2020-2021中考数学知识点过关培优训练∶平行四边形附答案

1、2020-2021中考数学知识点过关培优训练：平行四边形附答案一、平行四边形1 .已知，在矩形 ABCD中，AB=a, BC=b,动点M从点A出发沿边AD向点D运动.图1部图3(1)如图1,当b=2a,点M运动到边AD的中点时，请证明 / BMC=90 ;(2)如图2,当b>2a时，点M在运动的过程中，是否存在 / BMC=90 ,若存在，请给与 证明；若不存在，请说明理由；(3)如图3,当bv 2a时，(2)中的结论是否仍然成立？请说明理由.【答案】(1)见解析；(2)存在，理由见解析；(3)不成立.理由如下见解析 .【解析】试题分析：(1)由b=2a,点M是AD的中点，可得 AB=A

2、M=MD=DC=a,又由四边形 ABCD是矩形，即可求得 ZAMB=Z DMC=45 ,则可求得/ BMC=90 ;(2)由Z BMC=90 ,易证得ABMsDMC,设AM=x,根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程：x2-bx+a2=0,由b>2a, a> 0, b>0,即可判定即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意；(3)由(2),当bv2a, a>0, b>0,判定方程x2-bx+a2=0的根的情况，即可求得答 案.试题解析：(1) .b=2a,点M是AD的中点，.AB=AM=MD=DC=a,又在矩形 ABCD 中，/ A=Z D=90

3、 ,/ AMB=Z DMC=45 ；/ BMC=90 :(2)存在，理由：若Z BMC=90 ,则 / AMB+/ DMC=90 ,又 Z AMB+Z ABM=90 ,/ ABM=Z DMC,又 : / A=/ D=90 ,.ABMADMC, am AB"CD DM 'x a设 AM=x,则 ，a b x整理得：x2-bx+a2=0, ,. b>2a, a>0, b>0, =b2 - 4a2>0,，方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意，.当 b>2a 时，存在 /BMC=90； （3）不成立.理由：若/BMC=90 ,由（2）可知

4、x2-bx+a2=0, ,. b<2a, a>0, b>0, =b2 - 4a2 v 0,.方程没有实数根，当bv 2a时，不存在/BMC=90 ；即（2）中的结论不成立.考点：1、相似三角形的判定与性质；2、根的判别式；3、矩形的性质2.如图，在等腰RtVABC中， BAC 90°，点E在AC上（且不与点A、C重合）， 在 ABC的外部作等腰 RtACED ,使 CED 900,连接AD,分别以AB, AD为邻边 作平行四边形 ABFD,连接AF.1请直接写出线段 AF, AE的数量关系；2将VCED绕点C逆时针旋转，当点 E在线段BC上时，如图 ，连接AE,请判

5、断 线段AF, AE的数量关系，并证明你的结论；若AB 2J5, CE 2,在图 的基础上将VCED绕点C继续逆时针旋转一周的过 程中，当平行四边形 ABFD为菱形时，直接写出线段 AE的长度.【答案】（1）证明见解析；（2）AF J2AE4J2或2J2.【解析】【分析】1如图 中，结论：AF J2AE，只要证明VAEF是等腰直角三角形即可；2如图中，结论：AF J2AE，连接EF，DF交BC于K,先证明VEKF且VEDA再证明VAEF是等腰直角三角形即可； 分两种情形a、如图 中，当AD AC时，四边形ABFD是菱形.b、如图 中当AD AC时，四边形ABFD是菱形.分别求解即可 【详解】1

6、如图中，结论：AF J2ae .2如图中，结论：AF理由：连接EF, DF交BC于K.Q四边形ABFD是平行四边形，图理由：Q四边形ABFD是平行四边形,AB DF ,QAB AC ,AC DF ,Q DE EC,AE EF,Q DEC AEF 900,VAEF是等腰直角三角形，AF >/2AE 故答案为af J2ae -V2AE -AB/ /DF ,DKE ABC 450,EKF180oDKE135°,EKED,Q ADE1800EDC180045°135°,EKF ADE ,Q DKC C, DK DC ,Q DF AB AC , KF AD ,在VEK

