专题14数列基本量计算-十年高考(2009-2018)之高三数学分项与解读(江苏专版)(Word版含解析)

1、专题14数列基本量计算【考情概览】年份题号考点难度层次考查内容，方式，模型等201814数列基本量计算困难等差数列以及等比数列的求和20179数列基本量计算简单等比数列基本量计算20168数列基本量计算简单等差数列基本量计算201520147数列基本量计算简单等比数列基本量计算201314数列基本量计算困难等比数列项数2012201113数列基本量计算困难等比数列公比20108数列基本量计算数列基本量计算200914数列基本量计算困难等比数列公比【命题规律】1 .高考对等差、等比数列的考查主要围绕等差、等比数列的概念和通项公式及前n项和公式展开，一般通过其通项公式及前n项和公式构造关于 ai和

2、d或q的方程或方程组解决，即所谓的“知三求二”策略.如果在求解过程中能够灵活运用等差、等比数列的性质，不仅可以快速获解，而且有助于加深对等差、等比数列问题的认识.值得注意的是利用等比数列前n项和公式求和时，不可忽视对公比q是否为1的讨论.2 .高考对等差、等比数列的主要考查题型：(1)通项公式的求解；(2)求和公式的灵活运用.【真题展示】112018江苏，理14】已知集合 A x|x 2n 1,n N, B x|x 2n,n N .将AU B的所有兀素从小到大依次排列构成一个数列 an.记Sn为数列an的前n项和，则使得 Sn 12an 1成立的n的最小值为 分析：先根据等差数列以及等比数列的

3、求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数 的最小值.详解：设 an=2k,则 Sn (2 1 1)+(2 2 1)+L(2 2k 1 1) 2 22 L2k21-2由 E > 1得2+2-2> 12（2* +1）422尸 _2W2i）T4） 任24-1 >2jt>6所以只需研究于<2台是否有淌足条件的解>此时名=2冗17>+<2/2_1）+-.十（2陋1）十2十22十.十暖二和2十2*1_2,小上广加十L和为等全数列顶数，且联>16.由e2+2*i 2> 12（2m+1）, 24jk+ 50>0, m &

4、gt;22.n=m-5 之27得满足条件的机最小值为27 一点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为T等差数列与一个等比例列的和.分组转化法求和的常 见类型主要有分段型（如二'1方鬻 不符号型如 =（1尸储），周期型（如小=也?）.2.12009江苏，14】设an是公比为q的等比数列，|q| 1,令bn4 1（n 1,2,L ）,若数列bn有连续四项在集合53, 23,19,37,82 中，则 6q =.【答案】-9.3 .【解析】an有连续四项在集合54, 24,18,36,81 ,四项24,36, 54,81成等比数列，公比为q -, 6q =2-9.一 2 一 、上,.2._

5、. ， , .2 - » ,3.12010江办，8函数y=x2（x>0）的图象在点（ak, ax）处的切线与x轴交点的横坐标为 ak+1,其中kC N .若a1= 16,则 Ai+a3+a5 的值是.【答案】21.2【解析】函数 y=x2（x>0）在点（a1，a）处（a = 16）即点（16,256）处的切线方程为 y-256=32（x- 16）.令y= 0得a2=8;同理函数y=x2（x>0）在点（a2, a 2）处（a2= 8）即点（8,64）处的切线方程为 y-64=16（x- 8）.令y= 0得a3=4,依次同理求得 a4=2, a5= 1.所以 a1 +

6、a3 + a5=21.4.【2011江苏，13】设1 a1 a2a7,其中a1,23e5例成公比为q的等比数列，a2,a4,a6成公差为1的等差数列，则q的最小值为【答案】电.【解析】由题意得，a21,a3 qa2,a21q,q2a21,a22 q2,q3 a2 2要求q的最小值，只要求a2的最小值，而a2的最小值为1,所以q3 a2 2 1 2 3,q 3<3 .15.12013江办，14】在正项等比数列an中 a5 , a6 + a7=3.则满足a +a2+ an>a1a2an的取大正整数 2n的值为.【答案】12.【解析】设正项等比翻列的公比为事则由“+田=啾0+才）=3可得

7、q=2,于是四=2.£则（71+的 H卜 g= 3 2As1-232；砥二1 + g=2,2:内电G】 = L当冏厚12舟，21+奥+日建=2?-£!1m2=012_=2不成立：当制取13舟，口 i斗32+ +13=2® <dial*" £iiiai2fli5=3 =2fl-17=213.龙>13 时，随着骷噌大+,，4冬将恒小于32。的“Q-因此所求中的最大值为口.6.12014江苏，7】在各项均为正数的等比数列an中，若a21,a8a62a4,则a6的值是.【答案】4.【解析】设公比为q ,因为a21 ,则由a8a6224得q6

