高三数学大一轮复习函数模型及其应用学案理新人教A版

1、学案12函数模型及其应用导学目标：1. 了解指数函数、对数函数以及备函数的增长特征.知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2. 了解函数模型(指数函数、对数函数、募函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.课前灌备区r-M-回扣款材务实基就【自主梳理】1.三种增长型函数模型的图象与性质函数 性质y= ax( a>1)y = log ax (a>1)y = xn(n>0)在(0 , +8 )上 的单调性增长速度图象的变化随x增大逐渐表现为与平行随x增大逐渐表现为与平行随n值变化而/、同2.三种增长型函数之间增长速度的比较(1)指数函数y=a

2、x ( a>1)与募函数y= xn ( n>0)在区间(0, +8)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn,但由于y=ax的增长速度 y= xn的增长速度，因而总存在一个x0,当x>x0时有.(2)对数函数y= log ax( a>1)与募函数y = xn ( n>0)对数函数y= log ax(a>1)的增长速度，不论 a与n值的大小如何总会 y = xn的增 长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0,使x>x0时有.由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上， 因此在(0 , 十

3、0°)上，总会存在一个 Xo,使X>Xo时有.3.函数模型的应用实例的基本题型(1)给定函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题.4.函数建模的基本程序收集数据阿敬点图不符合突际选推函数模型求函数模则一实际m函数模一，决实际问题【自我检测】1 .下列函数中随x的增大而增大速度最快的是()A. v= i00exB. v=100ln xC. v = x100D. v=100X2x2 .某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为Li = 5.06x 0.15x2和L2=2x,其中x为销售量(单位：辆).若该公司在这两

4、地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()A. 45.606B. 45.6C. 45.56D. 45.513 . （2010 陕西）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=x（ x表示不大于x的最大整数）可以表示为（）xx+ 3A. y="B. y=EC.y=x+410D.y=4 . （2011 湘潭月考）某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂 6年来这种产品的总产量 C与时间t （年）的函数关 系图

5、象正确的是（）5 . 一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时 25%勺速度减少，为了保障交通安全，某地根据道路交通安全法规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL,那么，一个喝了少量酒后的驾驶员,至少经过,小时，才能开车？（精确到1小时）连堂活动区I突檄考点梆析热点探究点一 一次函数、二次函数模型例1（2011 阳江模拟）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总2x成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y = -48x+ 8 000,已知5此生产线年产量最大为 210吨.（1）求

6、年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；（2）若每吨产品平均出厂价为 40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润? 最大利润是多少？变式迁移1某租赁公司拥有汽车 100辆，当每辆车的月租金为 3 000元时，可全部租 出.当每辆车的月租金每增加 50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维 护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费 50元.（1）当每辆车的月租金定为 3 600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？探究点二分段函数模型例2 据气象中心观察和预测:发生于 M地的沙尘暴一直向正南

7、方向移动，其移动速度v(km/h)与时间 t(h)的函数图象如图所示，过线段OCk一点T(t, 0)作横轴白垂线l ,梯形OABCE直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程 s(km).(1)当t = 4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距 M地650 km,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由.变式迁移2某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨 3.00元.某月甲、乙两户共交水费 y元，已知甲、乙

8、两户该月用水量分别为 5x, 3x(吨).(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费 26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.探究点三指数函数模型例3 诺贝尔奖发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐 年增加.假设基金平均年利率为r =6.24%.资料显示：1999年诺贝尔奖发放后基金总额约为19 800万美元.设f(x)表示第x(xC N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1

9、),2000年记为f(2),，依次类推)(1)用f (1)表示f(2)与f (3),并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由.(参考数据:1.031 2 9= 1.32)、一， 一，一，1 ,变式迁移3 (2011 商丘模拟)现有某种细胞100个，其中有占总数2的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以 超过1010个？(参考数据:lg 3 =0.477, lg 2 = 0.301)课堂小结6 .解答应用问题的程序概括为“四步八

10、字”，即 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学结论还原为实际问题的意义.7 .考查函数模型的知识表现在以下几个方面：(1)利用函数模型的单调性比较数的大小；(2)比较几种函数图象的变化规律，证明不等式或求解不等式；(3)函数性质与图象相结合，运用“数形结合”解答一些综合问题.精题精练规范答题(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据.现准备用下列四个函

11、数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()X1.953.003.945.106.12Y0.971.591.982.352.61A. y=2xB. y=log2xC. y=2(x2 1)D. y=2.61cos x2.拟定甲地到乙地通话 m分钟的电话费f ( n) = 1.06 x (0.5 xm + 1)(单位：元)，其中 m>0, m表示不大于 m的最大整数(如3.72) =3, 4 =4),当0.5,3.1 时，函数f(n) 的值域是()A. 1.06,2.12,3.18,4.24B. 1.06,1.59,2.12,2.65C. 1.06,1.59,2.12,2.65