7、F和VEDA中,EK ED EKF ADE , KF ADVEKF VEDA ,EF EA , KEF AED ,FEA BED 90°，VAEF是等腰直角三角形，AF 72ae 如图中，当AD AC时，四边形ABFD是菱形，设AE交CD于H,易知EH DH CH B AH J(2后(拘2 372，AE AH EH 4/2，如图中当AD AC时，四边形ABFD是菱形，易知AE AH EH 372 72 2拒，图综上所述，满足条件的 AE的长为4 J2或2我.【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行 四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键

8、是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找 全等的条件是解题的难点，属于中考常考题型.3.在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点 O (0, 0),点A (5, 0),点B (0,3).以点A为中心，顺时针旋转矩形 AOBC得到矩形ADEF,点O, B, C的对应点分别 为 D, E, F.(1)如图，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；(2)如图，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H.求证ADB0AOB；求点H的坐标.(3)记K为矩形AOBC对角线的交点，S为4KDE的面积，求S的取值范围(直接写出结 果即可).S3®图【答案】(1) D ( 1, 3) ； ( 2)详见解

9、析；H ( g , 3) ； (3)30 3 34 30 3 34忘 w.44【解析】【分析】(1)如图，在RtACD中求出CD即可解决问题；(2)根据HL证明即可；,设 AH=BH=m,贝U HC=BC-BH=5-m 在 RtAHC中，根据 AH2=HC2+AC2,构建方程求出 m即可解决问题；(3)如图 中，当点D在线段BK上时，4DEK的面积最小，当点 D在BA的延长线上 时，E'峰面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题；【详解】(1)如图中，圉- A (5, 0) , B (0, 3),.OA=5, OB=3,四边形AOBC是矩形，.AC=OB=3, OA=BC=5,

10、 /OBC=/C=90；矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到， .AD=AO=5,在 RtA ADC 中，CD= JAD2 AC2 =4, BD=BC-CD=1,.D (1 , 3).(2)如图中，圉由四边形ADEF是矩形，得到 /ADE=90°,点D在线段BE上，/ ADB=90 ;由(1)可知，AD=AO,又 AB=AB, Z AOB=90°, RtA ADBZ RtA AOB ( HL). 如图 中，由ADB0AOB,得到/BAD=/BAO, 又在矩形AOBC中，OA/ BC,/ CBA=/OAB,/ BAD=Z CBA,.BH=AH,设 AH=BH=m,贝U HC=

11、BC-BH=5-m,在 RtA AHC 中，AH2=HC2+AC2, ，m2=32+ (5-m) 2,17m =,517 BH=, 511=?DE?DK=- X 3X22(3)如图 中，当点D在线段BK上时，4DEK的面积最小，最小值当点D在BA的延长线上时， ADEK的面积最大，最大面积 =-XDE KD，1 X 3X 22(5+且)=30 3 342430 3.34 - 30 3.34综上所述，.44【点睛】 本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等 知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决 问题.4.如图，四边形

12、 ABCD中，对角线 AC BD相交于点O, AO=CO, BO=DO,且 ZABC+Z ADC=180 :(1)求证：四边形 ABCD是矩形.(2)若/ADF: /FDG3: 2, DF±AC,求 / BDF的度数.Bf C【答案】(1)见解析；(2) 180.【解析】【分析】(1)根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出 /ABC=90,根据矩形的判定得出即可；(2)求出/FDC的度数，根据三角形内角和定理求出/DCO,根据矩形的性质得出OD=OC,求出/CDO,即可求出答案.【详解】(1)证明： AO=CO, BO=DO四边形ABCD是平行四边形，Z ABC=Z

13、 ADC, / ABC+-Z ADC=180 ,°/ ABC=Z ADC=90 ,°四边形ABCD是矩形；(2)解：/ADC=90, /ADF: / FDC=3: 2,/ FDC=36 ；.DFXAC,/ DCO=90 - 36 =54 ；四边形ABCD是矩形，.OC=OD,/ ODC=54 °/ BDF=Z ODC- / FDC=18 :【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推 理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形.5.已知矩形纸片 OBCD的边OB在x轴上，OD在y轴上，点C在

