2020-2021中考数学易错题专题训练-圆的综合练习题附答案

1、2020-2021中考数学易错题专题训练-圆的综合练习题附答案一、圆的综合1 . (1)如图1,在矩形 ABCD中，点 O在边AB上，/AOO/BOD,求证：AO=OB;(2)如图2, AB是。的直径，PA与。相切于点A, OP与。相交于点C,连接CB, Z OPA=40 ；求 / ABC 的度数.【答案】(1)证明见解析；(2) 25°.【解析】试题分析：(1)根据等量代换可求得 /AOD=/ BOC,根据矩形的对边相等，每个角都是 直角，可知/A=/B=90°, AD=BC,根据三角形全等的判定 AAS证得AODZBOC,从而 得证结论.(2)利用切线的性质和直角三角形

2、的两个锐角互余的性质得到圆心角/POA的度数，然后利用圆周角定理来求 / ABC的度数.试题解析：(1) - ZAOC=Z BOD / AOC -/ COD=Z BOD-/ COD即 / AOD=Z BOC四边形ABCD是矩形/ A=Z B=90 ； AD=BCAOD BOC.AO=OB(2)解：.AB是eO的直径，PA与eO相切于点A,.PA，AB,/ A=90 :又 /OPA=40,/ AOP=50 ；.OB=OC, / B=/OCB.又 / AOP=/ B+Z OCB,“1 八B OCB AOP 25 . 22.如图，在锐角 ABC中，AC是最短边.以 AC为直径的OO,交BC于D,过O

3、作OE/ BC,交 OD于 E,连接 AD> AE、CE(1)求证：/ACE之 DCE;(2)若/B=45, / BAE=15,求/EAO的度数；S CDF 2(3)若 AC=4, C,求 CF的长.S COE 3【答案】(1)证明见解析，(2) 60。； (3)勺叵3【解析】【分析】(1)易证 /OEG/OCE /OEG/EC口 从而可知 Z OCE=Z ECD,即 / ACE=/DCE;(2)延长AE交BC于点G,易证ZAGC=ZB+ZBAG=60°,由于OE/ BC,所以/AEO=/AGC=60 ；所以 /EAO=/AEO=60 ;SVCOE1, 一 SVCDF2.、，S

4、VCDF1(3)易证黄且由于萨叽 所以萨也=_,由圆周角定理可知 SVCAE2SVCOE3SVCAE3/AEO/FDO90 ；从而可证明 CDQ4CEA利用三角形相似的性质即可求出答案.【详解】(1) OC=OE,ZOEC=Z OCE1.OE/ BC, ./OEG/EC口/ OCE=/EC口即 / ACE=/DCE(2)延长AE交BC于点G. / AGC是 ABG 的外角，Z AGC=ZB+Z BAG=60 :1. OE/ BC,/ AEO=Z AGC=60 :. OA=OE,/ EAO=Z AEO=60 :(3) :。是 AC中点，. SVCOE -1.SVCAE2q" 2 ,SV

5、COE3SVCDF1=一SVCAE3. AC是直径，/AEO/FDO90 : Z ACE=ZFCD,ACDFACEACF .3 =,CA 3,，cf=21ca=4.【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形中线的性 质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识.3.已知AB, CD都是e O的直径，连接 DB,过点C的切线交DB的延长线于点 E.1 如图 1,求证： AOD 2 E 1800；2如图2,过点A作AF EC交EC的延长线于点 F,过点D作DG AB ,垂足为点G,求证：DG CF;-DG 33如图3,在2的条件下，当 时

6、，在e O外取一点H,连接CH、DH分别交CE 4e O于点M、N,且 HDE HCE，点P在HD的延长线上，连接 PO并延长交CM于点Q,若PD 11, DN 14, MQ OB ,求线段HM的长.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 8於 7【解析】【分析】(1)由 /D+/E=90°,可得 2/D+2/E=180°,只要证明 /AOD=2/D 即可；(2)如图2中，作OR，AF于R只要证明 4AO宅 ODG即可；(3)如图 3 中，连接 BG OM、ON、CN,彳BTL CL于 T,作 NK±CH于 K,设 CH 交 DE于W.解直角三角形分别求出