8、q4 2a2 , q4q22 0 ,解得q2 2 ,所以4.a6 a2q4 .7.12016江苏，8已知 an是等差数列，Sn是其前n项和.若a af3, 85=10,则a§的值是.【答案】20【解析】由 S5 10 得 a3 2,因此 2 2d （2 d）23 d 3,故a9 2 3 6 20.【考点】等差数列的性质【名师点睛】本题考查等差数列的基本量，对于特殊数列，一般采取待定系数法，即列出关于首项及公差（比） 的两个独立条件即可.为使问题易于解决，往往要利用等差数列相关性质，如n(a an) n(am at),(m t 1 n,m,n,t N*)及 an am (n m)d等.

9、 228.12017江苏，9等比数列an的各项均为实数 淇前n项的和为Sn,已知8 7, S6 a，则ag=A 44【答案】321解析】当。=1时1显然不符合题意S硕-赤 =74，解得;4。-内 631-g4【考点】等比数列通项【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路，一是利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；二是利用等差、等比数列的性质 ，性质是两种数列基本规律的深刻 体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形 .在解决等差、等比数列的运算问题时，经常

10、采用“巧用性质、整体考虑、减少运 算量”的方法.【对症下药】1 .已知Sn求an的-三个步骤：口 先利用a1=S1求出a1.用n1(n>2替换Sn中的n得到一个新的关系，利用 an= SnSn-1(n>柒可求出当n>2时an的表达式.对n=1时的结果进行检验，看是否符合 n>2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果 不符合，则应该分 n=1与n>2两段来写.2 .解等差数列问题关键在于熟记等比数列定义、性质、通项公式、前n项和公式，利用方程思想和公式列出关 于首项与公比的方程，解出首项与公比，利用等比数列性质可以简化计算.3 .一般数列求和方法

11、(1)分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，(2)裂项相消法求和， g ,anan 1cn n n! n 1 ! n!,cnC一=等的形式，(3)错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以等比数列，.n 1. n(4)倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式两式相加除以2得到数列求和，(5)或是具有某些规律求和【考题预测】1.【苏教版高中数学 高三二轮专题20数列的通项与求和 测试】设数列an满足ai = 1, (1 an+i)(1 + an)=1(n CN ),则akak 1的值为k 1【解析=1, (1-%*)0+%) =1(祥E V) , J是等差额

12、列J首项与公差都为L，一 = 1+51)=，%Jt-1+4+1100,故答案为=101 1011012 .【江苏省南京师范大学附属中学2017届高三高考模拟一数学试题】设数列an的前n项的和为Sn ,且an 4n 11,若对于任意的2* . 、都有14n3恒成立，则实数x的取值范围是【解析】2,3由题设可得sS 4n 3可化为n的最大值和最小值。912 .1124n12124n，则Sn4n -n1-1,不等式2由于点睛：解答本题的关键是求出数列3 3,即9-219_21,则问题转化为求12n1 ,一一 一，一1 的最大值和最小值分别为2x 3,应填答案2,3 。an的前n项的和为Sn , Sn

13、 4n 一11 皿一，则21n2124n 23n1 一1,进而2n-2 23等价转化为1 x 3 3n1 的最大值和最小值问题。221,求出Sn 4n31-n2112-，将不等式1xSn 4n329恒成立，从而将问题转化为求21123.12017届江苏南通中学高三上期中数学（理）试卷】已知Sn为数列an的前n项和，a11,2Sn（n1）an,若关于正整数n的不等式an2 tan < 2t2的解集中的整数解有两个，则正实数 t的取值范围为 .一 一 3【答案】（1,3）2【解析】因此=六由%二乜w*1得武国, flL /I一上1因为关于正整麴用的解集中的整数解有两个,因此2W><

14、;3=考点：叠乘法求数列通项4.【江苏省扬州中学高二下学期期中考试理科数学试卷】已知两个正数a, b,可按规则c ab a b扩充为一个新数c,在a,b,c三数中取两个较大的数，按上规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个数称为一次操作.若p q 0,经过6次操作后扩充所得的数为q 1 m p 1 n 1 （m, n为正整数），则m n的值为【答案】21【解析】p> q>0 第一次得 c1 =pq+p+q= (q+1) (p+1) -1,因为 C1 >p>q,所以第二次得 c2= (G+1) (p+1) -1 =，, 2(pq+p+q) p+p+ (pq+p