14、第一象限，且OB 8, OD 6.现将纸片折叠，折痕为 EF (点E, F是折痕与矩形的边的交点)，点 P 为点D的对应点，再将纸片还原。(I)若点P落在矩形OBCD的边OB上， 如图，当点E与点O重合时，求点F的坐标； 如图，当点E在OB上，点F在DC上时，EF与DP交于点G,若OP 7 ,求点F的 坐标：(II )若点P落在矩形OBCD的内部，且点E, F分别在边OD,边DC上，当OP取最小值 时，求点P的坐标(直接写出结果即可)。第图【答案】(I)点F的坐标为(6,6);点F的坐标为 85,6 ; (II) P -,145 5【解析】【分析】(I) 根据折叠的性质可得DOF POF 45

15、o,再由矩形的性质，即可求出 F的坐标；由折叠的性质及矩形的特点，易得 DGF PGE,得到DF PE ,再加上平行，可以得到四边形 DEPF是平行四边形，在由对角线垂直，得出 YDEPF是菱形，设菱形的边长为x,在Rt ODE中，由勾股定理建立方程即可求解 ；(II)当O,PF点共线时OP的长度最短.【详解】解：(I)二折痕为EF点P为点D的对应点DOF POFDOF POF 450四边形OBCD是矩形，ODF 90DFO DOF 45DF DO 6点F的坐标为（6,6）二折痕为EF,点P为点D的对应点.DG PG, EF PD四边形OBCD是矩形,DC /OB,FDG EPG;Q DGF

16、PGEDGF PGEDF PEQ DF /PE四边形DEPF是平行四边形Q EF PD , YDEPF是菱形.设菱形的边长为x,则DE EP xQOP 7,DE2OE 7 x,在Rt ODE中，由勾股定理得 OD2 QB262 (7 x)2 x285解得x 851485DF 14，点F的坐标为85,614此题考查了几何折叠问题、等腰三角形的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知 识，关键是根据折叠的性质进行解答，属于中考压轴题. .如图（1）在正方形 ABCD中，点E是CD边上一动点，连接 AE,彳BF±AE,垂足为 G 交AD于F（1）求证：AF=DE；（2）连接DG,若DG平

17、分/EGF，如图（2）,求证：点 E是CD中点；（3）在（2）的条件下，连接 CG,如图（3）,求证：CG= CD.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） CG= CD,见解析.【解析】【分析】（1）证明ABAF AADE （ASA）即可解决问题.（2）过点D作DMGF, DNLGE,垂足分别为点 M, N.想办法证明 AF= DF,即可解决 问题.（3）延长AE, BC交于点P,由（2）知DE= CD,利用直角三角形斜边中线的性质，只要证明BC= CP即可.【详解】(1)证明：如图1中,B却在正方形 ABCD中，AB = AD, Z BAD= Z D= 900,/ 2+Z 3=90 &#

18、176;又. BU AE,/ AGB= 90 °/ 1 + / 2=90 ;/ 1= / 3在 BAF与4ADE中，/ 1 = / 3 BA=AD / BAF=Z D,.BAFADE (ASA).AF= DE.(2)证明：过点 D作DMGF, DNGE,垂足分别为点 M, N.B图2由(1)得/1=/3, /BGA= /AND=90°, AB= AD.BAGAADN (AAS).AG= DN,又 DG平分/EGF, DMXGF, DNXGE,.DM = DN,.DM=AG,又/AFG=/DFM, / AGF= / DMF.AFGADFM (AAS),111 AF = DF=

19、 DE= AD= CD, 22即点E是CD的中点.(3)延长AE, BC交于点P,由(2)知DE= CD,图3/ ADE= / ECA 90 °, / DEA= / CEP2 .ADEAPCE (ASA)3 .AE= PE,又 CE/ AB,BC= PC,在 RtBGP 中，BC= PC, 1-4 .CGBP= BC,2.CG= CD.【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性 质定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问 题，属于中考压轴题.7. (1)如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC与BD相交于点O