7、KM, KH即可；【详解】1证明：如图1中,QeO与CE相切于点C,OC CE, OCE 900， D E 90°2 D 2 E 180°,Q AOD COB, BOC 2 D , AOD 2 D , AOD 2 E 1800 2证明：如图2中，作OR AF于R.Q OCF F ORF 900, 四边形OCFR是矩形， AF/ /CD , CF OR ,A AOD , 在VAOR和VODG中，Q A AOD, ARO OGD 90°，OA DO ,VAOR VODG ,OR DG , DG CF ,3解：如图3中，连接BC OM、ON、CN,彳BT CL于T,作N

8、K CH于K,设CH交DE于W.设 DG 3m,则 CF 3m, CE 4m ,Q OCF F BTE 900,AF/ /OC/ /BT ,Q OA OB,CT CF 3m,ET m ,Q CD为直径，CBD CND 90o CBE ,E 90oEBT CBT ,tan E tan CBT ,BT CT ET BT 'BT 3m m BTBT J3m（负根已经舍弃），tan3m、3,60°,Q CWD HDE H , HDEH E 60°,MON 2 HCN 60°，QOM ON ,VOMN是等边三角形，MN ON ,QQM OB OM ,P 180

9、76; H 120°,MOQ MQOQ MOQ PON 180° MON 120°,MQOPON P,ON NP 14 11 25,CD 2ON 50, MN ON 25,在 RtVCDN 中，cn Jcd2 dn2 h2 142 48，在 RtVCHN 中，tan H CN 至-J3, HN HNHN 1673 ,在 RtVKNH 中，KH - HN 86, NK HN 24, 22在 RtVNMK 中，mK JMN2 NK2 J252 242 7,HM HK MK 8近 7 .勾股定理、等边三角形的本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、 判定

10、和性质、锐角三角函数等知识，添加常用辅助线，构造全等三角形或直角三角形解题 的关键.4.如图，OM与菱形ABCD在平面直角坐标系中，点 M的坐标为（3, - 1）,点A的坐标为（-2, J3）,点B的坐标为（-3, 0）,点C在x轴上，且点 D在点A的左侧.（1）求菱形ABCD的周长；（2）若。M沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，同时菱形 ABCD沿x轴向右以每 秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为 t （秒），当。M与BC相切，且切点为 BC的中点时，连接BD,求：t的值；ZMBD的度数；（3）在（2）的条件下，当点 M与BD所在的直线的距离为 1时，求t的值.【答案】(1)8

11、； ( 2)7 ;1050 ; ( 3)t=6 -事或6+【解析】分析：（1）根据勾股定理求菱形的边长为2,（2）如图2,先根据坐标求EF的长，由所以可得周长为EE FE=EF=7,8；列式得：3t -2t=7,可得t的值； 先求/EBA=60：则/FBA=120：再得ZMBF=45 °,相加可得：/ MBD = Z MBF+Z FBD=45 +60 = 105 ;（3）分两种情况讨论：作出距离MN和ME,第一种情况：如图 5由距离为1可知：BD为。M的切线，由BC是。M的切线，得/MBE=30。，列式为3t+J3=2t+6,解出即可；第二种情况：如图 6,同理可得t的值.详解：（1

12、）如图1 ,过A作AE± BC于E.点 A 的坐标为（-2, J3）,点 B 的坐标为（-3, 0） , ，AE=J3, BE=3-2=1,AB= TAeBe7 = 7( V3)2 12 =2 .四边形 ABCD是菱形，AB=BC=CD=AD=2,菱形 ABCD的周长=2 X 4=8 M (3 BC=2,t=7；(2) 如图2, OM与x轴的切点为F, BC的中点为E.T) , - F (3, 0).0) , EF=7,即 EE - FE=EF, ，3t2t=7,且E为BC的中点，E (-4,由（1）可知：BE=1 , AE=J3,如图 4, Z FBA=120 °./ A

13、E . 3 一tanZ EBA=-=。3 , Z EBA=60四边形ABCD是菱形,Z FBD=1 Z FBA=- 120 =60 BC是 O M 的切线，MF ± BC. F是BC的中点，.-.BF=MF=1, .BFM是等腰直角三角形，/ MBF=45 ；/ MBD=Z MBF+Z FBD=45 +60 = 105 ;(3)连接BM,过M作MNXBD,垂足为N,作MEBC于E,分两种情况: 第一种情况：如图5.四边形 ABCD 是菱形，ZABC=120 °, ./CBD=60：，/NBE=60°. 点M与BD所在的直线白距离为 1, MN=1, BD为。M的切

