数学课堂教学问题串设计的实践探索

1、数学课堂教学“问题串”设计的实践探索 绍兴市袍江中学张清朱国荣在数学教学中，教师应适当的设计一系列的问题，以帮助学生寻找解决问题途径，从中发现数学规律波普尔指出：“知识的增长永远始于问题，终于问题愈来愈深化的问题，愈来愈能启发大量新问题的问题”这就要教师必须认真钻研教材、挖掘习题的丰富内涵，精心设计“问题串”，激发学生的探究热情在这里，设计好的“问题串”是关键，好的问题串能搭起学生学习的“脚手架”，引导学生自主探究，从而突破教学的难点.下面，笔者将基于教学实践，介绍一堂课“问题串”的设计，供广大读者参考原题已知，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，1），O为坐标原点（如图1），试在坐标轴上找一

2、点P，使为等腰三角形，这样的点P共有多少个？如果让学生直接来完成此题，难度较大，学生往往不能考虑到所有的情况因此，可以先把这个问题分解成若干个小问题组成“问题串”，再把“问题串”放入不同的模块中（具体分为基础性问题模块、结论性问题模块、巩固性问题模块和发展性问题模块）这样一堂课由几个模块组成，一个模块由几个问题串组成，一个问题由几个知识点组成，内容由浅入深，不同层次的学生都能参与到教学活动中，大大提高了课堂效率一、基础性问题模块设计此模块中问题应以基础为主，面对全体学生，问题特征为低起点，难度逐步提高并具有启发性，这些问题能起到开启学生思维，激起学生的学习兴趣的作用，为后面的学习做好铺垫问题1

3、顶角为的等腰三角形的底角的度数为多少？问题2底角为的等腰三角形的顶角的度数为多少？问题3有一个角为的等腰三角形，它的另外两个角的度数为多少？对于问题1、问题2，学生普遍感到比较容易，很快就能说出正确答案，问题3则具有一定难度（需要分两种情况考虑），但由于受前两个问题的启发，学生只要仔细分析，一般都能正确作答.接下来老师再提问.问题4已知等腰三角形一个内角的度数，在什么情况下，能唯一确定其余两个内角的度数？什么情况下，需要分两种情况考虑？这时，通常会有许多学生回答：“当已知等腰三角形的顶角或一个底角时，能唯一确定其余两个内角的度数；当已知等腰三角形的一个内角的度数时，需要分两种情况来考虑.”对于

4、这个问题，教师并没有多作说明，还是继续提出问题让学生进一步思考问题5已知等腰三角形的一个内角为，求其余两个内角的度数.对于该问题，学生有两种不同答案：一种是这个的内角可能为顶角也可能为底角，所以应分两种不同的情况考虑；另一种是只有一种情况，理由是这个的内角只能为顶角，不可能是底角，否则就不能组成三角形了经过分析、思考，第二种答案得到了全体学生认可这时，教师让学生回顾刚才问题4的答案，学生都感到存在着缺陷，需要进一步修正二、结论性问题模块设计这个模块中的问题应在前一模块问题的基础上产生，其特征是从特殊到一般，概括出规律性结论对于这些问题的回答，需要学生经过一定的思考，通过分析、综合、概括、验证等

5、来对问题进行抽象，从而有助于培养学生的思维能力问题6再次呈现问题4，让学生解决在前面问题的启发下，大部分学生可以归纳出：当已知等腰三角形的一个内角为钝角或时，能唯一确定其余两个角的度数；当已知等腰三角形的一个内角为锐角（不包括），并且没有指出它是底角还是顶角时，需要分两种情况考虑（“当已知等腰三角形的一个内角为 时，也能唯一确定其余两个内角的度数”这一结论，是学生在教师的提示下补充进去的）问题7已知等腰三角形的一条边长和一个内角，能确定多少个等腰三角形？受问题6的启发，学生经过讨论得到：已知边长应分为两种情况（底边和腰长），已知角应分为三种情况（钝角、除以外的锐角和角）结合问题6的结论，就能确