20、,过点O作直线EFL BD,交 AD于点E,交BC于点F,连接BE、DF,且BE平分/ABD. 求证：四边形 BFDE是菱形；直接写出/ EBF的度数；(2)把(1)中菱形BFDE进行分离研究，如图 ，点G、I分别在BF、BE边上，且BG=BI,连 接GD,H为GD的中点，连接FH并延长，交ED于点J,连接IJIH、IF、IG.试探究线段IH与FH之间满足的关系，并说明理由；(3)把(1)中矩形ABCD进行特殊化探究，如图 ，当矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角 线AC上一点，连接 DE、EE DF,使4DEF是等腰直角三角形， DF交AC于点G.请直接写 出线段AG、GE、EC三者之间

21、满足的数量关系.【答案】(1)详见解析；60。. (2) IH= J3FH； (3) EG2=AG2+C左【解析】【分析】(1) 由ADO三BOF,推出EO= OF, OB= OD,推出四边形 EBFD是平行四边形， 再证明EB= ED即可. 先证明/ABD= 2ZADB,推出/ ADB= 30 °,延长即可解决问题.(2) IH= J3FH.只要证明IJF是等边三角形即可.(3)结论：EG2=AG2+cm.如图3中，将4ADG绕点D逆时针旋转90°得到ADCM,先证 明DE84DEM,再证明 ECM是直角三角形即可解决问题.【详解】(1)证明：如图1中，四边形ABCD是矩

22、形, .AD/BC, OB= OD,/ EDO= / FBO, 在 DOE和BOF中，EDO= FBOOD=OBEOD= BOF.,.DOEABOF, E0= OF, -.OB=OD, 四边形EBFD是平行四边形， EF± BD, OB=OD,.EB=ED, 四边形EBFD是菱形.BE平分/ABD,/ ABE= / EBD, .EB=ED, / EBA / EDB,/ ABD=2Z ADB, / ABD+Z ADB=90 °, ，/ADB=30； /ABD=60 ：/ ABE= / EBO= / OBF= 30 °,/ EBF= 60 :(2)结论：IH=J3fH

23、.理由：如图2中，延长BE至IJ M,使得EM=EJ,连接MJ. 四边形EBFD是菱形，/ B= 60 ;,-.EB=BF= ED, DE/ BF, / JDk / FGH, 在DHJ和AGHF中，DHG= GHFDH=GHJDH= FGH .DH乒 AGHF, .DJ=FG, JkHF,.EJ= BG=EM=BI,.BE=IM = BF, / MEJ= / B= 60 ； .MEJ是等边三角形，,-.MJ=EM=NI, /M = /B=60°在ABIF和AMJI中，BI=MJB= M ,BF=IM .BIFAMJI,.IJ= IF, /BFI=/MIJ, HJ= HF,.-.IH&

24、#177; JF / BF+Z BIF= 120 : / MIJ+Z BIF= 120 ；/ JIF= 60 ；. JIF是等边三角形，在 RtIHF 中，. /IHF= 90°, /IFH= 60°,/ FIH= 30 °,.IH=石 FH(3)结论：eG2=ag2+cE?.90°得至ij ADCM,理由：如图3中，将4ADG绕点D逆时针旋转 / FA。/ DE已 90 °, .AFED四点共圆，/ EDF= / DAE= 45 : / ADC= 90 ； / ADF+Z EDO 45 °, / ADF= / CDM, / CDM+

25、Z CDE= 45 = / EDG,在ADEM和 DEG中，DE=DEEDG= EDMDG = DM .DEGADEM,.GE= EM, / DCM= / DAG= / ACD= 45 ； AG= CM, / ECM= 90 °EC2+CM2= EM2, EG= EM, AG= CM, .GE2=AG2+C邑【点睛】考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定 和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转 化的思想思'考问题.8.（问题情境）在 ABC中，AB= AC,点P为BC所在直线上的任一点，过点P作P