14、线. BC是 O M 的切线，/ MBE=30 °. ME=1,EB=>/3 , . . 3t+V3=2t+6, t=6- 73 ;第二种情况：如图 6.四边形 ABCD 是菱形， ZABC=120 °, ，/DBC=60°,/ NBE=120 点M与BD所在的直线白距离为 1,，MN=1,，BD为。M的切线. BC是 O M 的切线，/ MBE=60 °.EB= ME=MN=1,RtA BEM 中,tan60 =ME ,tan 603BE.-.3t=2t+6+ , t=6+3；1 时，t=6 J3 或 6+ .33综上所述：当点 M与BD所在的直

15、线的距离为3V小人D AD A点睛：本题是四边形和圆的综合题，考查了菱形的性质、圆的切线的性质和判定、特殊的 三角函数值、等腰直角三角形的性质、动点运动问题，此类问题比较复杂，弄清动点运动 方向、速度、时间和路程的关系，并与方程相结合，找等量关系，求出时间 t的值.5.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧Ab1用直尺和圆规作出 Ab所在圆的圆心o；(要求保留作图痕迹，不写作法 ) 2若AB的中点C到弦AB的距离为20m, AB 80m ,求AB所在圆的半径.分析：1连结AC、BC,分另作AC和BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O,如图1;2连接oa, oc, oc交ab于d,如图2,根据垂径

16、定理的推论，由 c为Ab的中点得 一一一 _1 _ 一到 OCAB , ADBD-AB40 ,则 CD20,设e O 的半径为r,在 RtVOAD2222中利用勾股定理得到r (r 20)40 ,然后解方程即可.详解：1如图1,点O为所求；2连接OA, OC, OC交AB于D,如图2,QC为AB的中点，OC AB ,1AD BD AB 402 ，设e O的半径为r,则OA r, OD OD CD r 20,在 RtVOAD 中，QOA2 OD2 AD2,r2 (r 20)2 402,解得 r 50,即AB所在圆的半径是50m.点睛：本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，在利用数学知识解决实际问题

17、时，要善" 把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题.6.矩形ABCD中，点C (3, 8) , E、F为AB、CD边上的中点，如图1,点A在原点处，点B在y轴正半轴上，点 C在第一象限，若点 A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位 长度的速度运动，点 B随之沿y轴下滑，并带动矩形 ABCD在平面内滑动，如图 2,设运动 时间表示为t秒，当点B到达原点时停止运动.(1)当t=0时，点F的坐标为;(2)当t=4时，求OE的长及点B下滑的距离；(3)求运动过程中，点 F到点O的最大距离；(4)当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，求 t的值.【答案】(

18、1) F (3, 4);(2) 8-46；(3)7; (4) t的值为4或丝.55【解析】试题分析：(1)先确定出DF,进而彳#出点F的坐标；(2)利用直角三角形的性质得出/ABO=30。，即可得出结论；(3)当O、E、F三点共线时，点F到点O的距离最大，即可得出结论；(4)分两种情况，利用相似三角形的性质建立方程求解即可.试题解析：解：(1)当 t=0 时.AB=CD=8, F 为 CD 中点，DF=4, F (3, 4)；(2)当 t=4 时，OA=4.在 RtABO 中，AB=8, / AOB=90°,/ ABO=30 ；点E是AB的中点,OE=3AB=4, BO=4>/

19、3 ,点B下滑的距离为8 473.(3)当O、E、F三点共线时，点 F到点O的距离最大，FO=OE+EF=.图1却(4)在 RtADF 中，FD2+AD2=AF2,，AF=JFD2AD2 =5,设 AO=ti 时，。5与*轴ti3，相切，点 A 为切点，.FAI OA,ZOAB+Z FAB=90° . / FAD+/ FAB=90°,/ BAO=Z FAD. / BOA=Z D=90 ；RtA FA& RtA ABO,胆 -AO , 8 FA FE 5t2="5. .ti=24,设AO=t2时 OF与y轴相切，B为切点，同理可得,5综上所述：当以点 F为圆

20、心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，t的值为 冽 或32.55点睛：本题是圆的综合题，主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，中点的意义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质，解(2)的关键是得出/ABO=30。，解(3)的关键是判断出当 O、E、F三点共线时，点F到点O的距离最大，解(4)的关键是 判断出RHFAaRtA ABD,是一道中等难度的中考常考题.7.已知：BD为。的直径，O为圆心，点A为圆上一点，过点 B作。的切线交DA的延 长线于点F,点C为。上一点，且 AB= AC,连接BC交AD于点E,连接AC.(1)如图 1,求证：/ABF=/ABC;(2)如图2,点H为。O内部一