12、,3.18D. 1.59,2.12,2.653. (2011 秦皇岛模拟)某商店出售 A、B两种价格不同的商品，由于商品 A连续两次提 价20%同时商品B连续两次降价20%结果都以每件23元售出，若商店同时售出这两种商 品各一件，则与价格不升不降时的情况比较，商店盈利情况是()A.多赚约6元B.少赚约6元C.多赚约2元D.盈利相同4.国家规定个人稿费纳税办法是：不超过 800元的不纳税；超过 800元而不超过4 000 元的按超过800元部分的14%内税；超过4 000元的按全部稿酬的11%内税.已知某人出版一 本书，共纳税420元，这个人应得稿费(扣税前)为()A. 4 000 元B. 3

13、800 元C. 4 200 元D. 3 600 元5. (2011 沧州月考)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产1 O某种商品x万件时的生广成本为C(x) =2x + 2x+20(万兀).一万件售价是20万兀，为犹取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为（）1. 18万件B. 20万件C. 16万件D. 8万件题号12345答案、填空题（每小题4分，共12分）6.据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b, 2009年产生的垃圾量为 a t ,由此预测，该区下一年的垃圾量为 t,2014年的垃圾量为 t.7. （2010 金华十校3月联考）有一批材料可以建成 200

14、 m长的围墙，如果用此批材料在 一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形（如图所示），则围成场地的最大面积为（围墙的厚度不计）.8. .已知每生产100克饼干的原材料加工费为 1.8元.某食品加工厂对饼干采用两种包装, 其包装费用、销售价格如下表所示：型号小包装大包装100克300 克；包装费0.5元0.7元销售价格3.00 元8.4元则下列说法中正确的是 （填序号）买小包装实惠；买大包装实惠；卖 3小包比卖1大包盈利多；卖 1大包比卖3 小包盈利多.三、解答题（共38分）9. （12分）（2010 湖南师大附中仿真）设某企业每月生产电机 x台，根据企业月度报表一一

15、9112知，每月总产值 m万元）与总支出n（万元）近似地满足下列关系：m= 2x-, n= 4X+5X+ 4,当m- n>0时，称不亏损企业；当 m-n<0时，称亏损企业，且 nm为亏损额.（1）企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？（2）当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？10. （12分）某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x（x>10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？»

16、;购地总费用（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=工由知）建筑总面积11. （14分）（2011 鄂州模拟）某宾馆有相同标准的床位 100张，根据经验，当该宾馆的 床价（即每张床每天的租金）不超过10元时，床位可以全部租出，当床位高于 10元时，每提 高1元，将有3张床位空闲.为了获得较好的效益，该宾馆要给床位一个合适的价格，条件 是：要方便结账，床价应为1元的整数倍；该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租的收入必须高于支出，而且高出得越多越好.若用x表示床价，用y表示该宾馆一天出租床位的净收入（即除去每日的费用支出后的收入）.（1）把y表示成x的函数，并求出其定义域

17、；（2）试确定该宾馆将床位定价为多少时，既符合上面的两个条件，又能使净收入最多？答案自主梳理1.增函数 增函数 增函数 越来越快 越来越慢 相对平稳 y轴 x轴 2.(1)快于ax>xn (2)慢于 log ax<xn ax>xn>log ax自我检测. 1 V .1. A 由e>2,知当x增大时，同e增大更快.2. B 依题意，可设甲销售 x辆，则乙销售(15 x)辆，总利润 S= 5.06 x0.15x2+2(15 -x)=-0.15x2+ 3.06 x +30 ( x>0).，当 x=10 时,Smax= 45.6(万元).3. B 每10个人可以推选

18、1个，(xmod10)>6可以再推选一个，即如果余数(xmod10) >7相当于给x多加了 3,所以可以多一个10出来.4. A5. 5解析 设x小时后，血液中的酒精含量不超过则有 0.3 ?2 0.09,即x<0.3.估算或取对数计算，得5小时后，可以开车.课堂活动区【例1】解每吨平均成本为y(万元). x厂)x 8 000则 X' = 5+丁48x 8 000“75 .丁-48=32,x 8 000当且仅当x=,即x= 200时取等5 x年产量为200吨时，每吨平均成本最低为(2)设年获得总利润为 R( x)万元，2则 F(x) =40x-y=40x-x + 48

19、x- 8 00052x=二+ 88x 8 0005=-1(x- 220)2+1 680(0 0 x<210).5、 R(x)在0,210上是增函数，1，x=210 时，F(x)有最大值为一-X(210-50.09 mg/mL ,32万元.220)2 + 1 680 = 1 660.年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元.变式迁移1解(1)租金增加了 600元，所以未租出的车有12辆，一共租出了 88辆.(2)设每辆车的月租金为 x元(x>3 000),租赁公司的月收益为y元，x x-3 000、x-3 000则 y=xJ00厂 i*50x-3 000、100 1502x+

20、 162x21 00050=-T1(x-4 050) 2+307 050 , 50当 x= 4 050 时，ymax= 307 050.答 当每辆车月租金定为 4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大为 307 050.【例2解(1)由图象可知：当 t=4 时,v=3X4= 12(km/h), 1.s= 2*4X12= 24(km).,一 13 o(2)当 0<t<10 时，s=2 t 3t =2t2,，,1当 10<t <20 时，s = 2><10X30+ 30( t -10) =30t 150;,11当 20<tW35 时，s= 2*10X30