26、D± AB, PE± AC,垂足分别为D、E,过点C作CF, AB,垂足为F.当P在BC边上时（如 图 1）,求证：PD+PE= CF.证明思路是：如图 2,连接AP,由4ABP与4ACP面积之和等于 4ABC的面积可以证得： PD+PE= CF.（不要证明）（变式探究）（1）当点P在CB延长线上时，其余条件不变（如图 3）,试探索PD、PE CF之间的数量关系并说明理由；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：（结论运用）（2）如图4,将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C处，点P为折痕EF上的任一点，过点 P作PG± BE、PHBC

27、,垂足分别为 G、H,若AD = 16, CF= 6,求 PG+PH的值.（迁移拓展）（3）在直角坐标系中，直线 li： y=-"x+8与直线12： y= - 2x+8相交于点3A,直线11、12与x轴分别交于点B、点C.点P是直线12上一个动点，若点 P到直线11的 距离为2.求点P的坐标.【答案】【变式探究】证明见解析【结论运用】8【迁移拓展】(-1,6), ( 1, 10)【解析】【变式探究】连接AP,同理利用4ABP与4ACP面积之差等于4ABC的面积可以证得;【结论运用】过点E作EQLBC,垂足为Q,根据勾股定理和矩形的性质解答即可;【迁移拓展】分两种情况，利用结论，求得点

28、P到x轴的距离，再利用待定系数法可求出P的坐标.【详解】变式探究：连接AP,如图3：. PDXAB, PE! AC, CF,AB,且 S/abc= Sacp- Sabp,1 AB?CF= 1AC?PE- 1 AB?PD.222.AB= AC,.CF= PD PE;!申一 si” iiaiufj结论运用：过点E作EQ，BC,垂足为Q,如图， 四边形ABCD是长方形，AD=BC, Z C= Z ADC= 90 . AD= 16, C曰 6,BF= BC- CF AD - CF 5,由折叠可得：DF=BF, Z BEF= Z DEF."DF=5.Z C= 90 , . DC= Vdf

29、9;CF7厢? = 8 .EQ± BC, ZC= Z ADC= 90 ,Z EQG= 90 = Z C= Z ADC.四边形EQCD是长方形.EQ= DC=4.1. AD/ BC,Z DE已 ZEFB Z BE3 Z DEF,Z BE曰 Z EFB. BE=BF,由问题情境中的结论可得：PG+P+ EQ.PG+Pk8.PG+PH的值为8；迁移拓展：如图，A由题意得：A （0, 8） , B （6, 0） , C（ 4, 0）AB = 62 82 = 10, BC= 10.AB= BC,（1）由结论得：PiDi+PiEi=OA= 8. PiDi = 1=2,PiEi = 6即点Pi的纵

30、坐标为6又点Pi在直线12上，y = 2x+8= 6,x= - i,即点Pi的坐标为（-i , 6）；（2）由结论得：P2E2 - P2D2= OA= 8.P2D2 = 2, .P2E2=10即点Pi的纵坐标为i0又点Pi在直线12上，.-.y = 2x+8= 10,x= 1 ,即点Pi的坐标为（1, 10）【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定及勾股定理等知识点，利用面积 法列出等式是解决问题的关键.9.（感知）如图，四边形 ABCD CEFG均为正方形.可知 BE=DG.（拓展）如图 ，四边形 ABCD CEFG匀为菱形，且 /A=/F.求证：BE=DG（应用）如图 ，

31、四边形ABCQ CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD延长线 上.若AE=2ED, /A=/F, 4EBC的面积为8,菱形CEFG的面积是.（只填结 果）试题分析：探究:图图由四边形 ABCD,四边形CEFG土匀为菱形，禾IJ用 SAS易证得 BCE DCG,贝U可得BE=DG；应用：由 AD/ BC, BE=DG 可得 Saabe+Sacde=SabecfSacdG=8,又由 AE=3ED 可求得 CDE 的面积，继而求得答案.试题解析：探究：二.四边形ABCD.四边形CEFG匀为菱形，/ ECG之 F.BC=CD CE=CG /BCD=/ A, / A=Z F,/ BCD=Z ECG