21、点，连接 OH, CH若/ OHC=/HCA= 90°时，求证：CH=1DA;2在（2）的条件下，若 OH=6,。的半径为10,求CE的长.圄I图？【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 4.51由BD为e O的直径，得到 D ABD 90°,根据切线的性质得到FBA ABD 90°,根据等腰三角形的性质得到 结论；2如图2,连接OC,根据平行线的判定和性质得到 的性质得到OBC OCB , ABC CBO的性质即可得到结论；C ABC ,等量代换即可得到ACOCOH ,根据等腰三角形ACBOCB ,根据相似三角形3根据相似三角形的性质得到公B型 2,根据勾股

22、定理得到OH OCAD JbD2AB 2 16，根据全等三角形的性质得到 BF BE , AFAE ,根据射影122 -定理得到AF 9 ,根据相交弦定理即可得到结论.161 Q BD为e O的直径，BAD 90°,D ABD 90°,Q FB是e O的切线，FBD 90°,FBA ABD 90°,FBA D ,Q AB AC ,C ABC ,Q C D ,ABF ABC；2如图2,连接OC,Q OHC HCA 900,AC/OH ,ACO COH ,QOB OC ,OBC OCB,ABC CBO ACB OCB, 即 ABD ACO,ABC COH ,

23、 Q H BAD 900,VABD sVHOC ,AD BD2,CH OC-1CH - DA ；23 由 2 知，VABCs VHOC ,AB BD一 一 2,OH OCQOH 6, e O的半径为10,AB 2OH 12, BD 20,AD -BD2 AB2 16, 在VABF与VABE中，ABF ABEAB AB , BAF BAE 90oVABF VABE , BF BE , AF AE ,Q FBD BAD 900,AB2 AF AD ，AF12216AE AF 9, de 7, be Jab2 AE2Q AD , BC交于 E,15,AE DE BE CE ,CEAE DE 9 7

24、21BE 155本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性 质，平行线的性质，勾股定理，射影定理，相交弦定理，正确的识别图形是解题的关键.8.如图，AB是。的直径，弦BC= OB,点D是AC上一动点，点E是CD中点，连接BD 分别交OC, OE于点F, G.(1)求/ DGE的度数；c 什 CF 1- BF i(2)右=，求的值；OF 2 GF(3)记CFB, ADGO的面积分别为S2,若CF = k，求 义 的值.(用含k的式子表OFS2示)7S k2 k 1【答案】(1)/DG$ 60。；(2)； (3)=-k-J .2S2 k 1【解析】【分析】(1)

25、根据等边三角形的性质，同弧所对的圆心角和圆周角的关系，可以求得/DGE的度数；(2)过点F作FHI±AB于点H设CF= 1,则OF=2, OC= OB= 3,根据勾股定理求出 BF的 BF长度，再证得 FG8 4FC玲进而求得 的值；GFk的式子表(3)根据题意，作出合适的辅助线，然后根据三角形相似、勾股定理可以用含一，Si 不出厂一的值.S2【详解】解：(1)BC= OB=OC,/ COB= 60 ；1/ CDB= 一 ZCOB= 30 ,2. OC= OD,点E为CD中点， OEXCD),/ GED= 90 ；/ DGE= 60 ;(2)过点F作FHAB于点H设 CF= 1 ,贝

26、U OF= 2, OC= OB= 3 / COB= 60 ° .OH= 1OF=1,2 .HF=6oH=6, HB=OB- OH=2,在 RtBHF 中，BF JhB2 HF2 曲, 由 OC= OB, /COB= 60°得：/OCB= 60°, 又 ZOGB= / DGE= 60°,/ OGB= / OCB, / OFG= / CFB, .,.FGOAFCB, .of 笆BF CF ' GF*'BF 7GF -2过点F作FHAB于点H, 设 OF= 1,则 CF= k, OB= OC= k+1,/ COB= 60 ；OH= _ OF=,

