和ABPA中， .EFMABPA (AAS). .EM=AP.设 AP=x在 RtAPE 中，(

44、4-BE) 2+x2=BE2.廿解得 BE=2+”, .CF=BE-EM=2+ -x,产 1 ，BE+CF=4-x+4=4 (x-2) 2+3.当x=2时，BE+CFB最小值，.AP=2.考点：几何变换综合题.14.倡导研究性学习方式，着力教材研究，习题研究，是学生跳出题海，提高学习能力和创新能力的有效途径.下面是一案例，请同学们认真阅读、研究，完成 类比猜想”的问 题.习题如图（1）,点E、F分别在正方形 ABCD的边BC CD上，/ EAF=45 ,连接EF,则 EF=BE+DF说明理由.解答：.正方形 ABCD 中，AB=AD, / BAD=/ ADC=Z B=90°,把ABE

45、绕点A逆时针旋转90至ADE；点F、D、E在一条直线上. . / E' AF=905 °=45 =/ EAF,又AE ' = AEAF=AF.AEAAEF (SAS . EF=E ' F=DE ' +DF=BE+DF类比猜想：(1)请同学们研究：如图(2),在菱形ABCD中，点E、F分别在BG CD上，当 ZBAD=120 ,° /EAF=60时，还有 EF=BE+DF马？请说明理由.(2)在四边形 ABCD中，点E、F分别在BC CD上，当AB=AD, / B+/D=180 ,【答案】证明见解析.【解析】试题分析：（1）把ABE绕点A逆时针

46、旋转120。至AADE,如图（2）,连结E' ,F根据菱 形和旋转的性质得到 AE=AE, /EAF=/ E' AF利用"SASE明AEFAE' E得至U EF=E乎 由于/ADE廿ADC=120,贝U点F、D、E不共线，所以 DE +D F EF,即由BE+DF> EF；（2）把 ABE绕点A逆时针旋转/ BAD的度数至AADE,如图（3）,根据旋转的性质得 至ij AE' =AE / EAF=Z E' AF然后利用 “SASE明 AEH AE' F 得至ij EF=E F 由于 /ADE'4ADC=180 知F、D、E

47、共线，因此有 EF=DE ' +DF=BE+网前面的条件和结论 可归纳出结论.试题解析：（1）当 /BAD=120, /EAF=60 时，EF=BE+D坏成立，EFv BE+DF理由如下：二.在菱形 ABCD中，/BAD=120, Z EAF=60 ,.AB=AD, /1 + /2=60； /B=/ADC=60,°把ABE绕点A逆时针旋转120 SAADE；如图（2）,连结 E' ,F/EAE' =120/ 1=/3, AE' = A由E' =B* ADE ' 0 B=60 ,Z 2+Z 3=60 ,Z EAF=Z Ez AF在AAEF

48、和AAR中AE = AET fEAF = LE'AF 卜 AF - AF A AEFA AE； f SAS ,EF=E : F/ADE'4ADC=120,°即点 R D、E不共线，.DE' +&FEFBE+DF> EF;1（2）当 AB=AD, Z B+Z D=180 , /EAF2/BAD 时，EF=BE+D城立.理由如下：如图（3）,.AB=AD, 把4ABE绕点A逆时针旋转/ BAD的度数至ADE；如图（3）, . / EAE'/BAD, /1 = /3, AE'=代昨 邛*ADE2B, Z B+ZD=180 ； Z ADE D=180 ； 点R D、E共线，1Z 2+Z 3，/ BAD,Z EAF=Z Ez AF在AAEF和AAE'中IT AE = AET £EAF = LE'AFI AF - AF.AEFAAE/ （SA§ ,EF=E : FEF=DE ' +DF=BR +DF归纳：在四边形 ABCD中，点E、F分别在 BC CD上，当AB=AD, Z B+Z D=180 ,a/ EAF= / BAD 时,EF=BE+DF考点：四边形综合题.15.(本题14分)小明在学习平行线相关知识时总结了如下结论：端点分别在两条平行