32、 / BCD-/ ECD叱 ECGjECD 即 / BCE玄 DCG.在ABCE和ADCG中,BC=CDBCE= DCGCE=CG.-.BCEADCG (SAS ,BE=DG.应用：二.四边形ABCD为菱形,.AD/ BC, BE=DG,Saabe+SacdefSabecfSacdg=8 , .AE=3EDSa cde= - 82 ,4SaecgfSacde+S/cdgf10二. S 菱形 cef(=2Sa ecG=20.10.如图，在矩形ABCD中, 速度为每秒2个单位长度，到达点点P从AB边的中点E出发，沿着E B C速运动,C后停止运动，点 Q是AD上的点，AQ 10,设paq的面积为y

33、,点p运动的时间为t秒，y与t的函数关系如图 所示.图中AB=, BC=，图中m=(2)当t=1秒时，试判断以PQ为直径的圆是否与 BC边相切？请说明理由(3)点P在运动过程中，将矩形沿 PQ所在直线折叠，则t为何值时，折叠后顶点 A的对应点A落在矩形的一边上【答案】(1)8,18,20;(2)不相切，证明见解析;【解析】(1)由题意得出 AB=2B匕 t=2 时，BE=2X 2=4 求出 AB=2BE=8, AE=BE=4, t=11 时,12t=22,得出BC=18,当t=0时，点 P在E处，m=4AEQ的面积=一 AQX AE=2卸可；2(2)当t=1时，PE=2得出AP=AE+PE=6

34、由勾股定理求出 PQ=2J34,设以PQ为直径的 圆的圆心为 O',作O'NXBC于N,延长NO交AD于M,则MN=AB=8, O'M / AB, MN=AB=8,由三角形中位线定理得出O'M=°AP=3,求出O'N=MN-O'M=5圆。'的半径，2即可得出结论；(3)分三种情况： 当点P在AB边上，A'落在BC边上时，作QF±BC于F,则 QF=AB=8, BF=AQ=10,由折叠的性质得：PA'=PA A'Q=AQ=10, Z PA'Q=Z A=90 °,由勾股定理求出 A

35、'F=JaQ2_QF2 =6,得出 A'B=BF-A'F=4,在 RtA'BP 中，BP=4-2t, PA'=AP=8-(4-2t) =4+2t,由勾股定理得出方程，解方程即可； 当点P在BC边上，A'落在BC边上时，由折叠的性质得： A'P=AP,证出ZAPQ=Z AQP, 得出AP=AQ=A'P=10,在 RtA ABP中，由勾股定理求出 BP=6,由BP=2t-4,得出2t-4=6 ,解 方程即可； 当点P在BC边上，A落在CD边上时，由折叠的性质得：A'P=AP, A'Q=AQ=10,在RtA DQA

36、9;中，DQ=AD-AQ=8,由勾股定理求出 DA'=6,得出 A'C=CD-DA'=2,在 RtABP 和 RtA A'PC中，BP=2t-4, CP=BC-BP=22-2t由勾股定理得出方程，解方程即可.【详解】(1) .点P从AB边的中点E出发，速度为每秒 2个单位长度，.AB=2BE,由图象得：t=2时，BE=2X 2=4,.AB=2BE=8, AE=BE=4t=11 时，2t=22 , .BC=22-4=18,11当 t=0 时，点 P 在 E处，m=4AEQ 的面积=-AQX AE= X 10 X 4=2022故答案为8, 18, 20;(2)当t=

37、1秒时，以PQ为直径的圆不与 BC边相切，理由如下：当 t=1 时，PE=2,.AP=AE+PE=4+2=6四边形ABCD是矩形,/ A=90 ；1所示:PQ= TAO2AP ，102 62 2宿，贝U MN=AB=8, O'M / AB, MN=AB=8, .O'为PQ的中点， .O''M是APQ的中位线， .O'M= 1AP=3,2 .O'N=MN-O'M=5 v , 以PQ为直径的圆不与BC边相切；(3)分三种情况： 当点P在AB边上，A'落在BC边上时，作 QF±BC于F,如图2所 示：贝U QF=AB=8, B