27、-HF= . 30H2,HB=OB-OH=k+1 ，2在 RtBHF 中，BF= HB2 HF2k2 k 1,由(2)得：FG84FCBGO OF GO 1，即 |2-/ 2CB BF k 1,k k 1.GOk 1,k211过点C作CP，BD于点P / CDB= 30 °1PC= CD,2点E是CD中点，1.DE CD,2PC= DE,.DEXOE, k2 k 12S BFk2 k 1 = k 1=S2 GO _ k 1；k2 k 1【点睛】圆的综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似和 勾股定理、数形结合的思想解答.9.如图，抛物线 y=ax2+b

28、x+c经过点 A (-2, 0)、B (4, 0)、C (0, 3)三点.V*V .r卜"八圄 图(1)试求抛物线的解析式；(2)点P是y轴上的一个动点，连接 PA,试求5PA+4PC的最小值;(3)如图，若直线l经过点T ( - 4, 0) , Q为直线l上的动点，当以 A、B、Q为顶点所作的直角三角形有且仅有三个时，试求直线l的解析式.3 23【答案】(1) y x x 3; (2) 5PA+4PC的最小值为18； ( 3)直线l的解析式 8443.3人为 yX3或 yx3.44【解析】 【分析】(1)设出交点式，代入 C点计算即可(2)连接AG BC,过点A作AE，BC于点E,

29、过PCPD4点P作PD)± BC于点D,易证CD/COB,得到比例式 ，得到PD一 PC,所BCOB5以 5PA+4PC= 5 (PA+4PC) = 5 ( PA+PD ,当点 A、P、D在同一直线上时，5PA+4PC= 5 5(PA+PD = 5AE最小，利用等面积法求出AE=18,即最小值为18 ( 3)取AB中点F,5以F为圆心、FA的长为半径画圆，当/BAQ= 90°或/ ABQ=90°时，即AQ或BQ垂直x轴， 所以只要直线l不垂直x轴则一定找到两个满足的点Q使/ BAQ= 90。或/ ABQ= 90°,即/ AQB= 90时，只有一个满足条件

30、的点 Q, 直线l与。F相切于点Q时，满足/ AQB= 90。的点Q只有一个；此时，连接 FQ,过点Q作QG,x轴于点G,利用cos/QFT求出 QG,分出情况Q在x轴上方和x轴下方时，分别代入直接 l得到解析式即可【详解】解：(1)二.抛物线与x轴交点为A ( - 2, 0)、B (4, 0) . y = a (x+2) ( x- 4)把点C (0, 3)代入得：-8a=33.a =8，抛物线解析式为 y= - - (x+2) (x- 4) =- - x2+ x+3884(2)连接 AC BC,过点A作AE± BC于点E,过点P作PD±BC于点D/ CDP= / COB=

31、 90 ° / DCP= / OCB.-.CDFACOBPC PDBC OB- B (4, 0) , C (0, 3).OB=4, OC= 3, BC= OB2 OC2 =54 .PD= - PC55PA+4PC= 5 (PA+4PC) =5 ( PA+PQ，当点 A、P、D在同一直线上时， 5PA+4PC= 5 (PA+PD = 5AE最小 . A (2, 0) , OCX AB, AE± BC Sa abc= 1AB?OC= 1 BC?AE22ABn OC 6 3 18AE= BC 55 -5AE= 18 5PA+4PC的最小值为18.(3)取AB中点F,以F为圆心、F

32、A的长为半径画圆当/BAQ= 90°或/ABQ= 90°时，即 AQ或BQ垂直x轴，只要直线l不垂直x轴则一定找到两个满足的点Q使/ BAQ= 90或/ ABQ= 90 / AQB= 90时，只有一个满足条件的点Q当Q在。F上运动时(不与 A、B重合)，/AQB= 90 °，直线l与。F相切于点Q时，满足ZAQB= 90的点Q只有一个此时，连接FQ,过点Q作QGi± x轴于点G / FQ90 .F 为 A ( 2, 0)、B (4, 0)的中点 .F (1, 0) , FQ= FA= 3- T (-4, 0), FQ 3.TF= 5, cos/QFT=

33、一TF 5FG 3RtA FGQ 中 cos/ QFT= 一FQ 53FG= - FQ=1255 xq= 194 , QG= mQFG554 12若点Q在x轴上方，则Q ()5 5设直线l解析式为：y= kx+b4k b 0412 解得:k b553，直线 l： y -x 34412右点Q在x轴下方，则Q ( 一，一)553，直线 l： y -x 3433综上所述，直线l的解析式为y3x3或y-x344【点睛】本题是二次函数与圆的综合题，同时涉及到三角函数、勾股定理等知识点，综合度比较高，需要很强的综合能力，第三问能够找到满足条件的Q点是关键，同时不要忘记需要分情况讨论PD10.如图，AB是圆