15、+q) = p 1 q 11,所得新数大于任意旧数，所以第三次可得 q= (C2+1)(c1+1)3253-1= p 1q11,第四次可得： c4=(c3+1) (c2-1)-1= p 1 q 11,故经过6次扩充，所得数13, 8为 p 1q11 , . m=8, n=13, . .m+n=215.【辽宁省东北育才中学高三第六次模拟考试数学文卷】已知等差数列 an首项为a,公差为b,等比数列bn首项为b ,公比为a,其中a,b都是大于1的正整数，且 阚b1,b2 a3,对于任意的n N ，总存在m N ,使得am 3 bn成立，则an 【答案】5n 3解析】试题分析：/ Vej与</=

16、> b(ai?又二日且ab<a+2b.'.0 = 2f 1对于任意的汽匕V ,总存在me使得g+3=&成立-，令打=1.得7 _ 12+(jm 1)3+3 = &=办(2渤)=5 ?m <2 f .- mb = 5考点：数列与不等式的综合运用.【思路点睛】解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系.如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起,要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解.6 .【江苏省江都中学高一下学期期末考试数学

17、】数列an的通项ancos2 sin2 ,其前 n项和为Sn ,则 S30【答案】470【解析】试题分析:Qan2 n cos 一.2 n sin 一2 2n n cos 一S302cos 31 224cos 332cos2302cos20122212323242425242624 10 16585262622822922923022 302282302_2_222325262 L22292 3025 11 17L 59=470.考点：数列求和.【方法点晴】 本题考查了二倍角的余弦公式，分组求和方法的应用， 是中档题.解题的关键是平方差公式的应用，首先"利用二倍角公式将数列的通项公式

18、化简后代入到求和公式中，求出特殊角的三角函数值之后，注意分组，再利用平方差公式求解.7 .【山东、湖北部分重点中学 2018年高考冲刺模拟试卷（二）理科数学试题】已知数列1%）的前内项和为）, 且满足%+ 5-= 2打+，若对?打£“'/2恒成立，则首项的取值范围是 .【答案】【解析】因为L 4-力+1=2/+州，所以除t +7 = 25一1产十而一L生2）,两式作差得.+ 口计1 =4n- Ln > 2?所以厮_l十乳=4n-Sn>3f两式再作差得%.%t M I n > 3,可得数列的偶数项是以4为公差的等差数列,从%起奇数项也是以4为公差的等差鞅列一若

19、对E NL/ <喂l恒成立,当且仅当由 < as < fl3 < &4 一s_Qq 十 -3 " 3 2a 1" cig 7 a： 4 + 2 Ct 4 - 11= 72比1,所以4 V 3 - 2% <4+2% V 7 - 解得:一*5<:-即首项力的取值范围是（一：.8 .【江西省上饶市2018届高三下学期第三次高考模拟考试数学（文）试题】已知等比数列 "J的首项是1,公比 为3,等差数列 出的首项是-5,公差为1,把仇J中的各项按如下规则依次插入到 伍J的每相邻两项之间，构成 新数列kJ： 0 1,比，的，网，叫

20、闻，同，牝，卜6, 04,，即在/和% + 1两项之间依次插入瓦J中心个项，则 £川通=.（用数字作答）【答案】【解析】分析：由瓶意可得，而=3H】，%=-5十(ii-l) Xl=n-fi,当口=62 H,理普Ml%即此时其有 H2016项,且第2Q16项为3%而珈is=b皿5计算可得所求值.详解：由题意可得，事中工bn=-5+ Xin6,由题意可得数列公1中的项为3% -5,里-4-3, % -2, -L3L- 3叫九共有项为1+2+41H (n+C 当空MT” 4T计力当中的时，照善=2016即此时共有ZH0项,目第2C项为3%，301口=61养5=1。55- ft=lY9.故答案为二ia乳点睛：本题重点考查了等差数列与等比数列的通项公式及前n项和的应用，解题的关键是要准确判断所求项在已知数列中所处的项的位置.9 .【上海市松江、闵行区2018届高三下学期质量监控(二模)数学试题】设 用E N",为" + 4/-O+1的展开式的各项系数之和,% -1 t ¥ T 22"52 15rli田表示不超过实数，的最大整数|).则： "-£)+血，+。一的最小值为 4【答案】【解析】利用赋值法，令卜=1可得:利用数学归纳法证明: 当。=1时，1x2”成立，