38、F=AQ=10, 四边形ABCD是矩形，/ A=Z B=Z BCD=Z D=90 ； CD=AB=8 AD=BC=18, 由折叠的性质得：PA'=PA A'Q=AQ=10, Z PA'Q=Z A=90° , ,.A'F= JaQ2 QF2 =6, .A'B=BF-A'F=4,在 RtA A'BP 中,BP=4-2t, PA'=AP=8- (4-2t) =4+2t,由勾股定理得：42+ (4-2t) 2= (4+2t) 2, 1解得：t=；2 当点P在BC边上，A'落在BC边上时，连接 AA,如图3所示:由折叠的性

39、质得：A'P=AP, / APQ'=/ A'PQ,1. AD/ BC,/ AQP=Z A'PQ,/ APQ=Z AQP, .AP=AQ=A'P=10, 在RtABP中，由勾股定理得：BP=J102 82 =6， 又 BP=2t-4,-2t-4=6,解得：t=5; 当点P在BC边上，A'落在CD边上时，连接 AP、A'P,如图4所示:S14由折叠的性质得：A'P=AP, A'Q=AQ=10,在 RtA DQA'中,DQ=AD-AQ=8,由勾股定理得：DA'= J102 82 =6,.A'C=CD-DA

40、'=2,在 RtABP 和 RtA A'PC 中，BP=2t-4, CP=BC-BP=18-( 2t-4) =22-2t,由勾股定理得：AP2=82+ (2t-4) 2, A'P2=22+ (22-2t) 2, -82+ (2t-4) 2=22+ (22-2t) 2, m 17解得：t二 一 ；3综上所述，t为1或5或17时，折叠后顶点 A的对应点A'落在矩形的一边上.23【点睛】四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠变换的性质、勾股定理、函数图象、直线与圆的位置关系、三角形中位线定理、等腰三角形的判定、以及分类讨论等知识.11.在 VABC 中，点A作BD的平

41、行线,ABC 90°, BD为AC边上的中线，过点 C作CE BD于点E,过交 CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取 FG BD ,连接BG,DF.求证：BDDFBDFG为菱形;求证：四边形【分析】1利用平行线的T生质得到CFA 90°,再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证,利用平行四边形的判定定理判定四边形BDFG为平行四边形，再利用 1得结论即可得证,设GF x ,则AF5 X,利用菱形的性质和勾股定理得到CF、AF和AC之间的关解出x即可.1 证明：QAG /BD ,CF BD ,CF AG ,又Q D为AC的中点,1 - DF AC , 2“1 -

42、又Q BD AC , 2BD DF ,2 证明：QBD/ /GF,BD FG,四边形BDFG为平行四边形,又Q BD DF ,四边形BDFG为菱形,3解：设GFx ,则 AF 5 x , AC 2x ,在 RtVAFC 中,(2x)2(77)2 (5 x)2,解得：x1 2,16,、Xz一(舍去),3GF 2,菱形BDFG的周长为8.【点睛】本题考查了菱形的判定与性质直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识，正确掌握这些 定义性质及判定并结合图形作答是解决本题的关键.D重合)，GE± DC于点12.如图，在正方形 ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B,E, GF± BC于

43、点F,连结AG.(1)写出线段AG, GE, GF长度之间的数量关系，并说明理由;(2)若正方形ABCD的边长为1, /AGF=105,求线段AG2=Gg+GF2 (2)"十一6【解析】EGFC矩形，推出试题分析：(1)结论：AG2=gE2+GF2.只要证明GA=GC四边形GE=CF在RtGFC中，利用勾股定理即可证明；(2)作BN± AG于N,在BN上截取一点 M,使得AM=BM ,设AN=x.易证AM=BM=2x, MN=Jx,在 RABN 中，根据 AB2=AN2+BN2,可得 1=x2+ (2x+gx) 2,解得x=,推出 BN=,再根据BG=BNF cos30即可

44、解决问题.试题解析：(1)结论：ag2=gE2+gf2.理由：连接CG. 四边形ABCD是正方形， A、C关于对角线BD对称， 点G在BD上,.GA=GC,. GE± DC于点 E, GF± BC于点 F, / GEC4 ECF= CFG=90 ,四边形EGFC是矩形，.CF=GE在 RtA GFC中,CG?=gF2+CF2, .1.ag2=gF2+gE?.(2)作BN± AG于N,在BN上截取一点 M,使得AM=BM ,设AN=x. / AGF=105 ,° / FBG=Z FGB=Z ABG=45 ,°/ AGB=60 ,° ZG