34、。的直径，。为圆心，AD、BD是半圆的弦，且 /PDA=/ PBD.延长 交圆的切线BE于点E(1)判断直线PD是否为。的切线，并说明理由;(2)如果 / BED=60°, PD=J3,求 PA 的长；(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段 DF,点F正好在圆。上，如图2,求证:边形DFBE为菱形.【答案】(1)证明见解析；(2) 1; (3)证明见解析.【解析】【分析】(1)连接OD,由AB是圆O的直径可得/ADB=90,进而求得/ ADO+/PDA=90 ,即可得 出直线PD为。的切线；(2)根据BE是。的切线，则/EBA=90,即可求得/ P=30。，再由PD为。的切线，

35、得 /PDO=90 ；根据三角函数的定义求得OD,由勾股定理得OP,即可得出PA;(3)根据题意可证得 /ADF=/ PDA=/ PBD=/ ABF,由AB是圆O的直径，得 Z ADB=90 , 设/ PBD我，则可表示出 /DAF=/ PAD=90 +x°, Z DBF=2x ,由圆内接四边形的性质得出 x 的值，可得出4BDE是等边三角形.进而证出四边形DFBE为菱形.【详解】(1)直线PD为。的切线，理由如下：如图1,连接OD,.AB是圆O的直径，/ ADB=90 ； / ADO+Z BDO=90 ；又 DO=BO,/ BDO=Z PBD, / PDA=/ PBD,/ BDO=

36、Z PDA, / ADO+Z PDA=90 ；即 PD± OD, 点D在。O上， 直线PD为。的切线；(2) BE是。的切线，/ EBA=90 ,° / BED=60 ；/ P=30 ； .PD为。的切线,/ PDO=90 ；在 RtA PDO 中,/ P=30°, PD= ,tan300 OD ,解得 OD=1, PDPO . PD2 OD2 =2,PA=PO- AO=2 - 1=1;(3)如图2,依题意得：/ ADF=Z PDA, / PAD=Z DAF, / PDA=/ PBDZ ADF=Z ABF,/ ADF=Z PDA=/ PBD=/ ABF,.AB是圆

37、O的直径， / ADB=9。；设 / PBD=x ,贝U / DAF=Z PAD=90 +x°, / DBF=2x , 四边形AFBD内接于OO, / DAF+Z DBF=180 ,°即 90°+x+2x=180°,解得 x=30°,/ ADF=Z PDA=Z PBD=Z ABF=30 ,°.BE、ED是。的切线， . DE=B / EBA=90 :/ DBE=60 ,°4BDE是等边三角形，.BD=DE=BE又 / FDB=Z ADB- / ADF=90 30 =60 / DBF=2x =60°, .BDF是等边

38、三角形， .BD=DF=BF.DE=BE=DF=BF本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档 题，难度较大.11. AB是。O直径，在AB的异侧分别有定点 C和动点P,如图所示，点 P在半圆弧 AB上运动(不与 A、B重合)，过C作CP的垂线CD ,交PB的延长线于D ,已知 AB 5, BC ： CA = 4 ： 3.(1)求证：AC CD = PC BC ;(2)当点P运动到AB弧的中点时，求 CD的长；(3)当点P运动到什么位置时,PCD的面积最大？请直接写出这个最大面积.【答案】(1)证明见解析；(2) CD=!4Y2； ( 3)当PC为。直径时，

39、4PCD的最大面积50.3【解析】【分析】(1)由圆周角定理可得 /PCD=/ ACB=90,可证ABC/PCD,可得处 里,即可得CP CD证.(2)由题意可求 BC=4, AC=3,由勾股定理可求 CE的长，由锐角三角函数可求PE的长，即可得PC的长，由AC?CD=PC?BCT求CD的值；1 一一 ，.一 一 4 一(3)当点P在AB上运动时，Svpcd PC CD ,由(1)可得：CD -PC ,可得 23-1422SvpcdPCPC PC ,当PC最大时， PCD的面积最大，而PC为直径时最233大，故可求解.【详解】证明：(1)C. AB为直径，/ ACB=90 ° PCX