6、定等腰三角形的个数（如表1）表1等腰个数 已知角已知边钝角锐角(不包括)腰长1个2个1个底边长1个2个从表1中可以得出，当已知等腰三角形的一条边长和一个内角为钝角时，能确定2个等腰三角形；当已知等腰三角形的一条边长和一个内角为锐角(除外)时，能确定4个等腰三角形；当已知已知等腰三角形的一条边长和一个内角为时，能确定1个等腰三角形，即等边三角形三 、巩固性问题模块设计这个模块中的问题，需要应用前面得出的结论，通过变式训练，实施“多题一解”，以培养学生的思维能力和解决问题的能力问题8已知等腰三角形的一个外角为，则它的三个内角度数分别为多少？有了前面通过分类讨论来解决问题的方法的渗透，学生一般会对此

7、问题分两种情况加以讨论：“当顶角的外角为时，这个顶角为；当底角的外角为时，这个底角为”但马上就有学生提出反对：“因为底角不可能为，所以只有顶角为这一种可能”这时，教师“趁热打铁”，又提出问题问题9已知等腰三角形的一个外角为，则它的三个内角的度数分别为多少？学生在问题8基础上不难回答，应分两种情况进行讨论以上9个问题层层递进，环环相扣，将学生引入问题“深处”问题10在一条直线上有一点O，线段OA长为，它与这条直线的夹角为（如图2）试在这条直线上找一点P，使为等腰三角形，这样的点P共有多少个？对于该问题的回答，学生普遍采用了分类讨论的思想：（1）将角当成顶角，OA当作腰长，能找到一点（点）；使为等

8、腰三角形；（2）将角当作底角， OA当作底边，能找到一点（点）；使为等腰三角形；（3）将角当作底角， OA当作腰长，能找到一点（点）使为等腰三角形；（4）将角当作等腰三角形一个外角，OA当作腰长，能找到一点（点）； 使为等腰三角形这样，共有四个点符合条件（如图3）（“将角当作等腰三角形的一个外角，OA当作腰长”这种情况，是学生在教师的提示下补充进去的）问题11呈现原题，主学生解决对于该问题的回答，关键要清楚坐标轴包括轴和轴，所以共有8个点符合条件在问题10基础上，学生大多可以完整的回答出来四、发展性问题模块设计在这个模块中，教师要设计一串具有拓展性和创新性的问题，使学生从中感悟数学思想方法，发

9、展数学思维，并培养学生的创新意识和实践能力问题12在问题11中，把OA绕原点O逆时针方向继续旋转，当OA与轴的夹角为时 (如图4)，试在坐标轴上找一点P，使为等腰三角形，这样的点P共有多少个？一些学生很快就回答说有8个点，但仔细思考后，发现实际上在轴上只有2个点符合条件，在轴上有4个点符合条件，因此共有6个符合条件的点这个问题有别于问题11，因为此时线段OA与轴成角，与轴成角，根据前面的结论，即可得出正确的答案问题13将OA继续绕原点O在第一象限内按逆时针方向旋转（如图5），但不与轴重合，试在坐标轴上找一点P，使为等腰三角形，这样的点P共有多少个？此时OA与轴和轴的夹角均为锐角，因此在轴和轴都

10、能找到4个点符合条件，这样，符合条件的点P共有8个问题14已知点A的坐标为，O为坐标原点(如图6)，试在坐标轴上找一点P，使为等腰三角形，这样的点P共有多少个？这个问题并没有直接给出OA与轴夹角，所以先必须求出它学生经过思考，首先用勾股定理求出了OA长度：，所以所以此时，题目转化为与问题12相似情形，不同之处在于：此时在轴上有4个点符合条件，在轴上有2个点符合条件，符合条件的点P共有6个教师除了自己设计“问题串”外，还要积极引导学生，鼓励学生尝试自己提出问题，只有这样，学生才会获得一个完整的体验与思考的过程这不仅是教学反馈的需要，还是培养创新型人才的需要，本节课，在教师的鼓励下，一名学生提出了这样的问题问题15根据表1中的结论，已知一边长为，一个角为，应该可以确定4个等腰三角形，但在问题10中，为什么只找到了以角为内角的3个点，而不是4个点呢？应该说，学生是在深入思考后，才会提出这个问题的经过学生的分析、讨论，得出了答案：因为OA与角是相邻的，所以以角为顶角，以OA为底边的等腰三角