45、BN=30 ； A ABM=Z MAB=15 ;/ AMN=30 °,.AM=BM=2x, MN=gx,在 RtABN 中， AB2=AN2+BN2,1=x2+ (2x+/x) 2,考点：1、正方形的性质，2、矩形的判定和性质，3、勾股定理，4、直角三角形30度的性 质13.在矩形纸片ABCD中，AB=6, BC=8,现将纸片折叠，使点 D与点B重合，折痕为EF, 连接DF.(1)说明4BEF是等腰三角形；(2)求折痕EF的长.15【答案】(1)见解析；(2).【解析】【分析】(1)根据折叠得出 /DEF=/BEF根据矩形的性质得出 AD/ BC,求出/ DEF=/BFE,求出ZBE

46、F=Z BFE即可；(2)过E作EMLBC于M,则四边形 ABME是矩形，根据矩形的性质得出EM=AB=6,AE=BM,根据折叠得出 DE=BE,根据勾股定理求出 DE、在RtEMF中，由勾股定理求出即 可.【详解】(1)二.现将纸片折叠，使点 D与点B重合，折痕为 EF,，/DEF=/BEF.四边形 ABCD是矩形，AD/ BC, . . / DEF=/BFE . . / BEF=/BFE, . BE=BF,即 BEF 是等腰三角形；(2)过E作EMLBC于M,则四边形 ABME是矩形，所以 EM=AB=6, AE=BM .现将纸片折叠，使点 D与点B重合，折痕为 EF, DE=BE, DO

47、=BO, BD± EF.25BE=DE=BF, AE=8 DE=8 4.四边形 ABCD是矩形，BC=8, .-.AD=BC=8, / BAD=90 ：在 RtMBE中,AE2+AB2=B，,即(8-BE) 2+62=BE2,解得:1251 7125 7 19彳q=BM, -FM=y-?=2.在RtEMF中，由勾股定理得：EF=1S+ 卬 ?与. 15故答案为：【点睛】本题考查了折叠的性质和矩形性质、勾股定理等知识点，能熟记折叠的性质是解答此题的关键.14.如图1,若分别以 ABC的AC、BC两边为边向外侧作的四边形 ACDE和BCFG为正方 形，则称这两个正方形为外展双叶正方形.(

48、1)发现：如图2,当/C=90°时，求证：4ABC与4DCF的面积相等.(2)引申：如果ZC 90。时，(1)中结论还成立吗？若成立，请结合图1给出证明；若不成立，请说明理由；(3)运用：如图3,分别以 ABC的三边为边向外侧作的四边形 ACDE BCFG ABMN为 正方形，则称这三个正方形为外展三叶正方形.已知 ABC中，AC=3, BC=4.当ZC=时，图中阴影部分的面积和有最大值是 【答案】(1)证明见解析；(2)成立，证明见解析；(3) 18.【解析】 试题分析：（1）因为 AC=DC, /ACB=/ DCF=90, BC=FC 所以AB84DFC,从而 ABC与4DFC的

49、面积相等；(2)延长BC到点P,过点A作APLBP于点P;过点D作DQLFC于点Q.得到四边形ACDE BCFG均为正方形，AC=CD BC=CF / ACP=/ DCQ.所以APCDQC.于是 AP=DQ.又因为 Saabc= BC?AP) Sadfc= FC?DQ,所以 Saabc=Sadfc;22(3)根据(2)得图中阴影部分的面积和是 4ABC的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形 ABC的面积最大，当 4ABC是直角三角形，即 /C是90度时，阴影部分的面积和最大.所以S阴影部分面积和=3Sz abc=3 * X 3 X 4=182(1)证明：在 4ABC与4DFC中,A小 DCF, BC=FC.ABCADFC. ABC与 DFC的面积相等；(2)解：成立.理由如下：如图，延长 BC到点P,过点A作APLBP于点P;过点D作DQLFC于点Q./ APC=Z DQC=90 :四边形ACD