40、 CD,/ PCD=90 °/ PCD=/ ACB,且 / CAB=Z CPB.ABCAPCDAC BCCP CD.AC?CD=PC?BC(2)AB=5, BC: CA=4: 3, ZACB=90°.BC=4, AC=3,当点P运动到AB的中点时，过点 B作BE,PC于点E .点P是Ab的中点，/ PCB=45 ；且 BC=4 ，CE=BE=SbO22 / CAB=Z CPBBCtan / CAB=AC4 =tan / CAB= BE3PE.PE=3223 2 7 2PC=PE+CE=+2 ,2 =.AC?CD=PC?BC-3>CD=7,2X414'.2.CD

41、=3（3）当点 p在 Ab 上运动时，s*apcd= >pc>cd,2由（1）可得：CD=4PC3一 142 qSa pcd=PC PC = PC,233当PC最大时，APCD的面积最大，当PC为。直径时，4PCD的最大面积=2 x2=-5033【点睛】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，锐角三角函数，求 出PC的长是本题的关键.12.如图，过。外一点P作。的切线PA切。于点A,连接PO并延长，与。交于G D两点，M是半圆CD的中点，连接 AM交CD于点N,连接AC、CM.(1)求证：CM2=MN.MA;(2)若 / P=30°, PC=2,求

42、CM 的长.【答案】(1)见解析；(2) CM=2 72 .【解析】【分析】(1)由 CM DM 知 CAM DCM，根 /CMA=/NMC 据证 AAM6ACMN即可得；11(2)连接OA、DM,由直角二角形 PAO中/P=30知OA PO PC CO ,据此 22求得OA=OC=2,再证三角形CMD是等腰直角三角形得 CM的长.【详解】(1) QeO中，M点是半圆CD的中点，CAM DCM , 又Q CMA NMC ,AMCs CMN,CMMNAMCM(2)连接 OA、DM ,Q PA是e O的切线,1 OA PO2PAO 90 , 又 Q P 30 ,1一 PC CO , 2设eO的半径

43、为r122解得：r 2 ,又Q CD是直径,CMD 90 ,QCM DM ,CMD是等腰直角三角形，22在 Rt CMD 中，由勾股te理得 CM 2 DM 2 CD2,即 2CM 2r 16 ,则 CM 2 8,CM 2V2【点睛】本题主要考查切线的判定和性质，解题的关键是掌握切线的性质、圆周角定理、相似三角 形的判定和性质等知识点13.已知 RtAABC, /BAC= 90 °,点 D 是 BC 中点，AD= AC, BC= 4 J3 ,过 A, D 两点作 OO,交AB于点E,(1)求弦AD的长；(2)如图1,当圆心O在AB上且点M是。上一动点，连接 DM交AB于点N,求当ON

44、 等于多少时，三点 D、E、M组成的三角形是等腰三角形？(3)如图2,当圆心 O不在AB上且动圆。与DB相交于点 Q时，过D作DHXAB (垂 足为H)并交。于点P,问：当。变动时DP- DQ的值变不变？若不变，请求出其值； 若变化，请说明理由.刻)I蚯【答案】(1) 2J3(2)当ON等于1或J3 - 1时，三点D、E M组成的三角形是等腰三角形(3)不变，理由见解析【解析】【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到AD的长；(2)连DE、ME,易得当ED和EM为等腰三角形EDM的两腰，根据垂径定理得推论得OE± DM,易得到 4ADC为等边三角形，得 /CAD

45、=60°,贝U / DAO=30° , / DON=6O ,然后根据含30°的直角三角形三边的关系得DN=1AD=J3, ON=-DN=1;23当 MD=ME, DE 为底边，作 DHAE,由于 AD=26，/ DAE=30°,得到 DH=J3 , / DEA=60 ； DE=2,于是 OE=DE=2 OH=1,又/M=/DAE=30, MD=ME,得到 / MDE=75 ,贝U / ADM=90 -75 =15°,可得到/DNO=45；根据等腰直角三角形的性质得到NH=DH=73,则ON=J3-1;(3)连AP、AQ, DP, AB,彳导AC

46、/ DP,则/ PDB=/ C=6CT,再根据圆周角定理得/PAQ=/ PDB, /AQC=/ P,则/PAQ=60,° / CAQ=/ PAD,易证得AQ84APD,得到 DP=CQ 贝U DP-DQ=CQ-DQ=CD 而 4ADC 为等边三角形， CD=AD=273 ,即可得到 DP-DQ 的 值.【详解】解：(1)Z BAC= 90。，点 D 是 BC 中点，BC= 473 , .AD= 1BC= 2出；2(2)连 DE、ME,如图， DM > DE, 当ED和EM为等腰三角形 EDM的两腰， OEXDM, 又 AD=AC,.ADC为等边三角形，/ CAD= 60 ；/