21、+10X30+ (t20)X30 2*( t20) X 2( t20)=t + 70t 550.t C 0 , 10,t e 10, 20,t e 加，35.%综上，可知S= 3 30t _150, t-t2+70t-550,32(3) ,. t 0,10时，Smax= 2* 10 = 150<650,t (10,20时，Smax= 30X20 150 = 450<650,当 t C (20,35时，令一t2+70t -550=650.解得 t1 = 30, t2=40. -20<t<35,t =30.沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城.变式迁移2 解(1)当甲的用水量不

22、超过4吨时，即5xw4,乙的用水量也不超过 4吨,y= 1.8(5 x+ 3x) = 14.4 x；当甲的用水量超过 4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x<4,且5x>4时，y= 4X1.8 +3xX1.8 + 3(5 x- 4) = 20.4 x-4.8.当乙的用水量超过 4吨，即3x>4时，y = 2X4X1.8+3X(3 x-4) + (5x-4) =24x9.6.1 14.4x,40*5，所以 y= 2 20.4 x-4.8 ,4<x<4,5341 24x- 9.6 ,x>.3(2)由于y= f(x)在各段区间上均单调递增,当 xC |0,当xC R5

23、当X。35141，y<f'4 <26.4;5，y<f '4 <26.4 ;3令 24x9.6 =26.4 ,解得 x= 1.5.所以甲户用水量为5x=7.5吨，付费 S = 4X1.8+3.5 X3= 17.70(元)；乙户用水量为 3x=4.5吨，付费 S2 = 4X1.8+0.5 X3= 8.70(元).例3解题导引指数函数模型的应用是高考的一个主要内容，常与增长率相结合进行考查.在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型来表 示.通常可表示为 y=a(1+p)x (其中a为原来的基础数，p为增长率，x为时间)的形式.1解

24、 由题意知：f(2)=f(1)(1 +6.24%)(1) 6.24%= f (1) X (1 + 3.12%),1f (3) =f(2) X(1 + 6.24%)2f(2) X6.24%=f (2) X(1 + 3.12%) =f(1) X(1 + 3.12%)2, .f(x) = 19 800(1 +3.12%)x1(xC N).(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10) = 19 800(1 + 3.12%)9=26 136 ,1 1故2009年度诺贝尔奖各项奖金为 6 2f (10) 6.24% 136(万美元)，与150万美元相比 少了约14万美元，是假新闻.变式迁移3解 现有

25、细胞100个，先考虑经过1,2,3,4 个小时后的细胞总数，1小时后，细胞总数为1 13,X 100+ 2X100X 2= 2X100;2小时后，细胞总数为1 31 395* 2* 100+ 2* 2X 100X2= 4X100;3小时后，细胞总数为1-X 9X 100+ 1X 9X 100X2= 27X 100； 2 42 484小时后，细胞总数为1 271 27812X 8-X 100+ 2X-8-X100X2= 16X100;可见，细胞总数 y与时间x(小时)之间的函数关系为:y=100x( |)x, x N,由 100X( |)、>1010,得(3)x>108,两边取以10

26、为底的对数，_38得小 2>8, . x>lg 3 lg 2，88'lg 3 lg 2 - 0.477 -0.3015. 5，. .x>45.45.答 经过46小时，细胞总数超过 1010个.课后练习区1. B 通过检验可知，y=log2x较为接近.2. B 当 0.5wm<1 时，m = 0, f(n)i = 1.06;当 1Wm<2 时，m =1, f (m=1.59 ;当 2wn<3时，m=2, f(m = 2.12;当 3Wmc 3.1 时，n = 3, f (m) = 2.65.3. B 设A、B两种商品的原价为 a、b,则 a(1 +20

27、%)2=b(1 -20%)2=23? a=2l|6l5- b=|16|5, a+b-46-6 元. 36164. B 设扣税前应得稿费为 x元，则应纳税额为分段函数，由题意，得y =0x-800、11%- x(KxW8W,X 聿 8ijij<x-J4 (ifii.i x ：-1 000 .如果稿费为4 000元应纳税为448元，现知某人共纳税 420元，所以稿费应在8004 000 元之间，. .(x 800)X14%= 420, x = 3 800.5.A 利润 L(x)=20xC(x) = g(x18)2+142,当6.x= 18 时,a(1 + b)L(x)有最大值.5a(1 + b)解析 由于2009年的垃圾量为a t ,年增长率为b,故下一年的垃圾量为a+ ab= a(1 +b) t ,同理可知2011年的垃圾量为a(1+b)2t,，2014年的垃圾量为a(1+b)5 t.27. 2500 m200x解析设所围场地的长为x,则宽为二一，其中0<x<200,场地的面积为xx200-x 1w 44攵+200x ;'2=2 500 m 2,等号当且仅当 x= 100时成立.8 .9 .解 (1)由已知，4x2+5x+4)= 12.由 m- n>0,得 x2- 2x-8>0,解得 xw2 或 x>4.(3分)据题