47、DAO= 30 ；/ DON= 60 ;1在 RtADN 中，DN= AD= 732 1'在 RtODN 中，ON=4DN=13 ， 当ON等于1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形； 当MD=ME, DE为底边，如图3,作DHXAE,. AD=2 6, ZDAE= 30；.DH= 73, /DEA=60 ； DE=2, .ODE为等边三角形，.OE=DE= 2, OH=1, . Z M = Z DAE= 30 ;而 MD=ME,/ MDE= 75 °,Z ADM =90 °- 75 = 15 °,/ DNO= 45.NDH为等腰直角三角形， .NH

48、=DH=技 ON= 3 - 1 ；综上所述，当ON等于1或J3 - 1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形;(3)当。变动时DP-DQ的值不变，DP - DQ= 2近.理由如下：连AP、AQ,如图2,. / C= / CAD= 60 ；而 DPI AB,2 .AC/ DP,/ PDB= Z C= 60 °,又 / PAQ= / PDB,/ PAQ= 60 °,Z CAQ= / PAD,3 . AC=AD, /AQC=/P,4 .AQCAAPD,.DP= CQ,5 .DP- DQ= CQ- DQ= CD= 2 庭.【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理：平分弧的直径垂直

49、弧所对的弦；在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆周角相等.也考查了等腰三角形的性质以及含30。的直角三角形三边的关系.14.我们知道，如图1, AB是。的弦，点F是AFB的中点，过点F作EF± AB于点E, 易得点E是AB的中点，即AE= EB. OO上一点C (AC> BC),则折线 ACB称为。的一 条折弦”.(1)当点C在弦AB的上方时(如图2),过点F作EF±AC于点E,求证：点E是 折弦ACB'的中点，即 AE= EC+CB(2)当点C在弦AB的下方时(如图3),其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？若成立说明理由；若不成立，那么AE、EG CB满足怎样

50、的数量关系？直接写出，不必证明.(3)如图4,已知RtA ABC中，/C= 90°, Z BAC= 30°, RtABC的外接圆。的半径为2,过。上一点P作PH, AC于点H,交AB于点M,当Z PAB= 45°时，求AH的长.图1图2C图3及4【答案】(1)见解析；(2)结论AE= EC+C环成立，新结论为：C曰BC+AE见解析；(3) AH的长为出T或邪+1 .【解析】【分析】(1)在AC上截取AG= BC,连接FA, FG, FB, FC,证明FA8 4FBC,根据全等三角形 的性质得到FG= FC,根据等腰三角形的性质得到EG= EC,即可证明.(2)在C

51、A上截取CG= CB,连接FA, FB, FC,证明FC84FCB,根据全等三角形的性 质得到FG= FB,得到FA= FG,根据等腰三角形的性质得到 AE= GE,即可证明.(3)分点P在弦AB上方和点P在弦AB下方两种情况进行讨论.【详解】解：(1)如图2,在 AC 上截取 AG= BC,连接 FA, FG, FB, FC, 丁点F是AFB的中点，FA= FB，在4FAG和4FBC中，FA FBFAG FBCAG BC,. .FA® FBC (SA§ ,FG= FC,/FEI AC,EG= EC,，AE= AG+EG= BC+CE(2)结论AE=EC+C必成立，新结论为

52、：CE=BC+A耳理由：如图3,在CA上截取CG= CB,连接FA, FB, FC,丁点f是即8的中点，1 FA= FB, Pa Rb，Z FCG= Z FCBCG CB在 AFCG 和 AFCB 中，FCG FCBFC FC,.-.FC(AFCB(SA5 ,FG= FB,FA= FG,FE± AC,.AE=GE,.CE=CG+G2 BC+AE(3)在 RtABC 中，AB=2OA=4, Z BAC= 30 ,BC -AB 2, AC 273,2当点P在弦AB上方时，如图4,在CA上截取CG= CB,连接PA PB, PG, / ACB= 90 ； .AB为OO的直径，/ APB= 90 ； / PAB= 45 ；/ PBA= 45 = / PAB,P